資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
（北師大版）2024-2025學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)
期中質(zhì)量檢測(cè)卷02
（測(cè)試范圍：第1章---第3章）
（考試時(shí)間120分鐘 滿分120分）
一、選擇題（共10題，每小題3分，共30分）
1．圍棋起源于中國(guó)，古代稱(chēng)之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．一棋譜中四部分的截圖由黑白棋子擺成的圖案是中心對(duì)稱(chēng)的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解．
【解答】解：選項(xiàng)A能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合，所以是中心對(duì)稱(chēng)圖形；
選項(xiàng)B、C、D不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱(chēng)圖形；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形定義，關(guān)鍵是找出對(duì)稱(chēng)中心．
2．若不等式（a﹣3）x＞2的解集是x，則a的取值范圍是（　?。?br/>A．a(chǎn)≠3 B．a(chǎn)＞3 C．a(chǎn)＜3 D．a(chǎn)≤3
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得a﹣3＜0，由此求出a的取值范圍．
【解答】解：∵（a﹣3）x＞2的解集為x，
∴不等式兩邊同時(shí)除以（a﹣3）時(shí)不等號(hào)的方向改變，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)：在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)的方向改變．本題解不等號(hào)時(shí)方向改變，所以a﹣3小于0．
3．如圖，△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，則∠BOC等于（　?。?br/>A．55° B．45° C．40° D．35°
【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)角定義可以知道∠AOC＝80°，而∠AOB＝45°，然后根據(jù)圖形即可求出∠BOC．
【解答】解：∵△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°到△OCD的位置，
∴∠AOC＝80°，
而∠AOB＝45°，
∴∠BOC＝80°﹣45°＝35°．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的定義及性質(zhì)，其中解題主要利用了旋轉(zhuǎn)前后圖形全等，對(duì)應(yīng)角相等等知識(shí)．
4．若不等式組：的解集是﹣1＜x＜1，則（a+b）2026＝（　?。?br/>A．﹣1 B．0 C．1 D．2023
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組的解集得出a、b的值，再代入計(jì)算即可．
【解答】解：由x﹣a＞2，得x＞a+2，
由b﹣2x＞0，得x，
∵不等式組的解集為﹣1＜x＜1，
∴a+2＝﹣1，1，
解得a＝﹣3，b＝2，
∴（a+b）2026＝（﹣3+2）2026
＝（﹣1）2026
＝1，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
5．如圖，在△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧，與BC交于點(diǎn)E，分別以點(diǎn)E和點(diǎn)C為圓心、大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線AP交BC于點(diǎn)D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，則∠BAE的度數(shù)為（　?。?br/>A．15° B．25° C．30° D．35°
【分析】由題意可知，AP是EC的垂直平分線，證明△ADE≌△ADC（SAS），進(jìn)而證明△AEC是等邊三角形，求出∠C＝∠EAC＝∠AED＝60°，利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【解答】解：由題意可知，AP是EC的垂直平分線，
∴AD⊥BC，DE＝CD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠EAD＝∠CAD，∠C＝∠AED，
∴∠EAC＝2∠CAD，
∵∠C＝2∠CAD，
∴∠C＝∠EAC＝∠AED，
∴△AEC是等邊三角形，
∴∠C＝∠EAC＝∠AED＝60°，
在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠BAE＝75°﹣60°＝15°．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，有一只擺鐘，擺錘看作一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)擺錘靜止時(shí)，它離底座的垂直高度DE＝6cm，當(dāng)擺錘擺動(dòng)到最高位置時(shí)，它離底座的垂直高度BF＝8cm，此時(shí)擺錘與靜止位置時(shí)的水平距離BC＝10cm時(shí)，鐘擺AD的長(zhǎng)度是（　　）
A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm
【分析】設(shè)AB＝AD＝x cm，根據(jù)題意可推出AC＝（x﹣2）cm，然后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：設(shè)AB＝AD＝x cm，
根據(jù)題意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF＝8cm，
∴CE＝BF＝8cm，
∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102，
解得：x＝26，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，平行線之間的距離處處相等，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
7．某種商品的進(jìn)價(jià)為40元，出售時(shí)標(biāo)價(jià)為60元，后來(lái)由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折銷(xiāo)售，但要保證利潤(rùn)率不低于5%，則最多可打（　?。?br/>A．六折 B．六五折 C．七折 D．七五折
【分析】設(shè)商店打x折銷(xiāo)售，利用利潤(rùn)＝銷(xiāo)售價(jià)格﹣進(jìn)價(jià)，結(jié)合要保證利潤(rùn)率不低于5%，列出一元一次不等式，解之取其中的最小值即可．
【解答】解：設(shè)商店可打x折銷(xiāo)售，
依題意得：60×0.1x﹣40≥40×5%，
解得：x≥7，
即最多可打7折，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
8．下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（　?。?br/>A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定方法：三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，進(jìn)行判定即可．
【解答】解：∵有兩個(gè)角等于60°，
則第三個(gè)角為180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴這個(gè)三角形是等邊三角形，
故①選項(xiàng)符合題意；
有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，
故②選項(xiàng)符合題意；
∵三個(gè)外角都相等，
∴三個(gè)內(nèi)角也都相等，
∴這個(gè)三角形是等邊三角形，
故③選項(xiàng)符合題意；
∵一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形，
∴腰和底邊相等，
∴這個(gè)三角形是等邊三角形，
故④選項(xiàng)符合題意，
∴正確的選項(xiàng)有①②③④，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
9．若方程組的解滿足x＜y，則a的取值范圍是（　?。?br/>A．a(chǎn)＜﹣2 B．a(chǎn)＜2 C．a(chǎn)＞﹣2 D．a(chǎn)＞2
【分析】將方程組中兩方程相減，表示出x﹣y，代入x﹣y＜0中，即可求出a的范圍．
【解答】解：，
①﹣②得：x﹣y＝4+2a，
∵x＜y，
∴x﹣y＜0，
∴4+2a＜0，
∴a＜﹣2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，以及解一元一次不等式，表示出x﹣y是解本題的關(guān)鍵．
10．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，連結(jié)BM，則BM的長(zhǎng)是（　　）
A． B． C． D．3
【分析】如圖，連接AM，由題意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，得到△ACM為等邊三角形，根據(jù)AB＝BC，CM＝AM，得出BM垂直平分AC，于是求出，，最終得到答案．
【解答】解：如圖，連接AM，
由題意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM為等邊三角形，
∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；
∵∠ABC＝90°，，
∴AC＝2＝CM，
∵AB＝BC，CM＝AM，
∴BM垂直平分AC，
∴，，
∴，，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11．若點(diǎn)P（m+1，8﹣2m）在第四象限，那么m的取值范圍是 　 　 ．
【分析】根據(jù)第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征列出不等式組，解不等式組即可．
【解答】解：∵點(diǎn)P（m+1，8﹣2m）在第四象限，
∴，
解得m＞4，
∴m的取值范圍是m＞4．
故答案為：m＞4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)在第四象限正確列出不等式組．
12．如圖，在△ACB中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝1，△ACB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADE，點(diǎn)B，E之間的距離為　 ?。?br/>【分析】連接BE，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)可得AB＝2BC＝2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到∠BAE＝90°，AE＝AB＝2，利用勾股定理即可求出BE．
