資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
（北師大版）2024-2025學年八年級下學期數學
期中質量檢測卷01
（測試范圍：第1章---第3章）
（考試時間120分鐘 滿分120分）
一、選擇題（共10題，每小題3分，共30分）
1．剪紙藝術是最古老的中國民間藝術之一，先后入選中國國家級非物質文化遺產名錄和人類非物質文化遺產代表作名錄．下列剪紙作品中是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據中心對稱圖形的特征逐項判斷即可．
【解答】解：A、圖形是中心對稱圖形，故選項A符合題意；
B、圖形不是中心對稱圖形，故選項B不符合題意；
C、圖形不是中心對稱圖形，故選項C不符合題意；
D、圖形不是中心對稱圖形，故選項D不符合題意；
故選：A．
【點評】本題考查了中心對稱圖形，解答此題的關鍵是要明確：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．
2．若關于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集為x＞1，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m＝1
【分析】根據不等式的基本性質3求解即可．
【解答】解：∵關于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集為x＞1，
∴m﹣1＜0，
則m＜1，
故選：B．
【點評】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關鍵是掌握不等式的基本性質3．
3．如圖，將△ABC向右平移得到△DEF，且點B，E，C，F在同一條直線上，若EC＝2，BF＝8，則AD的長為（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
【分析】根據平移的性質可得BC＝EF，CF＝3，然后列式求解即可．
【解答】解：∵△DEF是由△ABC向右平移得到，
∴BC＝EF，AD＝BE，
∴BE＝CF＝（8﹣2）÷2＝3，
∴AD＝BE＝3．
故選：B．
【點評】本題考查了平移的性質，根據對應點間的距離等于平移的長度得到BC＝EF是解題的關鍵．
4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于點E，若BC＝3，且△BDC的周長為8，則AE的長為（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】根據已知可得BD+CD＝5，從而可得AB＝AC＝5，然后利用等腰三角形的三線合一性質進行計算即可解答．
【解答】解：∵BC＝3，且△BDC的周長為8，
∴BD+CD＝8﹣3＝5，
∵AD＝BD，
∴AD+DC＝5，
∴AC＝5，
∵AB＝AC，
∴AB＝5，
∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴AEAB＝2.5，
故選：B．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．
5．若不等式組無解，則a的取值范圍是（　　）
A．a≤2 B．a＞2 C．a＞3 D．a≥3
【分析】解出不等式組的解集（含a的式子），與不等式組無解比較，求出a的取值范圍．
【解答】解：不等式組無解，
根據“大大小小解不了”則2a﹣1≤3，
故a的取值范圍是a≤2．
故選：A．
【點評】考查了不等式的解集，本題是已知不等式組的解集，求不等式中另一未知數的問題．可以先將另一未知數當作已知處理，求出解集與已知解集比較，進而求得另一個未知數．
6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，把Rt△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△DEC，點A，B的對應點分別為D，E，DE的延長線與AB相交于點F，連接BE，則下列結論一定正確的是（　　）
A．BE＝AE B．∠ABC＝∠BEF C．AE+BC＝ED D．DF⊥AB
【分析】根據旋轉的性質得出∠A＝∠D，再結合對頂角相等以及三角形內角和定理得出推出結論．
【解答】解：∵把Rt△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△DEC，
∴∠A＝∠D，
又∵∠AEF＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACB＝∠AFE＝90°，
∴DF⊥AB，
故選項D結論一定正確，由已知無法得出選項ABC中結論一定正確，
故選：D．
【點評】本題考查了旋轉的性質，熟記旋轉的性質是解題的關鍵．
7．如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6，點E，F是邊BC上的三等分點，分別過點E，F沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由△ABC是等邊三角形，得到∠B＝∠C＝60°，由平行線的性質得到∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，即可推出△DEF是等邊三角形，得到△DEF的周長＝3EF＝BC＝6．
【解答】解：∵點E，F是邊BC上的三等分點，
