資源簡介

(共46張PPT)
6.2.1　向量的加法運算
第六章　平面向量及其
6.2　平面向量的運算
整體感知
[學習目標]　1．理解并掌握向量加法的概念．
2．掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則進行兩個向量的加法運算．
3．了解向量加法的交換律和結合律，并能作圖解釋向量加法運算律的合理性．
[討論交流]　預習教材P7－P10的內容，思考以下問題：
問題1．在求兩向量和的運算時，通常使用哪兩個法則？
問題2．向量加法的運算律有哪兩個？
[自我感知]　經(jīng)過認真預習，結合你對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　向量加法的三角形法則
探究問題1　某次列車從濟南西站途經(jīng)天津南站到達北京南站，這次列車的位移如何表示？你能從這個問題出發(fā)，給出求解向量之和的一種方法嗎？
兩個向量和


【教用·微提醒】　運用向量加法的三角形法則作圖時要“首尾相接，再首尾連”．
√


探究2　向量加法的平行四邊形法則
探究問題2　圖①表示橡皮條ME在兩個力F1和F2的作用下，沿MC方向伸長了EO；圖②表示橡皮條ME在一個力F的作用下，沿相同方向伸長了相同的長度EO．從力學的觀點分析，力F與F1，F(xiàn)2之間的關系如何？你能從這個問題出發(fā)，給出求解向量之和的另一種方法嗎？
[提示]　F＝F1＋F2．從這個問題出發(fā)，我們可以給出求解向量之和的另一種方法——平行四邊形法則．
提醒：平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和．
對角線
【鏈接·教材例題】
例1　如圖6.2-5，已知向量a，b，求作向量a＋b．
[典例講評]　2．(1)如圖①所示，求作向量a＋b；
(2)如圖②所示，求作向量a＋b＋c．
反思領悟　求作和向量的方法
[學以致用]　2．(源自人教B版教材)如圖：
(1)以A為始點，作出a＋b；
(2)以B為始點，作出c＋d＋e．
[解]　(1)如圖所示；
(2)如圖所示．
探究3　共線向量的加法與向量加法的運算律
探究問題3　請結合向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，探索|a＋b|與|a|，|b|之間存在的關系．
[提示]　(1)當向量a與b不共線時，a＋b的方向與a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|．
(2)當a與b同向時，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|．
(3)當a與b反向時，若|a|>|b|，則a＋b的方向與a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，則a＋b的方向與b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|．
探究問題4　等式a＋b＝b＋a成立嗎？(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)呢？試結合向量加法的運算法則證明．
[新知生成]
1．|a＋b|與|a|，|b|之間的關系
一般地，我們有|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b中有一個是__向量或a，b是方向____的非零向量時，等號成立．
2．向量加法的運算律
(1)交換律：a＋b＝______．
(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋_______．
3．對于零向量與任意向量a，規(guī)定0＋a＝a＋_____＝_____．
零
相同
b＋a
(b＋c)
0
a
反思領悟　向量加法運算律的意義和應用原則
(1)意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，能實現(xiàn)恰當利用向量加法法則運算的目的．
(2)應用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序．
[學以致用]　3．(源自人教B版教材)已知|a|＝3，|b|＝4，求|a＋b|的最大值和最小值，并說明取得最大值和最小值時a與b的關系．
探究4　向量加法的實際應用
【鏈接·教材例題】
例2　長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸．如圖6.2-8，一艘船從長江南岸A地出發(fā)，垂直于對岸航行，航行速度的大小為15 km/h，同時江水的速
度為向東6 km/h．
(1)用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；
(2)求船實際航行的速度的大小(結果保留小數(shù)點后一位)與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到1°)．
[典例講評]　4．(源自蘇教版教材)在長江南岸某渡口處，江水以12.5 km/h的速度向東流，渡船在靜水中的速度為25 km/h．渡船要垂直地渡過長江，其航向應如何確定？
