資源簡介

7.1　復數的概念
7.1.1　數系的擴充和復數的概念
[學習目標]　1．了解引進虛數單位i的必要性，了解數系的擴充過程．
2．理解在數系的擴充中由實數集擴展到復數集出現的一些基本概念．
3．掌握復數的表示方法，理解復數相等的充要條件．
[討論交流]　預習教材P68－P70的內容，思考以下問題：
問題1．為什么要引入復數？
問題2．復數是如何定義的？其表示方法又是什么？復數分為哪兩大類？
問題3．復數相等的充要條件是什么？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　復數的有關概念
探究問題1　我們知道，方程x2＋1＝0在實數集中無解，類比從自然數集到實數集的擴充過程，思考能否引入一種“新數”使得x2＝－1有解？
[提示]　為了解決x2＋1＝0這樣的方程在實數系中無解的問題，我們設想引入一個新數i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1．
探究問題2　引入新數“i”后，新的數系該怎樣表示？
[提示]　a＋bi(a，b∈R)．
[新知生成]
1．定義：我們把形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，滿足i2＝－1．
2．表示方法：復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部．
3．復數集
(1)定義：全體復數構成的集合叫做復數集．
(2)表示：通常用大寫字母C表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R}．
【教用·微提醒】　(1)i2＝－1．
(2)i和實數之間能進行加法、乘法運算．
(3)a，b∈R．
[典例講評]　1．(源自湘教版教材)求以下復數的實部和虛部：
(1)1－i；(2)3＋2；(3)－i．
[解]　(1)1－i＝1＋(－1)i，實部為1，虛部為－1．
(2)3＋2＝(3＋2)＋0i，實部為3＋2，虛部為0．
(3)－i＝0＋(－1)i，實部為0，虛部為－1．
　在復數a＋bi(a，b∈R)中，實數a和b分別叫做復數的實部和虛部．特別注意，b為復數的虛部而不是虛部的系數，b連同它的符號叫做復數的虛部．
[學以致用]　1．(1)若復數z滿足z＝6i＋2i2，則z的虛部是(　　)
A．－2i　　　B．6i　　　C．1　　　D．6
(2)若復數z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的實部與虛部相等，則a＝ ．
(1)D　(2)4　[(1)z＝6i＋2i2＝－2＋6i，則z的虛部是6，故選D．
(2)由題意知，2a－1＝3＋a，解得a＝4．]
探究2　復數的分類
[新知生成]
1．復數z＝a＋bi(a，b∈R)
2．復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系
【鏈接·教材例題】
例1　當實數m取什么值時，復數z＝m＋1＋(m－1)i是下列數？
(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數．
分析：因為m∈R，所以m＋1，m－1都是實數．由復數z＝a＋bi(a，b∈R)是實數、虛數和純虛數的條件可以確定m的取值．
[解]　(1)當m－1＝0，即m＝1時，復數z是實數．
(2)當m－1≠0，即m≠1時，復數z是虛數．
(3)當m＋1＝0，且m－1≠0，即m＝－1時，復數z是純虛數．
[典例講評]　2．(源自湘教版教材)當m為何實數時，復數z＝m2＋m－2＋(m2－1)i分別是：
(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數；(4)0
[解]　(1)當m2－1＝0，即m＝±1時，復數z是實數．
(2)當m2－1≠0，即m≠±1時，復數z是虛數．
(3)當m2＋m－2＝0且m2－1≠0，即m＝－2時，復數z是純虛數．
(4)當m2＋m－2＝0且m2－1＝0，即m＝1時，復數z＝0．
　復數分類問題的求解方法與步驟
(1)化標準式：解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
(2)定條件：復數的分類問題可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為a＋bi(a，b∈R)的形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)即可．
(3)下結論：設所給復數為z＝a＋bi(a，b∈R)，則：
①z為實數 b＝0；
②z為虛數 b≠0；
③z為純虛數 a＝0且b≠0．
[學以致用]　2．已知m∈R，復數z＝＋(m2＋2m－3)i，當m為何值時，復數z滿足下列條件？
(1)z為實數；
(2)z為虛數；
(3)z為純虛數．
[解]　(1)要使z為實數，m需滿足m2＋2m－3＝0，且有意義，即m－1≠0，解得m＝－3．
(2)要使z為虛數，m需滿足m2＋2m－3≠0，且有意義，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3．
(3)要使z為純虛數，m需滿足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2．
探究3　復數相等的充要條件
[新知生成]
設a，b，c，d都是實數，則a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d．特別地，a＋bi＝0 a＝b＝0．
