資源簡介

6.3.5　平面向量數量積的坐標表示
[學習目標]　1．掌握平面向量數量積的坐標表示，會進行平面向量數量積的坐標運算．
2．能夠用兩個向量的坐標來解決與向量的模、夾角、垂直有關的問題．
[討論交流]　預習教材P34－P35的內容，思考以下問題：
問題1．平面向量數量積的坐標表示是什么？
問題2．如何用坐標表示向量的模、夾角和垂直？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　平面向量數量積的坐標表示
探究問題1　設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能用a，b的坐標表示a·b的值嗎？
[提示]　在平面直角坐標系中，設i，j分別是與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量，則i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0．
∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2．
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，
∴a·b＝x1x2＋y1y2．
[新知生成]　平面向量數量積的坐標表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2．
即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和．
[典例講評]　1．(1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，則(a＋2b)·(a－3b)＝(　　)
A．10　 　B．－10　 　C．3　 　D．－3
(2)如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，F為AD的中點，求·的值．
(1)B　[a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．
故選B．]
(2)[解]　以的方向分別為x，y軸正方向建立平面直角坐標系．
則A，B，F，E(1，2)，
所以＝＝，
所以·＝1×＋2×1＝0．
[母題探究]本例(2)的條件“F為AD的中點”換成“點F在AD上，且＝2”，求·的值．
[解]　建立平面直角坐標系如圖所示，由題意可知，
A，B，C，F，E，
所以＝(－1，2)，＝，
所以·＝(－1，2)·
＝(－1)×(－2)＋2×＝．
　在解決平面幾何中的數量積的運算時，對于規則的圖形，一定要先建立恰當的平面直角坐標系，用向量的坐標法解決平面幾何中的數量積的問題．
[學以致用]　1．(1)若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)·c＝24，則x等于(　　)
A．6　　　B．2　　　C．4　　　D．3
(2)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，D是邊BC上一動點，則·＝________．
(1)B　(2)4　[(1)由題意得8a－b＝(6，3)，c＝(3，x)，所以(8a－b)·c＝18＋3x＝24，解得x＝2．
(2)以B為原點，以的方向為x軸、y軸的正方向，建立平面直角坐標系，如圖．
則B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)．
所以＝(－2，0)，＝(－2，y)，
得·＝(－2，0)·(－2，y)＝4．]
【教用·備選題】
如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·＝，則·的值是________．
　[以A為坐標原點，AB所在直線為x軸、AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，
則B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1)．
可設F(x，2)，因為·＝(，0)·(x，2)＝x＝．所以x＝1，F(1，2)．則＝(1－，2)，·＝(，1)·(1－，2)＝．]
探究2　向量模的坐標表示
探究問題2　若向量a＝(x，y)，向量a的模如何表示？若A(x1，y1)，B(x2，y2), 的模如何表示？
[提示]　根據a2＝a·a＝x2＋y2，所以＝＝(x2－x1，y2－y1)，
則||＝．
[新知生成]
1．若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2，或|a|＝．
2．如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝．
[典例講評]　2．若向量a的始點為A(－2，4)，終點為B(2，1)，求：
(1)向量a的模；
(2)與a平行的單位向量的坐標；
(3)與a垂直的單位向量的坐標．
[解]　(1)∵a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a|＝＝5．
(2)與a平行的單位向量是±＝±(4，－3)，
即坐標為或．
(3)設與a垂直的單位向量為e＝(m，n)，則a·e＝4m－3n＝0，∴＝．
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1，
解得 或
∴e＝或e＝．
　求向量模的方法
(1)利用公式|a|＝求解；
(2)利用數量積求解；
(3)利用公式a2＝|a|2求解．
[學以致用]　2．(1)(2023·北京高考)已知向量a，b滿足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，則|a|2－|b|2＝(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
(2)已知點A(0，1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，則||＝________．
(1)B　(2)　[(1)∵a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，∴a＝(0，2)，b＝(2，1)，
∴|a|2－|b|2＝4－5＝－1．故選B．
(2)設C(x，y)，因為點A(0，1)，向量＝(4，－1)，所以＝(x，y－1)＝(4，－1)，所以 解得x＝4，y＝0，所以C(4，0)，
所以＝(3，2)，||＝＝．]
探究3　平面向量的夾角、垂直問題
[新知生成]
設a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角．
(1)cos θ＝＝．
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0．
