資源簡介

(共44張PPT)
6.3.4　平面向量數乘運算的坐標表示
第六章　平面向量及其
6.3　平面向量基本定理及坐標表示
整體感知
[學習目標]　1．掌握平面向量數乘運算的坐標表示．
2．理解用坐標表示的平面向量共線的條件．
3．能根據平面向量的坐標，判斷向量是否共線．
[討論交流]　預習教材P31－P33的內容，思考以下問題：
問題1．兩向量共線的充要條件是什么？
問題2．如何利用向量的坐標表示兩個向量共線？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　平面向量數乘運算的坐標表示
探究問題1　當a＝(x，y)時，2a如何表示？
[提示]　法一：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x，2y)．
法二：a＝xi＋yj，∴2a＝2xi＋2yj，即2a＝(2x，2y)．
[新知生成]
已知a＝(x，y)，則λa＝_________，這就是說，實數與向量的積的坐標等于用這個實數____________________．
(λx，λy)
乘原來向量的相應坐標
【鏈接·教材例題】
例6　已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求3a＋4b的坐標．
[解]　3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)．
4
反思領悟　平面向量坐標運算的技巧
(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的坐標運算進行計算．
(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．
(3)向量的線性運算可完全類比數的運算進行．
探究2　平面向量共線的坐標表示及其應用
探究問題2　已知a，b兩向量，則兩個向量共線的條件是什么？如何用坐標表示兩個向量共線？
[提示]　設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，
由a，b共線的充要條件是存在實數λ，使a＝λb，
則有(x1，y1)＝λ(x2，y2)，
即消去λ，得x1y2－x2y1＝0．
[新知生成]
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．
向量a，b(b≠0)共線的充要條件是_________________．
x1y2－x2y1＝0
【鏈接·教材例題】
例7　已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y．
[解]　因為a∥b，
所以4y－2×6＝0．
解得y＝3．
4
例8　已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判斷A，B，C三點之間的位置關系．
[解]　在平面直角坐標系中作出A，B，C三點(圖6.3-15)．
觀察圖形，我們猜想A，B，C三點共線．下面來證明．
反思領悟　三點共線的實質與證明步驟
(1)實質：三點共線問題的實質是向量共線問題．兩個非零向量共線只需滿足方向相同或相反，兩個向量共線與兩個向量平行是一致的．
(2)證明步驟：利用向量平行證明三點共線需分兩步完成，①證明向量平行；②證明兩個向量有公共點．
[學以致用]　2．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，當k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？
[解]　法一：(向量共線定理法)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
當ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
4
【鏈接·教材例題】
例9　設P是線段P1P2上的一點，點P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)．
(1)當P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；
(2)當P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標．
4
4
4
反思領悟　處理此類分點問題的關鍵是建立等量關系，然后借助向量的坐標運算求解，當遇到選擇、填空題也可以直接套用公式求解．
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
B　[利用平面向量共線的充要條件可知，只有B滿足題意．]
2
3
題號
1
4
2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c滿足3a－2b＋c＝0，則c＝(　　)
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
√
A　[因為a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c滿足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．]
2
3
題號
4
1
√
2
4
3
題號
1
4．(2021·全國乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，則λ＝________．

1．知識鏈：
(1)平面向量數乘運算的坐標表示．
(2)兩個向量共線的坐標表示．
(3)有向線段的定比分點坐標公式及應用．
2．方法鏈：轉化與化歸、分類討論法．
3．警示牌：注意不要記錯兩個向量共線的坐標表示的公式．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．若a＝(x，y)，則λa等于什么？
[提示]　λa＝(λx，λy)．
2．向量a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)共線的充要條件是什么？
[提示]　x1y2＝ x2y1．6.3.4　平面向量數乘運算的坐標表示
[學習目標]　1．掌握平面向量數乘運算的坐標表示．
2．理解用坐標表示的平面向量共線的條件．
3．能根據平面向量的坐標，判斷向量是否共線．
[討論交流]　預習教材P31－P33的內容，思考以下問題：
問題1．兩向量共線的充要條件是什么？
問題2．如何利用向量的坐標表示兩個向量共線？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　平面向量數乘運算的坐標表示
