資源簡介

2024-2025學年度第二學期期中質量檢測
九年級數學試題
注意事項：
1.本試題共23道題，滿分120分，考試時間120分鐘；
2.請把答案寫在答題卡上，選擇題用2B鉛筆填涂，非選擇題用0.5mm的黑色簽字筆書寫在答題卡的指定區域內，寫在其它區域不得分．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項涂在答題卡的相應位置）
1. 下列三角比值是有理數的是（ ）
A. sin60° B. sin45° C. cos60° D. tan30°
2. 如圖所示的幾何體的左視圖為（ ）
A. B. C. D.
3. 2024年巴黎奧運會已于2024年7月26日開幕，8月11日閉幕．巴黎奧運會設定的參賽名額為10500人．數據10500可用科學記數法表示為（ ）
A. 1.05×103 B. 1.05×104 C. 1.05×105 D. 10.5×104
4. 如圖，直線AB∥DE．若∠1＝62°，CE平分∠ACD，則∠CED的度數為（ ）
A. 59° B. 62° C. 69° D. 72°
5. 琪琪在課堂練習中做了以下5道題，其中做對的有（ ）
① (－a)3 a＝－a4；② a10÷a2＝a5；③ (－a2b3)2＝a4b6；④ 2x2 (－3x2+1)＝－6x4+1；⑤ (x + 2)(x + 1)＝x2+3x + 2．
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
6. 某班30位同學閱讀課外讀物的本數統計如表所示，其中兩個數據被遮蓋，下列關于閱讀課外讀物的統計量中，與被遮蓋的數據無關的是 （ ）
本數 2 3 4 5 6 7 8
人數 2 3 5 8 9
A. 平均數，方差 B. 平均數，眾數 C. 中位數，眾數 D. 中位數，方差
7. 如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠ACD＝22.5°，AB＝2，則CD的長為（ ）
A. B. 2C. 1 D. 2
8. 物理實驗中，同學們分別測量電路中經過甲、乙、丙、丁四個用電器的電流I(A)和它們兩端的電壓U(V)，根據相關數據，在如圖的坐標系中依次畫出相應的圖象．根據圖象及物理學知識U＝IR，可判斷這四個用電器中電阻R(Ω)最大的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9. 如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C在y軸的正半軸上，對角線AC和OB交于點D，作以下操作：（1）以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交BO于點M，交AB于點N；（2）分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧交于點G；（3）作射線BG，交OA于點P．若OP＝2，則正方形OABC的面積為（ ）
A. 16 B. 2+4 C. 2+6 D. 4+6
10. 我們定義一種新函數：形如y＝|ax2+bx + c|(a≠0，b2－4ac>0)的函數叫做“鵲橋”函數．數學興趣小組畫出一個“鵲橋”函數y＝|ax2+bx + c|的圖象如圖所示，則下列結論：① (a<0) ② (bc>0) ③ －＝1 ④ 若m的取值范圍是1A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空題(本大題共5個小題 每小題3分，共15分，只要求把最后結果填寫在答題卡的相應區域內。)
11.分解因式：(x2-16y2＝)__________．
12. 我市舉辦的“喜迎黨的二十大，奮進新征程——鄉村振興成果展”吸引了眾多市民前來參觀，如圖所示的是該展覽館出入口的示意圖．小穎從A入口進，E出口出的概率是__________．
13. 荷花寓意“家庭美滿，生活和諧”，圖1是一幅環形荷花裝飾掛畫．將其視為如圖2的扇形環面（由扇形OAB挖去扇形OCD），∠AOB＝108°，OC的長度是10cm，OA的長度是30cm，則該環形荷花裝飾掛畫的面積是________cm2．
14. 如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調試發現，噴頭高2.5m時，水柱落點距O點2.5m；噴頭高4m時，水柱落點距O點3m．那么噴頭高 ______m時，水柱落點距O點4m．
15. 任取一個正整數，若該數是奇數，就將該數乘3再加上1；若該數是偶數，就將該數除以2．對于所得結果繼續進行上述運算，經過有限次反復運算后，必進入循環圈，這就是“冰雹猜想”．取正整數m＝3，根據上述運算法則第一次運算后得10，將所得結果再進行上述運算，第二次得5，第三次得16，則經過2025次運算后得 ________．