∴BC＝3EF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴DE＝EF＝DF，
∴△DEF的周長＝3EF＝BC＝6．
故選：C．
【點評】本題考查等邊三角形的性質，平行線的性質，關鍵是由以上知識點證明△DEF是等邊三角形．
8．如圖，將長為8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定兩端A和B，然后把中點C垂直向上拉升3cm至點D，則橡皮筋被拉長了（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【分析】根據勾股定理，可求出AD、BD的長，則AD+BD﹣AB即為橡皮筋拉長的距離．
【解答】解：Rt△ACD中，ACAB＝4cm，CD＝3cm；
根據勾股定理，得：AD5（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；
故橡皮筋被拉長了2cm．
故選：A．
【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質以及勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
9．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分線MN交AC于D．下列結論中：①∠C＝72°； ②BD是△ABC的中線；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正確的序號有（　　）
A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
【分析】根據題意畫出圖形，再根據在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°求出∠C的度數；由線段垂直平分線的性質求出∠ABD的度數，故可得出∠DBC的度數，進而得出BD是∠ABC的平分線；由三角形內角和定理可求出∠BDC的度數；由線段垂直平分線的性質，易證得△ABD是等腰三角形．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C72°，
故①正確；
∵DM是AB的垂直平分線，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，
∴BD是∠ABC的平分線，
故②錯誤；
∵在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°．
故③錯誤；
∵DM是AB的垂直平分線，
∴AD＝BD
∴△ABD是等腰三角形；
故④正確；
∵MN是線段AB的垂直平分線，
∴AD＝BD，
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠CBD＝36°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，故⑤正確．
故選：B．
【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質及等腰三角形的判定與性質，熟知垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關鍵．
10．已知關于x的方程的解是非負數，且關于y的不等式組至多有3個整數解，則符合條件的所有整數a的和為（　　）
A．27 B．28 C．35 D．36
【分析】根據所給方程的解是非負數，得出關于a的不等式，再由不等式組至多有3個整數解，得出關于a的不等式，進而求出a的取值范圍，據此可解決問題．
【解答】解：解方程得，
x，
因為此方程的解是非負數，
所以3a﹣4＞0，
解得a．
解不等式得，
y，
解不等式4﹣y≤2a﹣3y得，
y≤a﹣2，
因為不等式組至多有3個整數解，
所以a﹣2＜6，
解得a＜8．
綜上所述，a的取值范圍是：，
所以符合條件的所有整數a的和為：2+3+4+5+6+7＝27．
故選：A．
【點評】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次方程，一元一次不等式組的整數解，能根據求不等式組解集的方法求出不等式組的解集是解決問題的關鍵．
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11．在等腰△ABC中，如果兩邊長分別為5、10，則第三邊的長為 　 　．
【分析】分兩種情況：當等腰三角形的腰長為5，底邊長為10時；當等腰三角形的腰長為10，底邊長為5時；然后分別進行計算即可解答．
【解答】解：分兩種情況：
當等腰三角形的腰長為5，底邊長為10時，
∵5+5＝10，
∴不能組成三角形；
當等腰三角形的腰長為10，底邊長為5時，
∵5+10＝15＞10，
∴能組成三角形；
綜上所述：第三邊的長為10，
故答案為：10．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，分兩種情況討論是解題的關鍵．
12．在平面直角坐標系中，點A（2a+4，6﹣2a）在第四象限，則a的取值范圍是 　 　 ．
【分析】根據點A（2a+4，6﹣2a）在第四象限和第四象限點的坐標的特點，可以得到關于a的不等式組，從而可以得到a的取值范圍．
【解答】解：∵點A（2a+4，6﹣2a）在第四象限，
∴，
解得：a＞3，
故答案為：a＞3．
【點評】本題考查解一元一次不等式組、點的坐標，解答本題的關鍵是明確第四象限點的坐標的符號是（+，﹣），列出相應的不等式組．
