資源簡介

(共38張PPT)
第1課時　余弦定理
第六章　平面向量及其
6.4　平面向量的應(yīng)用
6.4.3　余弦定理、正弦定理
整體感知
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．掌握余弦定理的表示形式及證明方法．
2．會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題．
[討論交流]　預(yù)習(xí)教材P42－P44的內(nèi)容，思考以下問題：
問題1．余弦定理的內(nèi)容是什么？如何推導(dǎo)？
問題2．余弦定理有哪些推論？
問題3．應(yīng)用余弦定理可以解哪些三角形？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真預(yù)習(xí)，結(jié)合你對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究建構(gòu)
[新知生成]　余弦定理的表示
文字表述 三角形中任何一邊的平方，等于________________減去這兩邊與它們______________的兩倍
符號語言 a2＝________________________；
b2＝_________________________；
c2＝________________________
其他兩邊平方的和
夾角的余弦的積
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
【教用·微提醒】　(1)適用范圍：對任意的三角形，三個等式都成立．
(2)簡單應(yīng)用：每個等式都涉及三邊和一角四個元素，利用余弦定理可做到知三求一．
(3)定理特例：當(dāng)夾角為90°時(例如C＝90°)，定理變?yōu)閏2＝a2＋b2，這就是勾股定理，所以余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例．
反思領(lǐng)悟　已知三角形的兩邊及一角求第三邊的思路
先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角．
①若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；
②若是給出兩邊中一邊的對角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊．
√
3
探究2　已知三邊解三角形
探究問題2　在△ABC中，已知三邊分別是a，b，c，如何求角A呢？
[新知生成]
1．余弦定理的推論
在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則cos A＝_______，
cos B＝________，cos C＝_________．
2．解三角形
(1)一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的____．
(2)已知三角形的幾個元素求________的過程叫做解三角形．



元素
其他元素
【鏈接·教材例題】
例5　在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝34 cm，A＝41°，解這個三角形(角度精確到1°，邊長精確到1 cm)．
分析：由條件可求cos C，再利用余弦定理及其推論可求出B的值．
反思領(lǐng)悟　已知三角形的三邊解三角形的方法
利用余弦定理的推論求出三個角的余弦，進(jìn)而求出三個角．
[學(xué)以致用]　2．(源自湘教版教材)已知△ABC的三邊分別為a＝6，b＝10和c＝14，試求△ABC最大內(nèi)角的度數(shù)．
探究3　三角形的形狀與余弦定理
[典例講評]　3．(1)已知△ABC，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則以下為鈍角三角形的是(　　)
A．a(chǎn)＝3，b＝3，c＝4 B．a(chǎn)＝4，b＝5，c＝6
C．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝7 D．a(chǎn)＝3，b＝3，c＝5
(2)(源自人教B版教材)在△ABC中，已知acos A＝bcos B，試判斷這個三角形的形狀．
√
反思領(lǐng)悟　
1．利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑
(1)化邊的關(guān)系：將條件中的角，利用余弦定理化為邊的關(guān)系，再變形條件判斷．
(2)化角的關(guān)系：將條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換得出關(guān)系進(jìn)行判斷．
[學(xué)以致用]　3．(1)在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＝3，c＝4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．
(2)(源自蘇教版教材)在△ABC中，已知a cos B＝bcos A，求證：△ABC為等腰三角形．
【教用·備選題】　在△ABC中，若a cos B＋acos C＝b＋c，試判斷該三角形的形狀．
2
4
3
題號
1
應(yīng)用遷移
√
2
3
題號
1
4
√
2
3
題號
4
1
3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a＝12，b＝13，c＝17，則△ABC為(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形　
C．鈍角三角形 D．以上都有可能
√
2
4
3
題號
1
4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a2＋b2＋ab＝c2，則角C＝________．
120°
1．知識鏈： (1)余弦定理．
(2)余弦定理解決的兩類問題．
(3)余弦定理的簡單應(yīng)用．
2．方法鏈：公式法．
3．警示牌：注意不要忽略三角形中的隱含條件．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．余弦定理及其推論的內(nèi)容是什么？
2．解三角形是如何定義的？余弦定理可解哪些三角形？
[提示]　由三角形的六個元素(即三條邊和三個內(nèi)角)中的三個元素(其中至少有一個是邊)求其他未知元素的問題叫做解三角形，余弦定理主要解決知道三邊求三角，或知道兩邊及一角求第三邊．