三、解答題（本大題共8小題，共75分，解答要把必要的文字說明、證明過程或演算步驟，寫在答題卡的相應區域內。）
16.（本小題滿分8分）
（1）(2)0+|2－|+(－1)2024－×(－)-2．
（2）化簡分式：+，并求值，其中a的相反數是－1，b是大于3且小于的整數。
17.（本小題滿分8分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔9月份到11月份的銷量，該品牌頭盔9月份銷售150個，11月份銷售216個，且從9月份到11月份銷售量的月增長率相同．
（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
（2）已知A類頭盔的進價為36元/個，在銷售中，該商家發現當每個售價50元時，每個月可售出100個；若在此基礎上售價每上漲5元/個，則月銷售量將減少10個．設A類頭盔售價每個a元（(50≤a≤60)），w表示該商家每月銷售A類頭盔的利潤（單位：元），求w關于a的函數解析式并求最大利潤．
18.（本小題滿分8分）課前預習是學習數學的重要環節，為了了解所教班級學生完成數學課前預習的具體情況，王老師對本班部分學生進行了為期半個月的跟蹤調查，他將調查結果分為四類，A：很好；B：較好；C：一般；D：較差．并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統計圖，請你根據統計圖解答下列問題：
（1）王老師一共調查了多少名同學？
（2）C類女生有______名，D類男生有______名，將條形統計圖補充完整；
（3）為了共同進步，王老師想從被調查的A類和D類學生中各隨機選取一位同學進行“一幫一”互助學習，請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率．
19.（本小題滿分8分）脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線，為了測量房屋的高度，在地面上C點測得屋頂A的仰角為35°，此時地面上C點、屋檐上E點、屋頂上A點三點恰好共線，繼續向房屋方向走6m到達點D時，又測得屋檐E點的仰角為63.4°房屋的頂層橫梁EF＝8m，EF∥CB，AB交EF于點G（點C，D，B在同一水平線上）．（參考數據：(sin35≈0.6，cos35≈0.8，tan35≈0.75，sin63.4≈0.89，cos63.4≈0.45，tan63.4≈2.00)）
（1）求屋頂到橫梁的距離AG；
（2）求房屋的高AB（結果精確到1m）．
20.（本小題滿分10分）如圖，直線y＝kx + b（(k，b為常數）與雙曲線y＝ （m為常數）相交于A(2，a)，B(－1，2)兩點．
（1）求直線y＝kx + b的解析式；
（2）在雙曲線y＝ 上任取兩點M(x1，y1))和N(x2，y2)，若x121.（本小題滿分10分）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上不同于A，B的兩點，CF是⊙O的切線，連接CD．過點C作CE⊥DB，交DB的延長線于點E，延長CE，交AB的延長線于點F．
（1）求證：∠ABD＝2∠BAC；
（2）當BD＝6，sin F＝時，求BF的長．
22.（10分）【情境知識技能】學校數學興趣小組活動時，小紅給小波出了一道題：
（1）如圖1，在等腰Rt△∠ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D，E在邊BC上，且∠DAE＝45°，小紅對小波說：“圖中線段BD、DE和EC有一定的數量關系，你知道嗎？”
小波毫不猶豫的回答道：“太簡單了，把△∠ABD繞點A逆時針轉90°得到△∠ACF，連接EF，就能證出BD2+EC2＝DE2．小紅微笑著點了點頭，并給小波豎起了大拇指．
【解決問題】
請你根據小波的敘述把圖補畫完整，并幫助小波證明他的結論；
【情境理解應用】
（2）小波接著對小紅說：“如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，∠ACD＝45°，若AB＝5，BC＝6，你知道AC的長嗎？”，小紅會意點了頭．請你幫小紅把求AC長的過程寫出來．
23.（本小題滿分13分）定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：A（1，3），B（－1.5，－4.5），C（0，0）等都是“三倍點”．已知二次函數y＝－x2-x + c（c為常數）．
（1）若該函數經過點（1，－6），求出該函數圖象上的“三倍點”坐標；
（2）在（1）的條件下，當t≤x≤t + 2時，求出該函數的最小值；
（3）在－322024-2025 學年度第二學期期中質量檢測
九年級數學試題參考答案
閱卷須知：
1. 為便于閱卷，本試卷答案中有關解答題的推導步驟寫得較為詳細，閱卷時，只要考
生將主要過程正確寫出即可.
2. 若考生的解法與給出的解法不同，正確者可參照評分參考相應給分.
