資源簡介

第2課時　正弦定理
[學習目標]　1．能借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系．
2．掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判斷三角形解的個數問題．
[討論交流]　預習教材P45－P48的內容，思考以下問題：
問題1．正弦定理的內容是什么？如何推導？
問題2．應用正弦定理可以解哪些三角形？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　正弦定理的推導
探究問題1　在Rt△ABC中，有sin A＝，sin B＝，你能從這兩個式子中得出A，B，a，b的定量關系式嗎？
[提示]　＝．
探究問題2　在斜三角形中，關系式＝＝是否依然成立？你能類比余弦定理的推導過程，用向量法證明這個結論嗎？
[提示]　在斜三角形中，上述關系依然成立．證明如下：
(1)在銳角三角形中，
如圖，在銳角△ABC中，過點A作與垂直的單位向量j，
則j與的夾角為－A，j與的夾角為－C．
因為＝，所以j·()＝j·．
由分配律，得j·＋j·＝j·，
即|j|||cos ＋|j|||cos
＝|j|||cos ，也即asin C＝csin A，
所以＝．
同理，過點C作與垂直的單位向量m，可得
＝．
因此＝＝．
(2)在鈍角三角形中，當△ABC是鈍角三角形時，不妨設A為鈍角(如圖所示)，過點A作與垂直的單位向量j，則j與的夾角為A－，j與的夾角為－C，
仿照上述方法，同樣可得
＝＝．
探究問題3　在△ABC中，＝＝，那么這個比值是多少？
[提示]　如圖，無論怎么移動B′，都會有角B′＝B，
所以在△AB′C中，＝＝c，
c是Rt△ABC，△AB′C外接圓的直徑，
所以對任意△ABC，均有＝＝＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)．
[新知生成]
在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即＝＝＝2R． (R為△ABC外接圓的半徑)
探究2　正弦定理的應用
探究問題4　應用正弦定理可以解哪幾類三角形問題？
[提示]　利用正弦定理，可以解決以下兩類解三角形的問題：
(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；
(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角)．
　已知兩角及任意一邊解三角形
【鏈接·教材例題】
例7　在△ABC中，已知A＝15°，B＝45°，c＝3＋，解這個三角形．
[解]　由三角形內角和定理，得
C＝180°－(A＋B)＝180°－(15°＋45°)＝120°．
由正弦定理，得
a＝＝
＝
＝
＝
＝，
b＝＝
＝
＝．
[典例講評]　1．(源自湘教版教材)已知△ABC中，c＝4，∠A＝45°，∠B＝60°，sin 75°＝，求a，b．
[解]　由題意可得∠C＝180°－45°－60°＝75°．
由正弦定理得a＝＝．
又sin 75°＝，于是a＝＝4－4．
同理可得b＝＝＝6－2．
　已知兩角及任意一邊，利用正弦定理解三角形
(1)正弦定理實際上是三個等式：＝，＝，＝，每個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個元素就可以求剩下的一個．
(2)因為三角形的內角和為180°，所以已知兩角一定可以求出第三個角．
[學以致用]　1．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解這個三角形．
[解]　因為A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°．
由＝得a＝＝10×＝10．
因為sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，所以b＝＝＝20×＝5＋5．
　已知兩邊及其中一邊的對角解三角形
【鏈接·教材例題】
例8　在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，解這個三角形．
分析：這是已知三角形兩邊及其一邊的對角求解三角形的問題，可以利用正弦定理．
[解]　由正弦定理，得
sin C＝＝＝．
因為c＞b，B＝30°，
所以30°＜C＜180°．
于是C＝45°，或C＝135°．
(1)當C＝45°時，A＝105°．
此時
a＝＝＝
＝
＝＝＋1．
(2)當C＝135°時，A＝15°．
此時
a＝＝
＝
＝
＝＝－1．
[典例講評]　2．在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形．
[解]　∵＝，∴sin C＝＝＝，
∵0°當C＝60°時，B＝75°，b＝＝＝＋1；
