資源簡介

(共45張PPT)
6.4.1　平面幾何中的向量方法　
6.4.2　向量在物理中的應用舉例
第六章　平面向量及其
6.4　平面向量的應用
整體感知
[學習目標]　1．能運用平面向量的知識解決一些簡單的平面幾何問題和物理問題．
2．掌握用向量法解決平面幾何問題的兩種基本方法——選擇基向量法和建系坐標法．
3．通過具體問題的解決，理解用向量知識研究物理的一般思路與方法．
[討論交流]　預習教材P38－P41的內容，思考以下問題：
問題1．利用向量可以解決哪些常見的幾何問題？
問題2．如何用向量方法解決物理問題？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
例2　如圖6.4-3，已知平行四邊形ABCD，你能發現對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關系嗎？
分析：平行四邊形中與兩條對角線對應的向量恰是與兩條鄰邊對應的兩個向量的和與差，我們可以通過向量運算來探索它們的模之間的關系．
角度1　長度問題
[典例講評]　1．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．
角度3　垂直問題
[典例講評]　3．如圖所示，已知正方形ABCD中，P為對角線AC上且不在端點上的任意一點，PE⊥AB，PF⊥BC，連接DP，EF．求證：DP⊥EF．
反思領悟　用向量法解決平面幾何問題的兩種方法
(1)幾何法：選取適當的基底(基底中的向量盡量為已知模或夾角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質計算．
(2)坐標法：建立平面直角坐標系，實現向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉化為代數運算．
【教用·備選題】　(源自北師大版教材)求證：順次連接任意凸四邊形各邊中點，構成一個平行四邊形．
4
探究2　平面向量在物理中的應用
【鏈接·教材例題】
例3　在日常生活中，我們有這樣的經驗：兩個人共提一個旅行包，兩個拉力夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力．你能從數學的角度解釋這種現象嗎？
分析：不妨以兩人共提旅行包為例，只要研究清楚兩個拉力的合力、旅行包所受的重力以及兩個拉力的夾角三者之間的關系，就可以獲得問題的數學解釋．
4
[解]　先來看共提旅行包的情況．如圖6.4-5，設作用在旅行包上的兩個拉力分別為F1，F2，為方便起見，我們不妨設|F1|＝|F2|．另設F1，F2的夾角為θ，旅行包所受的重力為G．
4
例4　如圖6.4-6，一條河兩岸平行，河的寬度d＝500 m，一艘船從河岸邊的A地出發，向河對岸航行．已知船的速度v1的大小為|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小為|v2|＝2 km/h，那么當航程最短時，這艘船行駛完全程需要多長時間(精確到0.1 min)
分析：如果水是靜止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行駛，就能使航程最短，此時所用時間也是最短的．考慮到水的流速，要使航程最短，船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于河岸．
[典例講評]　4．如圖所示，在細繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為θ，繩子所受到的拉力為F1．
(1)求|F1|，|F2|隨角θ的變化而變化的情況；
(2)當|F1|≤2|G|時，求角θ的取值范圍．
反思領悟　用向量方法解決物理問題的四個步驟
[學以致用]　2．(1)(多選)關于船從兩平行河岸的一岸駛向另一岸所用的時間，正確的是(　　)
A．船垂直到達對岸所用時間最少
B．當船速v的方向與河岸垂直時用時最少
C．沿任意直線航行到達對岸的時間都一樣
D．船垂直到達對岸時航行的距離最短
(2)某物體做斜拋運動，初速度|v0|＝10 m/s，與水平方向成60°角，不計空氣阻力，則該物體在水平方向上的速度是________ m/s．
√
√
5
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
2
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題號
1
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4
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題號
1
4．一只鷹正以與水平方向成30°角的方向向下飛行，直撲獵物．太陽光從頭上直照下來，鷹在地面上的影子的速度大小是
40 m/s，則鷹的飛行速度的大小為________m/s．

2
4
3
題號
1
1．知識鏈： (1)平面幾何中的向量方法．
(2)向量在物理中的應用．
2．方法鏈：轉化化歸、數形結合．