3．在△ABC中，若a2[提示]　當(dāng)a2第1課時　余弦定理
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．掌握余弦定理的表示形式及證明方法．
2．會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題．
[討論交流]　預(yù)習(xí)教材P42－P44的內(nèi)容，思考以下問題：
問題1．余弦定理的內(nèi)容是什么？如何推導(dǎo)？
問題2．余弦定理有哪些推論？
問題3．應(yīng)用余弦定理可以解哪些三角形？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真預(yù)習(xí)，結(jié)合你對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　余弦定理的推導(dǎo)
探究問題1　在△ABC中，當(dāng)＝b，＝a，試求||2．
[提示]　∵＝，
∴||＝||，
∴||2＝＋－2·＝a2＋b2－2|a||b|cos C．
[新知生成]　余弦定理的表示
文字表述 三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
符號語言 a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2ca_cos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C
【教用·微提醒】　(1)適用范圍：對任意的三角形，三個等式都成立．
(2)簡單應(yīng)用：每個等式都涉及三邊和一角四個元素，利用余弦定理可做到知三求一．
(3)定理特例：當(dāng)夾角為90°時(例如C＝90°)，定理變?yōu)閏2＝a2＋b2，這就是勾股定理，所以余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例．
[典例講評]　1．(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值；
(2)在△ABC中，已知b＝，c＝，B＝30°，求a的值．
[解]　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A
＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，
所以a＝．
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
得()2＝a2＋()2－2a××cos 30°，
即a2－3a＋10＝0，解得a＝或a＝2．
　已知三角形的兩邊及一角求第三邊的思路
先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角．
①若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；
②若是給出兩邊中一邊的對角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊．
[學(xué)以致用]　1．(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知A＝，b＝1，c＝，則a＝(　　)
A．1　　　B．2　　　C．　　　D．3
(2)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，則b＝________．
(1)A　(2)3　[(1)由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋2－2×＝1，所以a＝1．故選A．
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得5＝22＋b2－2×2bcos A，
因為cos A＝，
所以3b2－8b－3＝0，
解得b＝3．]
探究2　已知三邊解三角形
探究問題2　在△ABC中，已知三邊分別是a，b，c，如何求角A呢？
[提示]　cos A＝．
[新知生成]
1．余弦定理的推論
在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則cos A＝，cos B＝，cos C＝．
2．解三角形
(1)一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形．
【鏈接·教材例題】
例5　在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝34 cm，A＝41°，解這個三角形(角度精確到1°，邊長精確到1 cm)．
[解]　由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bc cos A
＝602＋342－2×60×34×cos 41°
≈1 676.78，
所以a≈41(cm)．
由余弦定理的推論，得
cos B＝＝＝－，
利用計算器，可得B≈106°．
所以C＝180°－(A＋B)≈180°－(41°＋106°)＝33°．
例6　在△ABC中，a＝7，b＝8，銳角C滿足sin C＝，求B(精確到1°)．
分析：由條件可求cos C，再利用余弦定理及其推論可求出B的值．
[解]　因為sin C＝，且C為銳角，
所以cos C＝＝＝．
由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2ab cosC＝49＋64－2×7×8×＝9，
所以c＝3．
進(jìn)而cos B＝＝＝－．
利用計算器，可得B≈98°．
[典例講評]　2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度數(shù)．
[解]　已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，
令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，
由余弦定理的推論，得cos A＝
＝＝，
∵0°cos B＝＝＝，
∵0°∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°．
　已知三角形的三邊解三角形的方法
利用余弦定理的推論求出三個角的余弦，進(jìn)而求出三個角．
