資源簡介

(共50張PPT)
6.2.3　向量的數乘運算
第六章　平面向量及其
6.2　平面向量的運算
整體感知
[學習目標]　1．了解向量數乘的概念．
2．理解并掌握向量數乘的運算律，會運用向量數乘的運算律進行向量運算．
3．理解并掌握向量共線定理及其判定方法．
[討論交流]　預習教材P13－P16的內容，思考以下問題：
問題1．向量數乘的定義及其幾何意義是什么？
問題2．向量數乘運算滿足哪三條運算律？
問題3．向量共線定理是怎樣表述的？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　向量的數乘運算
探究問題1　如圖，已知非零向量a，你能作出a＋a＋a，(－a)＋(－a)＋(－a)嗎？它們的長度和方向分別是怎樣的？
向量
數乘


0
【教用·微提醒】　(1)數乘向量仍是向量．
(2)實數λ與向量不能相加．
探究2　向量的線性運算
探究問題2　類比實數的乘法的運算律，那么數乘向量有什么運算律呢？
[提示]　數乘向量滿足乘法對加法的分配律．
[新知生成]
1．數乘運算的運算律
設λ，μ為實數，那么
(1)λ(μa)＝______．
(2)(λ＋μ)a＝__________．
(3)λ(a＋b)＝__________．
特別地，(－ λ)a＝－(λa)＝ λ(－a)，λ(a－b)＝ λa－ λb．
(λμ)a
λa＋μa
λa＋ λb
2．向量的線性運算
向量的__、__、____運算統稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝___________．
加
減
數乘
λμ1a± λμ2b
【鏈接·教材例題】
例5　計算：
(1)(－3)×4a；
(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；
(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．
[解]　(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；
(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；
(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c．
[解]　(1)原式＝2a＋2b－2a＋2b＝2a－2a＋2b＋2b＝4b．
(2)原式＝－a－b＋c＋2a－2b＋2c＝a－3b＋3c．
(3)原式＝2a－b＋2a＝4a－b．
(4)原式＝(λ＋μ)a－(λ＋μ)b＋(λ－μ)a＋(λ－μ)b
＝[(λ＋μ)＋(λ－μ)]a＋[(λ－μ)－(λ＋μ)]b
＝2λa＋(－2μ)b＝2λa－2μb．
反思領悟　向量線性運算的基本方法
(1)類比法：向量的數乘運算類似于代數多項式的運算，例如，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數看作是向量的系數．
(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當地運用運算律，簡化運算．
[學以致用]　1．已知向量為a，b，未知向量為x，y，向量a，b，x，y滿足關系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y．
探究3　向量共線定理
探究問題3　結合探究1，思考一下：如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共線？反過來，若向量b與非零向量a共線，那么是否存在一個實數λ，使得b＝λa(a≠0)
[提示]　共線，存在．
[新知生成]　向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa．
【教用·微提醒】　定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，則實數λ可以是任意實數，若a＝0，b≠0，則不存在實數λ，使得b＝λa．
√
反思領悟　用已知向量表示其他向量的方法
(1)直接法：結合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中，然后利用向量的三角形法則或平行四邊形法則，用已知向量表示未知向量．
√
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
2
3
題號
1
4
√
2
3
題號
1
4
2
3
題號
4
1
√
√
√
2
3
題號
4
1
ABC　[對于A，b＝－a，有a∥b；
對于B，b＝－2a，有a∥b；
對于C，a＝4b，有a∥b；
對于D，a與b不一定共線．故選ABC．]
2
4
3
題號
1
－4
1．知識鏈：(1)向量的數乘及運算律．
(2)向量共線定理．
(3)三點共線的常用結論．
2．方法鏈：數形結合法、分類討論法．
3．警示牌：運用向量共線定理時注意不要忽視零向量這一個特殊向量．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．向量λa的幾何意義是什么？
[提示]　λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴大或縮小為原來的|λ|倍．
2．向量共線定理的內容是什么？
[提示]　若向量a與b共線，則存在唯一實數λ，使得b＝λa(a≠0)．
3．如何利用向量共線定理證明A，B，C三點共線？6.2.3　向量的數乘運算
[學習目標]　1．了解向量數乘的概念．
2．理解并掌握向量數乘的運算律，會運用向量數乘的運算律進行向量運算．
3．理解并掌握向量共線定理及其判定方法．
[討論交流]　預習教材P13－P16的內容，思考以下問題：
問題1．向量數乘的定義及其幾何意義是什么？
問題2．向量數乘運算滿足哪三條運算律？