3．警示牌：借助向量解決實際問題時，注意最后需要把結果還原為實際問題的答案．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．利用向量方法可以解決平面幾何中哪些問題？說出其大體的求解思路．
[提示]　利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題．利用向量解決平面幾何問題時，有兩種思路：一是選擇一個基底，利用基底表示涉及的向量；另一種是建立直角坐標系，求出題目中涉及的向量的坐標．
2．用向量解決物理中的力學、速度、位移、功等問題的步驟大體有哪些？
[提示]　首先：問題的轉化，把物理問題轉化成數學問題；其次：模型的建立，建立以向量為主體的數學模型；再次：參數的獲取，求出數學模型的相關解；最后：回到物理現象中，用已經獲取的數值去解釋一些物理現象．6.4　平面向量的應用
6.4.1　平面幾何中的向量方法　
6.4.2　向量在物理中的應用舉例
[學習目標]　1．能運用平面向量的知識解決一些簡單的平面幾何問題和物理問題．
2．掌握用向量法解決平面幾何問題的兩種基本方法——選擇基向量法和建系坐標法．
3．通過具體問題的解決，理解用向量知識研究物理的一般思路與方法．
[討論交流]　預習教材P38－P41的內容，思考以下問題：
問題1．利用向量可以解決哪些常見的幾何問題？
問題2．如何用向量方法解決物理問題？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　向量在平面幾何中的應用
【鏈接·教材例題】
例1　如圖6.4-1，DE是△ABC的中位線，用向量方法證明：DE∥BC，DE＝BC．
分析：初中證明過這個結論時要加輔助線，有一定難度．如果用向量方法證明這個結論，可以取{}為基底，用表示，證明＝即可．
[證明]　如圖6.4-2，因為DE是△ABC的中位線，所以
＝＝．
從而＝＝－＝)．
又＝，
所以＝．
于是DE∥BC，DE＝BC．
例2　如圖6.4-3，已知平行四邊形ABCD，你能發現對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關系嗎？
分析：平行四邊形中與兩條對角線對應的向量恰是與兩條鄰邊對應的兩個向量的和與差，我們可以通過向量運算來探索它們的模之間的關系．
[解]　第一步，建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題：
如圖6.4-4，取{}為基底，設＝a，＝b，則
＝a＋b，＝a－b．
第二步，通過向量運算，研究幾何元素之間的關系：
＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2．
上面兩式相加，得＋＝2(a2＋b2)．
第三步，把運算結果“翻譯”成幾何關系：
＝2(AB2＋AD2)．
　長度問題
[典例講評]　1．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．
[解]　設＝a，＝b，則＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝＝＝＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝．
　共線問題
[典例講評]　2．(源自北師大版教材)如圖，點O是 ABCD兩條對角線的交點，點E，F分別在邊CD，AB上，且＝＝．求證：點E，O，F在同一直線上．
[證明]　設＝m，＝n，則＝m＋n，
由＝＝，知E，F分別是CD，AB的三等分點，
所以＝＝＋
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n．
所以＝．
又O為和的公共點，故點E，O，F在同一直線上．
　垂直問題
[典例講評]　3．如圖所示，已知正方形ABCD中，P為對角線AC上且不在端點上的任意一點，PE⊥AB，PF⊥BC，連接DP，EF．求證：DP⊥EF．
解：法一：如圖，以A為原點，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系．
設正方形ABCD的邊長為1，
則A，B，C，D．
∴＝＝．
設P，0∴＝＝．
∴·＝a＋a＝0，
∴DP⊥EF．
法二：設正方形ABCD的邊長為1，AE＝a(0則EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
∴·＝()·()
＝····
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0．
∴⊥，即DP⊥EF．
　用向量法解決平面幾何問題的兩種方法
(1)幾何法：選取適當的基底(基底中的向量盡量為已知模或夾角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質計算．
(2)坐標法：建立平面直角坐標系，實現向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉化為代數運算．
[學以致用]　1．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，點D在線段BC上，且BD＝DC．求：
(1)AD的長；
(2)∠DAC的大小．
