資源簡介

(共55張PPT)
第4課時　余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例
第六章　平面向量及其
6.4　平面向量的應(yīng)用
6.4.3　余弦定理、正弦定理
整體感知
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．會用正弦定理、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中有關(guān)距離、高度、角度的測量問題．
2．培養(yǎng)提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力．
[討論交流]　預(yù)習(xí)教材P48－P51的內(nèi)容，思考以下問題：
問題1．利用正弦、余弦定理可解決哪些實際問題？
問題2．你能在實際問題中分清“仰角”“俯角”“方向角”“基線”等名詞嗎？
問題3．測量空間距離時注意哪些問題？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真預(yù)習(xí)，結(jié)合你對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究建構(gòu)
探究1　距離問題
【鏈接·教材例題】
例9　如圖6.4-12，A，B兩點都在河的對岸(不可到達(dá))，設(shè)計一種測量A，B兩點間距離的方法，并求出A，B間的距離．
分析：若測量者在A，B兩點的對岸取定一點C(稱作測量基點)，則在點C處只能測出∠ACB的大小，因而無法解決問題．為此，可以再取一點D，測出線段CD的長，以及∠ACD，∠CDB，∠BDA，這樣就可借助正弦定理和余弦定理算出距離了．
[典例講評]　1．(1)某地需要經(jīng)過一座山兩側(cè)的D，E兩點修建一條穿山隧道．工程人員先選取直線DE上的三點A，B，C，在隧道DE正上方的山頂P處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為45°，C處的俯角為30°，且測得AB＝1.4 km，BD＝0.2 km，EC＝0.5 km，則擬修建的隧道DE的長為______km．
0.7
(2)(源自人教B版教材)如圖所示，A，B是某沼澤地上不便到達(dá)的兩點，C，D是可到達(dá)的兩點．已知A，B，C，D 4點都在水平面上，而且已經(jīng)測得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，∠BDA＝15°，CD＝100 m，求AB的長．
反思領(lǐng)悟　求兩個不可到達(dá)的點之間的距離問題，一般是把問題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長問題，基本方法是：
(1)認(rèn)真理解題意，正確作出圖形，根據(jù)條件和圖形特點尋找可解的三角形．
(2)把實際問題中的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊和角，利用正弦、余弦定理求解．
[學(xué)以致用]　1．(源自湘教版教材)如圖，貨輪在海上以40 km/h的速度沿著南偏東40°的方向航行，貨輪在B點觀測燈塔A在其南偏東70°的方向上，航行半小時到達(dá)C點，此時觀測燈塔A在其北偏東65°的方向上．求C點與燈塔A的距離．
探究2　高度問題
【鏈接·教材例題】
例10　如圖6.4-14，AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點．設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度．
分析：由銳角三角函數(shù)知識可知，只要獲得一點C(點C到地面的距離可求)到建筑物的頂部A的距離CA，并測出由點C觀察A的仰角，就可以計算出建筑物的高度．為此，應(yīng)再選取一點D，構(gòu)造另一個含有CA的△ACD，并進行相關(guān)的長度和角度的測量，然后通過解三角形的方法計算出CA．
[典例講評]　2．如圖，測量河對岸的塔高AB，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C和D．現(xiàn)測得∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100 m，在點C測得塔頂A的仰角為60°．求塔高AB．
反思領(lǐng)悟　測量高度問題的解題策略
(1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．
(2)“解直角三角形”與“解非直角三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路．
[學(xué)以致用]　
2．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝____________m．
探究3　角度問題
【鏈接·教材例題】
例11　位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20 n mile的B處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知位于甲船南偏西30°，且與甲船相距7 n mile的C處的乙船．那么乙船前往營救遇險漁船時的目標(biāo)方向線(由觀測點看目標(biāo)的視線)的方向是北偏東多少度(精確到1°)？需要航行的距離是多少海里(精確到1 n mile)
分析：首先應(yīng)根據(jù)“正東方向”“南偏西30°”“目標(biāo)方向線”等信息，畫出示意圖．
