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(共27張PPT)
第八章 立體幾何初 步
8.4 空間點、直線、平面之間的位置關系
8.4.1 平面
【問題引入】前面我們學習了基本幾何體，學習了它們的結構特征、平面
表示、面積和體積的計算等 .
在學習棱柱、棱錐、棱臺等多面體的過程中，我們知道頂點、棱、平面多
邊形等是構成這些多面體的基本元素，這些元素之間的相互關系，反映了
這些多面體的結構特征.
實際上，立體圖形都是由點、直線、平面等基本元素
組成的，要研究立體圖形的結 構 特 征，就要研究這些 基本元素之間的位置關系 .
我們先從認識點、直線、平面這些基本元素開始.
體
面
線
問題1 在初中，我們已經對點和直線有了一定的認識，知道它們都是由現
實事物抽象得到的.
點、直線、圓
請你類比 “直線的抽象過程”,嘗試給出幾何里所說的“平面(plane)”的
抽象過程.
幾何圖形
空間幾何體
概念、表示、性
質、應用等
現實物體
抽象
1.概念：幾何中所說的“平面”,是從課桌面、黑板面、平靜的水面等，
這樣的一些物體中抽象出來的.類似于直線向兩端無限延伸，幾何中的平 面是向四周_無限延展 的 .
平面的特征 ①平 ② 無厚薄 ③無限延展的
新課講授
生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海平面都給我 們以平面的形象。
一 、平面的概念及表示方法
平面的表示
問題2 我們是如何表示直線的 與之類比，你認為如何表示一個平面
我們不可能把一條直線全部畫出來，而是畫出直線的一部分來表示直線；
(1)表示：我們可以畫出平面的一部分來表示平面. D
我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面. A
當平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；
當平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向.
( 2 ) 記 法：我們常用希臘文字α、β、γ等表示平面.
如平面α,平面β等，并將它們寫在代表平面的平行四邊形的一個內角內；
也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母表示；
如圖：也可以表示為平面ABCD, 平面AC或平面BD;
2.畫法：類比用直線的一部分(線段)表示直線，可以用平面的一部 分表示平面，用平行四邊形表示平面。
D C · 平行四邊形的銳角通常畫成450
· 且橫邊長等于其鄰邊長的2倍
a
B
3.記 法 ：
①平 面α、平面β、平面y ( 標記在角上)
β ② 平面ABCD 、平 面AC 或 平面BD
a
立體幾何畫圖或作輔助線的原則 —看得見的畫成實線，看不見的畫成虛線
豎直
A
【練習】判斷下列各題的說法正確與否
1.一個平面長4米，寬2米； ( × )
2.平面上一條直線可以把這個平面分成兩部分； ( √ ) 3.10個平面疊在一起要比一個平面厚； ( × )
4.菱形的面積可以等于4cm ; ( √ )
5.一個平面可以把空間分成兩部分. ( √ )
你可以用集合語言表述 點、直線、平面之間的 關系嗎
點的集合 點的集合
直線與平面是包含關系
4.點動成線，線動成面，面動成體.
元素
序號 類別 文字語言 圖形語言 符號語言
備注
1 點與直線
2
3 點與平面
4
5 線與線
6
7 線與面
8
點、直線、平面之間位置關系表示
問題3 直線上有無數個點，平面內有無數個點，直線、平面都可以看出是點的集合，平 面也可以看作是直線的集合.
接下來我們通過元素與集合、集合與集合之間的關系，分別用文字語言、符號語言、圖
點
直線 平面
形語言來描述，點A, 直線l, 直線m 、平面α的位置關系.
文字語言
A 在l 上
A 在1外
A 在α內
符號語言
A∈l
A∈l
AEα
圖形語言
A
A
A
2
3
1
α
l
L
l,m 相交于A
l 在α內
l 不在α內
ln m=A
lcα
ltα
圖形語言
Ao
α
文字語言
A 在α外
符號語言
A∈α
L
l
α
α
l
α
④
5
6
7
A m
l
例 1 、(1)如圖所示，用符號語言表示以下各概念：
①點 A,B 在直線a 上：
②直線α在平面α內： ;
③點 D 在直線b 上，點C 在平面α內：
線AB 上”的符號語言
變式：根據圖，填入相應的符號： A 平面ABC, A 平面BCD,BD 平面ABC, 平面ABCN平 面ACD= ;
C
(2)書寫“點A,B 在平面α內，直線a與平面α交于點C, 點C 不在直
● B
α ●A
問題1 兩點可以確定一條直線，那么幾點可以確定一個平面呢
要使一輛自行車停放在光滑的地面上，需要幾個支撐點
點與平面
基本事實1: 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。
簡單說成：不共線的三點確定一個平面
符號語言 A,B,C 不共線
→ 存在唯一的平面α,使A,B,C∈a
圖形語言
A●
A,B,C 三點確 定的平面，可以 記成平面ABC
B
C●
思 考 ：
1.經過一點、兩點可以有多少個平面 無數個
2.經過三點確定一個平面 錯誤，不在一條直線上的三點
3.經過同一條直線上的三點可以有多少個平面 無數個
4.任給不在同一直線上的四個點，不一定有一個平面同時經過這四個點
正確，不共線
的四點可以確 定一個或四個 平面
問題 如果直線l與平面α有一個公共點P,直線l是否在平面α內 如果直
線1與平面α有兩個公共點呢
基本事實2: 如果一條直線的兩 點在一個平面內，
那么這條直線在此平面內.