【解答】解：連接BE，
∵BC＝1，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴AB＝2BC＝2，
由旋轉(zhuǎn)可知：∠BAE＝90°，AE＝AB＝2，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是由旋轉(zhuǎn)得到
∠BAE＝90°，AE＝AB＝2．
13．如圖，在△ABC 中，點(diǎn)D 是AC 的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，C 為圓心，大于 的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于F ，直線FD 交BC 于點(diǎn)E ，連接AE ，若AD＝2.5 ，△ABE 的周長(zhǎng)為13，則△ABC 的周長(zhǎng)為 　 ．
【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得AC＝5，根據(jù)題意可得ED是AC的垂直平分線，從而可得EA＝EC，然后根據(jù)△ABE 的周長(zhǎng)為13，可得AB+BC＝13，從而求出△ABC 的周長(zhǎng)，即可解答．
【解答】解：∵點(diǎn)D 是AC 的中點(diǎn)，
∴AC＝2AD＝5，
由題意得：
ED是AC的垂直平分線，
∴EA＝EC，
∵△ABE 的周長(zhǎng)為13，
∴AB+BE+AE＝13，
∴AB+BE+EC＝13，
∴AB+BC＝13，
∴△ABC 的周長(zhǎng)＝AB+BC+AC＝13+5＝18，
故答案為：18．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．如果關(guān)于x的不等式2x﹣5≤2a+1只有4個(gè)正整數(shù)解，那么a的取值范圍是　 ．
【分析】求出不等式的解集，根據(jù)不等式只有4個(gè)正整數(shù)解即可求得a的取值范圍．
【解答】解：解不等式2x﹣5≤2a+1得：x≤a+3，
又∵不等式2x﹣5≤2a+1只有4個(gè)正整數(shù)解，
∴4個(gè)正整數(shù)解是1、2、3、4，
∴4≤a+3＜5，
解不等式組得：1≤a＜2，
故答案為：1≤a＜2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求不等式的解集．根據(jù)正整數(shù)解的個(gè)數(shù)確定關(guān)于a的不等式是解題的關(guān)鍵．
15．等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是70°，則它一腰上的高與底邊的夾角的度數(shù)為　 ．
【分析】題中沒(méi)有指明已知角是底角還是頂角，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析從而求解．
【解答】解：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的高．
①當(dāng)∠A＝70°時(shí)，
則∠ABC＝∠C＝55°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝90°﹣55°＝35°；
②當(dāng)∠C＝70°時(shí)，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝90°﹣70°＝20°；
故答案為：20°或35°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題，若題目中沒(méi)有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．
16．我國(guó)最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的是數(shù)學(xué)家趙爽，他用4個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形組成了一個(gè)大正方形，如圖所示，人們稱(chēng)這個(gè)圖為“趙爽弦圖”，連接BF，若S△ABF＝12.5，AB﹣EF＝6，則S正方形ABCD＝　 　 ．
【分析】根據(jù)題意得AF＝BG，利用三角形的面積公式求得AF＝BG＝5，由AB﹣EF＝6，推出EF＝AB﹣6，AG＝AB﹣1，在Rt△ABG 中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求解．
【解答】解：由題意得，AF＝BG，
∵S△ABF＝12.5，
∴，
∴AF＝BG＝5，
∵AB﹣EF＝6，
∴EF＝AB﹣6，
∴AG＝AB﹣6+5＝AB﹣1，
在Rt△ABG中，
∵AB2﹣AG2＝BG2，
即AB2﹣（AB﹣1）2＝52，
∴AB＝13，
∴S正方形ABCD＝169，
故答案為：169．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，正確得出AG與AB的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，滿分共72分）
17．（每小題4分，共8分）（1）解不等式：5x＞3（x﹣2）+2，并把解集表示在數(shù)軸上．
（2）解不等式組：，并寫(xiě)出它的所有整數(shù)解．
【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1可得．
（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解了確定不等式組的解集．
【解答】解：（1）∵5x＞3（x﹣2）+2，
∴5x＞3x﹣6+2，
5x﹣3x＞﹣6+2，
2x＞﹣4，
則x＞﹣2，
解集表示在數(shù)軸上如下：
（2）由3x﹣4＞2（x﹣2）得：x＞0，
由1得：x≤4，
所以不等式組的解集為0＜x≤4，其整數(shù)解為1、2、3、4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