反思領(lǐng)悟　測量角度問題的基本思路
測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．
[學(xué)以致用]　
3．如圖所示，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的視角∠CAD等于(　　)
A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．75°
√
【教用·備選題】　如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距6 n mile，漁船乙以5 n mile/h的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2 h追上．
(1)求漁船甲的速度；
(2)求sin α的值．
2
4
3
題號
1
應(yīng)用遷移
1．若點A在點C的北偏東30°方向上，點B在點C的南偏東60°方向上，且AC＝BC，則點A在點B的(　　)
A．北偏東15°方向上 B．北偏西15°方向上
C．北偏東10°方向上 D．北偏西10°方向上
√
2
4
3
題號
1
B　[如圖所示，∠ACB＝90°．又因為AC＝BC，所以∠CBA＝45°．
因為β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°．
所以點A在點B的北偏西15°方向上．]
2
3
題號
1
4
√
2
3
題號
1
4
2
3
題號
4
1
√
2
3
題號
4
1
2
4
3
題號
1
24
2
4
3
題號
1
2
4
3
題號
1
1．知識鏈：不可到達(dá)的距離、高度、角度等實際問題的測量方案．
2．方法鏈：數(shù)形結(jié)合．
3．警示牌：方位角是易錯點．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
測量距離問題有哪些類型？如何求解？
[提示]　當(dāng)AB的長度不可直接測量時，求AB的距離有以下三種類型：
類型 簡圖 計算方法
A，B間不可達(dá)也不可視
類型 簡圖 計算方法
B，C與點A可視但不可達(dá)
類型 簡圖 計算方法
C，D與點A，B均可視不可達(dá) 測得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC
的度數(shù)．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB
閱讀材料
你能證明這個公式嗎？
“三斜求積術(shù)”中的“三斜”指三角形的三條邊，而且三條邊從小到大分別稱為“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用語言敘述的相關(guān)公式，即：以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積．
第4課時　余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．會用正弦定理、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中有關(guān)距離、高度、角度的測量問題．
2．培養(yǎng)提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力．
[討論交流]　預(yù)習(xí)教材P48－P51的內(nèi)容，思考以下問題：
問題1．利用正弦、余弦定理可解決哪些實際問題？
問題2．你能在實際問題中分清“仰角”“俯角”“方向角”“基線”等名詞嗎？
問題3．測量空間距離時注意哪些問題？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真預(yù)習(xí)，結(jié)合你對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　距離問題
【鏈接·教材例題】
例9　如圖6.4-12，A，B兩點都在河的對岸(不可到達(dá))，設(shè)計一種測量A，B兩點間距離的方法，并求出A，B間的距離．
分析：若測量者在A，B兩點的對岸取定一點C(稱作測量基點)，則在點C處只能測出∠ACB的大小，因而無法解決問題．為此，可以再取一點D，測出線段CD的長，以及∠ACD，∠CDB，∠BDA，這樣就可借助正弦定理和余弦定理算出距離了．
[解]　如圖6.4-13，在A，B兩點的對岸選定兩點C，D，測得CD＝a，并且在C，D兩點分別測得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ．
在△ADC和△BDC中，由正弦定理，得
AC＝＝，
BC＝＝．
于是，在△ABC中，由余弦定理可得A，B兩點間的距離
AB＝＝
．
[典例講評]　1．(1)某地需要經(jīng)過一座山兩側(cè)的D，E兩點修建一條穿山隧道．工程人員先選取直線DE上的三點A，B，C，在隧道DE正上方的山頂P處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為45°，C處的俯角為30°，且測得AB＝1.4 km，BD＝0.2 km，EC＝0.5 km，則擬修建的隧道DE的長為 km．
(2)(源自人教B版教材)如圖所示，A，B是某沼澤地上不便到達(dá)的兩點，C，D是可到達(dá)的兩點．已知A，B，C，D 4點都在水平面上，而且已經(jīng)測得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，∠BDA＝15°，CD＝100 m，求AB的長．
(1)0.7　[由題意得∠APB＝45°－15°＝30°，∠PAB＝15°，∠PCE＝30°，∠BPC＝180°－45°－30°＝105°，在△PAB中，由正弦定理得＝，即＝，所以PB＝2.8sin 15°，