反思領悟　利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟
[學以致用]　
4．(源自北師大版教材)如圖，在一場足球比賽中，中場隊員在點A位置得球，將球傳給位于點B的左邊鋒，隨即快速直向插上．邊鋒得球后看到對方后衛(wèi)上前逼搶，于是將球快速橫傳至門前，球到達點C時前插的中場隊員正好趕到，直接射門得分．設BC＝30 m，∠ABC＝37°．(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)求中場隊員從傳球至射門這一過程中足
球的位移；
(2)這一過程中中場隊員的位移與球的位移是否相等？
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
2
3
題號
1
4
√
2
3
題號
4
1
3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，則|a＋b|的最大值為________．
13　[因為|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值為13．]
13
2
4
3
題號
1
20
1．知識鏈：(1)向量加法的三角形法則．
(2)向量加法的平行四邊形法則．
(3)向量三角不等式．
(4)向量加法的運算律．
2．方法鏈：數(shù)形結合法．
3．警示牌：應用向量加法的三角形法則要注意向量首尾相接，應用平行四邊形法則要注意把向量移到共同起點．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．兩個向量相加就是兩個向量的模相加嗎？其運算法則有哪些？
[提示]　兩個向量相加不是兩個向量的模相加，向量相加要考慮大小及方向，其運算法則有三角形法則和平行四邊形法則．
2．應用三角形法則應注意哪些問題？
[提示]　使用三角形法則求兩個向量的和時，應注意“首尾相連，起點指終點”，即首尾相連的兩個向量的和對應的向量是第一個向量的起點指向第二個向量的終點．
3．應用平行四邊形法則應注意哪些問題？
[提示]　平行四邊形法則只適用于求不共線的兩個向量的和．基本步驟可簡述為：共起點，兩向量所在線段為鄰邊作平行四邊形，找共起點的對角線對應的向量．
4．對于任意的向量a，b，|a＋b|與|a|，|b|之間存在怎樣的大小關系？
[提示]　 |a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b中有一個是零向量或a，b是方向相同的非零向量時，等號成立．6.2　平面向量的運算
6.2.1　向量的加法運算
[學習目標]　1．理解并掌握向量加法的概念．
2．掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則進行兩個向量的加法運算．
3．了解向量加法的交換律和結合律，并能作圖解釋向量加法運算律的合理性．
[討論交流]　預習教材P7－P10的內容，思考以下問題：
問題1．在求兩向量和的運算時，通常使用哪兩個法則？
問題2．向量加法的運算律有哪兩個？
[自我感知]　經(jīng)過認真預習，結合你對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　向量加法的三角形法則
探究問題1　某次列車從濟南西站途經(jīng)天津南站到達北京南站，這次列車的位移如何表示？你能從這個問題出發(fā)，給出求解向量之和的一種方法嗎？
[提示]　如圖，該次列車兩次位移的結果，與從濟南西站直接到北京南站的位移的結果相同，因此位移可以看成是位移與合成的，即可以算作是與的和．
從這個問題出發(fā)，我們可以給出求解向量之和的一種方法——三角形法則．
[新知生成]
1．向量加法的定義
求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．
2．向量加法的三角形法則
已知非零向量a，b，在平面內取任意一點A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＝．這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．
【教用·微提醒】　運用向量加法的三角形法則作圖時要“首尾相接，再首尾連”．
[典例講評]　1．(1)如圖，在正六邊形ABCDEF中，等于(　　)
A．0　　　B．　　　C．　　　D．
(2)如圖，請在圖中直接標出的運算結果．
(1)D　[∵＝，∴＝＝，又＝，∴＝＝．故選D．]
(2)[解]　＝，如圖所示．
　向量加法的三角形法則的特征為首尾順次相接，其和為由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點，即＝．
[學以致用]　1．根據(jù)圖示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝．
(1)a＋b＋c＝________；
(2)b＋c＋d＝________．
(1)　(2)　[(1)a＋b＋c＝＝．
(2)b＋c＋d＝＝．]
