資源簡介

(共41張PPT)
第2課時　向量數量積的運算律及其應用
第六章　平面向量及其
6.2　平面向量的運算
6.2.4　向量的數量積
整體感知
[學習目標]　1．掌握平面向量數量積的運算律及常用的公式．
2．會利用向量數量積的有關運算律進行計算或證明．
[討論交流]　預習教材P20－P22的內容，思考以下問題：
問題1．向量數量積的運算有哪些運算律？
問題2．如何利用數量積求向量的模、夾角等問題．
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　向量數量積的運算律
【鏈接·教材例題】
例11　我們知道，對任意a，b∈R，恒有
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
對任意向量a，b，是否也有下面類似的結論？
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
[解]　(1)(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b
＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b
＝a2－b2．
因此，上述結論是成立的．
[新知生成]
1．對于向量a，b，c和實數λ，有
(1)a·b＝b·a(交換律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數乘結合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
2．數量積運算的常用公式
(1)(a＋b)2＝________________．
(2)(a－b)2＝________________．
(3)(a＋b)·(a－b)＝________．
a2＋2a·b＋b2
a2－2a·b＋b2
a2－b2
【教用·微提醒】　 (1)a·b＝b·c推不出a＝c．
(2)(a·b)c≠a(b·c)，它們表示不同的向量．
【鏈接·教材例題】
例12　已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，求(a＋2b)·(a－3b)．
[解]　(a＋2b)·(a－3b)
＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2
＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2
＝62－6×4×cos 60°－6×42
＝－72．
[典例講評]　1．(多選)設a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結論，正確的是(　　)
A． a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)·a－(c·a)·b與c不垂直
C．|a|－|b|<|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
√
√
√
ACD　[根據數量積的分配律知A正確；
∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
∴(b·c)·a－(c·a)·b與c垂直，B錯誤；
∵a，b不共線，∴|a|，|b|，|a－b|組成三角形，
∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正確；顯然D正確．
故選ACD．]
反思領悟　向量的數量積a·b與實數a，b的乘積a·b有聯系，同時也有許多不同之處．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0．特別是向量的數量積不滿足結合律．
[學以致用]　1．已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　)
A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．0
B　[由|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1，
∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．]
√
探究2　與向量模有關的問題
[典例講評]　2．(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|；
(2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b．
(2)由題意可知|a＋b|2＝|a－b|2，
即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0．
√
√

√
探究3　與向量垂直、夾角有關的問題
【鏈接·教材例題】
例13　已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b不共線．當k為何值時，向量a＋kb與a－kb互相垂直？
√
[母題探究]將本例(2)中的條件“銳角”改為“鈍角”，其他條件不變，求k的取值范圍．
【教用·備選題】　已知非零向量a，b滿足a＋3b與7a－5b互相垂直，a－4b與7a－2b互相垂直，求a與b的夾角θ．
4
2
4
3
題號
1
應用遷移
C　[由題意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3．]
√
2
3
題號
1
4
2．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，則|2a＋3b|等于(　　)
A．16 B．256
C．8 D．64
√
2
3
題號
1
4
A　[法一：∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16．
法二：由題意知2a＝b，
∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16．]
2
3
題號
4
1
√
2
4
3
題號
1
4．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，則向量a與a－b的夾角為________．

1．知識鏈：(1)向量數量積的運算律．
(2)利用數量積求向量的模和夾角．
(3)向量垂直的應用．
2．方法鏈：類比法．
3．警示牌：注意向量數量積不滿足結合律．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．向量的數量積滿足哪些運算律？
[提示]　(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
2．向量的夾角與其數量積之間存在什么關系？
[提示]　向量a，b的夾角為銳角，得到a·b>0；反之，a·b>0不能說明a，b的夾角為銳角，因為a，b夾角為0°時也有a·b>0．同理，向量a，b的夾角為鈍角，得到a·b<0；反之，a·b<0不能說明a，b的夾角為鈍角，因為a，b夾角為180°時也有a·b<0．第2課時　向量數量積的運算律及其應用
[學習目標]　1．掌握平面向量數量積的運算律及常用的公式．
2．會利用向量數量積的有關運算律進行計算或證明．
[討論交流]　預習教材P20－P22的內容，思考以下問題：
問題1．向量數量積的運算有哪些運算律？
問題2．如何利用數量積求向量的模、夾角等問題．
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　向量數量積的運算律
【鏈接·教材例題】
例11　我們知道，對任意a，b∈R，恒有
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
對任意向量a，b，是否也有下面類似的結論？
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
[解]　(1)(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b
＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b
＝a2－b2．
因此，上述結論是成立的．
[新知生成]
1．對于向量a，b，c和實數λ，有
(1)a·b＝b·a(交換律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數乘結合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
2．數量積運算的常用公式
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2．