13．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E的度數為　 　 ．
【分析】利用等邊對等角和三角形的外角 等于和它不相鄰的兩個內角的和依次計算∠GDC和∠E即可．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故答案為：15°．
【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質，三角形的內角和定理的推論，等腰三角形的判定與性質，利用等邊對等角和三角形的外角 等于和它不相鄰的兩個內角的和解答是解題的關鍵．
14．不等式組無解，則m的取值范圍是　 　 ．
【分析】根據不等式組無解的條件確定出m的范圍即可．
【解答】解：不等式組整理得：，
由不等式組無解，得到4m≤8，
解得：m≤2，
則m的取值范圍是m≤2．
故答案為：m≤2．
【點評】此題考查了不等式的解集，弄清不等式組無解的條件是解本題的關鍵．
15．如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EDC．若點A，D，E在同一條直線上，AB＝2，AC＝5，則AD的長為　 　 ．
【分析】由旋轉得，AC＝CE＝5，DE＝AB＝2，∠ACE＝90°，利用勾股定理求出AE的長，再根據AD＝AE﹣DE可得答案．
【解答】解：由旋轉得，AC＝CE＝5，DE＝AB＝2，∠ACE＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得，AE，
∴AD＝AE﹣DE2．
故答案：．
【點評】本題考查旋轉的性質、勾股定理，熟練掌握旋轉的性質、勾股定理是解答本題的關鍵．
16．如圖所示是一種程序運算，規定：程序運行到“判斷結果是否大于100”為一次運算，若結果大于100，則輸出此結果；若結果不大于100，則將此結果作為m的值再進行第二次運算．已知運算進行了三次后停止，則m的取值范圍為 　 　．
【分析】根據“若結果大于100，則輸出此結果；若結果不大于100，則將此結果作為m的值再進行第二次運算．已知運算進行了三次后停止，”列式，然后解不等式，即可作答．
【解答】解：∵結果大于100，則輸出此結果；若結果不大于100，則將此結果作為m的值再進行第二次運算．已知運算進行了三次后停止，
∴
由（2m﹣3）×2﹣3≤100，得；
由[（2m﹣3）×2﹣3]×2﹣3＞100，得，
即，
故答案為：．
【點評】本題考查了一元一次不等式組的應用，正確理解程序表達的意思列式是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共8小題，滿分共72分）
17．（每小題4分，共8分）按要求解下列不等式（組）．
（1）解關于x的不等式1，并將解集用數軸表示出來．
（2）解不等式組，將解集用數軸表示出來，并寫出它的所有整數解．
【分析】（1）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化成1即可；
（2）先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．
【解答】解：（1）1，
去分母得：6﹣2（2x﹣1）≤3（1+x），
去括號得：6﹣4x+2≤3+3x，
移項得：﹣4x﹣3x≤3﹣6﹣2，
合并同類項得：﹣7x≤﹣5，
系數化成1得：x，
在數軸上表示為：
；
（2），
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣3，
所以不等式組的解集是﹣3＜x≤1，
在數軸上表示不等式組的解集為：
，
所以不等式組的整數解是﹣2，﹣1，0，1．
【點評】本題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式（組）的解集，不等式組的整數解等知識點，能求出不等式或不等式組的解集是解此題的關鍵．
18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為AC上一點，且滿足AD＝BD＝BC．點E是AB的中點，連接ED并延長，交BC的延長線于點F，連接AF．
（1）求∠BAC和∠ACB的度數；
（2）求證：△ACF是等腰三角形．
【分析】（1）設∠BAC＝x°，由AD＝BD＝BC知∠BAC＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠BCD＝2x°，由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°列方程求解可得；
（2）依據E是AB的中點，即可得到FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，進而得出∠BAF＝∠ABF，依據∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根據∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，進而得到AC＝CF．
【解答】解：（1）設∠BAC＝x°，
∵AD＝BD，
∴∠BAC＝∠ABD＝x°，
∴∠BDC＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2x°，
由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
則∠BAC＝36°，∠ACB＝72°；