探究2　向量加法的平行四邊形法則
探究問題2　圖①表示橡皮條ME在兩個力F1和F2的作用下，沿MC方向伸長了EO；圖②表示橡皮條ME在一個力F的作用下，沿相同方向伸長了相同的長度EO．從力學的觀點分析，力F與F1，F(xiàn)2之間的關系如何？你能從這個問題出發(fā)，給出求解向量之和的另一種方法嗎？
[提示]　F＝F1＋F2．從這個問題出發(fā)，我們可以給出求解向量之和的另一種方法——平行四邊形法則．
[新知生成]　向量加法的平行四邊形法則
以同一點O為起點的兩個已知向量a，b，以OA，OB為鄰邊作 OACB，則以O為起點的向量(OC是 OACB的對角線)就是向量a與b的和．把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．
提醒：平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和．
【鏈接·教材例題】
如圖6.2-5，已知向量a，b，求作向量a＋b．
[解]　作法1：在平面內任取一點O(圖6.2-6(1))，作＝a，＝b．則＝a＋b．
作法2：在平面內任取一點O(圖6.2-6(2))，作＝a，＝b．以OA，OB為鄰邊作 OACB，連接OC，則＝＝a＋b．
[典例講評]　2．(1)如圖①所示，求作向量a＋b；
(2)如圖②所示，求作向量a＋b＋c．
[解]　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，則向量＝a＋b．如圖所示．
(2)法一：(三角形法則)如圖所示，
首先在平面內任取一點O，作向量＝a，再作向量＝b，則得向量＝a＋b，然后作向量＝c，則向量＝a＋b＋c即為所求．
法二：(平行四邊形法則)如圖所示，
首先在平面內任取一點O，作向量＝c，
以OA，OB為鄰邊作 OADB，連接OD，
則＝a＋b．
再以OD，OC為鄰邊作 ODEC，連接OE，
則＝a＋b＋c即為所求．
　求作和向量的方法
[學以致用]　2．(源自人教B版教材)如圖：
(1)以A為始點，作出a＋b；
(2)以B為始點，作出c＋d＋e．
[解]　(1)如圖所示；
(2)如圖所示．
探究3　共線向量的加法與向量加法的運算律
探究問題3　請結合向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，探索|a＋b|與|a|，|b|之間存在的關系．
[提示]　(1)當向量a與b不共線時，a＋b的方向與a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|．
(2)當a與b同向時，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|．
(3)當a與b反向時，若|a|>|b|，則a＋b的方向與a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，則a＋b的方向與b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|．
探究問題4　等式a＋b＝b＋a成立嗎？(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)呢？試結合向量加法的運算法則證明．
[提示]　均成立．先證明a＋b＝b＋a．作＝b，以AB，AD為鄰邊作 ABCD，如圖①，容易發(fā)現(xiàn)＝a，故＝a＋b．又＝b＋a，所以a＋b＝b＋a．
如圖②，不難證明(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[新知生成]
1．|a＋b|與|a|，|b|之間的關系
一般地，我們有|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b中有一個是零向量或a，b是方向相同的非零向量時，等號成立．
2．向量加法的運算律
(1)交換律：a＋b＝b＋a．
(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
3．對于零向量與任意向量a，規(guī)定0＋a＝a＋0＝a．
[典例講評]　3．(源自人教B版教材)化簡下列各式：
(1)；
(2)．
[解]　(1)＝＋．
(2)＋＝＝＋＝0．
　向量加法運算律的意義和應用原則
(1)意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，能實現(xiàn)恰當利用向量加法法則運算的目的．
(2)應用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序．
[學以致用]　3．(源自人教B版教材)已知|a|＝3，|b|＝4，求|a＋b|的最大值和最小值，并說明取得最大值和最小值時a與b的關系．
[解]　由|a＋b|≤|a|＋|b|可知，|a＋b|的最大值為|a|＋|b|＝3＋4＝7，當且僅當a與b方向相同時取得最大值．
由|a＋b|≥可知，＝|3－4|＝1，當且僅當a與b方向相反時取得最小值．
探究4　向量加法的實際應用
【鏈接·教材例題】