(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2．
(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
【教用·微提醒】　 (1)a·b＝b·c推不出a＝c．
(2)(a·b)c≠a(b·c)，它們表示不同的向量．
【鏈接·教材例題】
例12　已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，求(a＋2b)·(a－3b)．
[解]　(a＋2b)·(a－3b)
＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2
＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2
＝62－6×4×cos 60°－6×42
＝－72．
[典例講評]　1．(多選)設a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結論，正確的是(　　)
A． a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)·a－(c·a)·b與c不垂直
C．|a|－|b|<|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
ACD　[根據數量積的分配律知A正確；
∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
∴(b·c)·a－(c·a)·b與c垂直，B錯誤；
∵a，b不共線，∴|a|，|b|，|a－b|組成三角形，
∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正確；顯然D正確．
故選ACD．]
　向量的數量積a·b與實數a，b的乘積a·b有聯系，同時也有許多不同之處．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0．特別是向量的數量積不滿足結合律．
[學以致用]　1．已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　)
A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．0
B　[由|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1，
∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．]
探究2　與向量模有關的問題
[典例講評]　2．(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|；
(2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b．
[解]　(1)由題意可知
a2＝4，b2＝1，a·b＝2×1×cos 60°＝1，
所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2
＝a2＋4a·b＋4b2
＝4＋4×1＋4×1＝12，
因此|a＋2b|＝2．
(2)由題意可知|a＋b|2＝|a－b|2，
即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0．
　a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性質可用來求向量的模，可以實現實數運算與向量運算的相互轉化．
[學以致用]　2．(1)(多選)單位向量a，b的夾角為銳角，則的取值可能為(　　)
A．1　　　B．1.5　　　C．2　　　D．2.5
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b滿足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，則|b|＝________．
(1)BC　(2)　[(1)由題知，令a與b的夾角為θ，則0＝
＝，
所以1<5－4cos θ<5，1<．故選BC．
(2)因為|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，
則a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·，即(a－b)2＝3，
則a2－2a·．]
【教用·備選題】　若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，則的最小值為(　　)
A．－1　　B．1　　C．＋1　　D．
A　[∵a·，
∴···c，
則當c與a＋b同向時，··，
所以－1，
所以
探究3　與向量垂直、夾角有關的問題
【鏈接·教材例題】
例13　已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b不共線．當k為何值時，向量a＋kb與a－kb互相垂直？
[解]　a＋kb與a－kb互相垂直的充要條件是
(a＋kb)·(a－kb)＝0，
即a2－k2b2＝0．
因為a2＝32＝9，b2＝42＝16，
所以9－16k2＝0．
解得k＝±．
也就是說，當k＝±
[典例講評]　3．(1)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，m與n夾角的余弦值為，若n⊥(tm＋n)，則實數t的值為(　　)
A．4　　　B．－4　　　C．　　　D．－
(2)已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，若向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，求k的取值范圍．
(1)B　，
所以m·n2，
因為n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，
即
(2)[解]　∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝·e2＝2k＞0，∴k＞0．
當k＝1時，e1＋ke2＝ke1＋e2，它們的夾角為0°，不符合題意，舍去．
綜上，k的取值范圍為k＞0且k≠1．
[母題探究]將本例(2)中的條件“銳角”改為“鈍角”，其他條件不變，求k的取值范圍．
[解]　∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為鈍角，
∴(e1＋ke2)··e2＝2k＜0，
∴k＜0．
當k＝－1時，e1＋ke2與ke1＋e2方向相反，它們的夾角為π，不符合題意，舍去．
綜上，k的取值范圍是k＜0且k≠－1．
　求兩向量夾角的方法
(1)一般是利用夾角公式：cos θ＝．
(2)注意：數量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角；數量積等于0說明兩向量的夾角為直角；數量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角．
[學以致用]　3．(源自蘇教版教材)如圖，在 ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°．求：
(1)·的值；
(2)cos ∠BAC．
[解]　··
＝·
＝··cos 60°
＝4＋2×1×＝5．
(2)因為·
＝4＋2×2×1×，
所以cos ∠BAC＝
【教用·備選題】　已知非零向量a，b滿足a＋3b與7a－5b互相垂直，a－4b與7a－2b互相垂直，求a與b的夾角θ．
[解]　由已知條件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cos θ＝．
∵θ∈[0，π]，∴θ＝
1．已知單位向量a，b，則(2a＋b)·(2a－b)的值為(　　)
A． B．
C．3 D．5
C　[由題意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3．]
2．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，則|2a＋3b|等于(　　)
A．16 B．256
C．8 D．64
A　[法一：∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16．
法二：由題意知2a＝b，
∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16．]
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則實數λ等于(　　)
