資源簡介

第3課時　余弦定理、正弦定理的綜合應用
[學習目標]　1．掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用．
2．能夠運用正弦、余弦定理解決三角形中的一些綜合問題．
[討論交流]　預習教材P53和P54的內容，思考以下問題：
問題1．如何用三角形的邊和角表示三角形的面積？
問題2．如何依據三角形所給的邊角關系判斷三角形解的個數？
問題3．三角形中有哪些三角恒等變換？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　三角形解的個數的判斷
[典例講評]　1．不解三角形，判斷下列三角形解的個數．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)b＝72，c＝50，C＝135°．
[解]　(1)sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解．
(2)sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1，所以當B為銳角時，滿足sin B＝的角B的取值范圍是60°當B為鈍角時，滿足sin B＝的角B的取值范圍是90°(3)sin B＝＝sin C>sin C＝．
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形無解，即三角形不存在．
　已知兩邊及其中一邊的對角判斷三角形解的個數的方法
(1)應用三角形中大邊對大角的性質以及正弦函數的值域判斷解的個數．
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以點C為圓心，以邊長a為半徑畫弧，此弧與除去頂點A的射線AB的公共點的個數即為三角形解的個數，解的個數見下表：
角A A為鈍角 A為直角 A為銳角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 無解 無解 一解
absin A 兩解
a＝bsin A 一解
a[學以致用]　1．(1)(多選)根據下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是(　　)
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有兩解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，無解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
(2)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足B＝60°，c＝2的三角形有兩解，則b的取值范圍為 ．
(1)ABD　(2)(，2)　[(1)對于A，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；對于B，∵sin C＝＝，且c>b，
∴C>B，故有兩解；對于C，∵A＝90°，a＝5，c＝2，
∴b＝＝＝，有解；對于D，∵＝，∴sin B＝＝，又b(2)在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理＝，得c＝．若此三角形有兩解，則必須滿足的條件為c>b>csin B，即探究2　三角形面積公式
探究問題　已知△ABC的兩邊a，b和角C，如何求△ABC的面積？
[提示]　邊b上的高h為asin C，故面積為S＝bh＝absin C．
[新知生成]
已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積公式為S＝ab sin C＝bcsin A＝casin B．
[典例講評]　2．(1)在△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝7，c＝4，則△ABC的面積為(　　)
A．7　　B．　　C．　　D．21
(2)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，則△ABC的面積為 ．
(1)A　(2)　[(1)a＝，b＝7，c＝4，
則cos A＝＝＝．
∵A∈(0，π), ∴sin A＝＝，
∴△ABC的面積為bc sinA＝7．故選A ．
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得，
72＝52＋c2－2×5c×cos 120°，
即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8(舍去)．
所以S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝．]
　求三角形的面積，要充分挖掘題目中的條件，將其轉化為求兩邊及其夾角的正弦問題，要注意方程思想在解題中的應用．
[學以致用]　
2．(1)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，則該四邊形的面積等于(　　)
A．　　B．5　　C．6　　D．7
(2)在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝2，則AC邊上的高為 ．
(1)B　(2)　[(1)連接BD(圖略)，在△BCD中，由已知條件，知∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝90°．在△BCD中，由余弦定理知，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，∴BD＝2，∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5．
(2)在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，
代入得7＝4＋c2－2c，
即c2－2c－3＝0，所以c＝3或c＝－1(舍)，
設AC邊上的高為h，則S△ABC＝bc sin A＝bh，
解得h＝c sin A＝3×＝．]
【教用·備選題】　(源自湘教版教材)設R是△ABC的外接圓的半徑，S是△ABC的面積，求證：
(1)S＝；
(2)S＝2R2sin A sin B sin C．
[證明]　(1)由擴充的正弦定理得sin C＝，
所以S＝ab sin C＝．
(2)由a＝2R sin A，b＝2R sin B，得
S＝ab sin C＝2R2sin A sin B sin C．