18．（8分）如圖，點(diǎn)D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE．
（1）求證：△AEB≌△ADC；
（2）連接DE，若∠ADC＝115°，求∠BED的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)“手拉手”模型，結(jié)合三角形全等的判定定理即可得證；
（2）由（1）中結(jié)論，結(jié)合△EAD為等邊三角形，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴∠BAD+∠EAB＝60°＝∠BAD+∠DAC，
∴∠EAB＝∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；
（2）解：∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD為等邊三角形，
∴∠AED＝60°，
由（1）知△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC＝115°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝115°﹣60°＝55°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合，涉及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
19．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分線，AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：AE＝BE；
（2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周長(zhǎng)．
【分析】（1）連接EC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明即可；
（2）結(jié)合（1）求出BD＝3，根據(jù)勾股定理求出AE＝BE，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)定義求解即可．
【解答】（1）證明：連結(jié)EC．
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分線，
∴AD垂直平分BC，
∵點(diǎn)E在AD上，
∴BE＝EC，
∵AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，
∴AE＝EC，
∴AE＝BE．
（2）由（1）得，，
∵BC＝6，
∴BD＝3，
∴AD4，
設(shè)AE＝BE＝x，
在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
∴，
即，
∴△ABE的周長(zhǎng)為：AB+BE+AE＝5．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟記勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)的圖形△A1B1C1，并寫(xiě)出B1的坐標(biāo)；
（2）P（a，b）是△ABC的AC邊上一點(diǎn)，將△ABC向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，請(qǐng)畫(huà)出平移后的△A2B2C2，并寫(xiě)出B2的坐標(biāo)；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為　 　 ．
【分析】（1）根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作圖，即可得出答案．
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖，即可得出答案．
（3）連接A1A2，B1B2，C1C2，相交于點(diǎn)M，則△A1B1C1和△A2B2C2關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱(chēng)，即可得出答案．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．
由圖可得，B1的坐標(biāo)為（5，﹣3）．
（2）如圖，△A2B2C2即為所求．
由圖可得，B2的坐標(biāo)為（﹣1，5）．
（3）連接A1A2，B1B2，C1C2，相交于點(diǎn)M，
則△A1B1C1和△A2B2C2關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱(chēng)，
∴對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為（2，1）．
故答案為：（2，1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、作圖﹣平移變換，熟練掌握平移的性質(zhì)、中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
21．（9分）如圖，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，∠ACE＝28°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，且∠CEH＝62°．
（1）證明：AE平分∠CAF；
（2）若AB＝8，CD＝10，AC＝6，且S△ABE＝16，求△ACD的面積．
