資源簡介

6.1　平面向量的概念
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別．
2．會用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別．
3．理解零向量、單位向量、平行向量(共線向量)、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關(guān)的概念．
[討論交流]　預(yù)習(xí)教材P2－P4的內(nèi)容，思考以下問題：
問題1．向量是如何定義的？向量與數(shù)量有什么區(qū)別？
問題2．怎樣表示向量？向量的相關(guān)概念有哪些？
問題3．兩個向量(向量的模)能否比較大小？
問題4．如何判斷相等向量或共線向量？向量與向量是相等向量嗎？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真預(yù)習(xí)，結(jié)合你對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　向量的概念及幾何表示
探究問題　某人投擲標(biāo)槍時，其中的一次記錄為：出手角度θ＝43.242°，出手速度大小為v＝28.35 m/s．
實例中的 “速度”與我們生活中接觸到的長度、面積、質(zhì)量等有什么區(qū)別？
[提示]　速度是既有大小又有方向的量，而我們接觸到的長度、面積、質(zhì)量等是只有大小沒有方向的量．
[新知生成]
1．向量的概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)數(shù)量：只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量．
2．向量的表示
(1)有向線段
具有方向的線段叫做有向線段，它包含三個要素：起點(diǎn)、方向、長度．
以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作，線段AB的長度叫做有向線段的長度，記作||．
(2)向量的表示
①幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．
②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時用)．
【教用·微提醒】　(1)書寫向量時帶箭頭．
(2)有向線段與向量不是同一概念，有向線段有起點(diǎn)、長度、方向三個要素；向量可以用有向線段來表示．
【鏈接·教材例題】
例1　在圖6.1-4中，分別用向量表示A地至B，C兩地的位移，并根據(jù)圖中的比例尺，求出A地至B，C兩地的實際距離(精確到1 km)．
[解]　表示A地至B地的位移，且||≈________；表示A地至C地的位移，且||≈________．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)小明從學(xué)校的教學(xué)樓出發(fā)，向北走了1 500 m到達(dá)圖書館，2 h后又從圖書館向南偏東60°走了1 000 m到食堂就餐，用餐后又從食堂向西走了2 000 m來到操場運(yùn)動．請選擇適當(dāng)?shù)谋壤弋媹D，用向量表示小明每次的位移．
[解]　如圖．小明的位移表示如下：
向量表示從教學(xué)樓到圖書館的距離與方向；
向量表示從圖書館到食堂的距離與方向；
向量表示從食堂到操場的距離與方向．
　用有向線段表示向量的方法
第一步：確定起點(diǎn)；
第二步：確定方向；
第三步：依據(jù)有向線段的長度確定有向線段的終點(diǎn)．
[學(xué)以致用]　1．某人從點(diǎn)A出發(fā)向西走4個單位長度到達(dá)點(diǎn)B，然后改變方向朝西北方向走6個單位長度到達(dá)點(diǎn)C，最后又向東走4個單位長度到達(dá)點(diǎn)D．試分別作出向量和．
[解]　根據(jù)題意，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)為A，按照題意要求方向，作線段AB＝4，BC＝6，CD＝4，
則向量和如圖所示．
探究2　向量的模、零向量和單位向量
[新知生成]
向量的模 向量的大小稱為向量的長度(或稱模)，記作||
零向量 長度為0的向量，記作0
單位向量 長度等于1個單位長度的向量
【教用·微提醒】　零向量不能說沒有方向，它的方向是任意的．
[典例講評]　2．如圖，某船從點(diǎn)O出發(fā)沿北偏東30°的方向行駛至點(diǎn)A處，求該船航行向量的長度(單位：n mile)．
[解]　由題意||＝＝2，
所以向量的長度為2 n mile．
　解決向量概念問題一定要緊扣定義，對單位向量與零向量問題要特別注意方向．
[學(xué)以致用]　2．下列說法正確的是(　　)
A．向量的模都是正實數(shù)
B．單位向量只有一個
C．零向量是最小的向量
D．兩個單位向量的長度相等
D　[零向量的模為0，故A不正確；單位向量的方向可以是任意的，有無數(shù)個，故B不正確；向量不能比較大小，故C不正確；單位向量的長度都是1，故D正確．]
探究3　相等向量和共線向量
[新知生成]
平行向量 (共線向量) 方向相同或相反的非零向量；向量a與b平行，記作a∥b，規(guī)定：零向量與任意向量平行
相等向量 長度相等且方向相同的向量；向量a與b相等，記作a＝b
【教用·微提醒】　共線向量中的向量所在的直線可以平行，也可以重合，與平面幾何中的“共線”“平行”不同．
【鏈接·教材例題】
例2　如圖6.1-8，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心．
(1)寫出圖中的共線向量；
(2)分別寫出圖中與相等的向量．
[解]　(1)是共線向量；
是共線向量；
是共線向量．
(2)＝＝；
＝＝；
＝＝＝．
[典例講評]　3．(源自蘇教版教材)已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在如圖所標(biāo)出的向量中：