問題3．向量共線定理是怎樣表述的？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　向量的數乘運算
探究問題1　如圖，已知非零向量a，你能作出a＋a＋a，(－a)＋(－a)＋(－a)嗎？它們的長度和方向分別是怎樣的？
[提示]　如圖，
由圖及向量加法的定義可知，＝＝a＋a＋a＝3a．
＝＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a．
顯然的方向與a的方向相同，長度是a的長度的3倍，的方向與a的方向相反，長度是a的長度的3倍．
[新知生成]
一般地，我們規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，其長度與方向規定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|．
(2)λa(a≠0)的方向
特別地，當λ＝0時，λa＝0．
當λ＝－1時，(－1)a＝－a．
【教用·微提醒】　(1)數乘向量仍是向量．
(2)實數λ與向量不能相加．
探究2　向量的線性運算
探究問題2　類比實數的乘法的運算律，那么數乘向量有什么運算律呢？
[提示]　數乘向量滿足乘法對加法的分配律．
[新知生成]
1．數乘運算的運算律
設λ，μ為實數，那么
(1)λ(μa)＝(λμ)a．
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa．
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．
2．向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
【鏈接·教材例題】
例5　計算：
(1)(－3)×4a；
(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；
(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．
[解]　(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；
(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；
(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c．
[典例講評]　1．(源自人教B版教材)化簡下列各式：
(1)2(a＋b)－2(a－b)；
(2)－(a＋b－c)＋2(a－b＋c)；
(3)2a－×3b＋×4a；
(4)(λ＋μ)(a－b)＋(λ－μ)(a＋b)．
[解]　(1)原式＝2a＋2b－2a＋2b＝2a－2a＋2b＋2b＝4b．
(2)原式＝－a－b＋c＋2a－2b＋2c＝a－3b＋3c．
(3)原式＝2a－b＋2a＝4a－b．
(4)原式＝(λ＋μ)a－(λ＋μ)b＋(λ－μ)a＋(λ－μ)b
＝[(λ＋μ)＋(λ－μ)]a＋[(λ－μ)－(λ＋μ)]b
＝2λa＋(－2μ)b＝2λa－2μb．
　向量線性運算的基本方法
(1)類比法：向量的數乘運算類似于代數多項式的運算，例如，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數看作是向量的系數．
(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當地運用運算律，簡化運算．
[學以致用]　1．已知向量為a，b，未知向量為x，y，向量a，b，x，y滿足關系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y．
[解]　聯立
由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，
代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，
所以y＝4a＋3b．
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b．
探究3　向量共線定理
探究問題3　結合探究1，思考一下：如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共線？反過來，若向量b與非零向量a共線，那么是否存在一個實數λ，使得b＝λa(a≠0)
[提示]　共線，存在．
[新知生成]　向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa．
【教用·微提醒】　定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，則實數λ可以是任意實數，若a＝0，b≠0，則不存在實數λ，使得b＝λa．
【鏈接·教材例題】
例7　如圖6.2-16，已知任意兩個非零向量a，b，試作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b．猜想A，B，C三點之間的位置關系，并證明你的猜想．
分析：判斷三點之間的位置關系，主要是看這三點是否共線，為此只要看其中一點是否在另兩點所確定的直線上．在本題中，應用向量知識判斷A，B，C三點是否共線，可以通過判斷向量是否共線，即是否存在λ，使＝λ成立．
[解]　分別作向量，過點A，C作直線AC(圖6.2-17)．觀察發現，不論向量a，b怎樣變化，點B始終在直線AC上，猜想A，B，C三點共線．
事實上，因為
＝＝a＋2b－(a＋b)＝b，
＝＝a＋3b－(a＋b)＝2b，
所以＝2．
因此，A，B，C三點共線．
【鏈接·教材例題】
例8　已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，a－b共線，求實數t的值．