【分析】（1）如圖，過(guò)E點(diǎn)分別作EM⊥BF于M，EN⊥AC與N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及角平分線的定義可得EM＝EH、CE平分∠ACD、EN＝EH，最后根據(jù)角平分線的判定定理即可解答；
（2）根據(jù)S△ACD＝S△ACE+S△CED結(jié)合已知條件可得EM＝4，最后運(yùn)用三角形的面積公式即可解答．
【解答】（1）證明：過(guò)E點(diǎn)作EM⊥BF于M，EN⊥AC與N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝28°，∠CEH＝62°，
∴∠HCE＝90°﹣∠CEH＝90°﹣62°＝28°＝∠ACE，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（2）∵AB＝8，CD＝10，AC＝6，且S△ABE＝16，
∴，
∴EM＝4，
∴EN＝EH＝EM＝4，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CED
＝32，
∴△ACD的面積為32．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)與判定、直角三角形兩銳角互余、三角形的面積，掌握角平分線的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．
22．（9分）閱讀理解：
定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱(chēng)該一元一次方程為該不等式組的“子方程”，例如：2x﹣1＝3的解為的解集為﹣3≤x＜4，x＝2在﹣3≤x＜4的范圍內(nèi)，所以2x﹣1＝3是的“子方程”．
問(wèn)題解決：
（1）若關(guān)于x的方程2x﹣k＝2是不等式組的“子方程”，求k的取值范圍；
（2）若方程都是關(guān)于x的不等式組的“子方程”，試求m的取值范圍．
【分析】（1）先求出不等式組的解集，然后再解方程求出x，最后根據(jù)“子方程”的定義列出關(guān)于k的不等式組，進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先求出方程的解和不等式組的解集，根據(jù)“子方程”的定義即可解答．
【解答】解：（1），
解不等式①得：x，
解不等式②得：x≤3，
∴原不等式組的解集為：x≤3，
2x﹣k＝2，
解得：x，
∵方程2x﹣k＝2是不等式組的“子方程”，
∴3，
解得：3＜k≤4；
（2）2x+4＝0，
解得：x＝﹣2，
1，
解得：x＝﹣1，
，
解不等式①得：x≥m﹣5，
解不等式②得：x＜m﹣3，
∴原不等式組的解集為：m﹣5≤x＜m﹣3，
∵方程2x+4＝0，1都是關(guān)于x的不等式組的“子方程”，
∴，
解得：2＜m≤3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次方程的解，理解材料中的不等式組的“子方程”是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）某超市準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A，B兩種商品，進(jìn)30件A，40件B需要2700元；進(jìn)50件A，20件B需要3100元．商品A，B銷(xiāo)售單價(jià)分別定為80元，45元．
（1）商品A，B每件的進(jìn)價(jià)各是多少元？
（2）商店計(jì)劃用不超過(guò)1560元的資金購(gòu)進(jìn)A，B兩種商品共40件，其中A種數(shù)量不低于B種數(shù)量的一半，商店有幾種進(jìn)貨方案？
（3）端午節(jié)期間，商店開(kāi)展優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng)，決定對(duì)每件A商品售價(jià)優(yōu)惠m（10＜m＜20）元，B商品售價(jià)不變，在（2）的條件下，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出m的不同取值范圍內(nèi)，銷(xiāo)售這40件商品獲得總利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案．
【分析】（1）設(shè)商品A每件的進(jìn)價(jià)為x元，商品B每件的進(jìn)價(jià)為y元，由進(jìn)30件A，40件B需要2700元；進(jìn)50件A，20件B需要3100元，列出方程組，即可求解；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)商品A有a件，則商品B有（40﹣a）件，根據(jù)“進(jìn)貨總價(jià)不超過(guò)1560元，且A種商品的數(shù)量不低于B種商品數(shù)量的一半”，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式組，解之即可得出a的取值范圍，再結(jié)合a為整數(shù)，即可得出進(jìn)貨方案的個(gè)數(shù)；
（3）設(shè)銷(xiāo)售這40件商品獲得總利潤(rùn)為w元，利用總利潤(rùn)＝每件商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量，即可得出w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題．
【解答】解：（1）設(shè)商品A每件的進(jìn)價(jià)為x元，商品B每件的進(jìn)價(jià)為y元，
由題意可得：，
解得：，
答：商品A每件的進(jìn)價(jià)為50元，商品B每件的進(jìn)價(jià)為30元；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)商品A有a件，則商品B有（40﹣a）件，
由題意可得：，
解得：a≤18．
又∵a為整數(shù)，
∴a可以為14，15，16，17，18，
∴該商店有5種進(jìn)貨方案；