3. 評分參考中所注分數，表示考生正確做到此步應得的累加分數
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分）
1．C 2．D 3．B 4． A 5．B 6．C 7．A 8 ．C 9．D 10 ．B
二、填空題（共 5 小題,每小題 3 分,共 15 分）
1
11． （x+4y）（x﹣4y） 12． 13． 240π 14． 8 15．2 ．
6
三、解答題。（共 75 分）
16．（本小題滿分 8分）
1 (2 5 2)0 + |2 5| + ( 1)2024 1解：（ ） 3 × 45 (
1
2 )
2
1
＝1+ 5 2+1 3 ×3 5﹣4..................................2分
＝1+ 5 2+1 5﹣4............................................3分
＝﹣4；......................................................................4分
（2）由題意可知：a＝1，2＜ ＜ 10且 b為整數，又 3＜ 10＜4，則 b＝3，...........5分
2 2 1
2
+
2 + 2
= ( + )( ) + 1 ( )2
= + 1 + .......................................6分
= 1 ，.................................................7分
當 a＝1 b 3 = 1 = 1， ＝ 時，原式 1 3 2．....................................8分
17．（本小題滿分 8分）
解：(1)設該品牌頭盔銷售量的月增長率為 x，
根據題意，得:150(1+x) = 216，.............................................1分
解得: x1=0.2=20%，x2= 2.2(不合題意，舍去)。............................3分
答:該品牌頭盔銷售量的月增長率為 20%．............................................4分
（2）根據題意得：
a 50
w＝（a﹣36）（100﹣ ×10）
5
＝﹣2a2+272a﹣7200
＝﹣2（a﹣68）2+2048，.........................................6分
∵﹣2＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線 a＝68，又 50≤a≤60＜68
在對稱軸的左側 w隨 a的增大而增大，.................................7分
∴當 a＝60時，w有最大值，最大值為 1880，
∴w＝﹣2a2+272a﹣7200; 最大利潤為 1880元．...................................8分
18．（本小題滿分 8分）
解：（1）（6+4）÷50%＝20．
所以王老師一共調查了 20名學生．............................................2分
（2）C類女生有 3名，D類男生有 1名；補充條形統計圖
．................................4分
（3）由題意畫樹形圖如下：
從樹形圖看出，所有可能出現的結果共有 6種，且每種結果出現的可能性相等，所選
兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的結果共有 3種．..................................6分
所以 P（所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學）＝ ＝ ．......................8分
19．（本小題滿分 8分）
解：（1）∵房屋的側面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高 AB所在的直線，
EF∥BC，
∴AG⊥EF，EG= 12EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，................................2分
在 Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，
∵tan∠AEG＝tan35°= ，EG＝4，
∴AG＝4×0.75＝3（米）；..................................4分
答：屋頂到橫梁的距離 AG約為 3米；
（2）過 E作 EH⊥CB于 H，則四邊形 EHBG為矩形，
設 DH＝x，
在 Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝63.4°，
∵tan∠EDH= ，
∴EH= tan 63.4° =2x，.................................................6分
在 Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，
∵tan∠ECH= ，CH= + ＝6 +x，
2x
∴ tan 35°
6 x
解得：x≈3.6（米）
∴EH=2x= ＝7.2（米），.........................................7分
∴AB＝AG+BG＝3+7.2≈10（米），
答：房屋的高 AB約為 10米．........................................8分
20．（本小題滿分 10分）解：（1）由題意，將 B點代入雙曲線解析式 y＝ ，
∴2＝ ．
∴m＝﹣2．
∴雙曲線為 y＝﹣ ．...........................................2分
又 A（2，a）在雙曲線上，
∴a＝﹣1．
∴A（2，﹣1）．..........................................4分
將 A、B代入一次函數解析式得 ，
∴ ．
∴直線 y＝kx+b的解析式為 y＝﹣x+1．......................................6分
（2）由題意，可分成兩種情形．
①M、N在雙曲線的同一支上，
由雙曲線 y＝﹣ ，在同一支上時函數值隨 x的增大而增大，
∴當 x1＜x2時，y1＜y2．............................................8分
②M、N在雙曲線的不同的一支上，
∵x1＜x2，
∴x1＜0＜x2．
∴此時由圖象可得 y1＞0＞y2，
即此時當 x1＜x2時，y1＞y2．...............................................10分
21．（本小題滿分 10分）（1）證明：如圖，連接 OC．..............................1分
∵CF是⊙O的切線，
