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7.2.1　復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義
第七章　復(fù)數(shù)
7.2　復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
整體感知
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．熟練掌握復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算法則．
2．理解復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題．
[討論交流]　預(yù)習(xí)教材P75－P77的內(nèi)容，思考以下問題：
問題1．復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算法則是什么？運(yùn)算律有哪些？
問題2．復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義是什么？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真預(yù)習(xí)，結(jié)合你對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究建構(gòu)
探究1　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則
探究問題1　類比向量坐標(biāo)的加、減運(yùn)算，若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，你能得到復(fù)數(shù) z1±z2嗎？
[新知生成]
1．設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，則
(1)z1＋z2＝_______________；
(2)z1－z2＝_______________．
2．對任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝________；
(2)(z1＋z2)＋z3＝_____________．
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
【鏈接·教材例題】
例1　計(jì)算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．
[解]　(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)
＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i
＝－11i．
[解]　(1)原式＝(2＋1－5)＋(－3－2＋4)i＝－2－i．
反思領(lǐng)悟　復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的解題思路
兩個復(fù)數(shù)相加(減)，就是把兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相加(減)，虛部相加(減)．復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算．當(dāng)多個復(fù)數(shù)相加(減)時(shí)，可將這些復(fù)數(shù)的所有實(shí)部相加(減)，所有虛部相加(減)．
[學(xué)以致用]　1．復(fù)數(shù)(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)對應(yīng)的點(diǎn)在(　　)
A．第一象限　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A　[復(fù)數(shù)(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其對應(yīng)的點(diǎn)為(9，1)，在第一象限．]
√
探究2　復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義
探究問題2　我們知道，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對應(yīng)，復(fù)數(shù)加法的坐標(biāo)運(yùn)算法則是什么？復(fù)數(shù)加法的幾何意義是什么？
因此，復(fù)數(shù)的加法(減法)可以按照向量的加法
(減法)來進(jìn)行，這就是復(fù)數(shù)加法(減法)的幾何意義．
z1＋z2
z1－z2
【鏈接·教材例題】
例2　根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之間的距離．

反思領(lǐng)悟　利用復(fù)數(shù)的幾何意義解題的常用技巧
(1)形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)，幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行解題．
(2)數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對于一些復(fù)數(shù)運(yùn)算給予幾何解釋，將復(fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何之中．
[學(xué)以致用]　2．復(fù)數(shù)z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它們在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)是一個正方形的三個頂點(diǎn)，求這個正方形的第四個頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)．
√
(1)A　[如圖，設(shè)復(fù)數(shù)－i，i，－1－i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，Z3，因?yàn)閨z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以點(diǎn)Z的集合為線段Z1Z2．
問題轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)Z在線段Z1Z2上移動，則求|ZZ3|的
最小值．因?yàn)閨Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1．]
反思領(lǐng)悟　兩個復(fù)數(shù)差的模的幾何意義
(1)|z－z0|表示復(fù)數(shù)z，z0對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，在應(yīng)用時(shí)，要把絕對值符號內(nèi)變?yōu)閮蓮?fù)數(shù)差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0對應(yīng)的點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓．
(3)涉及復(fù)數(shù)模的最值問題以及點(diǎn)的集合所表示的圖形問題，均可從兩點(diǎn)間距離公式的復(fù)數(shù)表達(dá)形式入手進(jìn)行分析判斷，然后通過幾何方法進(jìn)行求解．
[學(xué)以致用]　3．已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值．