[學(xué)以致用]　2．(源自湘教版教材)已知△ABC的三邊分別為a＝6，b＝10和c＝14，試求△ABC最大內(nèi)角的度數(shù)．
[解]　根據(jù)三角形中大邊對大角的原理可知，∠C是△ABC的最大內(nèi)角．
由余弦定理得cos C＝＝＝－．
因為∠C是三角形的內(nèi)角，所以∠C＝120°．
因此△ABC的最大內(nèi)角為120°．
探究3　三角形的形狀與余弦定理
[典例講評]　3．(1)已知△ABC，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則以下為鈍角三角形的是(　　)
A．a(chǎn)＝3，b＝3，c＝4 B．a(chǎn)＝4，b＝5，c＝6
C．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝7 D．a(chǎn)＝3，b＝3，c＝5
(2)(源自人教B版教材)在△ABC中，已知acos A＝bcos B，試判斷這個三角形的形狀．
(1)D　[對于D，由余弦定理，得cos C＝＝<0，∴C為鈍角，∴△ABC為鈍角三角形．同理可得選項A，選項B，選項C均為銳角三角形．故選D．]
(2)[解]　∵a cos A＝bcos B，
∴由余弦定理可得a×＝b×，
整理得(c2＋b2－a2)a2 ＝(a2＋c2－b2)b2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，
∴a2＋b2＝c2或a＝b．
故△ABC為直角三角形或等腰三角形．
　
1．利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑
(1)化邊的關(guān)系：將條件中的角，利用余弦定理化為邊的關(guān)系，再變形條件判斷．
(2)化角的關(guān)系：將條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換得出關(guān)系進(jìn)行判斷．
2．判斷三角形的形狀時，經(jīng)常用到以下結(jié)論
(1)△ABC為直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
(2)△ABC為銳角三角形 a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2；
(3)△ABC為鈍角三角形 a2＋b2(4)若sin 2A＝sin 2B，則A＝B或A＋B＝．
[學(xué)以致用]　3．(1)在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＝3，c＝4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
(2)(源自蘇教版教材)在△ABC中，已知a cos B＝bcos A，求證：△ABC為等腰三角形．
(1)(，5)　[因為b＝3，c＝4，且△ABC是銳角三角形，所以cos A＝>0，且cos C＝>0，所以7(2)[證明]　由余弦定理，得a·＝b·，整理，得a2＝b2．
因為a>0，b>0，所以a＝b．
因此△ABC為等腰三角形．
【教用·備選題】　在△ABC中，若a cos B＋acos C＝b＋c，試判斷該三角形的形狀．
[解]　由acos B＋acos C＝b＋c并結(jié)合余弦定理，
得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0．
因為b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形．
1．一個三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是－，則該三角形的第三條邊長為(　　)
A．52 B．2
C．16 D．4
B　[設(shè)第三條邊長為x，
則x2＝52＋32－2×5×3×＝52，∴x＝2．]
2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝，b＝2，c＝5，則A的大小為(　　)
A．30° B．60°
C．45° D．90°
B　[由余弦定理，得cos A＝＝＝，又0°3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a＝12，b＝13，c＝17，則△ABC為(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形　
C．鈍角三角形 D．以上都有可能
A　[由于c>b>a，且cos C＝>0，故C為銳角，故△ABC為銳角三角形．故選A．]
4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a2＋b2＋ab＝c2，則角C＝________．
120°　[由a2＋b2＋ab＝c2，得a2＋b2－c2＝－ab．由余弦定理的推論，得cos C＝＝＝－，故C＝120°．]
1．知識鏈： (1)余弦定理．
(2)余弦定理解決的兩類問題．
(3)余弦定理的簡單應(yīng)用．
2．方法鏈：公式法．
3．警示牌：注意不要忽略三角形中的隱含條件．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．余弦定理及其推論的內(nèi)容是什么？
[提示]　(1)三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．
(2)余弦定理的推論：cos A＝，cos B＝，cos C＝(已知三邊求三角)．
2．解三角形是如何定義的？余弦定理可解哪些三角形？
[提示]　由三角形的六個元素(即三條邊和三個內(nèi)角)中的三個元素(其中至少有一個是邊)求其他未知元素的問題叫做解三角形，余弦定理主要解決知道三邊求三角，或知道兩邊及一角求第三邊．
3．在△ABC中，若a2[提示]　當(dāng)a2課時分層作業(yè)(十二)　余弦定理
一、選擇題
1．在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，則△ABC的周長是(　　)
A．18 B．19
C．16 D．17
A　[在△ABC中，a＝3，c＝8，B＝60°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B＝32＋82－2×3×8×cos 60°＝49．
所以b＝7，所以△ABC的周長為a＋b＋c＝3＋7＋8＝18．故選A．]