∴OC⊥CF，............................2分
∵CE⊥DE，
∴OC∥DE，
∴∠3＝∠4，.............................3分
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，.............................4分
∴∠3＝∠1+∠2＝2∠1，
∴∠4＝2∠1，
即∠ABD＝2∠BAC；........................5分
（2）解：連接 AD，.....................................6分
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，..............................................7分
∵DE⊥CF，
∴CF∥AD，
∴∠BAD＝∠F，
∴sin∠BAD＝sinF= 3 = 5，
5
∴AB= 3BD＝10，...................................................................8分
∵OC= 12AB＝5，
∵OC⊥CF，OC＝5，sin F= 3∠ 5，
∴sinF= 3 = + = 5，.....................................................9分
10
解得 BF= 3 ．............................................................................10分
22．（本小題滿分 10分）
（1）證明：∵△ABD繞點 A逆時針旋轉 90°得到△ACF，連接 EF，如圖 1：
由旋轉可知：△ABD≌△ACF，∠FAD＝90°，
∴CF＝BD，AF＝AD，∠ACF＝∠ABD＝45°，∠CAF＝∠DAB，....................1分
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠CAF+∠CAE＝∠DAB+∠CAE＝45°，
∴∠FAE＝∠DAE，...............................................................2分
在△FAE和△DAE中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴EF＝ED；.............................................4分
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°；
∴∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝90°；
在 Rt△ECF中，
∵CF2+CE2＝EF2，
∴BD2+EC2＝DE2；.........................................................5分
（2）解：把△ABC繞點 A逆時針轉 90°得到△ADF，連接 DF，如圖 2：
F
由旋轉可知：△ABC≌△ADF，∠CAF＝90°，
∴DF＝BC＝6，∠F＝∠ACB＝∠ACD＝45°，AF＝AC，.................................6分
∵△ACD與△ADF內角和為 360°，
∠CAF+∠ +∠ ＝180°，
∴∠CDA+∠ ＝180°，
∴C、D、F三點共線，..........................................................8分
∴△CAF是等腰直角三角形，
∵△ABD是等腰直角三角形， = = 5 2，
∴ = 2 = 10，
∵∠BCD＝90°，
∴在 Rt△BCD中， = 2 2 = 8；
∴CF＝CD+DF＝8+6 = 14， ...................................................................9分
∴ = 2 = 7 2，...........................................................................10分
2
23．（本小題滿分 13分）解：（1）把（1，﹣6）代入 y＝﹣x2﹣x+c得 c＝﹣4，
∴拋物線解析式為 y＝﹣x2﹣x﹣4，.........................................1分
設該函數圖象上的“三倍點”坐標為（t，3t），
把（t，3t）代入 y＝﹣x2﹣x﹣4，
得﹣t2﹣t﹣4＝3t，
整理得 t2+4t+4＝0，
解得 t＝﹣2，....................................................2分
∴“三倍點”坐標為（﹣2，﹣6）；............................................3分
（2）由（1）可知 y＝﹣x2﹣x﹣4，
① + 1 ≤ 1 ≤ 3當 2即 2時，
2最小值 = 4，................................................5分
②當 + 1＞ 12即 ＞
3
2時，
2最小值 = ( + 2) ( + 2) 4 =
2 5 10，...................................7分
3
綜上可知，①當 ≤ 時， = 22 最小值 4，
②當 3＞ 22時， 最小值 = 5 10．...............................................8分
（3）由題意得，三倍點所在的直線為 y＝3x，
在﹣3＜x＜1的范圍內，二次函數 y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，
即在﹣3＜x＜1的范圍內，二次函數 y＝﹣x2﹣x+c和 y＝3x至少有一個交點，............9分
∴方程 3x＝﹣x2﹣x+c在﹣3＜x＜1的范圍內，至少有一個解，整理得，x2+4x＝c，
∴拋物線 y＝x2+4x和直線 y＝c，在﹣3＜x＜1的范圍內，至少有一個交點，.............10分
把 x＝﹣3代入 y＝x2+4x得 y＝﹣3，
把 x＝1代入 y＝x2+4x得 y＝5，......................................................11分
∵拋物線 y＝x2+4x的最低點坐標為（﹣2，﹣4）；.........................................12分
綜上可知，拋物線 y＝x2+4x和直線 y＝c，在﹣3＜x＜1的范圍內，至少有一個交點，即
二次函數 y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，c的取值范圍為：﹣4≤c＜5．
..................................13分

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