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天津市2025年中考數學沖刺模擬試卷
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，則cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
2．反比例函數y與一次函數y＝kx﹣k在同一坐標系的圖象大致是（　　）
A． B．
C． D．
3．某芯片每秒可執行100億次運算，它工作2025秒可執行的運算次數用科學記數法表示為（　　）
A．0.2025×1014 B．20.25×1012
C．2.025×1013 D．2.025×1014
4．我國新能源汽車表現亮眼，連續9年摘得全球產銷量第一桂冠，產銷量全球占比均超過60%．以下新能源汽車圖標既是中心對稱，還是軸對稱的是（　　）
A．極氪 B．小鵬 C．理想 D．蔚來
5．全家觀影已成為過年新民俗.2025年春節檔熱門電影有《哪吒之魔童鬧海》《：重啟未來》《封神第二部：戰火西岐》《唐探1900》．若小明看了其中的一部電影，則這部影片是《哪吒之魔童鬧海》的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．某幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則該幾何體是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知關于x的一元二次方程x2+（2﹣k）x﹣1＝0的兩根互為相反數，則k的值為（　　）
A．﹣2 B．2 C．6 D．﹣6
8．如圖，F是 ABCD的邊CD上的點，Q是BF中點，連接CQ并延長交AB點E，連接AF與DE相交于點P，若，，則陰影部分的面積為（　　）cm2．
A．28 B．26 C．24 D．20
9．如圖，點A是優弧BC的中點，過點B作AC的垂線交AC于點E，與圓交于點D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，則圓的半徑為（　　）
A． B．3 C． D．
10．如圖，點A為反比例函數圖象上的一點，連接AO，過點O作OA的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（　　）
A． B． C． D．
11．已知點A（3，3），點B為x軸負半軸上一點，直線BA繞點A順時針旋轉45°交y軸于點C，當BC＝BO+2時，則點B坐標為（　　）
A．（﹣12，0） B．（﹣9，0） C．（﹣6，0） D．（﹣3，0）
12．如圖，點A（a，b）是拋物線yx2上位于第二象限的一動點，OB⊥OA交拋物線于點B（c，d）．當點A在拋物線上運動的過程中，以下結論：①ac為定值；②ac＝﹣bd；③△AOB的面積為定值；④直線AB必過一定點．其中正確的結論有（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
二、填空題：（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
13．已知m，n，則m2﹣n2＝ 　 　 ．
14．如圖是反比例函數（k≠0）的圖象，整數k的值是　 　 ．
15．公元前四世紀，希臘哲學家、科學史家歐德莫斯曾研究過對數學發展有重要影響的如下問題：如圖，AB為⊙O的直徑，過圓心O作OC⊥AB，交⊙O于點C，以C為圓心，CA為半徑作，若S陰＝4cm2，則S△ABC＝　 　 cm2．
16．將拋物線y＝3（x﹣4）2+2向右平移1個單位長度后拋物線的頂點坐標是 　 　 ．
17．已知，如圖，在邊長為5的正方形ABCD中，G是邊BC的中點，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，連接CE、CF．則∠AFC的度數是　 　 ；CF的長是　 　 ．
18．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點D，延長AD交⊙O于點E．
（1）∠BOC的度數為 　 　 ；
（2）若，，則AD的長是 　 　 ．
三、解答題：（本大題共7小題，共66分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）
19．解方程：（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2
20．一個不透明的袋子中共裝有3個球，其中2個白球、1個黃球，這些球除顏色外其他都相同，將袋子中的球搖勻．