【教用·微提醒】　 (1)兩向量垂直與兩向量平行的坐標表示易混淆．
(2)兩向量夾角的余弦值大于0的夾角不一定是銳角，同樣余弦值小于0的夾角也不一定是鈍角．
【鏈接·教材例題】
例11　設a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，求a·b及a，b的夾角θ(精確到1°)．
[解]　a·b＝5×(－6)＋(－7)×(－4)
＝－30＋28
＝－2．
因為|a|＝＝，|b|＝＝，所以用計算器計算可得
cos θ＝＝≈－0.03．
利用計算工具可得θ≈92°．
[典例講評]　3．(源自湘教版教材)已知a＝(3，1)，b＝，求k為何值時：
(1)a∥b
(2)a⊥b
(3)a與b的夾角為鈍角？
[解]　(1)因為a∥b，
所以3k－1×＝0，解得k＝－．
(2)因為a⊥b，
所以3×＋1×k＝0，解得k＝．
(3)因為＜〈a，b〉＜π，所以cos 〈a，b〉＜0，
所以3×＋1×k＝－＋k＜0，
解得k＜．
由(1)知，k＝－時，a∥b，即a，b共線，此時〈a，b〉＝π．
所以k＜且k≠－時，a，b的夾角為鈍角．
　利用數量積的坐標表示求兩向量夾角的步驟
[學以致用]　3．(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，則(　　)
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
(2)已知a＝(1，)，b＝(2，m)，當a與b的夾角為120°時，則m＝________．
(1)D　(2)－2　[(1)因為a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因為(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)·(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．故選D．
(2)由題意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝2＋m，
所以cos 120°＝＝＝－，
整理得2＋m＋＝0，
化簡得m2＋2m＝0，
解得m＝－2或m＝0(舍去)．
所以m＝－2．]
【鏈接·教材例題】
例10　若點A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，則△ABC是什么形狀？證明你的猜想．
[解]　如圖6.3-19，在平面直角坐標系中畫出點A，B，C，我們發現△ABC是直角三角形．證明如下．
因為＝(2－1，3－2)＝(1，1)，
＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)，
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0．
于是⊥．
因此，△ABC是直角三角形．
例12　用向量方法證明兩角差的余弦公式
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
[證明]　如圖6.3-20，在平面直角坐標系Oxy內作單位圓O，以x軸的非負半軸為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓O的交點分別為A，B．則＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)．
由向量數量積的坐標表示，有
·＝cos αcos β＋sin αsin β．
設與的夾角為θ，則
·＝||||cos θ＝cos θ．
所以cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β．
另一方面，由圖6.3-20(1)可知，α＝2kπ＋β＋θ；由圖6.3-20(2)可知，α＝2kπ＋β－θ．
于是α－β＝2kπ±θ，k∈Z．
所以cos (α－β)＝cos θ．
于是cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
【教用·備選題】　已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c．
(1)求b與c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夾角的大小．
[解]　(1)因為a∥b，所以3x＝4×9，即x＝12．
因為a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3．
故b＝(9，12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．
設m，n的夾角為θ，則cos θ＝
＝＝＝－．
因為θ∈[0，π]，所以θ＝，
即m，n的夾角為．
1．(2022·全國乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，則＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
D　[因為a－b＝－＝，
所以＝＝5．
故選D．]
2．已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，則a與b夾角的余弦值為(　　)
A．
C．
A　[|a|＝＝5，|b|＝＝13．
a·b＝3×5＋4×12＝63．
設a與b的夾角為θ，所以cos θ＝＝．]
3．設向量a＝(2，x＋1)，b＝(x－2，－1)，若a⊥b，則x＝(　　)
A．5 B．2
C．1 D．0
A　[∵向量a＝(2，x＋1)，b＝(x－2，－1)，a⊥b，
∴a·b＝0，可得2(x－2)＋(x＋1)×(－1)＝0，
∴x＝5．故選A．]
4．已知a＝(1，2)，b＝(3，4)，則a在b方向上的投影向量的坐標為________ ．
　[由a＝(1，2)，b＝(3，4)，
得a在b方向上的投影向量為·＝·＝．]
1．知識鏈： (1)平面向量數量積的坐標表示．
(2)平面向量的模．
(3)平面向量的夾角、垂直問題．
2．方法鏈：轉化與化歸．
3．警示牌：注意不要記錯兩向量夾角的余弦公式．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
已知非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
1．如何求向量a與b的夾角θ的余弦值cos θ？
[提示]　cos θ＝
＝．
2．向量a與b的夾角θ的范圍與向量數量積的坐標運算的關系是什么？
[提示]　(1)當θ為銳角或零角 x1x2＋y1y2>0；
(2)當θ為直角 x1x2＋y1y2＝0；
(3)當θ為鈍角或平角 x1x2＋y1y2<0．
向量的數量積與三角形的面積