[解]　(1)設＝a，＝b，
則＝＝＋＝＋)＝＋＝a＋b．
∴||2＝ 2＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3．∴AD＝．
(2)設∠DAC＝θ(0°<θ<120°)，
則θ為與的夾角．
∴cos θ＝＝
＝
＝＝0．
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°．
【教用·備選題】　(源自北師大版教材)求證：順次連接任意凸四邊形各邊中點，構成一個平行四邊形．
[解]　 如圖，凸四邊形ABCD，E，F，G，H分別為各邊的中點．
連接BD，AC，
因為E，F，G，H分別為各邊的中點，
所以，＝＝，所以，＝－＝，即＝．
同理可得，＝．
所以＝，所以EF∥GH，且EF＝GH，
所以四邊形EFGH為平行四邊形．
探究2　平面向量在物理中的應用
【鏈接·教材例題】
例3　在日常生活中，我們有這樣的經驗：兩個人共提一個旅行包，兩個拉力夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力．你能從數學的角度解釋這種現象嗎？
分析：不妨以兩人共提旅行包為例，只要研究清楚兩個拉力的合力、旅行包所受的重力以及兩個拉力的夾角三者之間的關系，就可以獲得問題的數學解釋．
[解]　先來看共提旅行包的情況．如圖6.4-5，設作用在旅行包上的兩個拉力分別為F1，F2，為方便起見，我們不妨設|F1|＝|F2|．另設F1，F2的夾角為θ，旅行包所受的重力為G．
由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識，可以知道|F1|＝．
這里，|G|為定值．分析上面的式子，我們發現，當θ由0逐漸變大到π時，由0逐漸變大到，cos 的值由大逐漸變小，此時|F1|由小逐漸變大；反之，當θ由π逐漸變小到0時，由逐漸變小到0，cos 的值由小逐漸變大，此時|F1|由大逐漸變小．這就是說，F1，F2之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力．
同理，在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力．
例4　如圖6.4-6，一條河兩岸平行，河的寬度d＝500 m，一艘船從河岸邊的A地出發，向河對岸航行．已知船的速度v1的大小為|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小為|v2|＝2 km/h，那么當航程最短時，這艘船行駛完全程需要多長時間(精確到0.1 min)
分析：如果水是靜止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行駛，就能使航程最短，此時所用時間也是最短的．考慮到水的流速，要使航程最短，船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于河岸．
[解]　設點B是河對岸一點，AB與河岸垂直，那么當這艘船實際沿著AB方向行駛時，船的航程最短．
如圖6.4-7，設v＝v1＋v2，則
|v|＝＝(km/h)．
此時，船的航行時間
t＝＝×60≈3.1(min)．
所以，當航程最短時，這艘船行駛完全程需要3.1 min．
[典例講評]　4．如圖所示，在細繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為θ，繩子所受到的拉力為F1．
(1)求|F1|，|F2|隨角θ的變化而變化的情況；
(2)當|F1|≤2|G|時，求角θ的取值范圍．
[解]　(1)由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則，得－G＝F1＋F2，|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ，
當θ從0°趨向于90°時，|F1|，|F2|都逐漸增大．
(2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cos θ≥．
又因為0°≤θ<90°，
所以0°≤θ≤60°．
　用向量方法解決物理問題的四個步驟
[學以致用]　2．(1)(多選)關于船從兩平行河岸的一岸駛向另一岸所用的時間，正確的是(　　)
A．船垂直到達對岸所用時間最少
B．當船速v的方向與河岸垂直時用時最少
C．沿任意直線航行到達對岸的時間都一樣
D．船垂直到達對岸時航行的距離最短
(2)某物體做斜拋運動，初速度|v0|＝10 m/s，與水平方向成60°角，不計空氣阻力，則該物體在水平方向上的速度是________ m/s．
(1)BD　(2)5　[(1)根據向量將船速v分解，當v垂直河岸時，用時最少．船垂直到達對岸時航行的距離最短．
(2)設該物體在豎直方向上的速度為v1，水平方向上的速度為v2，如圖所示，|v2|＝|v0|cos 60°＝10×＝5(m/s)．]
1．已知三個力＝＝＝同時作用于某質點上，若對質點再施加一個力，該質點恰好達到平衡狀態(合力為零)，則＝(　　)
A．
C．
D　[因為＝＝＝，
所以＝＋＋(4，－3)＝(－1，－2)，想要質點恰好達到平衡狀態，只需＝－(－1，－2)＝(1，2)．