在△PBC中，由正弦定理得＝，
即＝，所以BC＝＝＝5.6sin 15°cos 15°＝2.8sin 30°＝1.4，所以DE＝BC－BD－EC＝1.4－0.2－0.5＝0.7(km)．]
(2)[解]　因為A，B，C，D 4點都在水平面上，所以∠BDC＝∠BDA＋∠CDA＝15°＋45°＝60°，
因此∠CBD＝180°－30°－60°＝90°，
所以在Rt△BCD中，BC＝100cos 30°＝50(m)．
在△ACD中，因為∠CAD＝180°－45°－30°－45°＝60°，所以由正弦定理可知＝，因此AC＝ m．
在△ABC中，由余弦定理可知
AB2＝＋(50)2－2××50cos 45°＝，從而有AB＝ m．
　求兩個不可到達(dá)的點之間的距離問題，一般是把問題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長問題，基本方法是：
(1)認(rèn)真理解題意，正確作出圖形，根據(jù)條件和圖形特點尋找可解的三角形．
(2)把實際問題中的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊和角，利用正弦、余弦定理求解．
[學(xué)以致用]　1．(源自湘教版教材)如圖，貨輪在海上以40 km/h的速度沿著南偏東40°的方向航行，貨輪在B點觀測燈塔A在其南偏東70°的方向上，航行半小時到達(dá)C點，此時觀測燈塔A在其北偏東65°的方向上．求C點與燈塔A的距離．
[解]　在△ABC中，BC＝40×＝20，
∠ABC＝70°－40°＝30°，∠ACB＝40°＋65°＝105°，
所以∠A＝180°－＝45°，
由正弦定理得
AC＝＝＝10．
因此，點C與燈塔A的距離是10 km．
探究2　高度問題
【鏈接·教材例題】
例10　如圖6.4-14，AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點．設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度．
分析：由銳角三角函數(shù)知識可知，只要獲得一點C(點C到地面的距離可求)到建筑物的頂部A的距離CA，并測出由點C觀察A的仰角，就可以計算出建筑物的高度．為此，應(yīng)再選取一點D，構(gòu)造另一個含有CA的△ACD，并進行相關(guān)的長度和角度的測量，然后通過解三角形的方法計算出CA．
[解]　如圖6.4-14，選擇一條水平基線HG，使H，G，B三點在同一條直線上．在G，H兩點用測角儀器測得A的仰角分別是α，β，CD＝a，測角儀器的高是h．那么，在△ACD中，由正弦定理，得
AC＝．
所以，這座建筑物的高度為
AB＝AE＋h＝AC sin α＋h＝＋h．
[典例講評]　2．如圖，測量河對岸的塔高AB，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C和D．現(xiàn)測得∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100 m，在點C測得塔頂A的仰角為60°．求塔高AB．
[解]　在△BCD中，因為∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100，則∠CBD＝75°，
sin 75°＝sin (45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝×＋×＝，
由正弦定理得，＝，
BC＝＝＝50(3)，
依題意，AB⊥BC，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
由tan ∠ACB＝，得AB＝50(3)tan 60°
＝50(3)×＝150()，
所以塔高AB是150()m．
　測量高度問題的解題策略
(1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．
(2)“解直角三角形”與“解非直角三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路．
[學(xué)以致用]　
2．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝ m．
100　[由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m．連接BD(圖略)，在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．]
探究3　角度問題
【鏈接·教材例題】
例11　位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20 n mile的B處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知位于甲船南偏西30°，且與甲船相距7 n mile的C處的乙船．那么乙船前往營救遇險漁船時的目標(biāo)方向線(由觀測點看目標(biāo)的視線)的方向是北偏東多少度(精確到1°)？需要航行的距離是多少海里(精確到1 n mile)
分析：首先應(yīng)根據(jù)“正東方向”“南偏西30°”“目標(biāo)方向線”等信息，畫出示意圖．
[解]　根據(jù)題意，畫出示意圖(圖6.4-15)．由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°
＝202＋72－2×20×7×＝589．
于是BC≈24 (n mile)．
由正弦定理，得＝，
于是sin C＝＝．
由于0°＜C＜90°，所以C≈46°．