當C＝120°時，B＝15°，b＝＝＝－1．
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°．
[母題探究]若把本例中的條件“A＝45°”改為“C＝45°”，則角A有幾個值？
[解]　∵＝，
∴sin A＝＝＝．
∵c＝>2＝a，∴C>A．
∴A為小于45°的銳角，且正弦值為，這樣的角A只有一個．
　已知兩邊及其中一邊的對角，利用正弦定理解三角形的步驟
(1)用正弦定理求出另一邊所對角的正弦值，進而求出這個角．
(2)用三角形內角和定理求出第三個角．
(3)根據正弦定理求出第三條邊．
其中進行第一個步驟時要注意討論該角是否可能有兩個值．
[學以致用]　2．在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝4，則B＝(　　)
A．45°或135°　B．135°　C．45°　D．60°
C　[由cos A＝，得sin A＝，A＝60°，由正弦定理得sin B＝＝．因為a＞b，所以B＝45°．]
【教用·備選題】　(源自湘教版教材)在△ABC中，分別求下列條件下的∠C和c．
(1)a＝5，b＝5，∠A＝30°；
(2)a＝5，b＝，∠A＝45°，sin 75°＝．
[解]　(1)由正弦定理得＝，
即sin B＝，
所以∠B＝60°或∠B＝120°．
當∠B＝60°時，∠C＝90°，
所以c＝sin 90°·＝10．
當∠B＝120°時，∠C＝30°，
所以c＝a＝5．
(2)由正弦定理得sin B＝·＝，
所以∠B＝30°或∠B＝150°．
又∠A＝45°，a＞b，
所以∠B＜45°．
由此得到∠B＝30°，∠C＝105°．
因此c＝sin 105°·＝sin 75°·＝．
探究3　三角形形狀與正弦定理
[典例講評]　3．在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀．
[解]　根據正弦定理＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sin B cos C，
∴sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，
∴sin (B－C)＝0．
又－90°∴△ABC是等腰直角三角形．
　利用正弦定理判斷三角形形狀的方法
(1)化邊為角：根據正弦定理把已知條件中邊和角的混合關系轉化為角的關系，再進行三角恒等變換，得到角的三角函數值或角的三角函數值之間的關系，進而得到三角形的角或角的關系，從而確定三角形的形狀．
(2)化角為邊：根據正弦定理把已知條件中邊和角的混合關系轉化為邊的關系，然后通過整理得到邊與邊之間的數量關系，從而確定三角形的形狀．
[學以致用]　3．已知在△ABC中，角A，B所對的邊分別是a和b，若a cos B＝b cos A，則△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
A　[由正弦定理得，a cos B＝b cos A sin A cos B＝sin B cos A sin (A－B)＝0，由于－π1．在△ABC中，a＝5，b＝3，則的值是(　　)
A．
C．
A　[根據正弦定理，得＝＝．]
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，則AC等于(　　)
A．4 B．2
C．
B　[由正弦定理＝，得＝，所以AC＝×＝2．故選B．]
3．已知a，b，c分別是△ABC的內角A，B，C所對的邊，滿足＝＝，則△ABC的形狀是(　　)
A．腰與底不等的等腰三角形
B．直角三角形
C．等邊三角形
D．等腰直角三角形
C　[由正弦定理＝＝，又＝＝，得＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC為等邊三角形．]
4．在△ABC中，已知AC＝1，BC＝，B＝，則角C＝________．
或　[在△ABC中，已知AC＝1，BC＝，B＝，因為＝，
所以sin A＝＝＝，
又BC>AC，所以所以A＝或，所以C＝或．]
1．知識鏈： (1)正弦定理．
(2)利用正弦定理解三角形．
(3)三角形解的個數的判斷．
2．方法鏈：化歸轉化、數形結合．
3．警示牌：已知兩邊及一邊所對的角解三角形時注意不要忽略分類討論．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些變形形式？這些變形形式有什么作用？
[提示]　由＝2R，＝2R，＝2R可以得到的變形：sin A＝，a＝2R sin A；sin B＝，b＝2Rsin B；sin C＝，c＝2Rsin C．由這些變形形式，我們可以實現三角形中邊、角關系的轉化．
2．利用正弦定理能解什么條件下的三角形？
[提示]　正弦定理的等式中有四個量，所以知其中三個，可求第四個．因此，知兩角及一邊可解三角形；知兩邊及一邊的對角也可解三角形．