故選D．]
2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D為AC的中點，則cos ∠BDC等于(　　)
A．－
C．0 D．
B　[如圖建立平面直角坐標系，則B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，所以＝(－3，－4)，＝(3，－4)．又∠BDC為的夾角，所以cos ∠BDC＝＝＝．故選B．]
3．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，D為邊BC的中點，且＝，則向量的模為(　　)
A．
C．或 或
B　[因為AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，
所以·＝－8．因為＝＝＝＝－＋，
所以＝
＝＝．故選B．]
4．一只鷹正以與水平方向成30°角的方向向下飛行，直撲獵物．太陽光從頭上直照下來，鷹在地面上的影子的速度大小是40 m/s，則鷹的飛行速度的大小為________m/s．
　[如圖，設鷹在地面上的影子的速度＝v1，鷹的飛行速度＝v2，由題可知||＝|v1|＝40，且∠CAB＝30°，則||＝|v2|＝＝． ]
1．知識鏈： (1)平面幾何中的向量方法．
(2)向量在物理中的應用．
2．方法鏈：轉化化歸、數形結合．
3．警示牌：借助向量解決實際問題時，注意最后需要把結果還原為實際問題的答案．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1． 利用向量方法可以解決平面幾何中哪些問題？說出其大體的求解思路．
[提示]　利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題．利用向量解決平面幾何問題時，有兩種思路：一是選擇一個基底，利用基底表示涉及的向量；另一種是建立直角坐標系，求出題目中涉及的向量的坐標．
2．用向量解決物理中的力學、速度、位移、功等問題的步驟大體有哪些？
[提示]　首先：問題的轉化，把物理問題轉化成數學問題；其次：模型的建立，建立以向量為主體的數學模型；再次：參數的獲取，求出數學模型的相關解；最后：回到物理現象中，用已經獲取的數值去解釋一些物理現象．
課時分層作業(十一)　平面幾何中的向量方法　向量在物理中的應用舉例
一、選擇題
1．在△ABC中，()·＝||2，則△ABC的形狀一定是(　　)
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C　[由()·＝||2，得()·＝0，
即()·＝0，
∴2·＝0，∴⊥，∴A＝90°，
即△ABC的形狀一定是直角三角形．
無法判斷△ABC是不是等腰三角形．
故選C．]
2．已知兩個力F1，F2的夾角為90°，它們的合力大小為10 N，合力與F1的夾角為60°，那么F1的大小為(　　)
A．5 N B．5 N
C．10 N D．5 N
B　[如圖，＝＝，∠AOC＝60°，∠OAC＝90°，＝10．
在Rt△OAC中，有＝·cos ∠AOC＝5，
所以，F1的大小為5 N．
故選B．]
3．某人騎自行車的速度是v1，風速為v2，則逆風行駛的速度大小為(　　)
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．|v1－v2|
C　[由向量的加法法則可知逆風行駛的速度為v1＋v2．人的速度和風速方向相反，則逆風行駛的速度大小為|v1|－|v2|，故選C．]
4．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，點E為AB的中點，且⊥，則||等于(　　)
A． B．2
C．3 D．2
B　[以A為坐標原點，AB，AD所在直線為x軸、y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
設||＝a(a>0)，則A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，
所以＝(2，－a)，＝(4，a)．
因為⊥，所以·＝0，
所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8．
所以a＝2，所以＝(2，－2)，
所以||＝＝2．]
5．(多選)在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)．若△ABC是直角三角形，則k的值可以是(　　)
A．－1 B．
C．
BCD　[若A為直角，則AB⊥AC，則·＝0，∴2＋3k＝0，解得k＝－．若B為直角，則BC⊥AB，則·＝0，∵＝(2，3)，＝(1，k)，∴＝＝(－1，k－3)，∴－2＋3k－9＝0，解得k＝．若C為直角，則BC⊥AC，則·＝0，∴－1＋k(k－3)＝0，解得k＝．綜上可得，k的值可能為－，，，．故選BCD．]
二、填空題
6．已知一物體在兩力＝＝的作用下，發生位移S＝，則所做的功是________．
2　[因為＝＝，
所以＝＝，
又因為位移S＝，
所以所做的功是W＝2lg 5×1＋2lg 2×1＝2．]
