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1.4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活
中的應(yīng)用
北師大版(2019)選擇性必修第二冊
第 一 章數(shù)列
學(xué)習(xí)目標(biāo)
掌握單利、復(fù)利的概念
掌握零存整取、定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存、分期付款三種模型及應(yīng)用
車)分期付款、保險(xiǎn)、資產(chǎn)折舊等問題都與其相關(guān).
以銀行存款為例，它是老百姓日常生活中最基本
的經(jīng)濟(jì)活動(dòng).銀行存款計(jì)息方式有兩種：單利和 復(fù)利，它們分別是以等差數(shù)列和等比數(shù)列為數(shù)學(xué) 模型.下面分別舉例說明.
實(shí)例分析
等差數(shù)列，等比數(shù)列是日常經(jīng)濟(jì)生活中的重要數(shù)學(xué)模型.例如，存款、貸款、購物(房、
存 款 利
60oo
5000
40oo
30o0
2000
100o
1000
1.單利
單利的計(jì)算是僅在原有本金上計(jì)算利息，對本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算
利息.其公式為：利息=本金×利率×存期.
以符號 P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金與利息和(以
下簡稱本利和),則有 S=P(1+ nr).
等差數(shù)列模型
抽象概括
抽象概括
2.復(fù)利
復(fù)利是指一筆資金除本金產(chǎn)生利息外，在下一個(gè)計(jì)息周期內(nèi)，以前各計(jì)
息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息也計(jì)算利息的計(jì)息方法.
復(fù)利的計(jì)算公式是 S=P(1+r)n
等比數(shù)列模型
解 ： ( 1 ) 根 據(jù) 題 意 ， 第 1 個(gè) 月 存 入 的 金 額 為x 元，到期利息為xrn 元；第2個(gè)月存入的金
額 為x 元，到期利息為xr(n-1) 元……第n 個(gè)月存入的金額為x 元，到期利息為xr 元 .
因此，各月利息之和為
而本金為nx 元，這樣就得到本利和公式
例題分析
例1零存整取模型銀行有 一 種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務(wù)，即每月定時(shí)存入 一 筆相同數(shù)目的現(xiàn)金，
這是零存；到約定日期，可以取出全部本利和，這是整取(現(xiàn)在有 一 年、三年、五年3種，年利 率 分 別 為1.35%,1.55%,1.55%). 規(guī)定每次存入的錢不計(jì)復(fù)利 .
(1)若每月存入金額為x 元 ， 月 利 率r 保持不變，存期為 n 個(gè)月，試推導(dǎo)出到期整取時(shí)本利 和的公式；
例題分析
例1零存整取模型銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務(wù)，即每月定時(shí)存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金，
這是零存；到約定日期，可以取出全部本利和，這是整取(現(xiàn)在有一年、三年、五年3種，年利 率分別為1.35%,1.55%,1.55%). 規(guī)定每次存入的錢不計(jì)復(fù)利.
(2)若每月初存入500元，到第3年整取時(shí)的本利和是多少 (精確到0.01元)
解： (2)根據(jù)題意知， x=500, ,n=36, 代入①式，本利和為
解： (3)根據(jù)題意知， y=200 0, ,n=12, 代入①式，得
所以每月初應(yīng)存入165.46元.
例題分析
例1零存整取模型銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務(wù)，即每月定時(shí)存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金，
這是零存；到約定日期，可以取出全部本利和，這是整取(現(xiàn)在有一年、三年、五年3種，年利 率分別為1.35%,1.55%,1.55%). 規(guī)定每次存入的錢不計(jì)復(fù)利.
(3)若每月初存入一定金額，希望到1年后整取時(shí)取得本利和2000元，則每月初應(yīng)存入的金 額是多少 (精確到0.01元)
例題分析
例2定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模型 銀行有另一種儲蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動(dòng)轉(zhuǎn)存.例如，儲戶某日存入一筆
1年期定期存款，1年后，如果儲戶不取出本利和，則銀行按存款到期時(shí)的1年期定期存款利 率自動(dòng)辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自動(dòng)轉(zhuǎn)存的儲蓄業(yè)務(wù)， 假定無利率變化調(diào)整因素，我們來討論以下問題：
(1)如果儲戶存入定期為1年的P 元存款，定期年利率為 r, 連存n 年后，再取出本利和.試求 出儲戶n 年后所得本利和的公式；
解：(1)記n 年后得到的本利和為an.根據(jù)題意知：
第1年存入的本金P 元，1年后到期利息為Pr 元，1年后本利和為
a =P+Pr
=P(1+r) (元);
2年后到期利息為P(1+r)r 元，2年后本利和為
a =P(1+r)+P(I+r)r=P(1+r) (元);
∴各年的本利和是一個(gè)首項(xiàng)a =P1+r)、 公比q=1+r 的等比數(shù)列{an}, 故 n 年后到期
的本利和為
an=a qn-1=P(1+r)(1+r)n-1=P(l+r)" (元).