探究問題1　當a＝(x，y)時，2a如何表示？
[提示]　法一：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x，2y)．
法二：a＝xi＋yj，∴2a＝2xi＋2yj，即2a＝(2x，2y)．
[新知生成]
已知a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)，這就是說，實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標．
【鏈接·教材例題】
例6　已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求3a＋4b的坐標．
[解]　3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)．
[典例講評]　1．已知向量a＝，b＝，c＝．
(1)求2a－3b＋c；
(2)求滿足c＝ma＋nb的實數m，n．
[解]　(1)2a－3b＋c＝－＋(4，7)＝(17，－3)．
(2)因為c＝ma＋nb，所以＝m＋n(－3，4)＝(2m－3n，m＋4n)，
所以
解得
　平面向量坐標運算的技巧
(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的坐標運算進行計算．
(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．
(3)向量的線性運算可完全類比數的運算進行．
[學以致用]　1．(源自北師大版教材)已知A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，且＝2＋3，求點M的坐標．
[解]　根據題意，得
＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)，＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)．
于是＝2＋3＝2(－1，－8)＋3(－4，－1)＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19)．
設點M的坐標為(x，y)，
則＝(x－3，y－4)．
因此解得
所以點M的坐標為(－11，－15)．
探究2　平面向量共線的坐標表示及其應用
探究問題2　已知a，b兩向量，則兩個向量共線的條件是什么？如何用坐標表示兩個向量共線？
[提示]　設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，
由a，b共線的充要條件是存在實數λ，使a＝λb，
則有(x1，y1)＝λ(x2，y2)，
即消去λ，得x1y2－x2y1＝0．
[新知生成]
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．
向量a，b(b≠0Ｋ)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0．
【鏈接·教材例題】
例7　已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y．
[解]　因為a∥b，
所以4y－2×6＝0．
解得y＝3．
例8　已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判斷A，B，C三點之間的位置關系．
[解]　在平面直角坐標系中作出A，B，C三點(圖6.3-15)．
觀察圖形，我們猜想A，B，C三點共線．下面來證明．
因為＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，
又2×6－4×3＝0，
所以∥．
又直線AB，直線AC有公共點A，
所以A，B，C三點共線．
[典例講評]　2．(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，則k＝________．
(2)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，向量＝(1，1)，＝(2，－3)，＝(－6，29)，試判斷A，B，C三點是否共線，寫出理由．
(1)－　[由題意3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，因為(3a－b)∥(a＋kb)，
所以0－(－10－30k)＝0，解得k＝－．]
(2)[解]　因為＝＝(2，－3)－(1，1)＝(1，－4)，
＝＝(－6，29)－(1，1)＝(－7，28)，
所以1×28－(－4)×(－7)＝0，所以∥．又直線AB和AC有公共點A，故A，B，C三點共線．
　三點共線的實質與證明步驟
(1)實質：三點共線問題的實質是向量共線問題．兩個非零向量共線只需滿足方向相同或相反，兩個向量共線與兩個向量平行是一致的．
(2)證明步驟：利用向量平行證明三點共線需分兩步完成，①證明向量平行；②證明兩個向量有公共點．
[學以致用]　2．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，當k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？
[解]　法一：(向量共線定理法)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
當ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，
所以
解得k＝λ＝－．
當k＝－時，ka＋b與a－3b平行，這時ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
因為λ＝－<0，
所以平行時ka＋b與a－3b反向．
法二：(坐標法)由題知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，
因為ka＋b與a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，
解得k＝－．
這時ka＋b＝＝－(a－3b)，
所以當k＝－時，ka＋b與a－3b平行，并且反向．
【教用·備選題】　設向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝λ，m，α為實數，若a＝2b，求的取值范圍．
[解]　由a＝2b，知以cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos2α＋2sinα≤2，