例2　長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸．如圖6.2-8，一艘船從長江南岸A地出發(fā)，垂直于對岸航行，航行速度的大小為15 km/h，同時江水的速度為向東6 km/h．
(1)用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；
(2)求船實際航行的速度的大小(結果保留小數(shù)點后一位)與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到1°)．
[解]　(1)如圖6.2-9．表示船速，表示江水速度，以AD，AB為鄰邊作 ABCD，則表示船實際航行的速度．
(2)在Rt△ABC中，＝6，＝15，于是
＝≈16.2．
因為tan ∠CAB＝，所以利用計算工具可得∠CAB≈68°．
因此，船實際航行速度的大小約為16.2 km/h，方向與江水速度間的夾角約為68°．
[典例講評]　4．(源自蘇教版教材)在長江南岸某渡口處，江水以12.5 km/h的速度向東流，渡船在靜水中的速度為25 km/h．渡船要垂直地渡過長江，其航向應如何確定？
[解]　如圖，設表示水流的速度，表示渡船在靜水中的速度，表示渡船實際垂直過江的速度．
因為，所以四邊形ABCD為平行四邊形．
在Rt△ACD中，因為∠ACD＝90°，＝＝12.5，＝25，所以∠CAD＝30°．所以渡船要垂直地渡過長江，其航向應為北偏西30°．
　利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟
[學以致用]　
4．(源自北師大版教材)如圖，在一場足球比賽中，中場隊員在點A位置得球，將球傳給位于點B的左邊鋒，隨即快速直向插上．邊鋒得球后看到對方后衛(wèi)上前逼搶，于是將球快速橫傳至門前，球到達點C時前插的中場隊員正好趕到，直接射門得分．設BC＝30 m，∠ABC＝37°．(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)求中場隊員從傳球至射門這一過程中足球的位移；
(2)這一過程中中場隊員的位移與球的位移是否相等？
[解]　(1)由題意，△ABC為直角三角形，
由BC＝30 m，∠ABC＝37°，
得AC＝BC·tan 37°＝30×＝22.5 m，
又，
所以中場隊員從傳球至射門這一過程中足球的位移大小為22.5 m，方向為正前方．
(2)因為，
所以中場隊員的位移與球的位移相等．
1．化簡等于(　　)
A． B．
C． D．
C　[根據(jù)平面向量的加法運算，得
＝＋．]
2．在 ABCD中，＝b，則＝(　　)
A．a(chǎn) B．b
C．0 D．a(chǎn)＋b
B　[＝b，即＝b．故選B．]
3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，則|a＋b|的最大值為________．
13　[因為|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值為13．]
4．小船以10 km/h的速度按垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為10 km/h，則小船實際航行速度的大小為________km/h．
20　[根據(jù)平行四邊形法則，因為水流方向與船速方向垂直，所以小船實際航行速度的大小為＝20(km/h)．]
1．知識鏈：(1)向量加法的三角形法則．
(2)向量加法的平行四邊形法則．
(3)向量三角不等式．
(4)向量加法的運算律．
2．方法鏈：數(shù)形結合法．
3．警示牌：應用向量加法的三角形法則要注意向量首尾相接，應用平行四邊形法則要注意把向量移到共同起點．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．兩個向量相加就是兩個向量的模相加嗎？其運算法則有哪些？
[提示]　兩個向量相加不是兩個向量的模相加，向量相加要考慮大小及方向，其運算法則有三角形法則和平行四邊形法則．
2．應用三角形法則應注意哪些問題？
[提示]　使用三角形法則求兩個向量的和時，應注意“首尾相連，起點指終點”，即首尾相連的兩個向量的和對應的向量是第一個向量的起點指向第二個向量的終點．
3．應用平行四邊形法則應注意哪些問題？
[提示]　平行四邊形法則只適用于求不共線的兩個向量的和．基本步驟可簡述為：共起點，兩向量所在線段為鄰邊作平行四邊形，找共起點的對角線對應的向量．
4．對于任意的向量a，b，|a＋b|與|a|，|b|之間存在怎樣的大小關系？
[提示]　 |a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b中有一個是零向量或a，b是方向相同的非零向量時，等號成立．
課時分層作業(yè)(二)　向量的加法運算
一、選擇題
1．在四邊形ABCD中，，則一定有(　　)
A．四邊形ABCD是矩形
B．四邊形ABCD是菱形
C．四邊形ABCD是正方形
D．四邊形ABCD是平行四邊形
D　[根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可知四邊形ABCD是平行四邊形．]
2．等于(　　)
A． B．
C． D．
C　[＝＋＋＝＋．故選C．]