探究3　余弦定理、正弦定理的綜合應用
[典例講評]　3．已知△ABC內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，設(sin B－sin C)2＝sin2A－sinB sin C．
(1)求A；
(2)若b＋c＝4，△ABC的面積為，求a的值．
[解]　(1)原式化簡可得，sin2B－2sinB sin C＋sin2C＝sin2A－sinB sin C，
整理得，sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C，
由正弦定理，得b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，又A∈(0，π)，
∴A＝．
(2)∵S△ABC＝bc sin A＝bc×＝， ∴bc＝2，
∵a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－3bc＝16－6＝10，
∴a＝．
　應用正、余弦定理解決三角形問題，關鍵是根據已知條件對邊和角進行相互轉化，化簡表達式，通過代數變形或三角恒等變換解決問題．
[學以致用]　3．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且c cos A＋a＝b．
(1)求C的大小；
(2)求△ABC的面積．
[解]　(1)由正弦定理，得sin Ccos A＋sin A＝sin B＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos A sin C，
即sin A＝sin Acos C，
∵sin A≠0，∴cos C＝，又C∈(0，π)，∴C＝．
(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即7＝a2＋b2－ab，
∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6，
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝，
故△ABC的面積為．
【教用·備選題】
[典例講評]　1．如圖所示，在四邊形ABCD中，D＝2B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝．
(1)求△ACD的面積；
(2)若BC＝2，求AB的長．
[解]　(1)因為D＝2B，cos B＝，
所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－．
因為D∈(0，π)，
所以sin D＝＝．
因為AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面積為S＝AD·CD·sinD＝×1×3×＝．
(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，所以AC＝2．
因為BC＝2，＝，
所以＝＝
＝，
所以AB＝4．
[典例講評]　2．(2023·全國甲卷)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝2．
(1)求bc；
(2)若－＝1，求△ABC面積．
[解]　(1)由余弦定理知cos A＝，
又＝2，所以2bc＝2，
故bc＝1．
(2)由正弦定理及－＝1，
得－＝1，
化簡得－＝1．
∵A＋B＝π－C，∴sin (A＋B)＝sin C，
∴sin (A－B)－sin B＝sin C＝sin (A＋B)，
∴sin A cos B－cos A sin B－sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，∴－2cos A sin B＝sin B．
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos A＝－．
∵A∈(0，π)，∴sin A＝＝．
由(1)知bc＝1，故△ABC的面積S＝bc sinA＝×1×＝．
1．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a＝，b＝4，C＝，則△ABC的面積為(　　)
A．2　　B．　　C．　　D．
B　[由題意可知，a＝，b＝4，C＝，
所以S△ABC＝ab sin C＝×4×＝．]
2．已知在△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　)
A．有一解 B．有兩解
C．無解 D．解的個數不確定
C　[由正弦定理和已知條件，得＝，
∴sin B＝>1，∴此三角形無解．]
3．(2023·北京高考)在△ABC中，(a＋c)·(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，則∠C＝(　　)
A．
C．
B　[由正弦定理＝＝＝2R(R為三角形外接圓半徑)可得，
sin A＝，sin B＝，sin C＝，
所以(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)可化為
(a＋c)·(a－c)＝b(a－b)，
即a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝＝＝，
又C∈(0，π)，所以C＝．故選B．]
4．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2cos A(bcos C＋ccos B)＝a＝，△ABC的面積為3，則A＝ ，b＋c＝ ．
　7　[由已知及正弦定理可得，
2cos A(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝sin A，
可得2cos A sin (B＋C)＝sin A，
即2cos Asin A＝sin A，
又sin A≠0，∴cos A＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝．
由三角形的面積公式可得，
3＝bcsin A＝bc，即bc＝12．
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，
解得b＋c＝7．]
1．知識鏈： (1)三角形的面積公式．
(2)判斷三角形解的個數．
(3)正弦、余弦定理的綜合應用．
2．方法鏈：化歸轉化、數形結合．
3．警示牌：利用正弦定理進行邊和角的相互轉化時注意不要出現不等價變形．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．正弦定理有哪些常見變形？