（3）設(shè)銷(xiāo)售這40件商品獲得總利潤(rùn)為w元，則w＝（80﹣m﹣50）a+（45﹣30）（40﹣a）＝（15﹣m）a+600．
若15﹣m＞0，即10＜m＜15時(shí)，w隨a的增大而增大，
∴當(dāng)a＝18時(shí)，w取得最大值，此時(shí)40﹣a＝40﹣18＝22；
若15﹣m＝0，即m＝15時(shí)，w的值不變；
若15﹣m＜0，即15＜m＜20時(shí)，w隨a的增大而減小，
∴當(dāng)a＝14時(shí)，w取得最大值，此時(shí)40﹣a＝40﹣14＝26．
答：當(dāng)10＜m＜15時(shí)，購(gòu)進(jìn)A種商品18件，B種商品22件時(shí)，銷(xiāo)售這40件商品獲得總利潤(rùn)最大；當(dāng)m＝15時(shí)，選擇各方案銷(xiāo)售這40件商品獲得總利潤(rùn)相同；當(dāng)15＜m＜20時(shí)，購(gòu)進(jìn)A種商品14件，B種商品26件時(shí)，銷(xiāo)售這40件商品獲得總利潤(rùn)最大．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．
24．（12分）綜合與實(shí)踐探究
【問(wèn)題背景】學(xué)習(xí)三角形旋轉(zhuǎn)之后，八1班各學(xué)習(xí)小組打算用兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換設(shè)計(jì)本組的logo，小鳴在設(shè)計(jì)logo的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，某些邊和角存在一定的關(guān)系．因此，他和同學(xué)一起對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)學(xué)探究．
已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°
【初步探究】（1）小鳴將△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，連接BD、CE后，他發(fā)現(xiàn)這兩條線段存在著一定的數(shù)量關(guān)系，如圖（1），請(qǐng)?zhí)骄烤€段BD、CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【深入探究】（2）若∠ADB＝90°，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D、點(diǎn)E和BC的中點(diǎn)O三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2，探究線段BD、DO和OE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【應(yīng)用探究】（3）如圖2，在（2）的條件下，若∠BAD＝30°，AB＝4，則OD＝　 　 （直接寫(xiě)出結(jié)果）
【拓展探究】（4）如圖3，當(dāng)∠BDC＝60°，，，則CD＝　 　 （直接寫(xiě)出結(jié)果）
【分析】（1）證明△ABD≌△ACE 即可；
（2）過(guò)C作CM∥BD，證明△BDO≌△CMO，則CM＝BD，OM＝OD，由已知得CM∥AE，CE＝CM，由勾股定理得，進(jìn)而得到．
（3）由直角三角形的性質(zhì)可分別求得BD、AD，進(jìn)而求得DE，由即可求得結(jié)果：
（4）設(shè)∠DBC＝α，則∠ABD＝45°+α由（1）可得△ABD≌△ACE，則∠ABD＝∠ACE＝45°+α，導(dǎo)角證明∠DCE＝150°，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則∠HCE＝30°，在 Rt△HEC 中，∠HCE＝30°，，則，由勾股定理得，在Rt△ADE 中，AD＝AE，∠AED＝45°，由勾股定理得：，在Rt△DEH中，由勾股定理得 HD＝9，再由CD＝HD﹣HC即可求解．
【解答】解：（1）BD＝CE，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2），理由如下：
如圖，過(guò)C作CM∥BD，
則∠DBO＝∠MCO，
∵O為BC的中點(diǎn)，
∴OB＝OC，
在△BDO和△CMO中，
，
∴△BDO≌△CMO（ASA），
∴CM＝BD，OM＝OD，
∵∠ADB＝90°，∠DAE＝90°，
∴BD∥AE，
∵CM∥BD，
∴CM∥AE，
∴∠ECM＝90°，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠CEM＝45°，
∴∠CME＝∠CEM＝45°，
∴CE＝CM，
由勾股定理得，
∴．
（3）∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝4，
∴，
由勾股定理得，
由勾股定理得，
由（2）知，
∵OE＝DE﹣OD，
∴，
即，
故答案為：．
（4）設(shè)∠DBC＝α，則∠ABD＝45°+α，
由（1）可得△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝45°+α，
∴∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，
∴α+60°+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝120°﹣α，
∵∠ACE+∠ACB+∠BCD+∠DCE＝360°，∠ACE＝45°+α，∠ACB＝45°，∠BCD＝120°﹣α，
∴∠DCE＝150°，
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∠DCE＝150°，
∴∠HCE＝30°，
在 Rt△HEC 中，∠HCE＝30°，，
∴，
∴由勾股定理得：，