課時分層作業(十三)　正弦定理
一、選擇題
1．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若A＝60°，a＝，則△ABC外接圓的半徑等于(　　)
A．2 B．
C． D．1
D　[設△ABC外接圓的半徑為R，
根據正弦定理可得2R＝＝＝＝2，
所以R＝1，即△ABC外接圓的半徑為1．]
2．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，則cos C＝(　　)
A．
C．
B　[由正弦定理，得＝，即＝，
解得sin C＝．因為AB＜AC，所以C＜B，
所以cos C＝＝．]
3．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A＋B＝，a＝2，c＝5，則sinA＝(　　)
A．
C．
B　[因為A＋B＝，所以C＝，
由正弦定理＝，得＝，
所以sin A＝．故選B．]
4．在△ABC中，已知3b＝2a sin B，且cos B＝cos C，角A是銳角，則△ABC的形狀是(　　)
A．直角三角形
B．腰與底不等的等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等邊三角形
D　[由3b＝2a sin B，得＝，
根據正弦定理＝，所以＝，
即sin A＝．又角A是銳角，所以A＝60°．
又cos B＝cos C，且B，C都為△ABC的內角，
所以B＝C．故△ABC為等邊三角形．]
5．(多選)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝4，A＝30°，則b可以為(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
ABC　[在△ABC中，a＝4，A＝30°，
由正弦定理＝，得＝，
所以b＝8sin B．因為0結合選項可知b可以為6，7，8．故選ABC．]
二、填空題
6．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，則＝________．
1　[設a＝4k，b＝3k，c＝5k(k＞0)，
由正弦定理，得＝＝1．]
7．在△ABC中，若＝，則C的值為________．
45°　[由正弦定理，知＝，
∴＝，∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，
又∵0°8．在△ABC中，若B＝，b＝a，則A＝________．
　[在△ABC中，由正弦定理＝，得＝＝＝2a，所以sin A＝，所以A＝或．因為b＝a>a，所以B>A，即A<，所以A＝．]
三、解答題
9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，B＝45°，b＝，c＝，求a和A，C．
[解]　由正弦定理可知，＝＝，
即＝＝，解得sin C＝，a＝2sin A．
又∵c＝，b＝，c>b，知C>B，∴C＝60°或120°．
當∠C＝60°時，A＝75°，
sin 75°＝sin ＝，
a＝2sin A＝2×＝，
當C＝120°時，A＝15°，
sin 15°＝sin ＝，
a＝2sin A＝2×＝．
10．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若3a＝2b，則的值為(　　)
A．－
C．1 D．
D　[由正弦定理得＝2－1＝2－1．因為3a＝2b，所以＝，
所以＝2×－1＝．故選D．]
11．(多選)在△ABC中，下列關系中一定成立的是(　　)
A．a>b sinA B．a sin B＝b sin A
C．aBD　[在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以a sin B＝b sin A，所以a＝．
因為B∈(0，π)，所以sin B∈(0，1]，
所以a＝≥b sin A，所以AC錯誤，BD正確．
故選BD．]
12．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，則a∶b∶c等于(　　)
A．4∶1∶1 B．2∶1∶1
C．∶1∶1 D．∶1∶1
D　[∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，
∴A＝120°，B＝30°，C＝30°．
由正弦定理的變形公式得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝∶∶＝∶1∶1．]
13．在單位圓上有三點A，B，C，設△ABC三邊長分別為a，b，c，則＋＋＝________．
7　[∵△ABC的外接圓直徑為2R＝2，
∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7．]