圖形語言
符號語言 A∈l,b∈l, 且 A∈α,B∈α →lcα
作 用：用于判定直線是否在面內
直線與平面
問題3 如下圖，把三角尺的一個角立在課桌面上，三角尺所在平面與
課桌面所在平面是否只相交于一點B 為什么
如無特殊說明，
本章中的兩個平面均 指兩個不重合的平面.
平面與平面
基本事實3 : 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有
一條過該點的公共直線.
有什么作用
圖形語言
符號語言 P∈α,P∈β→ α∩β=l, 且P∈l
作 用 ： ① 判斷兩個平面相交的依據. ( 只要兩個平面有公共點，就可
以判定這兩個平面必相交于過這個點的一條直線)
②判斷點在直線上. ( 點是某兩個平面的公共點，線是這兩個 平面的公共交線，則這個點在交線上)
在畫兩個平面相交時，一定要畫出交線，如果其中一個平面的一部分被另一
個平面擋住，通常把被擋住的部分畫成虛線或不畫，這樣可使畫出的圖形立 體感更強一些，如圖.
兩相交平面的畫法
如果圖形的一部分被另一部分遮住，為了增強它的立體感，通常把遮住
部分畫成虛線 (也可以不畫) .
練習：畫兩個相交的平面.
結合圖形理解和記憶關于平面的三個基本事實
基本事實1過不在 一 條直線上的三點，有且只有 一個平面 .
基本事實2 如果 一 條直線上的兩個點在 一個平面內，那么這條直線在這個平面內 .
基本事實3 如果兩個不重合的平面有 一個公共點，那么它們有且只有 一 條過該點的公共 直線 .
問題4 基本事實1給出了確定一個平面的一種方法，利用基本事實1和基
本事實2,再結合“兩點確定一條直線”,你還能得到一些確定一個平 面的方法嗎
基本事實1: 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。
基本事實2 : 如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。
推論1.過一條直線和直線外一點有且只有一個平面。
推論2.過兩條相交直線有且只有一個平面。
推論3.過兩條平行直線有且只有一個平面。
A · a
b
a
【證明】如圖，設點A是直線a 外一點，在直線a 上任取兩點B 、C,
則由基本事實1,經過A 、B 、C三點確定一個平面α.
再由基本事實2,直線a 也在平面α內，
因此平面α經過直線a 和點A. 即一條直線和這條直線外一點確定一個平面.
利用基本事實1和2再結合“兩點確定一條直線”,可得到下面三個推論：
推論1 經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面.
平 面 的 的 基 本 性 質
【證明】如圖，設點A、B 分別是直線a、b 上異于P 的點，
則由基本事實1,經過A 、B 、P三點確定一個平面α.
再由基本事實2,直線a 和直線b也在平面α內，
因此平面α經過直線a 和直線b. 即兩條相交直線確定一個平面.
利用基本事實1和2再結合“兩點確定一條直線”,可得到下面三個推論：
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面.
平面的的基本性質
【證明】因為當兩條直線在同一個平面內，且不相交時叫做平行線，
所以兩條平行直線a和b必在某個平面α內，
就是說過兩條平行直線有一個平面.
如果過a 和b還有一個平面β,
那么在a 上的任意一點A一定在β內這樣過點A和直線b 有兩個平面α和β,
這和推論1矛盾，所以過平行直線a和b的平面只有一個.即兩平行線確定一個平面.
利用基本事實1和2再結合“兩點確定一條直線”,可得到下面三個推論：
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面.
平面的的基本性質
基本事實1過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面. ( 不共線三點確定一個平面)
基本事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.
基本事實2用符號表示為 A∈l,B∈1, 且 A∈a,B∈a→lca.
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
基本事實3用符號表示為 P∈a, 且 P∈β→ αNβ=l, 且P∈1.
基本事實1和2的三個推論： 有什么作用
推論1經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面.
或者： 一條直線和直線外一點確定一個平面；
推論2經過兩條相交直線，有且只有一個平面.
或者：兩條相交直線確定一個平面；
推論3經過兩條平行直線，有且只有一個平面.
或者：兩條平行直線確定一個平面；
要點概括整合
平面的概念
平面的畫法
和表示
平面
平面的基本事實
推論
平面的概念
及其表示
平面的基本
性質

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