【教用·備選題】　(1)若|z－1|＝|z＋1|，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在(　　)
A．實(shí)軸上 B．虛軸上
C．第一象限 D．第二象限
(2)設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，則|z＋1|的取值范圍是__________．
(1)B　(2)[0，3]　[(1)∵|z－1|＝|z＋1|，
∴點(diǎn)Z到(1，0)和(－1，0)的距離相等，即點(diǎn)Z在以(1，0)和(－1，0)為端點(diǎn)的線段的中垂線上，即在虛軸上．
√
[0，3]
(2)由復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義可知，1≤|z|≤2表示如圖所示的圓環(huán)，而|z＋1|表示復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)A(a，b)與復(fù)數(shù)z1＝－1的對應(yīng)點(diǎn)B(－1，0)之間的距離，即圓環(huán)內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)B的距離d．由圖易知當(dāng)A與B重合時(shí)，dmin＝0，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C(2，0)重合時(shí)，dmax＝3，所以0≤|z＋1|≤3．]
2
4
3
題號
1
應(yīng)用遷移
1．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2＝(　　)
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
√
B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]
2
3
題號
1
4
2．設(shè)z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，則z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于
(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
D　[∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
∴z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．]
2
3
題號
4
1
√
2
4
3
題號
1
6
1．知識鏈：(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則．
(2)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義．
(3)復(fù)數(shù)模的綜合問題．
2．方法鏈：類比、數(shù)形結(jié)合．
3．警示牌：注意不要忽略模的幾何意義．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．如何理解復(fù)數(shù)的加、減法？
[提示]　由于復(fù)數(shù)具有數(shù)與形的多重性，因此復(fù)數(shù)加、減法也應(yīng)從數(shù)與形等方面領(lǐng)會，即從代數(shù)形式上領(lǐng)會，復(fù)數(shù)加、減法類似于多項(xiàng)式合并同類項(xiàng)；從幾何形式上，復(fù)數(shù)加、減法等同于向量加、減法運(yùn)算．
2．|z－z1|＝3表示的軌跡是什么？
[提示]　當(dāng)|z－z1|＝3時(shí)，表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以z1對應(yīng)的點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓．7.2　復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
7.2.1　復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．熟練掌握復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算法則．
2．理解復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題．
[討論交流]　預(yù)習(xí)教材P75－P77的內(nèi)容，思考以下問題：
問題1．復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算法則是什么？運(yùn)算律有哪些？
問題2．復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義是什么？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真預(yù)習(xí)，結(jié)合你對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則
探究問題1　類比向量坐標(biāo)的加、減運(yùn)算，若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，你能得到復(fù)數(shù) z1±z2嗎？
[提示]　根據(jù)復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系，設(shè)z1＝a＋bi與向量＝(a，b)對應(yīng)，z2＝c＋di與向量＝(c，d)對應(yīng)，所以z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i與向量＝(a＋c，b＋d)對應(yīng)，同理，z1－z2與＝(a－c，b－d)對應(yīng)．
[新知生成]
1．設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，則
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．
2．對任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【鏈接·教材例題】
例1　計(jì)算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．
[解]　(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)
＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i
＝－11i．
[典例講評]　1．(1)計(jì)算：(2－3i)＋(－2i＋1)－(5－4i)；
(2)設(shè)z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且＝5－6i，求z1－z2．
[解]　(1)原式＝(2＋1－5)＋(－3－2＋4)i＝－2－i．
(2)因?yàn)閦1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，
所以所以
所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)
＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i．
　復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的解題思路