2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2＋b2A．等腰三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．鈍角三角形
D　[因為a2＋b23．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，則最大角與最小角的和為(　　)
A．90° B．120°
C．135° D．150°
B　[在△ABC中，因為a＝3，b＝5，c＝，
所以最大角為B，最小角為A，
所以cos C＝＝＝，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中最大角與最小角的和為120°．故選B．]
4．(多選)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
AD　[由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 (b－2)(b－4)＝0，由b5．已知△ABC的三條邊的長度分別為4米、5米、6米，將三邊都截掉x米后，剩余的部分組成一個鈍角三角形，則x的取值范圍是(　　)
A．(0，5) B．(1，5)
C．(1，3) D．(1，4)
C　[根據(jù)題意，將三邊都截掉x米后，三角形的三邊長分別為(4－x)米、(5－x)米、(6－x)米，且0＜x＜4．設(shè)長為(6－x)米的邊所對的角為α，則α為鈍角．
∵4－x＞0，5－x＞0，6－x＞0，
cos α＝＜0，∴1＜x＜4．
∵4－x＋5－x＞6－x，∴x＜3，∴1＜x＜3，
故x的取值范圍是(1，3)．故選C．]
二、填空題
6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，則B＝________．
45°　[由已知得a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝＝．又0°＜B＜180°，所以B＝45°．]
7．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，則A＝________，AC邊上的高為________．
　　[由余弦定理的推論，可得
cos A＝＝＝，
又0則AC邊上的高為h＝ABsin A＝3×＝．]
8．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀是________．
直角三角形　[因為bcos C＋ccos B＝asin A，
所以由余弦定理的推論，得b·＋c·＝asin A，整理，得a＝asin A，所以sin A＝1．又A∈(0，π)，所以A＝．
故△ABC為直角三角形．]
三、解答題
9．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc．
(1)求A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，試判斷△ABC的形狀．
[解]　(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1，
∴cos A＝．∵A∈(0，π)，∴A＝．
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，
∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc．①
又∵b＋c＝2，與①聯(lián)立，解得bc＝3，
∴∴b＝c＝，∴△ABC為等邊三角形．
10．在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝(　　)
A．4
C． D．2
A　[因為cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4．故選A．]
11．若△ABC的三邊長分別為AB＝7，BC＝5，CA＝6，則·的值為(　　)
A．19 B．14
C．－18 D．－19
D　[設(shè)三角形的三邊BC，AC，AB分別為a，b，c，依題意得，a＝5，b＝6，c＝7．
∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B．
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)
＝－19，∴·＝－19．]
12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若b2＋c2＝2a2，則cos A的最小值為________．
　[在△ABC中，由余弦定理的推論可知cos A＝≥＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝a時，等號成立．]
13．已知△ABC為鈍角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，則x的取值范圍是________．
(1，)∪(5，7)　[①若x>4，則x所對的角為鈍角，
∴<0且x<3＋4＝7，∴5②若x<4，則4所對的角為鈍角，
∴<0且3＋x>4，
∴1∴x的取值范圍是(1，)∪(5，7)．]
14．(源自蘇教版教材)如圖，AM是△ABC的邊BC上的中線，求證：AM＝
．
[證明]　設(shè)∠AMB＝α，則∠AMC＝180°－α．
在△ABM中，由余弦定理，得
AB2＝AM2＋BM2－2AM·BM cos α．
在△ACM中，由余弦定理，得
AC2＝AM2＋MC2－2AM·MC cos (180°－α)．
因為cos (180°－α)＝－cos α，BM＝MC＝BC，
所以AB2＋AC2＝2AM2＋BC2，
從而AM＝．
15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0．
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范圍．
[解]　(1)由已知得－cos (A＋B)＋cos A cos B－sin Acos B＝0，
即有sin A sin B－sin A cos B＝0．
因為sin A≠0，所以sin B－ cos B＝0．
又cos B≠0，
所以tan B＝．又0＜B＜π，
所以B＝．
(2)由余弦定理，可知b2＝a2＋c2－2ac cos B．
因為a＋c＝1，cos B＝，
所以b2＝3＋．
又0＜a＜1，
于是有≤b2＜1，即有≤b＜1．
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