(1)試找出與共線的向量；
(2)確定與相等的向量；
(3)與相等嗎？
[解]　(1)由O為正六邊形ABCDEF的中心，得與共線的向量有和．
(2)由于與長度相等且方向相同，所以＝．
(3)顯然∥，且＝，但與的方向相反，所以這兩個向量不相等．
　相等向量與共線向量的探求方法
(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些同向共線．
(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．
提醒：與向量平行相關(guān)的問題中，不要忽視零向量．
[學(xué)以致用]　3．(1)下列說法正確的是(　　)
A．長度相等的向量叫做相等向量
B．共線向量是在同一條直線上的向量
C．零向量的長度等于0
D．若||＞||，則＞
(2)如圖所示，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形．
①圖中與共線的向量有________；
②圖中與相等的向量有________；
③圖中與模相等的向量有________；
④圖中與相等的向量有________．
(1)C　(2)①；②，；③；④
[(1)長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正確；
方向相同或相反的非零向量叫做共線向量，但共線向量不一定在同一條直線上，故B不正確；
零向量的模(長度)等于0，故C正確；
向量不能比較大小，故D不正確．
故選C．]
【教用·備選題】　如圖所示，△ABC的三邊長均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)．
(1)寫出與共線的向量；
(2)寫出與長度相等的向量；
(3)寫出與相等的向量．
[解]　(1)∵E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，∴與共線的向量為．
(2)∵E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，
∴EF＝BD＝DC．
∵AB，BC，AC均不相等，
∴與長度相等的向量為．
(3)與相等的向量為．
1．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．若a＝0，則|a|＝0
B．零向量是沒有方向的
C．零向量與任意向量平行
D．零向量的方向是任意的
ACD　[零向量的長度為0，方向是任意的，它與任何向量都平行，所以ACD正確，B錯誤．]
2．已知單位向量a，b，則下列說法正確的是(　　)
A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)，b方向相反
C．＝ D．a(chǎn)∥b
C　[對于A，向量a，b為單位向量，向量a，b的方向不一定相同，A錯誤；對于B，向量a，b為單位向量，但向量a，b的方向不一定相反，B錯誤；對于C，向量a，b為單位向量，則＝＝1，C正確；對于D，向量a，b為單位向量，向量a，b的方向不一定相同或相反，即a與b不一定平行，D錯誤．故選C．]
3．(多選)下列說法錯誤的為(　　)
A．共線的兩個單位向量相等
B．相等向量的起點(diǎn)相同
C．若∥，則一定有直線AB∥CD
D．若向量共線，則點(diǎn)A，B，C必在同一直線上
ABC　[A錯誤，共線的兩個單位向量的方向可能相反；B錯誤，相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都可能不相同；C錯誤，直線AB與CD可能重合；D正確，AB與BC平行且有公共點(diǎn)B，則A，B，C三點(diǎn)共線．]
4．如圖所示，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形．
(1)與向量相等的向量為________；
(2)若||＝3，則||＝________．
(1)　(2)6　[(1)在 ABCD和 ABDE中，
∵＝＝，∴＝．
(2)由(1)知，＝，
∴E，D，C三點(diǎn)共線，||＝||＋||＝2||＝6．]
1．知識鏈：(1)向量的概念及表示．
(2)向量的相關(guān)概念：零向量、單位向量、相等向量、共線向量(平行向量)．
2．方法鏈：數(shù)形結(jié)合法．
3．警示牌：零向量的方向具有任意性；向量的平行不具有傳遞性；共線向量并不是在一條直線上的向量．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．向量與數(shù)量有什么區(qū)別？向量能比較大小嗎？
[提示]　數(shù)量是一個代數(shù)量，只有大小沒有方向，其大小可以用正數(shù)、負(fù)數(shù)、 零來表示，可以比較大小，如長度、面積、體積等；向量既有大小又有方向，因為方向不能比較大小，所以向量不能比較大小．
2．零向量與任意向量存在什么關(guān)系？
[提示]　平行．
3．向量中的“平行”“共線”與幾何中的“平行”“共線”是否一致？
[提示]　向量中的“平行”與“共線”是一個概念，而幾何中的“平行”與“共線”不是一個概念．由于向量可以平移，因此無論兩個向量所在的直線是平行還是共線，我們都說這兩個向量共線，而幾何中則不同．
課時分層作業(yè)(一)　平面向量的概念
一、選擇題
1．下列量中是向量的為(　　)
A．時間 B．重力
C．體積 D．距離
B　[顯然時間、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而重力既有大小，又有方向，所以重力是向量．故選B．]
2．(多選)已知向量a如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起點(diǎn)是M D．終點(diǎn)是M
ABC　[由向量的幾何表示知，A，B，C正確，D不正確．故選ABC．]
3．如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，圖中與平行的向量的個數(shù)為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C　[圖中與平行的向量為，共3個．]