A． B．－
C．± D．1
A　[∵3a＋2b與λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·
4．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，則向量a與a－b的夾角為________．
　，
設向量a與a－b的夾角為θ，則
cos θ＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝
1．知識鏈：(1)向量數量積的運算律．
(2)利用數量積求向量的模和夾角．
(3)向量垂直的應用．
2．方法鏈：類比法．
3．警示牌：注意向量數量積不滿足結合律．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．向量的數量積滿足哪些運算律？
[提示]　(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
2．向量的夾角與其數量積之間存在什么關系？
[提示]　向量a，b的夾角為銳角，得到a·b>0；反之，a·b>0不能說明a，b的夾角為銳角，因為a，b夾角為0°時也有a·b>0．同理，向量a，b的夾角為鈍角，得到a·b<0；反之，a·b<0不能說明a，b的夾角為鈍角，因為a，b夾角為180°時也有a·b<0．
課時分層作業(六)　向量數量積的運算律及其應用
一、選擇題
1．已知單位向量的夾角為120°，則＝(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
A　的夾角為120°，
所以
＝
＝2×1×1×
2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b滿足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，則|b|＝(　　)
A． B．
C． D．1
B　[因為(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，又因為|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·
3．設向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則a·b等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
A　[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②
由①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1．]
4．已知|a|＝|b|＝1，a與b的夾角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b, c與d垂直，則k的值為(　　)
A．－6 B．6
C．3 D．－3
B　[因為c與d垂直，所以c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，所以2k＝12，所以k＝6．]
5．(多選)已知向量a，b滿足＝＝1且|b－2a|＝，則下列結論正確的是(　　)
A．|a－b|＝ B．＝2
C．〈a，b〉＝60° D．a⊥b
AD　·b＋4a2＝5，
因為·b＝0，所以〈a，b〉＝90°，故C錯誤，D正確；
因為|a－b|2＝a2－2a·，A正確；
因為·
二、填空題
6．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，向量2a＋b與b垂直，則a與b的夾角為________．
　[設|a|＝|b|＝1，a，b的夾角為θ，因為向量2a＋b與b垂直，所以(2a＋b)·b＝2a·
7．已知向量a與b的夾角是，且|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)⊥a，則實數λ＝________．
－　[根據題意得a·b＝|a|···
8．已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，則|a＋b|＝________，|3a－4b|＝________．
2　4　[由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4．
因為|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－4)＋4＝12，
所以|a＋b|＝2．
因為|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
所以|3a－4b|＝4
三、解答題
9．已知非零向量a，b滿足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝．
(1)求|b|；
(2)當a·b＝－時，求向量a與a＋2b的夾角θ的值．
[解]　(1)因為(a－b)·，
所以|b|2＝|a|2－．
(2)因為|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1．
又因為a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·，
所以cos θ＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝
10．已知向量a，b滿足·b＝16，＝2，則a在b上的投影向量為(　　)
A．3b B．6b
C．9b D．12b
A　·b＝a·b＋b2＝a·＝16，
因為·b＝16－4＝12，
故·＝3b．
故選A．]
11．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a－b與b的夾角為(　　)
A． B．
C． D．
D　[由|a＋b|＝|a－b|可得a·
12．已知向量a≠b，|b|≠0，若對任意的t∈R，|a－tb|≥|a－b|恒成立，則必有(　　)
A．a⊥b B．a⊥(a－b)
C．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
C　[因為|a－tb|≥|a－b|恒成立，
兩邊平方，化簡得b2t2－2a·bt＋2a·b－b2≥0，
對任意的t∈R恒成立，
又|b|≠0，則Δ＝4(a·b)2－4b2(2a·b－b2)≤0，
即(a·b－b2)2≤0，
所以a·b－b2＝0，所以b·(a－b)＝0，
即b⊥(a－b)．]
13．已知向量a，b滿足|a－b|＝2且0≤a·b≤1，則|a＋b|的取值范圍是________，|3a＋b|的最大值是________．
[2，2]　4＋2　[∵|a－b|＝2，
∴|a|2－2a·b＋|b|2＝4，
∴|a|2＋|b|2＝4＋2a·b，
∴|a＋b|＝．
∵0≤a·b≤1，∴4≤4＋4a·b≤8，
∴2≤|a＋b|≤，
即|a＋b|的取值范圍是[2，2]．
|3a＋b|＝|2(a＋b)＋(a－b)|≤2|a＋b|＋|a－b|＝2|a＋b|＋2≤
14．已知e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夾角為銳角，求實數t的取值范圍．
[解]　因為a，b的夾角為銳角，
所以a·b>0，且a，b不共線，當a·b>0時，
(3e1＋2e2)·，
當a，b共線時，存在唯一的實數λ，使a＝λb，
即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，
所以
解得
所以當t≠3時，a，b不共線，
綜上，t的取值范圍為t>－且t≠3，
即t的取值范圍為
15．已知平面上三個向量a，b，c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°．
(1)求證：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范圍．
[解]　(1)[證明]　因為|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之間的夾角均為120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c．
(2)因為|ka＋b＋c|>1，
所以(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
因為a·b＝a·c＝b·，
所以k2－2k>0，解得k<0或k>2．
所以實數k的取值范圍為(－∞，0)∪(2，＋∞)．
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