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6.2.2　向量的減法運算
第六章　平面向量及其
6.2　平面向量的運算
整體感知
[學習目標]　1．借助實例和平面向量的幾何表示，理解相反向量的含義、向量減法的意義．
2．掌握向量減法的幾何意義．
3．能熟練地進行向量的加、減綜合運算．
[討論交流]　預習教材P11－P12的內容，思考以下問題：
問題1．a的相反向量是什么？
問題2．向量減法的幾何意義是什么？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　相反向量
探究問題1　一架飛機由A地到B地，再由B地到A地．飛機的兩次位移分別是什么？它們之間有什么關系？
[新知生成]　相反向量
(1)定義：與向量a長度____，方向____的向量，叫做a的相反向量，記作_______．
(2)性質：①－(－a)＝__．
②對于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
③若a，b互為相反向量，則a＝_____，b＝－a，a＋b＝_．
相等
相反
－a
a
－b
0
【教用·微提醒】　相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面進行定義，相反向量必為平行向量．
C　[由平行向量的定義可知A項正確；
因為a和b的方向相反，所以a≠b，故B項正確；
由相反向量的定義可知b＝－a，故D項正確；
由相反向量的定義知|a|＝|b|，故C項錯誤．故選C．]
√
反思領悟　抓住相反向量的兩個要素：大小相等、方向相反，對每個選項作出判斷，注意零向量．
[學以致用]　1．(多選)下列說法中，錯誤的是(　　)
A．等長且方向相反的兩個向量是相反向量
B．方向相反的向量是相反向量
C．零向量的相反向量是零向量
D．互為相反向量的兩個向量一定不相等
BD　[相反向量是指大小相等，方向相反的向量，故A正確，B錯誤；
零向量的相反向量是零向量，故C正確，D錯誤．故選BD．]
√
√
[提示]　
【教用·微提醒】　兩向量要共起點，由減向量的終點指向被減向量的終點．
【鏈接·教材例題】
例3　如圖6.2-12(1)，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．
[典例講評]　2．如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c．
反思領悟　求作兩個向量的差向量的兩種思路
(1)可以轉化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量減法的幾何意義，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量．
[學以致用]　2．如圖，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c．
反思領悟　向量減法運算的常用方法
反思領悟　解決此類問題要搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構成三角形的三個向量之間的關系，確定已知向量與待證向量的轉化渠道．
平行四邊形
a－b＋c
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
2
3
題號
1
4
√
2
3
題號
4
1
3．若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝________，|a－b|＝________．
0　
0　2　[若a，b為相反向量，則a＋b＝0，
∴|a＋b|＝0．
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，
∵a與b共線，∴|a－b|＝2．]
2
2
4
3
題號
1
4．如果a，b都是單位向量，則|a－b|的最大值為______．
2　[|a－b|≤|a|＋|b|＝2，故最大值為2．]
2　
1．知識鏈： (1)向量的減法運算．
(2)向量減法的幾何意義．
2．方法鏈：數形結合法．
3．警示牌：注意不要忽視向量共起點時才可進行向量的減法運算．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．向量減法的實質是什么？
[提示]　向量減法的實質是向量加法的逆運算，即減去一個向量等于加上這個向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．利用向量減法的幾何意義作向量減法時，要注意什么？
[提示]　“差向量連接兩向量的終點，箭頭指向被減向量．”解題時要結合圖形，準確判斷，防止混淆．
4．對于任意的向量a，b, |a|－|b|與|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么樣的大小關系？
[提示]　它們之間的關系為||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|．6.2.2　向量的減法運算
[學習目標]　1．借助實例和平面向量的幾何表示，理解相反向量的含義、向量減法的意義．
2．掌握向量減法的幾何意義．
3．能熟練地進行向量的加、減綜合運算．
[討論交流]　預習教材P11－P12的內容，思考以下問題：
問題1．a的相反向量是什么？
問題2．向量減法的幾何意義是什么？
[自我感知]　經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　相反向量
探究問題1　一架飛機由A地到B地，再由B地到A地．飛機的兩次位移分別是什么？它們之間有什么關系？
[提示]　飛機的兩次位移分別是；它們的模相等，方向相反．
[新知生成]　相反向量
(1)定義：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a．
(2)性質：①－(－a)＝a．
②對于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
③若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．
【教用·微提醒】　相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面進行定義，相反向量必為平行向量．