4．如圖，在圓O中，向量是(　　)
A．有相同起點(diǎn)的向量
B．共線向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
C　[由題圖可知，三個向量方向不同，但長度相等，即這三個向量的模相等．]
5．(多選)下列能使a∥b成立的是(　　)
A．a(chǎn)＝b B．|a|＝|b|
C．a(chǎn)與b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0
[答案]　ACD
二、填空題
6．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，O為其中心，則||＝________．
　[因為正方形的對角線長為2，所以||＝．]
7．在四邊形ABCD中，若＝且||＝||，則四邊形的形狀為________．
菱形　[∵＝，∴AB＝DC，AB∥DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵||＝||，∴平行四邊形ABCD是菱形．]
8．某人向正東方向行進(jìn)100 m后，再向正南方向行進(jìn)100 m，則此人位移的方向是________．
南偏東30°　[如圖所示，此人從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)點(diǎn)B，到達(dá)點(diǎn)C，
則tan ∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝60°，即南偏東30°方向．]
三、解答題
9．(源自蘇教版教材)在圖中的4×5方格紙中有一個向量，分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，其中與相等的向量有多少個？與長度相等的共線向量有多少個(除外)
[解]　當(dāng)向量的起點(diǎn)C是圖中所圈的格點(diǎn)時，可以作出與相等的向量，
這樣的格點(diǎn)共有8個，除去點(diǎn)A外，還有7個，所以共有7個向量與相等；
與長度相等的共線向量(除外)，有與相等的向量，還有與方向相反且長度相等的向量，所以與長度相等的共線向量共有7×2＋1＝15(個)．
10．下列說法錯誤的是(　　)
A．任一非零向量都可以平行移動
是單位向量，則＝
C．＝
D．兩向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)相同
D　[因為非零向量是自由向量，可以自由平行移動，故A正確；由單位向量定義可知＝，故B正確；由向量的幾何表示及模的概念可知，C正確；兩向量相等的充要條件是它們的大小、方向相同，與起點(diǎn)、終點(diǎn)無關(guān)，故D錯誤．故選D．]
11．(多選)在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論為(　　)
A．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分條件
B．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要條件
C．a(chǎn)與b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要條件
D．a(chǎn)與b方向相反或|a|≠|(zhì)b|是a≠b的充分不必要條件
ACD　[若a＝b，則a與b方向相同，模相等，所以ACD正確，B錯誤．]
12．在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點(diǎn)O為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，且∠OCB＝30°，||＝2，則||等于(　　)
A．1 B．
C． D．2
A　[如圖，連接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，則||＝||＝×2＝1．
故選A．]
13．某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了10米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)，則||＝________米．
5　[如圖所示，由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5 米．]
14．一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛100千米到達(dá)B點(diǎn)，然后向北偏西40°方向走200千米到達(dá)C點(diǎn)，最后向東行駛100千米到達(dá)D點(diǎn)．
(1)作出位移；
(2)求．
[解]　(1)作出，如圖所示．
(2)由題意，知與方向相反，且長度相等，所以四邊形ABCD為平行四邊形，所以＝＝200千米．
15．如圖所示的方格紙中每個小方格的邊長為1，方格紙中有兩個定點(diǎn)A，B，點(diǎn)C為小正方形的頂點(diǎn)，且||＝．
(1)畫出所有的向量；
(2)求||的最大值與最小值．
[解]　(1)畫出所有的向量，
如圖中所示．
(2)由圖知，
①當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)C1或C2時，
||取得最小值，為＝；
②當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)C5或C6時，
||取得最大值，為＝．
故||的最大值為，最小值為．
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6.1　平面向量的概念
第六章　平面向量及其
整體感知
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別．
