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(共38張PPT)
6.3.1　平面向量基本定理
第六章　平面向量及其
6.3　平面向量基本定理及坐標表示
整體感知
[學習目標]　1．理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義．
2．掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面向量．
3．會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題．
[討論交流]　預習教材P25－P27的內容，思考以下問題：
問題1．平面向量基本定理的內容是什么？
問題2．基底中兩個向量滿足什么條件？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　平面向量基本定理
探究問題1　如圖，設e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么與e1，e2在同一平面內的任一向量a能否用e1，e2表示？依據是什么？
探究問題2　如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？
[提示]　不一定，當a與e1共線時可以表示，否則不能表示．
[新知生成]
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個______向量，那么對于這一平面內的任一向量a，____________實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
2．基底：若e1，e2______，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．
不共線
有且只有一對
不共線
【教用·微提醒】　 (1)同一平面內的基底有無數個，只要兩向量不共線即可．
(2)當基底確定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一確定的．
4
√
√
BC　[由平面向量基本定理可知，AD的說法是正確的．
對于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底確定，那么同一平面內任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的．
對于C，當λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0時，結論不成立．]
[學以致用]　1．(1)(多選)設{e1，e2}是平面內所有向量的一個基底，則下列四組向量中，能作為基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2　 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
(2)已知向量{a，b}是一個基底，實數x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y＝________．
√
√
√
3
4
4
反思領悟　用基底表示向量的一般方法
(1)根據平面向量基本定理可知，同一平面內的任何一個基底都可以表示該平面內的任意向量．用基底表示向量，實質上是利用向量加法的三角形法則或平行四邊形法則，進行向量的線性運算．
(2)基底的選取要靈活，必要時可以建立方程或方程組，通過方程或方程組求出要表示的向量．
　2a＋c
a＋b
4
4
4
反思領悟　利用向量解決幾何問題的一般思路
(1)選取不共線的兩個平面向量作為基底．
(2)將相關的向量用基底表示，將幾何問題轉化為向量問題．
(3)利用向量知識進行向量運算，得向量問題的解．
(4)將向量問題的解轉化為平面幾何問題的解．
[學以致用]　3．用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形ABCD是菱形，AC，BD是其對角線．求證：AC⊥BD．
【教用·備選題】
如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D為BC的中點，E是AB上的一點，且AE＝2EB．求證：AD⊥CE
4
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2
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題號
1
應用遷移
√
2
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4
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1
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題號
1

1．知識鏈：(1)平面向量基本定理．
(2)用基底表示向量．
(3)平面向量基本定理的應用．
2．方法鏈：數形結合．
3．警示牌：注意基底中的向量必須是不共線的兩個向量．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．平面內滿足什么條件的兩個向量可以構成基底？
[提示]　平面內任意不共線的兩個向量都可以構成一個基底．
2．若存在實數λ1，λ2，μ1，μ2及不共線的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，則λ1，λ2，μ1，μ2有怎樣的大小關系？
[提示]　由題意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2不共線，故λ1＝μ1，λ2＝μ2．6.3　平面向量基本定理及坐標表示
6.3.1　平面向量基本定理
[學習目標]　1．理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義．
2．掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面向量．
3．會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題．
[討論交流]　預習教材P25－P27的內容，思考以下問題：
問題1．平面向量基本定理的內容是什么？
問題2．基底中兩個向量滿足什么條件？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　平面向量基本定理
探究問題1　如圖，設e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么與e1，e2在同一平面內的任一向量a能否用e1，e2表示？依據是什么？