因此，乙船前往營救遇險漁船時的方向約是北偏東46°＋30°＝76°，大約需要航行24 n mile．
[典例講評]　3．甲船在A點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，乙船以每小時a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時a海里，問甲船應(yīng)沿著什么方向前進，才能最快與乙船相遇？
[解]　如圖所示．設(shè)經(jīng)過t小時兩船在C點相遇，
則在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)，B＝180°－60°＝120°，
由＝，得
sin ∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船應(yīng)沿著北偏東30°的方向前進，才能最快與乙船相遇．
　測量角度問題的基本思路
測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．
[學(xué)以致用]　
3．如圖所示，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的視角∠CAD等于(　　)
A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．75°
B　[依題意可得AD＝＝20(m)，
AC＝＝30(m)，
又CD＝50 m，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos ∠CAD＝
＝＝＝，
又0°＜∠CAD＜180°，
所以∠CAD＝45°，
所以從頂端A看建筑物CD的視角為45°．]
【教用·備選題】　如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距6 n mile，漁船乙以5 n mile/h的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2 h追上．
(1)求漁船甲的速度；
(2)求sin α的值．
[解]　(1)依題意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10，∠BCA＝α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，解得BC＝14，所以漁船甲的速度為＝7 (n mile/h)．
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝．
1．若點A在點C的北偏東30°方向上，點B在點C的南偏東60°方向上，且AC＝BC，則點A在點B的(　　)
A．北偏東15°方向上 B．北偏西15°方向上
C．北偏東10°方向上 D．北偏西10°方向上
B　[如圖所示，∠ACB＝90°．又因為AC＝BC，所以∠CBA＝45°．
因為β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°．
所以點A在點B的北偏西15°方向上．]
2．如圖所示，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側(cè)，在所在的河岸邊先確定一點C，測出A，C的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以計算出A，B兩點的距離為(　　)
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
A　[∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50(m)．]
3．如圖所示，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量某地“智標(biāo)塔”高度，在地面上A點處測得塔頂B點的仰角為60°，塔底C點的仰角為45°．已知山嶺高CD為72 m，則塔高BC為(　　)
A．(72－72) m
B．(72－72) m
C．(72－72) m
D．(144－72) m
B　[在△CDA中，AD＝CD tan ∠DCA＝72tan 45°＝72，在△ABD中，DB＝AD tan ∠BAD＝72tan 60°＝72，所以BC＝BD－CD＝72(－1)(m)．故選B．]
4．海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12海里；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為8海里；貨輪由A處向正北航行到D處時看燈塔B在南偏東60°，則：
(1)A處與D處之間的距離為 海里；
(2)燈塔C與D處之間的距離為 海里．
(1)24　(2)8　[由題意，畫出示意圖．
(1)在△ABD中，可知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12．由正弦定理得AD＝·sin 45°＝24(海里)．
(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，∴CD＝8(海里)．
即A處與D處之間的距離為24海里，燈塔C與D處之間的距離為8海里．]
1．知識鏈：不可到達(dá)的距離、高度、角度等實際問題的測量方案．
2．方法鏈：數(shù)形結(jié)合．
3．警示牌：方位角是易錯點．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
測量距離問題有哪些類型？如何求解？
[提示]　當(dāng)AB的長度不可直接測量時，求AB的距離有以下三種類型：
類型 簡圖 計算方法