兩個復(fù)數(shù)相加(減)，就是把兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相加(減)，虛部相加(減)．復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算．當(dāng)多個復(fù)數(shù)相加(減)時(shí)，可將這些復(fù)數(shù)的所有實(shí)部相加(減)，所有虛部相加(減)．
[學(xué)以致用]　1．復(fù)數(shù)(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)對應(yīng)的點(diǎn)在(　　)
A．第一象限　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A　[復(fù)數(shù)(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其對應(yīng)的點(diǎn)為(9，1)，在第一象限．]
探究2　復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義
探究問題2　我們知道，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對應(yīng)，復(fù)數(shù)加法的坐標(biāo)運(yùn)算法則是什么？復(fù)數(shù)加法的幾何意義是什么？
[提示]　設(shè)＝(a，b)，＝(c，d)，則＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)．幾何意義是以為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2的對角線．
[新知生成]
如圖，設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di對應(yīng)的向量分別為，則＝(a，b)，＝(c，d)，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則向量＝(a＋c，b＋d)與復(fù)數(shù)z1＋z2對應(yīng)，向量＝(a－c，b－d)與復(fù)數(shù)z1－z2對應(yīng)．
因此，復(fù)數(shù)的加法(減法)可以按照向量的加法(減法)來進(jìn)行，這就是復(fù)數(shù)加法(減法)的幾何意義．
【鏈接·教材例題】
例2　根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之間的距離．
分析：由于復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，由復(fù)數(shù)減法的幾何意義知，復(fù)數(shù)z2－z1對應(yīng)的向量為，從而點(diǎn)Z1，Z2之間的距離為||＝|z2－z1|．
[解]　因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，所以點(diǎn)Z1，Z2之間的距離為
|Z1Z2|＝||＝|z2－z1|
＝|(x2＋y2i)－(x1＋y1i)|
＝|(x2－x1)＋(y2－y1)i|
＝．
[典例講評]　2．(1)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝＝．則|z1－z2|＝ ．
(2)如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O，A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0，3＋2i，－2＋4i，試求：
①所表示的復(fù)數(shù)，所表示的復(fù)數(shù)；
②對角線所表示的復(fù)數(shù)；
③對角線所表示的復(fù)數(shù)及的長度．
(1)　[由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2對應(yīng)的點(diǎn)是一個邊長為1的正方形的三個頂點(diǎn)，所求|－z2|是這個正方形的一條對角線長，所以|z1－z2|＝．]
(2)[解]?、伲剑?，∴所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i．
∵＝，
∴所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i．
②∵＝，
∴所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i．
③對角線＝，它所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝．
　利用復(fù)數(shù)的幾何意義解題的常用技巧
(1)形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)，幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行解題．
(2)數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對于一些復(fù)數(shù)運(yùn)算給予幾何解釋，將復(fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何之中．
[學(xué)以致用]　2．復(fù)數(shù)z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它們在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)是一個正方形的三個頂點(diǎn)，求這個正方形的第四個頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)．
[解]　設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2，z3在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，正方形的第四個頂點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x＋yi(x，y∈R)，如圖．
則＝＝(x，y)－(1，2)＝(x－1，y－2)．
＝＝(－1，－2)－(－2，1)＝(1，－3)．
∵＝，
∴解得故點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2－i．
探究3　復(fù)數(shù)模的綜合問題
[典例講評]　3．(1)如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A．1 B．
C．2 D．
(2)若復(fù)數(shù)z滿足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
(1)A　[如圖，設(shè)復(fù)數(shù)－i，i，－1－i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，Z3，因?yàn)閨z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以點(diǎn)Z的集合為線段Z1Z2．
問題轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)Z在線段Z1Z2上移動，則求|ZZ3|的最小值．因?yàn)閨Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1．]
(2)[解]　如圖所示， 設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－－i，則||＝＝2．
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1．
　兩個復(fù)數(shù)差的模的幾何意義