[解]　由a，b不共線，易知向量a－b為非零向量．由向量b－ta，a－b共線，可知存在實數λ，使得b－ta＝λ，
即a＝b．
由a，b不共線，必有t＋λ＝λ＋1＝0．
否則，不妨設t＋λ≠0，則a＝b．
由兩個向量共線的充要條件知，a，b共線，與已知矛盾．
由解得t＝．
因此，當向量b－ta，a－b共線時，t＝．
[典例講評]　2．設a，b是不共線的兩個向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，
求證：A，B，C三點共線；
(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數k的值．
[解]　(1)證明：∵＝＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝＝(a－3b)－(3a＋b)
＝－(2a＋4b)＝－2，
∴與共線，且有公共點B，
∴A，B，C三點共線．
(2)∵8a＋kb與ka＋2b共線，
∴存在實數λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a與b不共線，∴
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4．
　
1．證明或判斷三點共線的方法
一般來說，要判定A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
2．利用向量共線求參數的方法
已知向量共線求λ，常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數對應相等求解．
[學以致用]　2．設不共線，且＝a＋b(a，b∈R)．
(1)若a＝，b＝，求證：A，B，C三點共線；
(2)若A，B，C三點共線，則a＋b是否為定值？說明理由．
[解]　(1)證明：當a＝，b＝時，
＝＋，所以)＝)，即2＝，
所以與共線．又與有公共點C，
所以A，B，C三點共線．
(2)a＋b為定值1，理由如下：
因為A，B，C三點共線，所以∥，
不妨設＝λ(λ∈R)，所以＝λ()，即＝(1－λ)＋λ，
又＝a＋b，且不共線，
則所以a＋b＝1(定值)．
【教用·備選題】　已知A，B，C，O為平面內不同在一條直線上的四點，證明A，B，C三點在一條直線上的充要條件是存在一對實數m，n，使＝m＋n，且m＋n＝1．
[證明]　(1)證明充分性．
∵＝m＋n，m＋n＝1，
∴＝m＋n()＝(m＋n)＋n＝＋n，
∴＝n，即＝n．
又有公共點A，
∴A，B，C三點共線．∴充分性成立．
(2)證明必要性．
由A，B，C三點共線知，存在實數λ，使得＝λ，即＝λ()，∴＝(λ－1)＋λ＝(1－λ)＋λ．
設m＝1－λ，n＝λ，則m＋n＝1，＝m＋n．
∴必要性成立．
∴A，B，C三點在一條直線上的充要條件是存在一對實數m，n，使＝m＋n，且m＋n＝1．
探究4　用已知向量表示其他向量
【鏈接·教材例題】
例6　如圖6.2-15， ABCD的兩條對角線相交于點M，且＝a，＝b，用a，b表示和．
[解]　在 ABCD中，
＝＝a＋b，
＝＝a－b．
由平行四邊形的兩條對角線互相平分，得
＝－＝－(a＋b)＝－a－b，
＝＝(a－b)＝a－b，
＝＝a＋b，
＝－＝－a＋b．
[典例講評]　3．(1)如圖，在 ABCD中，E是BC的中點，若＝a，＝b，則等于(　　)
A．a－b　 B．a＋b
C．a＋b D．a－b
(2)在△ABC中，已知D是BC上的點，且CD＝2BD，設＝a，＝b，試用a和b表示．
(1)D　[因為E是BC的中點，
所以＝＝－＝－b，
所以＝＝＝a－b．]
(2)[解]　∵B，C，D三點共線，且CD＝2BD，
∴＝．
法一：＝＝＋＝＋)＝＋＝a＋b．
法二：∵＝＝＝)，
∴＝＋)＝＋＝a＋b．
　用已知向量表示其他向量的方法
(1)直接法：結合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中，然后利用向量的三角形法則或平行四邊形法則，用已知向量表示未知向量．
(2)方程法：當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．
(3)中點向量公式：若M為AB的中點，O為平面內任一點，則＝．
[學以致用]　3．如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，＝2，則用向量表示為(　　)
A．＝－＋
B．＝－＋
C．＝－
D．＝＋
A　[由題意可得＝＝＋＝＋×)＝＋＋＝－．故選A．]
1．已知向量a，b，那么(2a－4b)＋2b等于(　　)
A．a－2b B．a－4b
C．a D．b
C　[(2a－4b)＋2b＝a－2b＋2b＝a．
故選C．]
2．如圖，向量的終點在同一直線上，且＝－3，設＝p，＝q，＝r，則下列等式中成立的是(　　)
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
A　[由＝－3＝p，＝q，＝r，得r－p＝－3(q－r)，所以r＝－p＋q．故選A．]
3．(多選)下列非零向量a，b中，一定共線的是(　　)
A．a＝2e，b＝－2e
B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2
C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2
ABC　[對于A，b＝－a，有a∥b；
對于B，b＝－2a，有a∥b；
對于C，a＝4b，有a∥b；
對于D，a與b不一定共線．故選ABC．]
4．設向量a，b不平行，向量a＋λb與－a＋b平行，則實數λ＝________．
－4　[∵a，b不平行，∴－a＋b≠0．
∵a＋λb與－a＋b平行，∴存在實數μ，使a＋λb＝μ(－a＋b)，即(1＋μ)a＝b．
∵a，b不平行，∴1＋μ＝μ－λ＝0，∴λ＝－4．]
1．知識鏈：(1)向量的數乘及運算律．