[典例講評]　3．(源自人教B版教材)分別求滿足下列關系的實數x與y的值．
(1)(x＋2y)－i＝6x＋(x－y)i；
(2)(x＋y＋1)－(x－y＋2)i＝0．
[解]　(1)根據復數相等的定義，得
解這個方程組，得x＝，y＝．
(2)由復數等于0的充要條件，得
解這個方程組，得x＝－，y＝．
　復數相等問題的解題技巧
(1)必須是復數的a＋bi(a，b∈R)的形式才可以根據實部與實部相等，虛部與虛部相等列方程組求解．
(2)根據復數相等的條件，將復數問題轉化為實數問題，為應用方程思想提供了條件，同時這也是復數問題實數化思想的體現．
(3)如果兩個復數都是實數，可以比較大小，否則是不能比較大小的．
[學以致用]　3．若關于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有實數根，求實數a的值．
[解]　設方程的實數根為x＝m，
則原方程可變為3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
所以
解得或
所以a的值為11或－．
1．復數z＝2－3i(i為虛數單位)的虛部為(　　)
A．2 B．3
C．－3 D．－3i
C　[根據虛部的概念易知虛部為－3，故選C．]
2．若復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數，則實數m的值為(　　)
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
D　[因為復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2．]
3．已知x，y∈R，i為虛數單位，且(x－2)＋yi＝－1＋i，則x＋y＝ ．
2　[∵(x－2)＋yi＝－1＋i，∴
∴∴x＋y＝2．]
4．在下列數中，屬于虛數的是 ，屬于純虛數的是 ．
0，1＋i，πi，＋2i，i，i．
1＋i，πi，＋2i，i，i　πi，i　[根據虛數的概念知：1＋i，πi，＋2i，i，i都是虛數．
由純虛數的概念知：πi，i都是純虛數．]
1．知識鏈：(1)數系的擴充．
(2)復數的概念．
(3)復數的分類．
(4)復數相等的充要條件．
2．方法鏈：方程思想．
3．警示牌：注意將復數化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．當a，b滿足什么條件時，復數z＝a＋bi(a，b∈R)是實數、虛數、純虛數？
[提示]　當b＝0時，a＋bi是實數；當b≠0時，a＋bi是虛數；當a＝0，b≠0時，a＋bi是純虛數．
2．兩個實數能比較大小，那么兩個復數能比較大小嗎？
[提示]　當兩個復數都是實數時，可以比較大小，當兩個復數不全是實數時，不能比較大小．
3．若復數z＝a＋bi>0，則實數a，b滿足什么條件？
[提示]　若復數z＝a＋bi>0，則實數a，b滿足a>0，且b＝0．
課時分層作業(十六)　數系的擴充和復數的概念
一、選擇題
1．在2＋，i，8＋5i，(1－)i，0.618這幾個數中，純虛數的個數為(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
C　[i，(1－)i是純虛數，2＋，0.618是實數，8＋5i是虛數．故純虛數的個數為2．]
2．若a，b∈R，i是虛數單位，a＋2 024i＝2－bi，則a2＋bi＝(　　)
A．2 024＋2i B．2 024＋4i
C．2＋2 024i D．4－2 024i
D　[因為a＋2 024i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2 024，即a＝2，b＝－2 024，所以a2＋bi＝4－2 024i．故選D．]
3．“復數a＋bi(a，b∈R)為純虛數”是“a＝0”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
A　[因為復數a＋bi(a，b∈R)為純虛數，所以a＝0，但是當a＝0時，只有當b≠0時，復數a＋bi才是純虛數，所以“復數a＋bi(a，b∈R)為純虛數”是“a＝0”的充分不必要條件．故選A．]
4．以－3＋i的虛部為實部，以3i＋i2的實部為虛部的復數是(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
A　[－3＋i的虛部為1，3i＋i2＝－1＋3i的實部為－1，故所求復數為1－i．故選A．]
5．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．純虛數的平方不小于0
B．i是一個無理數
C．1－ai(a∈R)是一個復數
D．復數a＋i與b＋3i(a，b∈R)不可能相等
CD　[純虛數的平方，如i2＝－1＜0，故A錯；∈R，故i是純虛數，故B錯；C正確；D中兩個復數的虛部不相等，故兩個復數不可能相等，D正確，故選CD．]
二、填空題
6．若實數x，y滿足x＋y＋(x－y)i＝2，則xy＝ ．
1　[由題意得 所以x＝y＝1，所以xy＝1．]
7．若復數z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，則實數m的值等于 ．
－3　[因為z＜0，所以 解得m＝－3．]
8．下列命題：
①若a∈R，則(a＋1)i是純虛數；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是純虛數，則x＝±1；
③兩個虛數不能比較大小．
其中正確命題的序號是 ．
