資源簡介

第四章 三角形
4.4 利用三角形全等測距離
教學目標
1.能利用三角形全等解決無法直接測量距離之類的實際問題，體會數學與實際生活之間的聯系．
2.能在解決問題的過程中進行有條理的思考和表達．
3.經歷多種方案的設計過程及應用，培養學生的應用意識．
二、教學重難點
重點：能利用三角形全等解決無法直接測量距離之類的實際問題．
難點：能在解決問題的過程中進行有條理的思考和表達．
三、教學用具
電腦、多媒體、課件
教學過程設計
環節一 創設情境
【情境引入】
一位經歷過戰爭的老人講述了這樣一個故事：在一次戰役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望．為了炸掉這個碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離．在不能過河測量又沒有任何測量工具的情況下，需要想出一個辦法．如何測量呢？
一位戰士想出這樣一個辦法：他面向碉堡的方向站好，然后調整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉過一個角度，保持剛才的姿態，這時視線落在了自己所在岸的某一點上；接著，他用步測的辦法量出自己與那個點的距離，這個距離就是他與碉堡間的距離．
你能解釋其中的道理嗎？
設計意圖：通過實際問題的引入，增強趣味性，激發學生學習的積極性，為講解新知作鋪墊．
環節二 探究新知
【探究】
問題1：分析兩個三角形中存在的邊角關系，填寫下表：
已知 問題
邊
角
教師活動：引導學生分析具體的測量步驟，得出已知的邊、角相等的條件，找出實際問題的結論，并轉化為數學語言描述．
預設答案：
已知 問題
邊 身高：AD=AD 說明：AB=AC
角 直角：∠BAD=∠CAD； 視角：∠BDA=∠CDA
追問：你能證明AB=AC嗎？
如圖，已知△ABD與△ACD中，∠BAD=∠CAD，∠BAD=90°，∠CAD=90°，請說明AB=AC．
預設答案：
證明：在△ABD與△ACD中，
所以△ABD≌△ACD(ASA)．
所以AB=AC．
設計意圖：經歷分析問題、解決問題的過程，在這個過程中，培養學生的運用全等三角形的知識解決問題的能力．
【拓展】
仰望星空的人——泰勒斯曾利用日影來測量金字塔的高度，利用全等三角形的知識用不同的方法測量出輪船與海岸的距離．并準確地預測了公元前585年發生的日食．
如圖，泰勒斯利用一種簡單的工具進行測量．
1.竿EF垂直于地面，在其上有一固定釘子A，另一橫桿可以繞A 轉動，但可以固定在任一位置上．
2.將該細竿調準到河對岸B的位置，然后轉動EF(保持與地面垂直)，將細竿對準岸上的某一點C．
3.則根據角邊角(ASA)定理，DC = DB．
設計意圖：通過數學歷史典故，進一步梳理利用三角形全等測距離的步驟，再次強調原理，鞏固所學知識，同時也加強學生對數學史的理解，激發學習興趣．
【觀察思考】
問題2： 如圖，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小麗想用繩子測量A，B兩點間的距離，但繩子不夠長，一位叔叔幫她出了這樣一個注意：
先在地上取一個可以直接到達點A和點B的點C，
連接AC并延長到D，使CD=CA；
連接BC并延長到E，使CE=CB；
連接DE并測量出它的長度，DE的長度就是A，B兩點間的距離．
你能說明其中的道理么？
預設答案：
證明：在△ABC與△DEC中，
所以△ABC≌△DEC(SAS)．
所以AB=DE．
追問：還有別的方法嗎？
教師活動：組織學生小組討論，教師巡視，如遇有困難的小組，適當給出提示，小組內充分交流后，選代表回答，教師匯總并補充．待學生說出方案后，引導學生說明理由．
預設答案：
方案二：
1.戴一頂太陽帽，在點B立正站好，調整帽子，使視線通過帽檐正好落在池塘對面的點A；
2.然后轉過一個角度，保持剛才的姿勢，帽檐不動，這時再望出去，仍讓視線通過帽檐，視線所落的位置為點C；
3.測出BC的長，就是A，B間的距離．
方案三：
1.戴一頂太陽帽，在點B立正站好，調整帽子，使視線通過帽檐正好落在池塘對面的點A；
2.保持姿勢和帽檐不動，仍讓視線通過帽檐，慢慢往后移動，當視線落到點B時停止，此時所站的位置為C；
3.測出BC的長，就是A，B間的距離．
設計意圖：進一步利用三角形全等測距離的方法，并在此基礎上給出不同的構造全等三角形的方法，使學生能夠舉一反三，培養學生的發散思維．
【歸納】
測量兩點間距離問題的常見思路：
設計意圖：總結梳理測量兩點間距離問題的常見類型及解題思路，使學生對所學知識有更加全面、系統的了解．
環節三 應用新知
【典型例題】
【例1】把兩根鋼條AB′，BA′的中點連在一起，可以做成一個測量工件內槽寬的工具(卡鉗)，如圖，若測得A、B間的距離為5 cm，則槽寬為______cm．
證明：在△AOB與△B'OA'中，
所以△AOB≌△B'OA'(SAS)．
所以AB=B'A'．
因為AB=5 cm，所以B'A'=5 cm．
【例2】某城市搞亮化工程，如圖，在甲樓底部、乙樓頂部分別安裝一盞射燈．已知A燈恰好照到 B燈，B燈恰好照到甲樓的頂部，如果兩盞燈的光線與水平線的夾角是相等的，那么能否說甲樓的高度是乙樓的2倍？說說你的看法．
解：能，理由如下：
在△ABD和△CBD中，
所以 △ABD≌△CBD(ASA)
所以AD=CD，所以AC=2AD．
因為AD=BE，所以AC=2BE．
設計意圖：通過例題的訓練，讓學生進一步熟悉利用三角形全等測距離的方法，提高學生對所學知識的應用意識．
環節四 鞏固新知
【隨堂練習】
教師活動：教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當答疑.
1.如圖，要測量河中礁石A離岸邊B點的距離，采取的方法如下：順著河岸的方向任作一條線段BC，作∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA．可得△A′BC≌△ABC，所以A′B＝AB，所以測量A′B的長即可得AB的長．判定圖中兩個三角形全等的理由是(　　)
A．SAS B．ASA
C．SSS D．AAS
解：在△A′BC和△ABC中，
由已知∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA．
又BC=BC，
根據ASA可得：△A′BC≌△ABC．
故選B．
2.某大學計劃為新生配備如圖①所示的折疊凳．圖②是折疊凳撐開后的側面示意圖(木條等材料寬度忽略不計)，其中凳腿AB和CD的長相等，O是它們的中點．為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度AD設計為30 cm，則由以上信息可推得CB的長度也為30 cm，依據是(　　)
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
解：在△AOD和△BOC中，
由已知OA＝OB，OD＝OC．
又∠AOD=∠BOC，
根據SAS可得：△AOD≌△BOC．
故選A．
3.工人師傅常用角尺平分一個任意角，作法如下：
如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON．移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合．則過角尺頂點P的射線OP便是∠AOB的平分線，請你說明理由．
解：因為OM＝ON，PM＝PN，OP＝OP，
所以△MOP≌△NOP(SSS)，
所以∠MOP＝∠NOP，
所以OP平分∠MON，
即OP是∠AOB的平分線．
設計意圖：通過課堂練習及時鞏固本節課所學內容，并考查學生的知識應用能力，培養獨立完成練習的習慣．
環節五 課堂小結
以思維導圖的形式呈現
設計意圖：通過小結給出本節課的知識結構，讓學生進一步熟悉本節課所學的知識.

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