所以－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2，
所以≤m≤2，
因為＝＝2－，所以－6≤2－≤1，
所以的取值范圍為[－6，1]．
探究3　有向線段的定比分點坐標公式及應用
探究問題3　如圖所示，設點P(x，y)是線段P1P2上不同于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的點，且滿足＝λ，其中λ＞0．
你能推導出點P的坐標嗎？
[提示]　因為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且滿足＝λ，則(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
即
當λ＞0時，
則點P的坐標為．
[新知生成]　有向線段的定比分點坐標公式
若點P是直線P1P2上的一點， 且點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則當＝λ時， 點P的坐標為(λ≠－1)．
特別地，線段P1P2的中點P0(x0，y0)的坐標為 此公式為中點坐標公式．
【教用·微提醒】　若＝λ，其中λ≠－1．
(1)當λ>0時，點P在線段P1P2上；
(2)當λ<－1時，點P在線段P1P2的延長線上；
(3)當－1<λ<0時，點P在線段P1P2的反向延長線上．
【鏈接·教材例題】
例9　設P是線段P1P2上的一點，點P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)．
(1)當P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；
(2)當P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標．
[解]　(1)如圖6.3-16，由向量的線性運算可知
＝)＝．
所以，點P的坐標是．
(2)如圖6.3-17，當點P是線段P1P2的一個三等分點時，有兩種情況，即＝或＝2．
如果＝(圖6.3-17(1))，那么
＝＝＋
＝＋)＝＋
＝，
即點P的坐標是．
同理，如果＝2(圖6.3-17(2))，那么點P的坐標是．
[典例講評]　3．已知點A(3，－4)與點B(－1，2)，點P在直線AB上，且||＝2||，求點P的坐標．
[解]　設P點坐標為(x，y)，||＝2||．
當P在線段AB上時，＝2，
∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，
∴解得
∴P點坐標為．
當P在線段AB延長線上時，＝－2，
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，
∴解得
∴P點坐標為(－5，8)．
綜上所述，點P的坐標為或(－5，8)．
[母題探究]若將本例條件“||＝2||”改為“＝3”，其他條件不變，求點P的坐標．
[解]　因為＝3，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x，2－y)，
所以解得
所以點P的坐標為．
　處理此類分點問題的關鍵是建立等量關系，然后借助向量的坐標運算求解，當遇到選擇、填空題也可以直接套用公式求解．
[學以致用]　
3．如圖所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD與BC相交于點M，求點M的坐標．
[解]　因為＝＝(0，5)＝，
所以C．
因為＝＝(4，3)＝，
所以D．
設M(x，y)，則＝(x，y－5)，
＝＝．
因為∥，
所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20．①
又＝＝，
因為∥，所以x－4＝0，
即7x－16y＝－20．②
聯立①②解得x＝，y＝2，故點M的坐標為．
1．下列各組向量中，共線的是(　　)
A．a＝(－1，2)，b＝(4，2)
B．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
C．a＝，b＝(10，5)
D．a＝(0，－1)，b＝(3，1)
B　[利用平面向量共線的充要條件可知，只有B滿足題意．]
2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c滿足3a－2b＋c＝0，則c＝(　　)
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
A　[因為a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c滿足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．]
3．若P1(1，2)，P(3，2)且＝2，則P2的坐標為(　　)
A．(7，2) B．(－7，－2)
C．(－4，－2) D．(4，2)
D　[設P2(x，y)，則由＝2得(2，0)＝2(x－3，y－2)，
∴ 得 即P2(4，2)．]
4．(2021·全國乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，則λ＝________．
　[法一(向量共線定理法)：因為a∥b，所以a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，得解得
法二(坐標法)：因為a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝．]
1．知識鏈：
(1)平面向量數乘運算的坐標表示．
(2)兩個向量共線的坐標表示．
(3)有向線段的定比分點坐標公式及應用．
2．方法鏈：轉化與化歸、分類討論法．
3．警示牌：注意不要記錯兩個向量共線的坐標表示的公式．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．若a＝(x，y)，則λa等于什么？
[提示]　λa＝(λx，λy)．
2．向量a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)共線的充要條件是什么？
[提示]　x1y2＝ x2y1．
3．設P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)，則線段P1P2的中點P的坐標如何表示？
[提示]　線段P1P2的中點坐標是．
課時分層作業(九)　平面向量數乘運算的坐標表示
一、選擇題
1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝(　　)