A，B間不可達(dá)也不可視 測得AC＝b，BC＝a，C的大小，則由余弦定理得AB＝
B，C與點A可視但不可達(dá) 測得BC＝a，B，C的大小，則A＝π－(B＋C)，由正弦定理得AB＝
C，D與點A，B均可視不可達(dá) 測得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC 的度數(shù)．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB
秦九韶的“三斜求積術(shù)”
你聽說過“三斜求積術(shù)”嗎？這是我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶用實例的形式提出的，其實質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長a，b，c，求三角形面積S，即
S＝．
你能證明這個公式嗎？
“三斜求積術(shù)”中的“三斜”指三角形的三條邊，而且三條邊從小到大分別稱為“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用語言敘述的相關(guān)公式，即：以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積．
事實上，利用余弦定理等內(nèi)容，也可推導(dǎo)出“三斜求積術(shù)”，過程如下．
S2＝c2a2sin2B
＝(c2a2－c2a2cos2B)，
又因為ca cosB＝，所以
S2＝，
從而可知
S＝．
課時分層作業(yè)(十五)　余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例
一、選擇題
1．如圖，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為m，α＝48°，β＝62°，則A，B兩點間的距離為(　　)
A．
C．
C　[∠ABC＝180°－48°－62°＝70°，
由正弦定理得＝，AB＝．
故選C．]
2．一艘船向正北方向航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向上，另一燈塔在船的南偏西75°方向上，則這艘船的速度是(　　)
A．5 海里/時 B．5 海里/時
C．10 海里/時 D．10 海里/時
D　[如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以這艘船的速度是10海里/時．故選D．]
3．已知飛機的飛行航線AB和地面目標(biāo)C在同一鉛垂平面內(nèi)，在A處測得目標(biāo)C的俯角為30°，飛行26 km到達(dá)B處，測得目標(biāo)C的俯角為75°，此時B處與地面目標(biāo)C的距離為(　　)
A．13 km B．5 km
C．5 km D．13 km
D　[由題知，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝180°－75°＝105°，
所以∠C＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理可知，＝，
即BC＝·sin 30°＝×＝13(km)．
故選D．]
4．在地面上點D處，測量某建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點20 m，則建筑物高度為(　　)
A．20 m B．30 m
C．40 m D．60 m
C　[如圖，設(shè)O為塔頂在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20 m，
則OD＝20(m)．
在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60(m)．
∴AB＝OA－OB＝40(m)．]
5．如圖，記某塔塔高OT，某測量小組選取與塔底O在同一水平面內(nèi)的兩個測量點A，B．現(xiàn)測得∠OAB＝45°．∠OBA＝105°，AB＝18 m，在B點處測得塔頂T的仰角為30°，則塔高OT為(　　)
A．36 m B．6 m
C．45 m D．15 m
A　[在△OAB中，因為∠OAB＝45°，∠OBA＝105°，
所以∠AOB＝180°－45°－105°＝30°，
由正弦定理可知，
＝ ＝ OB＝36，
在直角三角形OTB中，
tan ∠TBO＝ ＝ OT＝36 m，故選A．]
二、填空題
6．有一個長為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長 千米．
　[如圖，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，
∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°．
在△ABC中，＝，
∴AC＝＝＝(千米)．]
7．已知輪船A和輪船B同時離開C島，A船沿北偏東30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如圖)．若A船的航行速度為40 n mile/h，1 h后，B船測得A船位于B船的北偏東45°的方向上，則此時A，B兩船相距 n mile．
20　[由題意∠BCA＝30°，∠ABC＝180°－45°＝135°，AC＝40×1＝40，
由正弦定理得＝，即＝，
解得AB＝20(n mile)．]
8．一艘船以每小時15 km的速度向正東方向航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60°方向上，行駛4 h后，船到達(dá)C處，看到這個燈塔在北偏東15°方向上，這時船與燈塔間的距離為 km．