③　[當a＝－1時，(a＋1)i＝0，故①錯誤；兩個虛數不能比較大小，故③對；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數，則即x＝1，故②錯．]
三、解答題
9．當實數m取什么值時，復數z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－8)i是下列數？
(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數；(4)0．
[解]　由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，
由m2－2m－8＝0，得m＝4或m＝－2．
(1)當m2－2m－8＝0時，復數z為實數，
∴m＝4或m＝－2．
(2)當m2－2m－8≠0時，復數z為虛數，
∴m≠4且m≠－2．
(3)當時，復數z是純虛數，
∴m＝－3．
(4)當時，復數z＝0，∴m＝－2．
10．給出下列說法：①復數2＋3i的虛部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的數一定是虛數；③若a∈R，a≠0，則(a＋3)i是純虛數；④若兩個復數能夠比較大小，則它們都是實數．其中錯誤說法的個數是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C　[復數2＋3i的虛部是3，①錯；形如a＋bi(b∈R)的數不一定是虛數，②錯；只有當a∈R，a＋3≠0時，(a＋3)i是純虛數，③錯；若兩個復數能夠比較大小，則它們都是實數，故④正確，所以有3個錯誤．]
11．已知關于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有實數根n，且z＝m＋ni，則復數z＝(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
B　[由題意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，n∈R，即解得∴z＝3－i．]
12．已知復數z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的實部大于虛部，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B　[由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，實數a的取值范圍是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故選B．]
13．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數a，b，組成復數a＋bi，其中虛數有 個．
36　[從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數a，b，組成復數a＋bi，當a＝0時，對應的b有6個值；當a取1，2，3，4，5，6時，對應的b只有5個值．所以虛數有6＋6×5＝36(個)．]
14．若復數z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m－2＋(m2－5m)i，m為實數，且z1＞z2，求實數m的值．
[解]　∵z1＞z2，∴ 解得m＝0．
15．已知復數z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虛數單位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1為純虛數，求實數m的值；
(2)若z1＝z2，求實數λ的取值范圍．
[解]　(1)∵z1為純虛數，
∴解得m＝－2．
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sin θ－1)2＋2．
∵－1≤sin θ≤1，∴當sin θ＝1時，λmin＝2，
當sin θ＝－1時，λmax＝6，∴實數λ的取值范圍是[2，6]．
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7.1.1　數系的擴充和復數的概念
第七章　復數
7.1　復數的概念
整體感知
[學習目標]　1．了解引進虛數單位i的必要性，了解數系的擴充過程．
2．理解在數系的擴充中由實數集擴展到復數集出現的一些基本概念．
3．掌握復數的表示方法，理解復數相等的充要條件．
[討論交流]　預習教材P68－P70的內容，思考以下問題：
問題1．為什么要引入復數？
問題2．復數是如何定義的？其表示方法又是什么？復數分為哪兩大類？
問題3．復數相等的充要條件是什么？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　復數的有關概念
探究問題1　我們知道，方程x2＋1＝0在實數集中無解，類比從自然數集到實數集的擴充過程，思考能否引入一種“新數”使得x2＝－1有解？
[提示]　為了解決x2＋1＝0這樣的方程在實數系中無解的問題，我們設想引入一個新數i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1．
探究問題2　引入新數“i”后，新的數系該怎樣表示？
[提示]　a＋bi(a，b∈R)．
[新知生成]
1．定義：我們把形如_______________的數叫做復數，其中i叫做________，滿足i2＝___．