14．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝2，b＝，同時還可能滿足以下某些條件：
①A＝；②B>A；③sin B(1)直接寫出所有可能滿足的條件序號；
(2)在(1)的條件下，求B及c的值．
[解]　(1)①，③．
(2)由＝，可得＝，
所以sin B＝＝＝．
因為a＝2>b＝，所以A>B，所以B＝．
由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得22＝()2＋c2－2××c×，解得c＝＋1或c＝－＋1(舍去)．
15．在△ABC中，a＝，A＝，試求△ABC的周長的取值范圍．
[解]　由正弦定理＝＝，
得＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
∴△ABC的周長為L＝a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C
＝＋2sin B＋2sin
＝＋3sin B＋cos B
＝＋2sin ，
又B∈，
∴B＋∈，
∴sin∈，
∴L∈(2，3]．
即△ABC的周長的取值范圍為(2，3]．
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第2課時　正弦定理
第六章　平面向量及其
6.4　平面向量的應用
6.4.3　余弦定理、正弦定理
整體感知
[學習目標]　1．能借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系．
2．掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判斷三角形解的個數問題．
[討論交流]　預習教材P45－P48的內容，思考以下問題：
問題1．正弦定理的內容是什么？如何推導？
問題2．應用正弦定理可以解哪些三角形？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
正弦
2R
探究2　正弦定理的應用
探究問題4　應用正弦定理可以解哪幾類三角形問題？
[提示]　利用正弦定理，可以解決以下兩類解三角形的問題：
(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；
(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角)．
[學以致用]　1．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解這個三角形．
分析：這是已知三角形兩邊及其一邊的對角求解三角形的問題，可以利用正弦定理．
[母題探究]若把本例中的條件“A＝45°”改為“C＝45°”，則角A有幾個值？
反思領悟　已知兩邊及其中一邊的對角，利用正弦定理解三角形的步驟
(1)用正弦定理求出另一邊所對角的正弦值，進而求出這個角．
(2)用三角形內角和定理求出第三個角．
(3)根據正弦定理求出第三條邊．
其中進行第一個步驟時要注意討論該角是否可能有兩個值．
√
探究3　三角形形狀與正弦定理
[典例講評]　3．在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀．
反思領悟　利用正弦定理判斷三角形形狀的方法
(1)化邊為角：根據正弦定理把已知條件中邊和角的混合關系轉化為角的關系，再進行三角恒等變換，得到角的三角函數值或角的三角函數值之間的關系，進而得到三角形的角或角的關系，從而確定三角形的形狀．
(2)化角為邊：根據正弦定理把已知條件中邊和角的混合關系轉化為邊的關系，然后通過整理得到邊與邊之間的數量關系，從而確定三角形的形狀．
[學以致用]　3．已知在△ABC中，角A，B所對的邊分別是a和b，若a cos B＝b cos A，則△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
A　[由正弦定理得，a cos B＝b cos A sin A cos B＝sin B cos A sin (A－B)＝0，由于－π√
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
2
3
題號
1
4
√
2
3
題號
4
1
√
2
3
題號
4
1
2
4
3
題號
1
1．知識鏈： (1)正弦定理．
(2)利用正弦定理解三角形．
(3)三角形解的個數的判斷．
2．方法鏈：化歸轉化、數形結合．
3．警示牌：已知兩邊及一邊所對的角解三角形時注意不要忽略分類討論．
2．利用正弦定理能解什么條件下的三角形？
[提示]　正弦定理的等式中有四個量，所以知其中三個，可求第四個．因此，知兩角及一邊可解三角形；知兩邊及一邊的對角也可解三角形．

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