例題分析
例2 定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模型
(1)如果儲戶存入定期為1年的P 元存款，定期年利率為 r, 連存n 年后，再取出本利和.試求
出儲戶n 年后所得本利和的公式；
(2)由(1)可知，5年后本利和為
a =10000×(1+0.0175)
≈10906.17(元).
因此，5年后得本利和約為10906.17元.
例題分析
例2定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模型
(2)如果存入1萬元定期存款，存期1年，年利率為1.75%,那么5年后共得本利和多少元
(精確到0.01元)
解：假定小華每次還款x 元，第k 個(gè)月末還款后的本利欠款數(shù)為Ak 元，則
A =5000×(1+0.006) -x;
A =A (1+0.006) -x=5000×1.006 -1.006 x-x;
A =A (1+0.006) -x=5000×1.006 -1.006 x-x; … …
A 2=5000×1.00612-(1.0061 +1.006 +1.006 +1.006 +1.006 +1)x;
由題意年底還清，則A 2=0
解得
例題分析
例3分期付款模型小華準(zhǔn)備購買一臺售價(jià)為5000元的電腦，采用分期付款方式，并在一年內(nèi) 將款全部付清.商場提出的付款方式為：購買后2個(gè)月的月末第1次付款，再過2個(gè)月第2次付 款……購買后第12個(gè)月末第6次付款，每次付款金額相同，約定月利率為0.6%,每月利息按 復(fù)利計(jì)算.求小華每次應(yīng)付的金額是多少 (精確到0.01元)
抽 象 概 括
解數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟
現(xiàn)實(shí)生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、工作效率、土地面積、
堆積物品總數(shù)等實(shí)際問題，都需要數(shù)列的知識加以解決.解答數(shù)列應(yīng)用問題的核心是建
立模型，其基本步驟如下：
實(shí)際應(yīng)用 題 明確題意，找出題 設(shè)與所求問題之間 的邏輯關(guān)系
利用數(shù)學(xué)語言將邏 輯關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué) 關(guān)系，將實(shí)際問題 轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題
轉(zhuǎn)譯成具體應(yīng)用 問題的結(jié)構(gòu)(注 意是否符合實(shí)際) 利用數(shù)學(xué)模型得 到數(shù)學(xué)問題的解
建立合適的數(shù) 學(xué)模型
當(dāng) 堂 檢 測
當(dāng)堂檢測
1.某顧客在2020年1月1日采用分期付款的方式購買一輛價(jià)值2萬元的家電，在購買一個(gè)月 后2月1日第一次還款，且以后每個(gè)月1日等額還款一次，如果一年內(nèi)還清全部貸款(12月1 日最后一 次還款),月利率為0 .5% .按復(fù)利計(jì)算，則該顧客每個(gè)月應(yīng)還款多少元 (精確到1
元，參考值1.005 =1.05,1.005 =1.06) A )
A.1767 B.1818 C.1923 D.1946
解析： 設(shè)每月還款x 元，共還款11個(gè)月，
所 以x×(1.005 +1.005 +…+1.005+1)=20000×1.005 ,
故 選 ：A.
2.某家庭打算為子女儲備“教育基金”,計(jì)劃從2021年開始，每年年初存入一筆專用
存款，便這筆款到2027年底連本帶息共有40萬元收益.如果每年的存款數(shù)額相同， 依年利息2%并按復(fù)利計(jì)算(復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法，即把前一期的利息和本 金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息),則每年應(yīng)該存入約( )萬元. (參考 數(shù)據(jù)：1.02 ≈1. 149,1.02 ≈1. 172)
A.5.3 B.4.1 C.7.8 D.6
當(dāng)堂檢測
當(dāng)堂檢測
解析：設(shè)每年應(yīng)該存入x 萬元，
測2021年初存入的錢到2027年底本利和為x(1+2%),
2022年初存入的錢到2027年底本利和為x(1+2%) ,
i.. · ,
2027年存入的錢到2027年底本利和為x(1+2%),
測 x(1+2%)+x(1+2%) +…+x(1+2%)=40,
即 解得：x≈5.3.
故選：A.