[提示]　①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c．
②＝＝＝＝2R．
③a＝2Rsin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．
④sin A＝，sin B＝，sin C＝．(R為三角形外接圓半徑)
2．三角形的面積公式有哪些？
[提示]　(1)S△ABC＝bcsin A＝ac sin B＝ab sin C，即任意三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦的乘積的一半．
(2)S△ABC＝ah，其中a為△ABC的一邊長，而h為該邊上的高的長．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分別為△ABC的內切圓半徑及△ABC的周長．
3．如何判斷三角形解的個數？
[提示]　已知△ABC的兩邊a，b和角A解三角形時，有以下方法：
根據三角函數的性質來判斷．由正弦定理，得sin B＝．
當>1時，則無解；當＝1時，則有一解；
當<1時，若a≥b，即A≥B，則B一定為銳角，則有一解；若a課時分層作業(十四)　余弦定理、正弦定理的綜合應用
一、選擇題
1．在△ABC中，若c＝2，A＝30°，B＝120°，則△ABC的面積為(　　)
A．
C．3 D．3
B　[∵C＝180°－30°－120°＝30°，∴a＝c＝2，
∴面積S＝ac sin B＝×2×2sin 120°＝．故選B．]
2．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，則C＝(　　)
A．
C．
C　[由＝和3sin A＝5sin B，得3a＝5b，即b＝a，又b＋c＝2a，所以c＝a，所以由余弦定理，得cos C＝＝－，所以C＝．
故選C．]
3．如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，則sin B的值為(　　)
A．
C．
D　[由題意，得△ADC為等邊三角形，則∠ADB＝120°，AC＝2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠ADB，即AB＝2，由正弦定理，得＝，則sin B＝＝．]
4．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知△ABC的面積S＝，則角C的大小是(　　)
A．
C．或 或
A　[∵△ABC的面積S＝，
∴ab sin C＝．
又cos C＝，∴ab sin C＝ab cos C，
∴tan C＝1．
∵C∈，∴C＝．
故選A．]
5．(多選)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝6，B＝30°，則使此三角形只有唯一解的b的值可以是(　　)
A．2 B．3
C．5 D．5
BD　[由正弦定理得，sin A＝＝，要使此三角形只有唯一解，則A只有一個，則＝1或<1且a≤b，
所以b＝3或b≥6，選項BD符合．故選BD．]
二、填空題
6．在△ABC中，sin B＝2sin A，a＋c＝3，且cos C＝，則a＝ ．
1　[因為sin B＝2sin A，所以b＝2a，又a＋c＝3，所以c＝3－a，所以cos C＝＝＝，整理，得a2＋2a－3＝0，解得a＝1(a＝－3舍去)．]
7．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面積為a2sin B，則cos B＝ ．
　[由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面積為a2sin B，得ac sin B＝a2sin B，由sin B≠0，知c＝2a，∴cos B＝＝＝．]
8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，B＝2A，cos A＝，則b＝ ．
2　[因為cos A＝，所以sin A＝，因為B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝，又＝，所以b＝2．]
三、解答題
9． (源自北師大版教材)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知A是銳角，且cos 2A＝－．
(1)若mbc＝b2＋c2－a2，求實數m的值；
(2)若a＝，求△ABC面積的最大值．
[解]　由A是銳角，且cos 2A＝－，得2A＝，A＝．
(1)mbc＝b2＋c2－a2可變形為＝．
依據余弦定理，可知cos A＝＝，即＝．所以m＝1．
(2)因為sin A＝sin ＝，
所以bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，即bc≤a2．
故S△ABC＝sin A≤·＝．
即所求△ABC面積的最大值是．
10．(2024·全國甲卷)在△ABC中，內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若B＝，b2＝ac，則sin A＋sin C＝(　　)
A．
C．
C　[因為B＝，b2＝ac，
則由正弦定理得sin A sin C＝sin2B＝．
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac，
即a2＋c2＝ac，根據正弦定理得sin2A＋sin2C＝sinA sin C＝，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝．
因為A，C為三角形內角，則sin A＋sin C>0，
則sin A＋sin C＝．故選C．]
11．在圓O的內接四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，則四邊形ABCD的面積S為(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
C　[如圖，連接BD，
在△ABD中，由余弦定理，得
BD2＝4＋16－2×2×4cos A＝20－16cos A，
在△CBD中，由余弦定理，得
BD2＝16＋36－2×4×6cos C
＝52－48cos C，
∵A＋C＝180°，∴20－16cos A＝52＋48cos A，
解得cos A＝－，∴A＝120°，C＝60°．
S＝S△ABD＋S△CBD＝×2×4×sin 120°＋×4×6×sin 60°＝8．]
12．(多選)三角形有一個角是60°，夾在這個角的兩邊長分別為8和5，則(　　)