(1)|z－z0|表示復(fù)數(shù)z，z0對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，在應(yīng)用時(shí)，要把絕對值符號內(nèi)變?yōu)閮蓮?fù)數(shù)差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0對應(yīng)的點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓．
(3)涉及復(fù)數(shù)模的最值問題以及點(diǎn)的集合所表示的圖形問題，均可從兩點(diǎn)間距離公式的復(fù)數(shù)表達(dá)形式入手進(jìn)行分析判斷，然后通過幾何方法進(jìn)行求解．
[學(xué)以致用]　3．已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值．
[解]　因?yàn)閨z|＝1且z∈C，作圖如圖，
所以|z－2－2i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)P(2，2)的距離，所以|z－2－2i|的最小值為|OP|－1＝2－1．
【教用·備選題】　(1)若|z－1|＝|z＋1|，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在(　　)
A．實(shí)軸上 B．虛軸上
C．第一象限 D．第二象限
(2)設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，則|z＋1|的取值范圍是 ．
(1)B　(2)[0，3]　[(1)∵|z－1|＝|z＋1|，
∴點(diǎn)Z到(1，0)和(－1，0)的距離相等，即點(diǎn)Z在以(1，0)和(－1，0)為端點(diǎn)的線段的中垂線上，即在虛軸上．
(2)由復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義可知，1≤|z|≤2表示如圖所示的圓環(huán)，而|z＋1|表示復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)A(a，b)與復(fù)數(shù)z1＝－1的對應(yīng)點(diǎn)B(－1，0)之間的距離，即圓環(huán)內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)B的距離d．由圖易知當(dāng)A與B重合時(shí)，dmin＝0，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C(2，0)重合時(shí)，dmax＝3，所以0≤|z＋1|≤3．]
1．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2＝(　　)
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]
2．設(shè)z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，則z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D　[∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
∴z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．]
3．在平行四邊形ABCD中，若A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為(　　)
A． B．5
C．2 D．10
B　[依題意，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的長度為|－3－4i|＝5．]
4．已知復(fù)數(shù)z滿足＝1，則(i為虛數(shù)單位)的最大值為 ．
6　[設(shè)z＝a＋bi(a，b為實(shí)數(shù))，則復(fù)數(shù)z滿足＝1的幾何意義是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上的點(diǎn)，則＝表示的幾何意義是圓上的點(diǎn)到的距離，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，所求最大值為＋1＝5＋1＝6．]
1．知識鏈：(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則．
(2)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義．
(3)復(fù)數(shù)模的綜合問題．
2．方法鏈：類比、數(shù)形結(jié)合．
3．警示牌：注意不要忽略模的幾何意義．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．如何理解復(fù)數(shù)的加、減法？
[提示]　由于復(fù)數(shù)具有數(shù)與形的多重性，因此復(fù)數(shù)加、減法也應(yīng)從數(shù)與形等方面領(lǐng)會，即從代數(shù)形式上領(lǐng)會，復(fù)數(shù)加、減法類似于多項(xiàng)式合并同類項(xiàng)；從幾何形式上，復(fù)數(shù)加、減法等同于向量加、減法運(yùn)算．
2．|z－z1|＝3表示的軌跡是什么？
[提示]　當(dāng)|z－z1|＝3時(shí)，表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以z1對應(yīng)的點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓．
課時(shí)分層作業(yè)(十八)　復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義
一、選擇題
1．已知復(fù)數(shù)z1＝i，z2＝2＋i，那么z1＋z2＝(　　)
A．1＋i B．2
C．2i D．2＋2i
D　[z1＋z2＝i＋2＋i＝2＋2i．故選D．]
2．設(shè)2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，則z＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．1＋i D．1－i
C　[設(shè)z＝a＋bi，則)＝4a＋6bi＝4＋6i，所以 解得a＝b＝1，因此z＝1＋i．故選C．]
3．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在復(fù)平面內(nèi)z1＋z2所對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則a的值為(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－1
D　[ z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i．因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)z1＋z2所對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，所以1＋a＝0，所以a＝－1．]
4．已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量如圖所示，則復(fù)數(shù)z＋1所對應(yīng)的向量表示正確的是(　　)
A　　　B　　 　C　　 　　D
A　[由題圖可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，則復(fù)數(shù)z＋1所對應(yīng)的向量的坐標(biāo)為(－1，1)．故選A．]
5．(多選)表示(　　)