(2)向量共線定理．
(3)三點共線的常用結論．
2．方法鏈：數形結合法、分類討論法．
3．警示牌：運用向量共線定理時注意不要忽視零向量這一個特殊向量．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．向量λa的幾何意義是什么？
[提示]　λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴大或縮小為原來的|λ|倍．
2．向量共線定理的內容是什么？
[提示]　若向量a與b共線，則存在唯一實數λ，使得b＝λa(a≠0)．
3．如何利用向量共線定理證明A，B，C三點共線？
[提示]　要證A，B，C三點共線，只需證明與或與或與共線即可．
課時分層作業(四)　向量的數乘運算
一、選擇題
1．如圖，在矩形ABCD中，E為BC中點，那么向量等于(　　)
A． B．
C． D．
B　[因為四邊形ABCD為矩形，E為BC中點，
所以＝，
所以＝＝．故選B．]
2．若＝5，b與a的方向相反，且＝7，則a等于(　　)
A．b B．－b
C．b D．－b
B　[∵b與a反向，∴a＝λb，∴＝－λ，
即－7λ＝5，解得λ＝－， ∴a＝－b．故選B．]
3．下列說法中，正確的是(　　)
A．λa與a的方向不是相同就是相反
B．若a，b共線，則b＝λa
C．若|b|＝2|a|，則b＝±2a
D．若b＝±2a，則|b|＝2|a|
D　[對于A, 當λ＝0時，結論不成立；
對于B，當a＝0，b≠0時，結論不成立；
對于C，當|b|＝2|a|，b與2a不一定共線；
對于D, 因為b＝±2a，所以|b|＝2|a|，故正確．
故選D．]
4．在四邊形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，則四邊形ABCD是(　　)
A．平行四邊形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
C　[由條件可知＝－，所以AB∥CD，又因為||＝||，所以四邊形ABCD為等腰梯形．]
5．(多選)如圖，點C，D是線段AB的三等分點，則下列結論正確的有(　　)
A．＝ B．＝
C．．＝ D．＝2
AD　[由題知，點C，D是線段AB的三等分點，
所以AC＝CD＝DB，AB＝3AC，AB＝3CD，AD＝2CD．
對于A，AC＝DB，所以＝，A選項正確；
對于B，AB≠AC，所以≠，B選項錯誤；
對于C，AB＝3CD，所以≠，C選項錯誤；
對于D，AD＝2CD，所以＝2，D選項正確．故選AD．]
二、填空題
6．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＝λ，則λ＝________．
2　[∵四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC與BD交于點O，∴＝＝2，∴λ＝2．]
7．設e1，e2是兩個不共線的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，則k＝________．
　[因為向量m與向量n共線，所以設m＝λn(λ∈R)，所以－e1＋ke2＝λe2－2λe1，
因為e1與e2不共線，
所以所以 ]
8．設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC．若＝a，＝b，則＝________．(用a，b表示)
－a＋b　[＝＝＋＝＋)＝－＋＝－a＋b．]
三、解答題
9．(源自北師大版教材)如圖，在 ABCD中，點M為AB的中點，點N在BD上，3BN＝BD．
求證：M，N，C三點共線．
證明：設＝a，＝b，
則＝a＋b，＝b＋＝b＋＝a＋b，
所以＝．
又因為有公共起點C，
所以M，N，C三點共線．
10．已知在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD為(　　)
A．梯形 B．正方形
C．平行四邊形 D．矩形
A　[∵＝a＋2b，＝－5a－3b，
∴與不共線，
∵＝
＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2．
∴與共線，且||＝2||．
又∵這兩個向量所在的直線不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC．
∴四邊形ABCD是以AD，BC為兩條底邊的梯形．]
11．(多選)已知點O是△ABC的重心，則下列說法中正確的有(　　)
A．＝0
B．＝
C．＝
D．＝
AB　[記D為BC中點，則O為AD靠近點D的三等分點，因為＝2，＝－2，所以＝0，A正確；又＝2＝，
所以＝，B正確，C錯誤；
又＝2＝2＝6，
所以＝，故D錯誤．故選AB．]
12．點P在△ABC所在平面上，且滿足＝2，則＝(　　)
A． B．
C． D．
B　[因為＝2＝2()，所以3＝＝，所以共線，且3||＝||，所以＝．]
13．在平行四邊形 ABCD中， 點E滿足＝λ且＝－， 則實數λ＝________．
4　[由題意可得，
＝＝
＝
＝＋＝－，∴λ＝4．]
14．(源自北師大版教材)在四邊形ABCD中，點E，F分別為AD，BC的中點，求證：＝)．
[證明]　因為點E，F分別為AD，BC的中點，
所以＝－＝－，
即＝0，＝0，
又＝，①
＝，②
所以①＋②，
得2＝()＋()＝，
所以＝)．
15．(源自北師大版教材)已知非零向量，λ∈＝λ，畫圖并說明是∠BAC的平分線．
[解]　因為是與同向的單位向量，
是與同向的單位向量，如圖，設＝＝，
則＝λ，AM＝AN，
以AM，AN為鄰邊作平行四邊形AMEN，
則＝，且平行四邊形AMEN為菱形，
所以AE平分∠MAN，所以＝λ，
又A為公共端點，所以A，E，Q三點共線，
所以是∠BAC的平分線．
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