2．會用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別．
3．理解零向量、單位向量、平行向量(共線向量)、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關(guān)的概念．
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真預(yù)習(xí)，結(jié)合你對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究建構(gòu)
探究1　向量的概念及幾何表示
探究問題　某人投擲標(biāo)槍時，其中的一次記錄為：出手角度θ＝43.242°，出手速度大小為v＝28.35 m/s．
實例中的 “速度”與我們生活中接觸到的長度、
面積、質(zhì)量等有什么區(qū)別？
[提示]　速度是既有大小又有方向的量，而我們接觸到的長度、面積、質(zhì)量等是只有大小沒有方向的量．
[新知生成]
1．向量的概念
(1)向量：既有____又有____的量叫做向量．
(2)數(shù)量：只有____沒有____的量稱為數(shù)量．
大小
方向
大小
方向
方向
起點(diǎn)
方向
長度
【教用·微提醒】　(1)書寫向量時帶箭頭．
(2)有向線段與向量不是同一概念，有向線段有起點(diǎn)、長度、方向三個要素；向量可以用有向線段來表示．
【鏈接·教材例題】
例1　在圖6.1-4中，分別用向量表示A地至B，
C兩地的位移，并根據(jù)圖中的比例尺，求出A
地至B，C兩地的實際距離(精確到1 km)．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)小明從學(xué)校的教學(xué)樓出發(fā)，向北走了1 500 m到達(dá)圖書館，2 h后又從圖書館向南偏東60°走了
1 000 m到食堂就餐，用餐后又從食堂向西走了2 000 m來到操場運(yùn)動．請選擇適當(dāng)?shù)谋壤弋媹D，用向量表示小明每次的位移．
[解]　如圖．小明的位移表示如下：
發(fā)現(xiàn)規(guī)律　用有向線段表示向量的方法
第一步：確定____；
第二步：確定____；
第三步：依據(jù)有向線段的____確定有向線段的終點(diǎn)．
起點(diǎn)
方向
長度
探究2　向量的模、零向量和單位向量
[新知生成]
向量的模
零向量 長度為_的向量，記作0
單位向量 長度等于___________的向量
長度
模
0
1個單位長度
【教用·微提醒】　零向量不能說沒有方向，它的方向是任意的．
反思領(lǐng)悟　解決向量概念問題一定要緊扣定義，對單位向量與零向量問題要特別注意方向．
[學(xué)以致用]　2．下列說法正確的是(　　)
A．向量的模都是正實數(shù)
B．單位向量只有一個
C．零向量是最小的向量
D．兩個單位向量的長度相等
D　[零向量的模為0，故A不正確；單位向量的方向可以是任意的，有無數(shù)個，故B不正確；向量不能比較大小，故C不正確；單位向量的長度都是1，故D正確．]
√
探究3　相等向量和共線向量
[新知生成]
平行向量
(共線向量) 方向__________的非零向量；向量a與b平行，記作a∥b，規(guī)定：零向量與任意向量____
相等向量 長度____且方向____的向量；向量a與b相等，記作a＝b
相同或相反
平行
相等
相同
【教用·微提醒】　共線向量中的向量所在的直線可以平行，也可以重合，與平面幾何中的“共線”“平行”不同．
反思領(lǐng)悟　相等向量與共線向量的探求方法
(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些同向共線．
(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．
提醒：與向量平行相關(guān)的問題中，不要忽視零向量．
√




2
4
3
題號
1
應(yīng)用遷移
1．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．若a＝0，則|a|＝0
B．零向量是沒有方向的
C．零向量與任意向量平行
D．零向量的方向是任意的
√
√
ACD　[零向量的長度為0，方向是任意的，它與任何向量都平行，所以ACD正確，B錯誤．]
√
2
3
題號
1
4
√
2
3
題號
4
1
√
√
√
2
3
題號
4
1
ABC　[A錯誤，共線的兩個單位向量的方向可能相反；B錯誤，相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都可能不相同；C錯誤，直線AB與CD可能重合；D正確，AB與BC平行且有公共點(diǎn)B，則A，B，C三點(diǎn)共線．]
2
4
3
題號
1

6
1．知識鏈：(1)向量的概念及表示．
(2)向量的相關(guān)概念：零向量、單位向量、相等向量、共線向量(平行向量)．
2．方法鏈：數(shù)形結(jié)合法．
3．警示牌：零向量的方向具有任意性；向量的平行不具有傳遞性；共線向量并不是在一條直線上的向量．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．向量與數(shù)量有什么區(qū)別？向量能比較大小嗎？
[提示]　數(shù)量是一個代數(shù)量，只有大小沒有方向，其大小可以用正數(shù)、負(fù)數(shù)、 零來表示，可以比較大小，如長度、面積、體積等；向量既有大小又有方向，因為方向不能比較大小，所以向量不能比較大小．
2．零向量與任意向量存在什么關(guān)系？
[提示]　平行．
3．向量中的“平行”“共線”與幾何中的“平行”“共線”是否一致？
[提示]　向量中的“平行”與“共線”是一個概念，而幾何中的“平行”與“共線”不是一個概念．由于向量可以平移，因此無論兩個向量所在的直線是平行還是共線，我們都說這兩個向量共線，而幾何中則不同．

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