A．三角形另一邊長為6　
B．三角形的周長為20
C．三角形內切圓面積為3π　
D．三角形外接圓周長為π
BC　[可得另一邊長為＝7，則A錯誤，B正確；
設內切圓半徑為r，則(8＋7＋5)r＝×8×5sin 60°，則r＝，則內切圓面積為πr2＝3π，則C正確；
設外接圓半徑為R，則2R＝，其周長為2πR＝＝，則D錯誤．故選BC．]
13．已知△ABC的面積為·＝－3，則A＝ ．
　[因為△ABC的面積為，所以||||sin A＝，即sin A＝，
因為·＝－3，所以cos (π－A)＝－cos A＝－3，得||||cos A＝3，所以＝，得tan A＝，
因為A∈，所以A＝．]
14．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設其面積為S，＝－．
(1)求角C；
(2)若c＝2，點D在邊AB上，若CD是∠C的平分線，且CD＝1，求S．
[解]　(1)依題意＝＝＝－，
所以tan C＝－，因為C∈，所以C＝．
(2)在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cos C，
∴a2＋b2＋ab＝56．①
又S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，
∴×1×b×＋×1×a×＝ab×，
即a＋b＝ab，②
聯立①②得a2b2－ab＝56，
∴ab＝8．∴S＝ab sin ＝2．
15．在△ABC中，已知＝，且cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C．
(1)試確定△ABC的形狀；
(2)求的取值范圍．
[解]　(1)在△ABC中，設其外接圓半徑為R，
根據正弦定理得，sin A＝，sin B＝，sin C＝，代入＝，得＝，
所以b2－a2＝ab．①
因為cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C，
所以cos (A－B)－cos (A＋B)＝2sin2C，
所以sinAsin B＝sin2C．
由正弦定理，得·＝，
所以ab＝c2．②
把②代入①得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2．
所以△ABC是直角三角形．
(2)由(1)知B＝，所以A＋C＝，
所以C＝－A．
所以sinC＝sin ＝cos A．
根據正弦定理，得
＝＝sin A＋cos A
＝sin ．
因為ac所以0＜A＜，所以＜A＋＜．
所以＜sin <1，
所以1＜sin <，
即的取值范圍是(1，)．
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第3課時　余弦定理、正弦定理的綜合應用
第六章　平面向量及其
6.4　平面向量的應用
6.4.3　余弦定理、正弦定理
整體感知
[學習目標]　1．掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用．
2．能夠運用正弦、余弦定理解決三角形中的一些綜合問題．
[討論交流]　預習教材P53和P54的內容，思考以下問題：
問題1．如何用三角形的邊和角表示三角形的面積？
問題2．如何依據三角形所給的邊角關系判斷三角形解的個數？
問題3．三角形中有哪些三角恒等變換？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　三角形解的個數的判斷
[典例講評]　1．不解三角形，判斷下列三角形解的個數．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)b＝72，c＝50，C＝135°．
反思領悟　已知兩邊及其中一邊的對角判斷三角形解的個數的方法
(1)應用三角形中大邊對大角的性質以及正弦函數的值域判斷解的個數．
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以點C為圓心，以邊長a為半徑畫弧，此弧與除去頂點A的射線AB的公共點的個數即為三角形解的個數，解的個數見下表：
角A A為鈍角 A為直角 A為銳角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 無解 無解 一解
absin A 兩解
a＝bsin A 一解
a[學以致用]　1．(1)(多選)根據下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是(　　)
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有兩解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，無解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
(2)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足B＝60°，c＝2的三角形有兩解，則b的取值范圍為________________．
√
√
√
探究2　三角形面積公式
探究問題　已知△ABC的兩邊a，b和角C，如何求△ABC的面積？
[新知生成]
已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積公式為S＝__________＝___________＝__________．
√

反思領悟　求三角形的面積，要充分挖掘題目中的條件，將其轉化為求兩邊及其夾角的正弦問題，要注意方程思想在解題中的應用．
√

反思領悟　應用正、余弦定理解決三角形問題，關鍵是根據已知條件對邊和角進行相互轉化，化簡表達式，通過代數變形或三角恒等變換解決問題．
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
2
3
題號
1
4
√
2
3
題號
4
1
√
2
3
題號
4
1
2
4
3
題號
1
7　

2
4
3
題號
1
2
4
3
題號
1
1．知識鏈： (1)三角形的面積公式．
(2)判斷三角形解的個數．
(3)正弦、余弦定理的綜合應用．
2．方法鏈：化歸轉化、數形結合．
3．警示牌：利用正弦定理進行邊和角的相互轉化時注意不要出現不等價變形．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．正弦定理有哪些常見變形？
2．三角形的面積公式有哪些？
3．如何判斷三角形解的個數？

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