3．若向量a表示“向東航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，則向量a＋b表示(　　)
A．向東北方向航行2 km
B．向北偏東30°方向航行2 km
C．向北偏東60°方向航行2 km
D．向東北方向航行 km
B　[如圖，易知tan α＝，所以α＝30°．故a＋b的方向是北偏東30°．
又|a＋b|＝2(km)，故選B．]
4．(多選)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計算正確的是(　　)
A．
B．
C．
D．＝0
AD　[根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量加法的幾何意義，，所以A正確；，所以B錯誤；，所以C錯誤；＝0，所以D正確．故選AD．]
5．a(chǎn)，b為非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則(　　)
A．a(chǎn)∥b，且a與b方向相同
B．a(chǎn)，b是不共線向量
C．a(chǎn)與b方向相反
D．a(chǎn)，b無論什么關系均可
A　[當兩個非零向量a與b不共線時，a＋b的方向與a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|；向量a與b同向時，a＋b的方向與a，b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a與b反向且|a|＜|b|時，a＋b的方向與b的方向相同(與a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|．故選A．]
二、填空題
6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，＝1，則＝________．
1　[＝，
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，且＝1，
∴△ABD為等邊三角形，故＝1，
∴＝1．]
7．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，F(xiàn)為線段DE延長線上一點，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么＝________；＝________．
　[因為DE∥BC，AB∥CF，
所以四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運算法則可知：
；
．]
8．在平行四邊形ABCD中，若＝，則四邊形ABCD是________．
矩形　[如圖，＝＝＝，
∴＝．
∴四邊形ABCD為矩形．]
三、解答題
9．是否存在a，b，使|a＋b|＝|a|＝|b|？請畫出圖形說明．
[解]　存在，如圖，作＝b，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，連接OC．
由題意知OA＝OB＝OC＝AC，則∠AOC＝∠COB＝60°．
10．在△ABC中，＝＝，則△ABC是(　　)
A．直角三角形 B．等邊三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
B　[，則＝＝，則△ABC是等邊三角形．]
11．已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內一點P滿足，則下列結論中正確的是(　　)
A．P在△ABC的內部
B．P在△ABC的邊AB上
C．P在△ABC的邊BC上
D．P在△ABC的外部
D　[]
12．(多選)設a＝＋，b是一個非零向量，則下列結論正確的有(　　)
A．a(chǎn)∥b　 B．a(chǎn)＋b＝a
C．a(chǎn)＋b＝b D．|a＋b|<|a|＋|b|
AC　[由題意得，a＝＋
＝＝0，又b是一個非零向量，所以a∥b，A正確；由a＋b＝b，所以B不正確，C正確；
則|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D不正確．故選AC．]
13．若P為△ABC的外心，且，則∠ACB＝________．
120°　[因為，則四邊形APBC是平行四邊形．
又P為△ABC的外心，所以＝＝．因此∠ACB＝120°．]
14．一架救援直升機從A地沿北偏東60°方向飛行了40 km到達B地，再由B地沿正北方向飛行40 km到達C地，求此時直升機與A地的相對位置．
[解]　如圖所示，設分別是直升機的位移，則表示兩次位移的合位移，即．
在Rt△ABD中，＝20 km，＝20 km．
在Rt△ACD中，＝∠CAD＝60°，
即此時直升機位于A地北偏東30°方向，且距離A地 km處．
15．如圖，已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，AC，AB的中點，求證：＝0．
證明：由題意知，，
．
由平面幾何知識可知，，
所以
＝＋＋
＝＋
＝＋0
＝＝0.
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