在 Rt△ADE 中，AD＝AE，∠AED＝45°，
∴由勾股定理得：，
在 Rt△DEH 中，DE2＝HE2+HD2，
∴HD＝9，
∵CD＝HD﹣HC，
∴CD＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何變換的綜合應(yīng)用，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，有一定的綜合性，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
（北師大版）2024-2025學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)
期中質(zhì)量檢測(cè)卷02
（測(cè)試范圍：第1章---第3章）
（考試時(shí)間120分鐘 滿分120分）
一、選擇題（共10題，每小題3分，共30分）
1．圍棋起源于中國(guó)，古代稱(chēng)之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．一棋譜中四部分的截圖由黑白棋子擺成的圖案是中心對(duì)稱(chēng)的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
2．若不等式（a﹣3）x＞2的解集是x，則a的取值范圍是（　?。?br/>A．a(chǎn)≠3 B．a(chǎn)＞3 C．a(chǎn)＜3 D．a(chǎn)≤3
3．如圖，△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，則∠BOC等于（　?。?br/>A．55° B．45° C．40° D．35°
4．若不等式組：的解集是﹣1＜x＜1，則（a+b）2026＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2023
5．如圖，在△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧，與BC交于點(diǎn)E，分別以點(diǎn)E和點(diǎn)C為圓心、大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線AP交BC于點(diǎn)D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，則∠BAE的度數(shù)為（　?。?br/>A．15° B．25° C．30° D．35°
6．如圖，有一只擺鐘，擺錘看作一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)擺錘靜止時(shí)，它離底座的垂直高度DE＝6cm，當(dāng)擺錘擺動(dòng)到最高位置時(shí)，它離底座的垂直高度BF＝8cm，此時(shí)擺錘與靜止位置時(shí)的水平距離BC＝10cm時(shí)，鐘擺AD的長(zhǎng)度是（　?。?br/>A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm
7．某種商品的進(jìn)價(jià)為40元，出售時(shí)標(biāo)價(jià)為60元，后來(lái)由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折銷(xiāo)售，但要保證利潤(rùn)率不低于5%，則最多可打（　?。?br/>A．六折 B．六五折 C．七折 D．七五折
8．下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（　?。?br/>A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③
9．若方程組的解滿足x＜y，則a的取值范圍是（　?。?br/>A．a(chǎn)＜﹣2 B．a(chǎn)＜2 C．a(chǎn)＞﹣2 D．a(chǎn)＞2
10．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，連結(jié)BM，則BM的長(zhǎng)是（　?。?br/>A． B． C． D．3
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11．若點(diǎn)P（m+1，8﹣2m）在第四象限，那么m的取值范圍是 　 　 ．
12．如圖，在△ACB中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝1，△ACB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADE，點(diǎn)B，E之間的距離為　 ?。?br/>13．如圖，在△ABC 中，點(diǎn)D 是AC 的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，C 為圓心，大于 的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于F ，直線FD 交BC 于點(diǎn)E ，連接AE ，若AD＝2.5 ，△ABE 的周長(zhǎng)為13，則△ABC 的周長(zhǎng)為 　 ．
14．如果關(guān)于x的不等式2x﹣5≤2a+1只有4個(gè)正整數(shù)解，那么a的取值范圍是　 ．
15．等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是70°，則它一腰上的高與底邊的夾角的度數(shù)為　 ．
16．我國(guó)最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的是數(shù)學(xué)家趙爽，他用4個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形組成了一個(gè)大正方形，如圖所示，人們稱(chēng)這個(gè)圖為“趙爽弦圖”，連接BF，若S△ABF＝12.5，AB﹣EF＝6，則S正方形ABCD＝　 　 ．