[提示]　
探究問題2　如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？
[提示]　不一定，當a與e1共線時可以表示，否則不能表示．
[新知生成]
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
2．基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．
【教用·微提醒】　 (1)同一平面內的基底有無數個，只要兩向量不共線即可．
(2)當基底確定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一確定的．
[典例講評]　1．(多選)如果e1，e2是平面α內兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是(　　)
A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內的所有向量
B．對于平面α內任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實數對(λ，μ)有無窮多個
C．若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則＝
D．若存在實數λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0
BC　[由平面向量基本定理可知，AD的說法是正確的．
對于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底確定，那么同一平面內任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的．
對于C，當λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0時，結論不成立．]
　1．兩個向量是否能構成基底，關鍵是看兩向量是否共線．若共線，則不能作為基底，若不共線，則可作為基底．
2．一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這組基底唯一地線性表示出來．設向量a與b是平面內兩個不共線的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則
[學以致用]　1．(1)(多選)設{e1，e2}是平面內所有向量的一個基底，則下列四組向量中，能作為基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2　 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
(2)已知向量{a，b}是一個基底，實數x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y＝________．
(1)ACD　(2)3　[(1)選項B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴6e1－8e2與3e1－4e2共線，∴不能作為基底，選項A，C，D中兩向量均不共線，可以作為基底．
(2)因為{a，b}是一個基底，所以a與b不共線，由平面向量基本定理得
探究2　用基底表示向量
【鏈接·教材例題】
例1　如圖6.3-4，不共線，且＝t(t∈R)，用表示．
[解]　，
所以
＝
＝)
＝
＝(1－t)
[典例講評]　2．(源自北師大版教材)如圖，已知點M，N，P分別是△ABC三邊BC，CA，AB上的點，且＝＝，＝．設＝a，＝b，選擇基底{a，b}，試寫出向量在此基底下的分解式．
[解]　b，
所以b．
同理b，
　用基底表示向量的一般方法
(1)根據平面向量基本定理可知，同一平面內的任何一個基底都可以表示該平面內的任意向量．用基底表示向量，實質上是利用向量加法的三角形法則或平行四邊形法則，進行向量的線性運算．
(2)基底的選取要靈活，必要時可以建立方程或方程組，通過方程或方程組求出要表示的向量．
[學以致用]　
2．如圖，在正方形ABCD中，設＝a，＝b，＝c，則以{a，b}為基底時，可表示為________，以{a，c}為基底時，可表示為________．
a＋b　2a＋c　＝a＋b；
以{a，c}為基底時，將
探究3　平面向量基本定理的應用
【鏈接·教材例題】
例2　如圖6.3-5，CD是△ABC的中線，CD＝AB，用向量方法證明△ABC是直角三角形．
分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一個基底表示．本題可取{}為基底，用它表示．證明·＝0，可得⊥，從而證得△ABC是直角三角形．
[證明]　＝a－b．
··(a－b)＝a2－b2．
因為CD＝AB，
所以CD＝DA．
因為a2＝CD2，b2＝DA2，
所以·＝0．
因此CA⊥CB．
于是△ABC是直角三角形．
[典例講評]　3．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AB上，且AE＝2BE，點F是BC的中點．
(1)設＝a，＝b，用a，b表示；
(2)已知ED⊥EF，求證：AB＝AD．
[解]　a，
b．
(2)證明·＝0，
即·a2＝0，
即|a|＝
　利用向量解決幾何問題的一般思路
(1)選取不共線的兩個平面向量作為基底．
(2)將相關的向量用基底表示，將幾何問題轉化為向量問題．
(3)利用向量知識進行向量運算，得向量問題的解．
(4)將向量問題的解轉化為平面幾何問題的解．
[學以致用]　3．用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形ABCD是菱形，AC，BD是其對角線．求證：AC⊥BD．
[證明]　＝b ．
因為四邊形ABCD為菱形，所以|a|＝|b|，
又＝b－a，
則··
【教用·備選題】
如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D為BC的中點，E是AB上的一點，且AE＝2EB．求證：AD⊥CE
[證明]　··)
＝·
＝·
＝·．
＝－|2．
因為CA＝CB，所以－|2＝0，
即·
1．若{e1，e2}是平面內的一個基底，則下列四組向量中可以作為平面向量的基底的是(　　)
A．{e1－e2，e2－e1}
B．
C．{2e2－3e1，6e1－4e2}
D．{e1＋e2，e1＋3e2}
D　[選項A中，兩個向量為相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，則e1－e2，e2－e1為共線向量；選項B中，2e1－e2＝2(e1－ e2)，為共線向量；選項C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，為共線向量．根據不共線的向量可以作為基底，可知只有選項D中的兩向量可作為基底．]