[典例講評]　1．若非零向量a和b互為相反向量，則下列說法中錯誤的是(　　)
A．a∥b　 B．a≠b　
C．≠ D．b＝－a
C　[由平行向量的定義可知A項正確；
因為a和b的方向相反，所以a≠b，故B項正確；
由相反向量的定義可知b＝－a，故D項正確；
由相反向量的定義知|a|＝|b|，故C項錯誤．故選C．]
　抓住相反向量的兩個要素：大小相等、方向相反，對每個選項作出判斷，注意零向量．
[學以致用]　1．(多選)下列說法中，錯誤的是(　　)
A．等長且方向相反的兩個向量是相反向量
B．方向相反的向量是相反向量
C．零向量的相反向量是零向量
D．互為相反向量的兩個向量一定不相等
BD　[相反向量是指大小相等，方向相反的向量，故A正確，B錯誤；
零向量的相反向量是零向量，故C正確，D錯誤．故選BD．]
探究2　向量減法的幾何意義
探究問題2　已知向量是向量與向量x的和，如圖所示，你能作出表示向量x的有向線段嗎？
[提示]　
[新知生成]
已知向量a，b，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a－b．即a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，這就是向量減法的幾何意義．
【教用·微提醒】　兩向量要共起點，由減向量的終點指向被減向量的終點．
【鏈接·教材例題】
例3　如圖6.2-12(1)，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．
[解]　作法：如圖6.2-12(2)，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，＝c，＝d．則
＝a－b，＝c－d．
[典例講評]　2．如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c．
解：法一：如圖①，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，則＝a＋b－c．
法二：如圖②，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，連接OC，則＝a＋b－c．
　求作兩個向量的差向量的兩種思路
(1)可以轉化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量減法的幾何意義，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量．
[學以致用]　2．如圖，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c．
[解]　如圖，在平面內任取一點O，作向量＝a，＝b，則向量＝a－b，再作向量＝c，則向量＝a－b－c．
探究3　向量的加減混合運算
[典例講評]　3．(1)化簡：()＋(－)；
(2)化簡：()－()．
[解]　(1)法一：原式＝
＝()＋()＝＝．
法二：原式＝
＝＋()－＝＋()
＝＋0＝．
(2)法一：原式＝
＝
＝()＋()＝＝0．
法二：原式＝
＝()－－()＋
＝
＝()＋()＋()＝0＋0＋0＝0．
　向量減法運算的常用方法
[學以致用]　3．化簡下列各式：
(1)；
(2)()＋()．
[解]　(1)＝＝＝．
(2)()＋()＝＝＋()＝＋0＝．
探究4　向量加減法的綜合應用
【鏈接·教材例題】
例4　如圖6.2-13，在 ABCD中，＝a，＝b，你能用a，b表示向量嗎？
[解]　由向量加法的平行四邊形法則，我們知道
＝a＋b．
同樣，由向量的減法，知
＝＝a－b．
[典例講評]　4．如圖，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示向量及．
[解]　∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴＝＝c，
＝＝b－a，
＝＝c－a，
＝＝c－b，
∴＝＝b－a＋c．
　解決此類問題要搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構成三角形的三個向量之間的關系，確定已知向量與待證向量的轉化渠道．
[學以致用]　4．(源自蘇教版教材)如圖，點O是 ABCD的兩條對角線的交點，＝a，＝b，＝c，求證：b＋c－a＝．
證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以＝．
因為b＋c＝＝＝，
＋a＝＝，
所以b＋c＝＋a，即b＋c－a＝．
【教用·備選題】　 (1)已知O為四邊形ABCD所在平面外的一點，且向量滿足＝，則四邊形ABCD的形狀為________．
(2)如圖，已知一點O到平行四邊形ABCD的三個頂點A，B，C的向量分別為a，b，c，則向量＝________．(用a，b，c表示)．
(1)平行四邊形　(2)a－b＋c　[(1)∵＝，
∴＝，∴＝．
∴||＝||，且DA∥CB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
(2)在△AOD中，＝＝－a．
在△BOC中，＝＝c－b．
又在 ABCD中，＝，
故－a＝c－b，即＝a－b＋c．]
1．在△ABC中，若＝a，＝b，則等于(　　)
A．a B．a＋b
C．b－a D．a－b
D　[＝＝a－b．]
2．化簡等于(　　)
A． B．
C． D．
B　[原式＝()＋()＝＋0＝．]
3．若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝________，|a－b|＝________．
0　2　[若a，b為相反向量，則a＋b＝0，
∴|a＋b|＝0．
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，
∵a與b共線，∴|a－b|＝2．]
4．如果a，b都是單位向量，則|a－b|的最大值為______．
2　[|a－b|≤|a|＋|b|＝2，故最大值為2．]
1．知識鏈： (1)向量的減法運算．
(2)向量減法的幾何意義．
2．方法鏈：數形結合法．
3．警示牌：注意不要忽視向量共起點時才可進行向量的減法運算．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1． 向量減法的實質是什么？
[提示]　向量減法的實質是向量加法的逆運算，即減去一個向量等于加上這個向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．利用向量減法的幾何意義作向量減法時，要注意什么？