30　[如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，
則∠ABC＝45°，AC＝15×4＝60(km)，根據(jù)正弦定理，得
BC＝＝＝30(km)．]
三、解答題
9．為繪制海底地貌圖，測量海底兩點C，D間的距離，海底探測儀沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，C，D在同一個鉛垂平面內(nèi)．海底探測儀測得∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，同時測得AB＝海里．
(1)求AD的長度；
(2)求C，D之間的距離．
[解]　(1)由題意知，在△ABD中，∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，且AB＝海里．
可得∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝30°＋45°＝75°，
又因為∠ABD＝45°，所以∠ADB＝60°，
由正弦定理＝，
可得AD＝＝(海里)．
(2)因為∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝45°＋75°＝120°，且∠BAC＝30°，AB＝海里，
可得∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝海里，
在△ABC中，由余弦定理得，
AC＝
＝＝3，
在△ACD中，由余弦定理得
CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD cos ∠DAC＝5，
即CD＝(海里)，所以C，D間的距離為海里．
10．10世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿爾·庫希設(shè)計出一種方案，通過兩個觀測者異地同時觀察同一顆流星，來測定其發(fā)射點的高度，如圖，假設(shè)地球是一個標(biāo)準(zhǔn)的球體，O為地球的球心，弧AB為地線，有兩個觀測者在地球上的A，B兩地同時觀測到一顆流星S，觀測的仰角分別為∠SAD＝α，∠SBD＝β，其中∠DAO＝∠DBO＝90°，為了方便計算，我們考慮一種理想狀態(tài)，假設(shè)兩個觀測者在地球上的A，B兩點測得α＝30°，β＝15°，地球半徑為R千米，兩個觀測者的距離＝π千米．(參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.5)
(1)求流星S發(fā)射點的近似高度ES；
(2)在古希臘時代，科學(xué)不發(fā)達(dá)，人們看到流星以為這是地球水分蒸發(fā)后凝結(jié)的固體．已知對流層(地球大氣層靠近地面的一層)高度大約在18千米左右，若地球半徑R≈6 370千米，請你據(jù)此判斷該流星S是地球蒸發(fā)物還是“天外來客”，并說明理由．
[解]　(1)因為＝R，則∠AOB＝60°，
所以△AOB為等邊三角形，所以AB＝R．
又因為∠DAO＝∠DBO＝90°，
所以∠DAB＝∠DBA＝30°，
因為∠SAD＝30°，∠SBD＝15°，
所以∠SAB＝60°，∠SBA＝45°，∠ASB＝75°．
在△ASB中，由正弦定理＝，
得＝，解得AS＝R，
在△SAO中，由余弦定理得，
OS2＝SA2＋OA2－2SA·OA cos ∠SAO＝(－1)2R2＋R2－2R2×＝R2，
所以O(shè)S＝R≈R＝R≈1.5R，所以ES＝OS－R≈0.5R千米．
(2)由(1)知，ES≈0.5R千米．又R≈6 370千米，
則ES≈0.5R≈3 185千米，
所以流星S發(fā)射點近似高度為3 185千米，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于對流層最高近似高度18千米，
所以該流星是“天外來客”．
11．如圖是某旅游景區(qū)中的網(wǎng)紅景點的路線圖，從景點A處下山至C處有兩種路徑：一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B 沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min．在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B 處停留1 min后，再從B 勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運行的速度為130 m/min，索道AB長為1 040 m，經(jīng)測量，cos A＝，cos C＝．
(1)求山路AC的長；
(2)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
[解]　(1)因為cos A＝，cos C＝，所以A，C∈，
所以sin A＝，sin C＝，
所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝，
根據(jù)正弦定理＝，得AC＝·sin B＝×＝1 260(m)．
所以山路AC的長為1 260 m．
(2)由正弦定理 ＝，得BC＝sin A＝×＝500(m)，甲共用時間：＝(min)，乙在索道用時間＝8(min)，
設(shè)乙出發(fā)t(0在△ADE中，由余弦定理得，DE2＝AD2＋AE2－2AD·AE·cos A，所以DE2＝(130t)2＋[50(t＋2)]2－2·130t·50(t＋2)·，整理得DE＝，所以當(dāng)t＝－＝ min時，甲、乙兩游客距離最短．
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