三、解答題（本大題共8小題，滿分共72分）
17．（每小題4分，共8分）（1）解不等式：5x＞3（x﹣2）+2，并把解集表示在數(shù)軸上．
（2）解不等式組：，并寫(xiě)出它的所有整數(shù)解．
18．（8分）如圖，點(diǎn)D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE．
（1）求證：△AEB≌△ADC；
（2）連接DE，若∠ADC＝115°，求∠BED的度數(shù)．
19．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分線，AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：AE＝BE；
（2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周長(zhǎng)．
20．（8分）如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)的圖形△A1B1C1，并寫(xiě)出B1的坐標(biāo)；
（2）P（a，b）是△ABC的AC邊上一點(diǎn)，將△ABC向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，請(qǐng)畫(huà)出平移后的△A2B2C2，并寫(xiě)出B2的坐標(biāo)；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為　 　 ．
21．（9分）如圖，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，∠ACE＝28°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，且∠CEH＝62°．
（1）證明：AE平分∠CAF；
（2）若AB＝8，CD＝10，AC＝6，且S△ABE＝16，求△ACD的面積．
22．（9分）閱讀理解：
定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱(chēng)該一元一次方程為該不等式組的“子方程”，例如：2x﹣1＝3的解為的解集為﹣3≤x＜4，x＝2在﹣3≤x＜4的范圍內(nèi)，所以2x﹣1＝3是的“子方程”．
問(wèn)題解決：
（1）若關(guān)于x的方程2x﹣k＝2是不等式組的“子方程”，求k的取值范圍；
（2）若方程都是關(guān)于x的不等式組的“子方程”，試求m的取值范圍．
23．（10分）某超市準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A，B兩種商品，進(jìn)30件A，40件B需要2700元；進(jìn)50件A，20件B需要3100元．商品A，B銷(xiāo)售單價(jià)分別定為80元，45元．
（1）商品A，B每件的進(jìn)價(jià)各是多少元？
（2）商店計(jì)劃用不超過(guò)1560元的資金購(gòu)進(jìn)A，B兩種商品共40件，其中A種數(shù)量不低于B種數(shù)量的一半，商店有幾種進(jìn)貨方案？
（3）端午節(jié)期間，商店開(kāi)展優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng)，決定對(duì)每件A商品售價(jià)優(yōu)惠m（10＜m＜20）元，B商品售價(jià)不變，在（2）的條件下，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出m的不同取值范圍內(nèi)，銷(xiāo)售這40件商品獲得總利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案．
24．（12分）綜合與實(shí)踐探究
【問(wèn)題背景】學(xué)習(xí)三角形旋轉(zhuǎn)之后，八1班各學(xué)習(xí)小組打算用兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換設(shè)計(jì)本組的logo，小鳴在設(shè)計(jì)logo的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，某些邊和角存在一定的關(guān)系．因此，他和同學(xué)一起對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)學(xué)探究．
已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°
【初步探究】（1）小鳴將△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，連接BD、CE后，他發(fā)現(xiàn)這兩條線段存在著一定的數(shù)量關(guān)系，如圖（1），請(qǐng)?zhí)骄烤€段BD、CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【深入探究】（2）若∠ADB＝90°，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D、點(diǎn)E和BC的中點(diǎn)O三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2，探究線段BD、DO和OE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【應(yīng)用探究】（3）如圖2，在（2）的條件下，若∠BAD＝30°，AB＝4，則OD＝　 　 （直接寫(xiě)出結(jié)果）
【拓展探究】（4）如圖3，當(dāng)∠BDC＝60°，，，則CD＝　 　 （直接寫(xiě)出結(jié)果）
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開(kāi)更多......

收起↑