A．(4，0) B．(0，4)
C．(4，－8) D．(－4，8)
C　[因為向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，所以1×4＝(－2)×m，所以m＝－2，所以2a－b＝(2－m，－4－4)＝(4，－8)．]
2．若三點A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一條直線上，則下列式子一定正確的是(　　)
A．2m－n＝3 B．n－m＝1
C．m＝3，n＝5 D．m－2n＝3
A　[因為三點A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一條直線上，所以＝λ，所以(1，m－3)＝λ(2，n－3)，所以λ＝，所以m－3＝(n－3)，即2m－n＝3．]
3．已知兩點A(2，－1)，B(3，1)，與平行且方向相反的向量a可能是(　　)
A．(1，－2) B．(9，3)
C．(－1，2) D．(－4，－8)
D　[由題意得＝(1，2)，結合選項可知a＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4，所以D正確．]
4．若向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，則c等于(　　)
A．－a＋b B．a－b
C．a－b D．－a＋b
B　[因為向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，
設c＝xa＋yb＝(x＋y，x－y)，
又因為c＝(－1，2)，所以
解得
所以c＝a－b．]
5．(多選)已知在平面直角坐標系中，點P1(0，1)，P2(4，4)．當P是線段P1P2的一個三等分點時，點P的坐標為(　　)
A． B．
C．(2，3) D．
AD　[設P(x，y)，則＝(x，y－1)，
＝(4－x，4－y)，
當點P靠近點P1時，＝，
則解得
所以P．
當點P靠近點P2時，＝2，
則
解得所以P．
綜上，故選AD．]
二、填空題
6．已知向量a＝(1，λ)，b＝(2，1)，c＝(1，－2)，若向量2a＋b與c共線，則λ＝________．
－　[因為向量a＝(1，λ)，b＝(2，1)，c＝(1，－2)，所以2a＋b＝(4，2λ＋1)，
所以由2a＋b與c共線，得－8－(2λ＋1)＝0，解得λ＝－．]
7．已知A，B，O為坐標原點，A，B，M三點共線，且＝＋λ，則點M的坐標為________．
　[因為A，B，M三點共線，且＝＋λ，所以λ＝，又A，B，即＝(2，－1)，＝(－1，1)，所以＝(2，－1)＋(－1，1)＝，則M的坐標為．]
8．已知點A(2，3)，B(4，－3)，點P在線段AB的延長線上，且||＝2||，則點P的坐標為________．
(6，－9)　[設點P的坐標為(x，y)，由條件可知＝－2，由定比分點坐標公式可知
即點P的坐標為(6，－9)．]
三、解答題
9．已知A，B，C三點的坐標分別為(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且＝＝．
(1)求點E，F的坐標；
(2)判斷與是否共線．
[解]　(1)設E(x1，y1)，F(x2，y2)．依題意，
得＝(2，2)，＝(－2，3)．
由＝可知，(x1＋1，y1)＝(2，2)，
所以
解得
所以點E的坐標為．
由＝可知，(x2－3，y2＋1)＝(－2，3)，
所以
解得
所以點F的坐標為．
(2)由(1)可知，
＝－＝，
又＝(4，－1)，
所以＝(4，－1)＝，所以與共線．
10．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向線段首尾相接能構成三角形，則向量c為(　　)
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
D　[由題知4a＝(4，－12)，
3b－2a＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)．故選D．]
11．(多選)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，則下列敘述中不正確的是(　　)
A．存在實數x，使a∥b
B．存在實數x，使(a＋b)∥a
C．存在實數x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在實數x，m，使(ma＋b)∥b
ABC　[由向量共線的坐標表示可知A，B，C無實數解；對于D，有x(mx－3)－(－3)×(3m＋x)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故D正確．]
12．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點不能構成三角形，則實數k應滿足的條件是(　　)
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
C　[因為A，B，C三點不能構成三角形，所以A，B，C三點共線，則∥，又＝＝(1，2)，＝＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1．]
13．已知A(7，1)，B(1，4)，直線y＝ax與線段AB交于點C，且＝2，則實數a的值為________．
2　[設C(x0，y0)，則y0＝ax0．
∴＝，
＝．
∵＝2，
∴
∴ ]
14．設＝(－2，4)，＝(－a，2)，＝(b，0)，a>0，b>0，若A，B，C三點共線，求＋的最小值．
[解]　由題意，得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)．又A，B，C三點共線，則∥，所以－4(－a＋2)＝－2(b＋2)，整理得2a＋b＝2，
所以＋＝(2a＋b)＝≥＝，當且僅當a＝2－，b＝2－2時等號成立．
所以＋的最小值為．
15．已知三角形的三條中線交于一點G(也稱為三角形的重心)，且點G將每條中線分為2∶1的兩段(如圖，AG∶GM＝2∶1)．設△ABC三個頂點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．
(1)求點G的坐標；
(2)利用向量的坐標運算證明：＝0．
[解]　(1)設G(x，y)，∵＝－2，A(x1，y1)，
M，
∴
∴
∴G．
(2)證明：∵＝
＝，
＝
＝，
＝
＝，
∴＝0．
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