2．表示方法：復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復數z的____，b叫做復數z的____．
a＋bi(a，b∈R)
虛數單位
－1
實部
虛部
3．復數集
(1)定義：全體復數構成的集合叫做______．
(2)表示：通常用大寫字母__表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R}．
復數集
C
【教用·微提醒】　(1)i2＝－1．
(2)i和實數之間能進行加法、乘法運算．
(3)a，b∈R．
反思領悟　在復數a＋bi(a，b∈R)中，實數a和b分別叫做復數的實部和虛部．特別注意，b為復數的虛部而不是虛部的系數，b連同它的符號叫做復數的虛部．
[學以致用]　1．(1)若復數z滿足z＝6i＋2i2，則z的虛部是(　　)
A．－2i　　　B．6i　　　C．1　　　D．6
(2)若復數z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的實部與虛部相等，則a＝_____．
(1)D　(2)4　[(1)z＝6i＋2i2＝－2＋6i，則z的虛部是6，故選D．
(2)由題意知，2a－1＝3＋a，解得a＝4．]
√
4



【鏈接·教材例題】
例1　當實數m取什么值時，復數z＝m＋1＋(m－1)i是下列數？
(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數．
分析：因為m∈R，所以m＋1，m－1都是實數．由復數z＝a＋bi(a，b∈R)是實數、虛數和純虛數的條件可以確定m的取值．
[解]　(1)當m－1＝0，即m＝1時，復數z是實數．
(2)當m－1≠0，即m≠1時，復數z是虛數．
(3)當m＋1＝0，且m－1≠0，即m＝－1時，復數z是純虛數．
[典例講評]　2．(源自湘教版教材)當m為何實數時，復數z＝m2＋m－2＋(m2－1)i分別是：
(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數；(4)0
[解]　(1)當m2－1＝0，即m＝±1時，復數z是實數．
(2)當m2－1≠0，即m≠±1時，復數z是虛數．
(3)當m2＋m－2＝0且m2－1≠0，即m＝－2時，復數z是純虛數．
(4)當m2＋m－2＝0且m2－1＝0，即m＝1時，復數z＝0．
反思領悟　復數分類問題的求解方法與步驟
(1)化標準式：解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
(2)定條件：復數的分類問題可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為a＋bi(a，b∈R)的形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)即可．
(3)下結論：設所給復數為z＝a＋bi(a，b∈R)，則：
①z為實數 b＝0；
②z為虛數 b≠0；
③z為純虛數 a＝0且b≠0．
探究3　復數相等的充要條件
[新知生成]
設a，b，c，d都是實數，則a＋bi＝c＋di ___________．特別地，a＋bi＝0 _________．
a＝c且b＝d
a＝b＝0
[典例講評]　3．(源自人教B版教材)分別求滿足下列關系的實數x與y的值．
(1)(x＋2y)－i＝6x＋(x－y)i；
(2)(x＋y＋1)－(x－y＋2)i＝0．
反思領悟　復數相等問題的解題技巧
(1)必須是復數的a＋bi(a，b∈R)的形式才可以根據實部與實部相等，虛部與虛部相等列方程組求解．
(2)根據復數相等的條件，將復數問題轉化為實數問題，為應用方程思想提供了條件，同時這也是復數問題實數化思想的體現．
(3)如果兩個復數都是實數，可以比較大小，否則是不能比較大小的．
2
4
3
題號
1
應用遷移
1．復數z＝2－3i(i為虛數單位)的虛部為(　　)
A．2 B．3
C．－3 D．－3i
√
C　[根據虛部的概念易知虛部為－3，故選C．]
2
3
題號
1
4
2．若復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數，則實數m的值為(　　)
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
√
D　[因為復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2．]
2
3
題號
4
1
3．已知x，y∈R，i為虛數單位，且(x－2)＋yi＝－1＋i，則x＋y＝_____．
2
2
4
3
題號
1
1．知識鏈：(1)數系的擴充．
(2)復數的概念．
(3)復數的分類．
(4)復數相等的充要條件．
2．方法鏈：方程思想．
3．警示牌：注意將復數化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．當a，b滿足什么條件時，復數z＝a＋bi(a，b∈R)是實數、虛數、純虛數？
[提示]　當b＝0時，a＋bi是實數；當b≠0時，a＋bi是虛數；當a＝0，b≠0時，a＋bi是純虛數．
2．兩個實數能比較大小，那么兩個復數能比較大小嗎？
[提示]　當兩個復數都是實數時，可以比較大小，當兩個復數不全是實數時，不能比較大小．
3．若復數z＝a＋bi>0，則實數a，b滿足什么條件？
[提示]　若復數z＝a＋bi>0，則實數a，b滿足a>0，且b＝0．

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