在平面直角坐標系Oxy中，給定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假設O，A，B不在同一條直線上，如圖1所示，你能用A，B的坐標表示出△OAB的面積嗎？
一般地，利用向量的數量積可以方便地求出△OAB的面積為
S＝|x1y2－x2y1|．
事實上，如圖2所示，記t＝||，a＝(－y1，x1)，則容易驗證，a是與垂直的單位向量．
圖2
過B作OA的垂線BC．因為a為單位向量，所以由向量數量積的幾何意義可知
||＝|a·|，
因此，△OAB的面積為
S＝||×||＝||×|a·|
＝t×
＝|(－y1，x1)·(x2，y2)|
＝|x1y2－x2y1|．
由此也可以看出，如圖3所示，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三點不共線，則以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OACB的面積為
圖3
S＝|x1y2－x2y1|．
由此，你體會到向量數量積的作用之大了嗎？
課時分層作業(十)　平面向量數量積的坐標表示
一、選擇題
1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
D　[因為b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，
所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2．
故選D．]
2．設平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|2a－b|等于(　　)
A．4 B．5
C．3 D．4
D　[由a∥b得y＋4＝0，∴y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4，8)，
∴|2a－b|＝4．
故選D．]
3．與向量d＝(12，5)平行的單位向量為(　　)
A．
B．
C．或
D．或
C　[與向量d＝(12，5)平行的單位向量為±＝±，即或．
故選C．]
4．向量b＝在向量a＝上的投影向量的坐標為(　　)
A． B．
C． D．
B　[b＝在向量a＝上的投影向量為＝＝．故選B．]
5．(多選)設向量a＝(－1，1)，b＝(0，2)，則(　　)
A．a·b＝2 B．|a|＝|b|
C．(a－b)⊥a D．(a－b)∥a
AC　[對于A，因為a·b＝·＝2，所以A正確．
對于B，因為＝＝，＝＝2，所以|a|≠|b|．
對于C，a－b＝－＝，
因為(a－b)·a＝·＝×＋×1＝0，所以(a－b)⊥a．
對于D，由C可知(a－b)⊥a，所以D錯誤．
故選AC．]
二、填空題
6．已知平面向量a＝，且a⊥b．寫出滿足條件的一個非零向量b＝ ________ ．
(2，1)(答案不唯一，形如(2m，m)(m≠0))　[設b＝(x，y)，而向量a＝，且a⊥b，因此x－2y＝0，即x＝2y，又b≠0，則令y＝m≠0，
所以b＝(2m，m)(m≠0)，取m＝1，得b＝(2，1)．]
7．設向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝，則m＝________．
－2　[法一：a＋b＝(m＋1，3)，
又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．
法二：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．]
8．設向量a＝(2，3)，b＝(6，t)，若a與b的夾角為銳角，則實數t的取值范圍為________．
(－4，9)∪(9，＋∞)　[因為a與b的夾角為銳角，
所以a·b>0，且a與b不共線，
所以解得t>－4且t≠9，
所以實數t的取值范圍為(－4，9)∪(9，＋∞)．]
三、解答題
9．已知三點A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求證：AB⊥AD；
(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標以及矩形ABCD兩對角線所夾銳角的余弦值．
[解]　(1)證明：因為A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，＝(1，1)，＝(－3，3)，
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，所以⊥，即AB⊥AD．
(2)因為⊥，四邊形ABCD為矩形，所以＝，設點C的坐標為(x，y)，則由＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，
得 解得 所以點C的坐標為(0，5)，從而＝(－2，4)，＝(－4，2)，且||＝2，||＝2·＝8＋8＝16，
設與的夾角為θ，則cos θ＝＝＝，所以矩形的兩對角線所夾銳角的余弦值為．
10．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，則△ABC的形狀是(　　)
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等邊三角形
A　[由題設知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥．所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．]
11．(2023·全國甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，則cos 〈a＋b，a－b〉＝(　　)
A．
C．
B　[由題意知，a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，
所以cos 〈a＋b，a－b〉＝＝＝＝．故選B．]
12．(多選)已知向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，則|a＋b|的值可以是(　　)
A．
C．2 D．2
ABC　[由題意，向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ)，
可得|a|＝1，|b|＝1，a·b＝cos θ，
則|a＋b|＝＝．
因為θ∈，所以cos θ∈[0，1]，
所以∈[，2]，即|a＋b|∈[，2]，故選項ABC符合題意．故選ABC．]
13．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E在邊CD上，且＝2，則·的值是________．
　[以A為原點，AB，AD所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．
∵AB＝，BC＝2，
∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，