[提示]　“差向量連接兩向量的終點，箭頭指向被減向量．”解題時要結合圖形，準確判斷，防止混淆．
3．以 ABCD的兩鄰邊AB，AD分別表示向量＝a，＝b，則兩條對角線表示的向量如何表示？
[提示]　＝a＋b，＝b－a，＝a－b，這一結論應用非常廣泛，應該加強理解并掌握．
4．對于任意的向量a，b, |a|－|b|與|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么樣的大小關系？
[提示]　它們之間的關系為||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|．
課時分層作業(三)　向量的減法運算
一、選擇題
1．若O，E，F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是(　　)
A．＝ B．＝
C．＝－ D．＝－
[答案]　B
2．下列各式中，恒成立的是(　　)
A．＝ B．a－a＝0
C．＝ D．＝0
D　[選項D中，＝＝＝0．]
3．在四邊形ABCD中，設＝a，＝b，＝c，則等于(　　)
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
A　[＝＝＝a＋c－b＝a－b＋c．故選A．]
4．已知在四邊形ABCD中，＝，則四邊形ABCD一定是(　　)
A．平行四邊形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
A　[由＝，可得＝，
所以四邊形ABCD一定是平行四邊形．]
5．(多選)下列各式中能化簡為的是(　　)
A．()－
B．－()
C．－()－()
D．
ABC　[選項A中，()－＝＝＝；選項B中，－()＝－0＝；選項C中，－()－()＝＝＝()＋＝；選項D中，＝．]
二、填空題
6．若菱形ABCD的邊長為2，則||的長度為________．
2　[||＝||＝||＝2．]
7．在正六邊形ABCDEF中，記向量＝a，＝b，則向量＝________．(用a，b表示)
b－a　[由正六邊形的性質知，＝，
∴＝b－a．]
8．已知||＝a，||＝b(a>b)，||的取值范圍是[5，15]，則a，b的值分別為________．
10，5　[因為a－b＝|||－|||≤||＝||≤||＋||＝a＋b，
所以 解得 ]
三、解答題
9． 如圖，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，試用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
[解]　(1)＝＝c－a．
(2)＝＝＝d－a．
(3)＝＝＝d－b．
(4)＝＝b－a＋f－c．
(5)＝－()＝＝f－d．
10．設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外＝16，||＝||，則||＝(　　)
A．8　　　B．4　　　C．2　　　D．1
C　[根據||＝||可知，
△ABC是以A為直角的直角三角形，
∵||2＝16，∴||＝4，
又∵M是BC的中點，
∴||＝||＝×4＝2．
故選C．]
11．(多選)一艘船在靜水中的航行速度為5 km/h，河水的流速為3 km/h，則船的實際航行的速度可能為(　　)
A．1 km/h B．5 km/h
C．8 km/h D．10 km/h
BC　[設該船實際航行的速度為v，因為船的實際航行速度為靜水中的航行速度與水流速度的合速度，
所以||v靜|－|v水||≤|v|≤|v靜|＋|v水|，
因為船在靜水中的航行速度為5 km/h，河水的流速為3 km/h，所以5－3≤|v|≤5＋3，則2≤|v|≤8，
所以船實際航行的速度的取值范圍是[2，8]．故選BC．]
12．(多選)下列結論正確的是(　　)
A．若線段AC＝AB＋BC，則向量＝
B．若向量＝，則線段AC＝AB＋BC
C．若向量與共線，則線段AC＝AB＋BC
D．若向量與反向共線，則||＝AB＋BC
AD　[由AC＝AB＋BC得點B在線段AC上，則＝，A正確；三角形內＝，但AC≠AB＋BC，B錯誤；反向共線時，||＝||≠||＋||，也即AC≠AB＋BC，C錯誤； 反向共線時，||＝|＋(－)|＝AB＋BC，D正確．]
13．已知非零向量a，b滿足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，則|a＋b|＝________．
4　[如圖所示，設＝a，＝b，則||＝|a－b|．以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則||＝|a＋b|．由于(＋1)2＋(－1)2＝42，故||2＋||2＝||2，所以△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，從而OA⊥OB，所以平行四邊形OACB是矩形．根據矩形的對角線相等得||＝||＝4，即|a＋b|＝4．]
14．已知△OAB中，＝a，＝b，滿足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|及△AOB的面積．
[解]　由已知得||＝||，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則可知其為菱形，且＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，
則OA＝OB＝BA，
∴△OAB為正三角形，
∴|a＋b|＝||＝2×＝2，
S△OAB＝×2×＝．
15．如圖所示，在 ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：當a，b分別滿足什么條件時，四邊形ABCD為矩形、菱形、正方形？
[解]　由向量的平行四邊形法則，得＝a＋b，＝＝a－b．
當a，b滿足|a＋b|＝|a－b|時，平行四邊形的兩條對角線的長度相等，四邊形ABCD為矩形；
當a，b滿足|a|＝|b|時，平行四邊形的兩條鄰邊的長度相等，四邊形ABCD為菱形；
當a，b滿足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|時，四邊形ABCD為正方形．
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