（1）隨機摸出1個球，摸到黃球的概率是　 　 ；
（2）隨機摸出1個球，記下顏色（不放回），再從中隨機摸出1個球，用畫樹狀圖或列表的方法，求這2次摸出的球都是白球的概率．
21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O分別交AB，BC于點D，E，過點C作∠BCF使得，交AB的延長線于點F．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若，求FB的長．
22．為保護青少年視力，某企業研發了可升降夾書閱讀架（如圖1），將其放置在水平桌面上的側面示意圖（如圖2），測得底座高AB為2cm，∠ABC＝150°，支架BC為18cm，面板長DE為24cm，CD為6cm．（厚度忽略不計）
（1）求支點C離桌面l的高度；（結果保留根號）
（2）當面板DE繞點C轉動時，面板與桌面的夾角α滿足30°≤α≤70°時，保護視力的效果較好．當α從30°變化到70°的過程中，面板上端E離桌面l的高度增加還是減少？面板上端E離桌面l的高度增加或減少了多少？（結果精確到0.1cm，參考數據：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
23．某網店專門銷售江西特色產品——贛南臍橙，已知每千克臍橙的成本為8元．根據銷售大數據分析得出：當每千克臍橙的售價為10元時，平均月銷售量為600千克；若每千克臍橙的售價每上漲1元，月銷售量就會減少100千克．設每千克臍橙的售價為x元，月銷售量為y千克，月銷售利潤為w元．
（1）求y與x的函數解析式；
（2）月銷售利潤w是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值．
24．在矩形ABCD中，點E為射線BC上一動點，連接AE．
（1）當點E在BC邊上時，將△ABE沿AE翻折，使點B恰好落在對角線BD上點F處，AE交BD于點G．
①如圖1，若BCAB，求∠AFD的度數；
②如圖2，當AB＝4，且EF＝EC時，求BC的長．
（2）在②所得矩形ABCD中，將矩形ABCD沿AE進行翻折，點C的對應點為C'，當點E，C'，D三點共線時，求BE的長．
25．在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于E，F兩點，長方形ABCD的頂點C，D在x軸上，B（﹣1，﹣2），D（2，0）．
（1）如圖1，若拋物線過點A，求拋物線的函數表達式和點E的坐標．
（2）如圖2，在（1）的條件下，連接BE，作直線BD，平移線段BE，使點B的對應點P落在直線BD上，點E的對應點Q落在拋物線上，求Q點的橫坐標．
（3）若拋物線與圖2中△ABD的三條邊恰有兩個交點，則c的取值范圍是　 　 ．
參考答案
1-12.
【答案】C
【答案】C
【答案】C
【答案】B
【答案】A
【答案】A
【答案】B
【答案】A
【答案】A
【答案】C
【答案】D
【答案】B
13.【答案】﹣4．
14.【答案】1．
15.【答案】4．
16.【答案】（5，2）．
17.【答案】135°； ．
18.【答案】（1）120°；
（2）2．
19.【答案】x或x．
20【答案】（1）．
（2）．
21.（1）證明：∵AC為直徑的⊙O，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
又∵AB＝AC，
∴，
∵，
∴∠EAC＝∠BCF，
∴∠BCF+∠ECA＝90°，即∠ACF＝90°，
∴CF是⊙O的切線；
（2）解：連接CD，
∵AB＝AC，∠AEC＝90°，
∴，
∵AC為直徑的⊙O，
∴∠ADC＝∠CDF＝90°，
∴，
設AB＝AC＝x，則AD＝x﹣2，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
即（x﹣2）2+42＝x2，
解得：x＝5，
∴AB＝AC＝5，AD＝3，
又∵∠ADC＝∠ACF＝90°，∠FAC＝∠CAD，
∴△ACD∽△AFC，
∴，即，
解得：，
∴．
22.解：（1）過點C作CF⊥l于點F，過點B作BM⊥CF于點M，
∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°．
由題意得：∠BAF＝90°，
∴四邊形ABMF為矩形，
∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°．
∵∠ABC＝150°，
∴∠MBC＝60°．
∵BC＝18cm，
∴CM＝BC sin60°＝189（cm）．