A．點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離
B．點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離
C．點(diǎn)到原點(diǎn)的距離
D．坐標(biāo)為的向量的模
ACD　[由復(fù)數(shù)的幾何意義，知復(fù)數(shù)3＋2i，1＋i分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示點(diǎn)(3，2)與點(diǎn)(1，1)之間的距離，故A說法正確，B說法錯誤；|(3＋2i)－(1＋i)|＝|2＋i|，|2＋i|可表示點(diǎn)(2，1)到原點(diǎn)的距離，故C說法正確；|(3＋2i)－(1＋i)|＝|(1＋i)－(3＋2i)|＝|－2－i|，|－2－i|可表示點(diǎn)(－2，－1)到原點(diǎn)的距離，即坐標(biāo)為(－2，－1)的向量的模，故D說法正確．故選ACD．]
二、填空題
6．已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y為實(shí)數(shù)，若z1－z2＝5－3i，則|z1＋z2|＝ ．
　[z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以解得
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，則z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝．]
7．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)－3－i與5＋i對應(yīng)的向量分別是與，其中O是原點(diǎn)，則向量＝ ，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 ，A，B兩點(diǎn)間的距離為 ．
(2，0)　－8－2i　2　[∵向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－3－i)＋(5＋i)＝2，∴＝(2，0)．
∵＝，
∴向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i．
∴A，B兩點(diǎn)間的距離為|－8－2i|＝＝2．]
8．已知|z|＝4，且z＋2i是實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z＝ ．
±2－2i　[因?yàn)閦＋2i是實(shí)數(shù)，所以可設(shè)z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，
所以a2＝12，所以a＝±2，
所以z＝±2－2i．]
三、解答題
9．計(jì)算：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)－7i－；
(4)－＋；
(5)[(a－b)＋(a＋b)i]－[(a＋b)＋(a－b)i]．
[解]　(1)＋＝5－3＋4i－3i＝2＋i．
(2)＋＋
＝i－i＋i＝i．
(3)－7i－＝3－2＋2i－7i＋3i＝1－2i．
(4)－＋
＝0.5－1.2＋1＋1.3i－0.7i－0.4i＝0.3＋0.2i．
(5)－
＝－＋i－i＝－2b＋2bi．
10．△ABC的三個頂點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，復(fù)數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應(yīng)的點(diǎn)P是△ABC的(　　)
A．外心 B．內(nèi)心
C．重心 D．垂心
A　[由復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)減法運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合條件可知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)P到△ABC的頂點(diǎn)A，B，C的距離相等，∴P為△ABC的外心．]
11．復(fù)數(shù)z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，則|z1－z2|的最大值為(　　)
A．3－2 －1
C．3＋2 ＋1
D　[|z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i|
＝
＝
＝．
∵－1≤cos ≤1，
∴|z1－z2|max＝＝＋1．]
12．若復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)滿足|z－2i|＝|z|，寫出一個滿足條件的復(fù)數(shù)z＝ ．
1＋i(答案不唯一)　[因?yàn)閦＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i．由|z－2i|＝|z|知， ＝，化簡得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可為任意實(shí)數(shù))均滿足題意，可取z＝1＋i．]
13．在①z1＋z2＝＋i；②z1＋z2＝i；③z1＋z2＝1＋i這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題．
設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足＝＝1．
(1)若 ，求z1，z2；
(2)若＝1，求．
[解]　(1)選①z1＋z2＝＋i，＝＝1．
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
所以
解得z1＝－＋i，z2＝1或z1＝1，z2＝－＋i．
選②z1＋z2＝i，＝＝1．
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
所以 解得z1＝－＋i，z2＝＋i，或z1＝＋i，z2＝－＋i．
選③z1＋z2＝1＋i，＝＝1．
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
所以
解得z1＝＋i，z2＝＋i．
(2)若＝1，＝＝1，不妨設(shè)z1＝1，z2＝c＋di(c，d∈R)，所以
解得z2＝－±i，|z1－z2|＝＝＝．
14．已知在復(fù)平面內(nèi)有一平行四邊形ABCD，點(diǎn)A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)C，D對應(yīng)的復(fù)數(shù)；
(2)求 ABCD的面積．
[解]　(1)因?yàn)橄蛄繉?yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，＝，
所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3－i)－(1＋2i)＝2－3i．
又＝，
所以點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i．
因?yàn)椋?，所以向量對?yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，
因?yàn)椋剑裕剑?br/>所以點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i＋3－i＝5．
(2)因?yàn)椋?1，2)，＝(3，－1)，·＝||||cos B，
所以cos B＝＝＝＝，
所以sin B＝．
所以S ABCD＝||||sin B＝×＝7，故 ABCD的面積為7.
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