∵點E在邊CD上，
且＝2，∴E．
∴＝＝，
∴·＝－＋4＝．]
14．(源自湘教版教材)如圖，已知點O為平面直角坐標系的原點，點A的坐標為(4，3)，點B的坐標為(－1，6)，作BD⊥OA，垂足為點D．
(1)求，，；
(2)求cos ∠AOB；
(3)求S△OAB．
[解]　(1)＝＝＝5，＝＝＝，由于＝－＝，所以＝＝＝．
(2)·＝·＝－4＋18＝14，
故cos ∠AOB＝＝＝．
(3)由(2)得cos ∠AOB＝，
所以OD＝OB·cos ∠AOB＝×＝，
由勾股定理得，BD＝＝＝，
所以S△OAB＝BD·OA＝××5＝．
15．已知定點A和向量，點P是直線AB外的一點，請寫出點P到直線AB的距離的向量表示．
[解]　設n⊥，作向量(如圖)．
則表示向量在向量n上的投影向量，是點P到直線AB的距離．
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6.3.5　平面向量數量積的坐標表示
第六章　平面向量及其
6.3　平面向量基本定理及坐標表示
整體感知
[學習目標]　1．掌握平面向量數量積的坐標表示，會進行平面向量數量積的坐標運算．
2．能夠用兩個向量的坐標來解決與向量的模、夾角、垂直有關的問題．
[討論交流]　預習教材P34－P35的內容，思考以下問題：
問題1．平面向量數量積的坐標表示是什么？
問題2．如何用坐標表示向量的模、夾角和垂直？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　平面向量數量積的坐標表示
探究問題1　設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能用a，b的坐標表示a·b的值嗎？
[提示]　在平面直角坐標系中，設i，j分別是與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量，則i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0．
∵a＝x1i＋y1 j，b＝x2i＋y2 j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i 2＋x1y2i·j＋x2y1 j·i＋y1y2 j2．
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，
∴a·b＝x1x2＋y1y2．
[新知生成]　平面向量數量積的坐標表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝___________．
即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的________．
x1x2＋y1y2
乘積的和
√
反思領悟　在解決平面幾何中的數量積的運算時，對于規則的圖形，一定要先建立恰當的平面直角坐標系，用向量的坐標法解決平面幾何中的數量積的問題．
√
4
4

4
x2＋y2
(x2－x1，y2－y1)
[典例講評]　2．若向量a的始點為A(－2，4)，終點為B(2，1)，求：
(1)向量a的模；
(2)與a平行的單位向量的坐標；
(3)與a垂直的單位向量的坐標．
√

x1x2＋y1y2＝0
【教用·微提醒】　 (1)兩向量垂直與兩向量平行的坐標表示易混淆．
(2)兩向量夾角的余弦值大于0的夾角不一定是銳角，同樣余弦值小于0的夾角也不一定是鈍角．
4
【鏈接·教材例題】
例11　設a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，求a·b及a，b的夾角θ(精確到1°)．
反思領悟　利用數量積的坐標表示求兩向量夾角的步驟
√
【鏈接·教材例題】
例10　若點A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，則△ABC是什么形狀？證明你的猜想．
例12　用向量方法證明兩角差的余弦公式
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
另一方面，由圖6.3-20(1)可知，α＝2kπ＋β＋θ；由圖6.3-20(2)可知，α＝2kπ＋β－θ．
于是α－β＝2kπ±θ，k∈Z．
所以cos (α－β)＝cos θ．
于是cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
【教用·備選題】　已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c．
(1)求b與c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夾角的大小．
[解]　(1)因為a∥b，所以3x＝4×9，即x＝12．
因為a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3．
故b＝(9，12)，c＝(4，－3)．
4
4
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
2
3
題號
1
4
√
2
3
題號
4
1
3．設向量a＝(2，x＋1)，b＝(x－2，－1)，若a⊥b，則x＝(　　)
A．5 B．2
C．1 D．0
√
A　[∵向量a＝(2，x＋1)，b＝(x－2，－1)，a⊥b，
∴a·b＝0，可得2(x－2)＋(x＋1)×(－1)＝0，
∴x＝5．故選A．]
2
4
3
題號
1
4．已知a＝(1，2)，b＝(3，4)，則a在b方向上的投影向量的坐標為__________ ．

1．知識鏈： (1)平面向量數量積的坐標表示．
(2)平面向量的模．
(3)平面向量的夾角、垂直問題．
2．方法鏈：轉化與化歸．
3．警示牌：注意不要記錯兩向量夾角的余弦公式．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
已知非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
1．如何求向量a與b的夾角θ的余弦值cos θ？
2．向量a與b的夾角θ的范圍與向量數量積的坐標運算的關系是什么？
[提示]　(1)當θ為銳角或零角 x1x2＋y1y2>0；
(2)當θ為直角 x1x2＋y1y2＝0；
(3)當θ為鈍角或平角 x1x2＋y1y2<0．
閱讀材料
圖2
由此也可以看出，如圖3所示，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三點不共線，則以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OACB的面積為
S＝|x1y2－x2y1|．
由此，你體會到向量數量積的作用之大了嗎？
圖3

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