3.北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中記載了“隙積術(shù)”,提出長方臺形垛積的一般求和公式.如圖，
由大小相同的小球堆成的一個(gè)長方臺形垛積的第一層有ab 個(gè)小球，第二層有(a+1)(b+1) 個(gè)小 球，第三層有(a+2)(b+2) 個(gè)小球……依此類推，最底層有cd 個(gè)小球，共有 n 層，由“隙積術(shù)”可得
這些小球的總個(gè)數(shù)為 若由小球堆成的某個(gè)長方臺形垛積共8
層，小球總個(gè)數(shù)為240,則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
當(dāng)堂檢測
解析：由題意知， n=8, 于是得最底層小球的數(shù)量為cd=(a+7)b+7), 即 c=a+7,d=b+7
從而有
整理得(2b+b+7)a+(2b+14+b)(a+7)+7=180,
(3b+7)a+(3b+14)(a+7)=173,
3ab+7a+3ab+14a+21b+98=173,
6ab+2la+21b=75,2ab+7a+7b=25,
由于a,b 皆為正整數(shù)，所以
當(dāng)堂檢測
當(dāng)堂檢測
解析：由于a,b 皆為正整數(shù)，所以
(i) 當(dāng)a=1,b=1 時(shí)，2 ·1 · 1+7 · 1+7 · 1=16<25,
當(dāng)a=1,b=2 時(shí)，2.1 ·2+7 · 1+7 ·2=25,
(iii) 當(dāng)a=1,b=3 時(shí)，2.1.3+7 · 1+7 · 3=34>25,
(iv) 當(dāng)a=2,b=2 時(shí)，2.2 ·2+7 ·2+7 ·2=36>25
只有a=1,b=2 符合題意，即ab 的值為2.
故選：B.
4.某企業(yè)2021年年初有資金500萬元，資金年平均增長率可達(dá)到20%.每年年底扣除下一年必需的消
費(fèi)資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)，為了實(shí)現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資金達(dá)到800萬元的目標(biāo)，每 年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金至 多為59萬元. (結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1.2 ≈2.07,1.2 ≈2.49)
解析：設(shè)每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金為x 萬元，設(shè)n 年后投入的再生產(chǎn)資金為a,
測1年后投入再生產(chǎn)的資金a 為：500×(1+20%)-x,
2年后投入再生產(chǎn)的資金a =a×(1+20%)-x=500×(1+20%) -(1+20%)x-x,
….5年后投入再生產(chǎn)的資金
a =500×(1+20%) -(1+20%) x-(1+20%) x-(1+20%) x-(1+20%)x-x,
∵a ….800,∴ ,1.2 ×500-800→x≤59.7, 取整數(shù)為59.
當(dāng)堂檢測
金為600萬元，當(dāng)年要再投入年初平臺上的資金的30%作為運(yùn)營資金，每年年底扣除當(dāng)年的運(yùn)營成本
a 萬元(假設(shè)每年的運(yùn)營成本相同),將剩余資金繼續(xù)投入直播平臺，要使在第4年年底扣除運(yùn)營成 本后資金不低于1500萬元，則每年的運(yùn)營成本應(yīng)不高于34.53 萬元. (結(jié)果精確到0.01萬元，參
解析：記a, 為第 n 年年底扣除運(yùn)營成本后直播平臺的資金，由題意知a+=1.3a-a,
所 以a =600×1.3-a,a =(600×1.3-a)×1.3-a=600×1.3 -1.3a-a
a =(600×1.3 -1.3a-a)×1.3-a=600×1.3 -1.3 a-1.3a-a
當(dāng)堂檢測
5.近年來，直播帶貨成為一種新的營銷模式，成為電商行業(yè)的新增長點(diǎn)某直播平臺第一年初的啟動(dòng)資
….1500,解得a,,34.53
以此類推，
所 以
當(dāng)堂檢測
6.某公司的一個(gè)下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該下屬企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其
全部投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金的年增長率與第一年的相同.公司要求
該下屬企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金 d 萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第 n 年 年底該下屬企業(yè)上繳資金后的剩余資金為a,萬元.
(1)用d 表示a ,a , 并寫出a+1與an的關(guān)系式；
解析：(1)由題意得a =2000×(1+50%)-d=3000-d,
(2)若公司希望經(jīng)過 m(m…2) 年使該下屬企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定該下屬企業(yè)
每年上繳資金d 的值(用含m 的式子表示) .
整理得 ·(3000-3d)+2d.
當(dāng)堂檢測
解析：(2)由(1)得
油題意知am=4000,
所以
( 2 ) 若 公 司 希 望 經(jīng) 過 m(m…2) 年使該下屬企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定該下屬企業(yè)
每 年 上 繳 資 金 d 的 值 ( 用 含m 的 式 子 表 示 ) .
故若希望經(jīng)過m(m…2) 年使該下屬企業(yè)的剩余資金為4000萬元，則該下屬企業(yè)每年上繳資金
解析： 所 以
當(dāng)堂檢測
萬元 .
d 為

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