2．在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若＝e1，＝e2，則＝(　　)
A．(e1＋e2) B．(e1－e2)
C．(2e2－e1) D．(e2－e1)
A　
3．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA．記＝m，＝n，則＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
B　[]
4．如圖，C，D是△AOB中邊AB的三等分點，設＝e1，＝e2，以{e1，e2}為基底來表示，則＝________，＝________．
e1＋e2　e1＋e2　e2，
1．知識鏈：(1)平面向量基本定理．
(2)用基底表示向量．
(3)平面向量基本定理的應用．
2．方法鏈：數形結合．
3．警示牌：注意基底中的向量必須是不共線的兩個向量．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．平面內滿足什么條件的兩個向量可以構成基底？
[提示]　平面內任意不共線的兩個向量都可以構成一個基底．
2．若存在實數λ1，λ2，μ1，μ2及不共線的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，則λ1，λ2，μ1，μ2有怎樣的大小關系？
[提示]　由題意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2不共線，故λ1＝μ1，λ2＝μ2．
課時分層作業(七)　平面向量基本定理
一、選擇題
1．(多選)如圖所示，設O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，給出下列向量組，其中可作為該平面內所有向量的基底的是(　　)
A．與 B．與
C．與 D．與
AC　
2．在△ABC中，＝3，則＝(　　)
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
A　．
故選A．]
3．如圖，在平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝4，則＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a－b D．a－b
B　，
則a＋b．
故選B．]
4．已知非零向量不共線，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，則x，y滿足的關系式是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
A　，
所以
5．已知E，F分別為四邊形ABCD的邊CD，BC上的中點，設＝a，＝b，則＝(　　)
A．(a＋b) B．－(a＋b)
C．(a－b) D．(b－a)
B　[如圖所示，
∵E，F分別為四邊形ABCD的邊CD，BC上的中點，故EF為△CDB的中位線，
則
＝
二、填空題
6．已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示為a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示為a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，則λ＝________，μ＝________．
　－　
解得
7．設a，b是兩個不共線的非零向量，＝a，＝tb＝．若A，B，C三點共線，則t＝________．
　，
所以＝－a＋tb，
b，
因為A，B，C三點共線，所以，
所以存在唯一λ，
所以－a＋tb＝－λb，
又因為a，b是兩個不共線的非零向量，
所以
8．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F依次是對角線AC上的兩個三等分點，設＝a，＝b，試用a與b表示和，則＝________，＝________．
a－b　－a＋b　b，
三、解答題
9．設e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．
(1)證明：{a，b}可以作為一個基底；
(2)以{a，b}為基底表示向量c＝3e1－e2．
[解]　(1)[證明]　假設a＝λb(λ∈R)，
則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共線，得
所以λ不存在．
故a與b不共線，可以作為一個基底．
(2)設c＝ma＋nb(m，n∈R)，
則3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2．
所以
解得
10．如圖，平面內的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含邊界)．設＝m＋n，且點P落在第Ⅲ部分，則實數m，n滿足(　　)
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
B　，
則方向相同，則m>0；
11．如圖，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，則等于(　　)
A． B．
C．3 D．
A　，
12．(多選)如圖所示，四邊形ABCD為梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為AB，CD的中點，則下列結論正確的是(　　)
A．＝＋
B．＝＋
C．＝＋
D．＝－
ABD　
13．已知在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點，＝y＝x，其中x，y∈R，且均不為0．若∥，則＝________．
　，
由(λ∈R)，
即x)
＝λ，
所以
14．若點M是△ABC所在平面內一點，且滿足＝＋．
(1)求△ABM與△ABC的面積之比；
(2)若N為AB中點，AM與CN交于點O，設＝x＋y，求x，y的值．
[解]　可知M，B，C三點共線，
如圖，令，
所以，即△ABM與△ABC的面積之比為1∶4．
(2)由
15．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AB的中點，點F，G分別是AD，BC的四等分點．設＝a，＝b．
(1)用a，b表示；
(2)如果|b|＝2|a|，EF，EG 有什么位置關系？用向量的方法證明你的結論．
[解]　a，
b，
所以a，
a．
(2)··
＝a2，
如果|b|＝2|a|，那么·＝0，即EF⊥EG．
所以EF與EG互相垂直．
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