7．點P在平面上做勻速直線運動，速度v＝(4，－3)(即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為|v|個單位)．設開始時點P0的坐標為(－10，10)，則5秒后點P的坐標為________．
(10，－5)　[由題意知，＝5v＝(20，－15)，
設點P的坐標為(x，y)，
則
解得點P的坐標為(10，－5)．]
8．已知＝a＋b，＝a－2b，|a|＝2|b|＝2，a，b的夾角為，則三角形ABC的BC邊上中線的長為________．
　[設D為BC的中點，則2＝，
所以＝，
所以4＝，
所以＝
＝＝．]
三、解答題
9．(源自湘教版教材)如圖，兩根繩子把物體W吊在水平桿子AB上．已知物體W的重力G大小為10 N，∠ACD＝150°，∠BCD＝120°，求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計)．
[解]　如圖所示，設分別表示點A和B處所受力，10 N的重力用表示．
則有＝．
因為∠ACG＝150°，∠BCG＝120°，
所以∠FCG＝60°，∠ECG＝30°，
所以＝·cos 30°＝10×＝5，＝·cos 60°＝10×＝5．
所以A處所受力的大小為5 N, B處所受力的大小為5 N．
10．在四邊形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，則該四邊形的面積為(　　)
A． B．2
C．5 D．10
D　[∵·＝0，∴AC⊥BD．
∴四邊形ABCD的面積
S＝||||＝×2＝10．]
11．若非零向量與滿足·＝0，·＝0，則△ABC為(　　)
A．三邊均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等邊三角形
C　[因為非零向量與滿足·＝0，
又因為，均為單位向量，所以角A的角平分線垂直于BC，則AB＝AC，
因為·＝0，所以⊥，即AB⊥AC，所以△ABC為等腰直角三角形．故選C．]
12．長江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸．假設游船在靜水中的航行速度v1的大小為|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小為|v2|＝4 km/h．設v1和v2的夾角為θ(0°<θ<180°)，北岸的點A′在A的正北方向，若游船正好到達A′處，則cos θ等于(　　)
A． B．－
C． D．－
D　[設船的實際速度為v，v1與南岸上游的夾角為α，如圖所示．
要使得游船正好到達A′處，
則|v1|cos α＝|v2|，
即cos α＝＝，
又θ＝π－α，所以cos θ＝cos (π－α)＝－cos α＝－．]
13．已知△ABC的三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為AB邊上任意一點，則·()的最大值為________．
9　[法一(坐標法)：由題意可知AC⊥BC，所以以C為原點，建立平面直角坐標系如圖所示，設P點坐標為(x，y)且0≤y≤3，0≤x≤4，則·()＝·＝(x，y)·(0，3)＝3y，當y＝3時，·()取得最大值9．
法二(基向量法)：∵＝＝，
∴·()＝()·
＝＋·＝9－·
＝9－||||cos ∠BAC
＝9－3||cos ∠BAC．
∵cos ∠BAC為正且為定值，
∴當||最小即||＝0時，·()取得最大值9．]
14．如圖，在矩形ABCD中，點E是BC邊上的中點，點F在邊CD上．
(1)若AB＝BC＝2，點F是邊CD上靠近點C的三等分點，求·的值；
(2)若AB＝，BC＝2，當·＝0時，求CF的長．
[解]　以A為原點，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．
(1)因為AB＝BC＝2，點F是邊CD上靠近點C的三等分點，點E是BC邊上的中點，
所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(2，1)，D(0，2)，F，
所以＝(2，1)，＝，
所以·＝－＋1＝－．
(2)因為AB＝，BC＝2，
所以A(0，0)，B(，0)，E(，1)，C(，2)，D(0，2)，
設F(a，2)(0≤a≤)，
所以＝(，1)，＝(a－，2)，
當·＝0時，(a－)＋2＝0，
解得a＝，
所以CF＝－＝．
15．如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，＝m，＝n，其中m，n∈(0，1)，設DE中點為M，AB中點為N．
(1)若m＝n，求證：C，M，N三點共線；
(2)若m＋n＝1，求||的最小值．
[解]　(1)[證明]　當m＝n時，
＝)＝(m＋m)＝)，＝)，故＝m，故C，M，N三點共線，即得證．
(2)當m＋n＝1時，＝)＝(m＋n)，＝)，故＝＝)－(m＋n)＝(n＋m)，故||2＝|n＋m|2＝(9n2＋16m2＋2mn·)＝(9n2＋16m2)＝[9(1－m)2＋16m2]＝(25m2－18m＋9)，
故當m＝＝時，||2取得最小值＝，
即||的最小值為．
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