∴CF＝CM+MF＝（92）cm．
答：支點C離桌面l的高度為（92）cm；
（2）過點C作CN∥l，過點E作EH⊥CN于點H，
∴∠EHC＝90°．
∵DE＝24cm，CD＝6cm，
∴CE＝18cm．
當∠ECH＝30°時，EH＝CE sin30°＝189（cm）；
當∠ECH＝70°時，EH＝CE sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）；
∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm）
∴當α從30°變化到70°的過程中，面板上端E離桌面l的高度是增加了，增加了約7.9cm．
23.【答案】（1）y＝﹣100x+1600；
（2）月銷售利潤w存在最大值，最大值為1600元，此時x的值為12．
24.解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵BCAB，
∴ADAB，
∴tan∠ABD，
∴∠ABD＝60°，
由折疊的性質得：AF＝AB，
∴△ABF是等邊三角形，
∴∠AFB＝60°，
∴∠AFD＝180°﹣∠AFB＝120°；
②由折疊的性質得：BF⊥AE，EF＝EB，
∴∠BGE＝90°，
∵EF＝EC，
∴EF＝EB＝EC，
∴BC＝2BE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CBD＝90°，
∴∠BAE＝∠CBD，
∵∠ABE＝∠BCD，
∴△ABE∽△BCD，
∴，即，
解得：BC＝4（負值已舍去），
即BC的長為4；
（2）當點E，C'，D三點共線時，分三種情況：
a、如圖3，由②可知，BC＝4，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝4，AD∥BC，
∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，
由折疊的性質得：AB'＝AB＝4，∠B'＝∠ABC＝90°，
∴∠DCE＝∠B'，DC＝AB'，
∴△CDE≌△B'AD（AAS），
∴DE＝AD＝4，
∴CE4，
∴BE＝BC+CE＝44；
b、如圖4，
由折疊的性質得：∠AEC'＝∠AEC，
∵∠BEC'＝∠DEC，
∴∠AEB＝∠AED，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠AED，
∴DE＝AD＝4，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE4，
∴BE＝BC﹣CE＝44；
c、E與C重合時，BE＝BC＝4；
綜上所述，BE的長為44或44或4．
25.解：（1）∵長方形ABCD的頂點C、D在x軸上，B（﹣1，﹣2），D（2，0），
∴A（2，﹣2），C（﹣1，0），
將點A的坐標代入拋物線表達式得：﹣2＝1﹣1+c，
解得：c＝﹣2，
∴拋物線的函數表達式為yx2x﹣2；
拋物線與x軸交于E、F兩點，
令y＝0，得：x2x﹣2；
解得x1＝4，x2＝﹣2，
∴E（﹣2，0）；
（2）由點A、C的坐標得，直線AC的解析式為yx，
設Q（m，m2m﹣2），
∵A（2，﹣2），F（4，0），PQ由AF平移所得，
∴點Q向左平移2個單位，再向下平移2個單位得到點P坐標，
∵點P在直線AC上，
∴將P坐標代入中，得：m2m﹣2﹣2（m﹣2），
解得：m或4（與點A重合，舍去），
∴Q點的橫坐標為；
（3）由yx2x+c（x﹣1）2+c得該拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，c），
當拋物線經過點B時，將B（﹣1，﹣2）代入拋物線表達式得c，此時拋物線與△ABC恰有一個交點B；
當拋物線經過點A時，由（1）知c＝﹣2，此時拋物線與△ABC恰有三個交點，
∴當c＜﹣2時，該拋物線與△ABC恰有兩個交點；
當拋物線的頂點在線段AB上時，則c2，
解得：c，此時拋物線與△ABC恰有三個交點，
當拋物線與線段AC只有一個交點時，
由聯立拋物線和直線yx﹣并整理得：3x2+2x+12c+8＝0，
∴Δ＝22﹣4×3×（12c+8）＝0，
解得c，
當拋物線經過點C時，將C（﹣1，0）代入拋物線表達式得c，此時拋物線與線段AC有兩個交點，
∴當c時，該拋物線與△ABC恰有兩個交點，
綜上，當c＜﹣2或c時，該拋物線與圖2中△ABC恰有兩個交點，
故答案為：c＜﹣2或c．

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