（2）∵E是AB的中點，AD＝BD，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF為等腰三角形．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是綜合運用等腰三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定與性質，三角形外角的性質．
19．（8分）如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中建立直角坐標系，△AOB的頂點均在格點上，點O為原點，點A、B的坐標分別是A（3，2）、B（1，3）．
（1）將△AOB向下平移4個單位得到△A′B′C′，請在圖中作出△A′B′C′，則點B的對應點B′坐標為　 　；
（2）將△AOB繞點O逆時針旋轉90°后得到△A1OB1，請在圖中作出△A1OB1；
（3）求△A1OB1的面積．
【分析】（1）根據平移的性質作圖即可得解；
（2）根據旋轉的性質作圖即可得解；
（3）利用割補法求三角形的面積即可得解．
【解答】解：（1）如圖所示，所作△A′B′C′即為所求，點B′（1，﹣1），
故答案為：（1，﹣1）；
（2）如圖所示，所作△A1OB1即為所求；
（3）△A1OB1的面積．
【點評】本題查了作圖—平移變換、旋轉變換，利用網格求三角形面積，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
20．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，△ABC是等邊三角形．線段CD繞點C順時針旋轉60°得到線段CE，連接AE．
（1）求證：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的長．
【分析】（1）根據旋轉的性質和等邊三角形的性質，可得AC＝BC，∠DCE＝60°，CD＝CE，通過證明△BCD≌△ACE即可得出結論；
（2）連接DE，根據旋轉的性質易證△CDE為等邊三角形，則∠CDE＝60°，根據△BCD≌△ACE，用勾股定理求出AE的長度即可．
【解答】（1）證明：由旋轉可知∠DCE＝60°，CD＝CE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD．
（2）連接DE，
由（1）的結論知AE＝BD，
∵BD＝5，
∴AE＝5，
由旋轉可知∠DCE＝60°，
∴△DCE是等邊三角形，
∴∠CDE＝60°，
∵∠ADC＝30°
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
在Rt△ADE中，，
∵△CDE是等邊三角形，
∴CD＝DE＝4
【點評】本題主要考查了旋轉的性質、三角形全等的性質和判定，等邊三角形的性質和判定以及勾股定理，熟練掌握各個相關知識點，連接DE，構建直角三角形是解題的關鍵．
21．（8分）已知關于x，y的方程組的解均為非負數，
（1）用a的代數式表示方程組的解；
（2）求a的取值范圍；
（3）化簡：|2a+4|﹣|a﹣1|．
【分析】（1）利用加減消元法求解即可；
（2）根據（1）所求結合題意可得，解不等式組即可得到答案；
（3）根據（2）所求得到a﹣1＜0，2a+4≥0，據此化簡絕對值求解即可．
【解答】解：（1），
①+②得：4x＝8a+16，
解得x＝2a+4，
把x＝2a+4代入②得：2a+4﹣y＝5a+7，
解得y＝﹣3a﹣3，
∴方程組的解為；
（2）∵關于x，y的方程組的解均為非負數，
∴，
∴﹣2≤a≤﹣1；
（3）∵﹣2≤a≤﹣1，
∴a﹣1＜0，2a+4≥0，
∴|2a+4|﹣|a﹣1|
＝2a+4+a﹣1
＝3a+3．
【點評】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，化簡絕對值，正確求出方程組的解是解題的關鍵．
22．（10分）已知在△ABC中，AB＝AC，點D是邊AB上一點，∠BCD＝∠A．
（1）如圖1，試說明CD＝CB的理由；
（2）如圖2，過點B作BE⊥AC，垂足為點E，BE與CD相交于點F．
①試說明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度數．
【分析】（1）根據等腰三角形的性質可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性質可得∠BDC＝∠A+∠ACD，從而可得∠BDC＝∠ACB，然后根據等量代換可得∠ABC＝∠BDC．再根據等角對等邊可得CD＝CB，即可解答；
（2）①根據垂直定義可得∠BEC＝90°，從而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后設∠CBE＝α，則∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的結論可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形內角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答；
②根據三角形的外角性質可得∠BFD＝3α，然后分三種情況：當BD＝BF時；當DB＝DF時；當FB＝FD時；分別進行計算即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一個外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC．
∴CD＝CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠ACB＝90°，
設∠CBE＝α，則∠ACB＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，
∴∠BCD＝2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一個外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，
分三種情況：
當BD＝BF時，
∴∠BDC＝∠BFD＝3α，
∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴90°﹣α＝3α，
∴α＝22.5°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；
當DB＝DF時，
∴∠DBE＝∠BFD＝3α，
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，
∴90°﹣2α＝3α，
∴α＝18°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；
當FB＝FD時，
∴∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
綜上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度數為45°或36°．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，分三種情況討論是解題的關鍵．
23．（10分）如圖：在等腰直角三角形中，AB＝AC，點D是斜邊BC上的中點，點E、F分別為AB，AC上的點，且DE⊥DF．
（1）若設BE＝a，CF＝b，滿足|b﹣5|，求BE及CF的長．
（2）求證：BE2+CF2＝EF2．
（3）在（1）的條件下，求△DEF的面積．
【分析】（1）先根據二次根式的非負性求出m＝2，再由非負數的性質求出a、b的值，進而得到BE及CF的長；
（2）延長ED到P，使DP＝DE，連接FP，CP，利用SAS得到三角形BED與三角形CPD全等，利用全等三角形對應邊相等得到BE＝CP，再利用SAS得到△EDF和△PDF全等，利用全等三角形對應邊相等得到EF＝FP，利用等角的余角相等得到∠FCP為直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出關系式，等量代換即可得證；
（3）連接AD，由AB＝AC，且D為BC的中點，利用三線合一得到AD垂直于BC，AD為角平分線，再由三角形ABC為等腰直角三角形，得到一對角相等，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由AD＝CD，利用ASA得到三角形AED與三角形CFD全等，利用全等三角形對應邊相等得到AE＝CF＝5，DE＝DF，由AE+EB求出AB的長，即為AC的長，再由AC﹣CF求出AF的長，在直角三角形AEF中，利用勾股定理求出EF的長，再根據三角形DEF為等腰直角三角形求出DE與DF的長，即可確定出三角形DEF的面積．
【解答】（1）解：由題意得，
解得m＝2，
則|b﹣5|＝0，
所以a﹣12＝0，b﹣5＝0，
a＝12，b＝5，
即BE＝12，CF＝5；
（2）證明：延長ED到P，使DP＝DE，連接FP，CP，
在△BED和△CPD中，
，
∴△BED≌△CPD（SAS），
∴BE＝CP，∠B＝∠DCP，
在△EDF和△PDF中，
，
∴△EDF≌△PDF（SAS），
∴EF＝FP，
∵∠B＝∠DCP，∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCP＝90°，即∠FCP＝90°，
在Rt△FCP中，根據勾股定理得：CF2+CP2＝PF2，
∵BE＝CP，PF＝EF，
∴BE2+CF2＝EF2；
（3）解：連接AD，
∵△ABC為等腰直角三角形，D為BC的中點，
∴∠BAD＝∠FCD＝45°，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
∵ED⊥FD，
∴∠EDA+∠ADF＝90°，∠ADF+∠FDC＝90°，
∴∠EDA＝∠FDC，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE＝CF＝5，DE＝DF，即△EDF為等腰直角三角形，
∴AB＝AE+EB＝5+12＝17，
∴AF＝AC﹣FC＝AB﹣CF＝17﹣5＝12，
在Rt△EAF中，根據勾股定理得：EF13，
設DE＝DF＝x，
根據勾股定理得：x2+x2＝132，
解得：x，即DE＝DF，
則S△DEFDE DF．
【點評】此題考查了非負數的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，以及勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．
24．（12分）宣城市郎溪縣是我國綠茶之鄉，縣內有八萬畝茶園．為拓寬銷售渠道，進一步向外擴大郎溪縣茶葉市場，某鄉鎮幫助農戶將A、B兩個品種的茶葉包裝成茶葉禮盒后再出售．已知每件A品種茶葉禮盒比B品種茶葉禮盒的售價少20元，且出售2件A品種茶葉禮盒和1件B品種茶葉禮盒的總價共500元．
（1）求A、B兩種茶葉禮盒每件的售價分別為多少元？
（2）已知A、B兩種茶葉禮盒每件的成本分別為100元、110元，該鄉鎮計劃在某農產品展銷活動中售出A、B兩種茶葉禮盒共100盒，且A品種茶葉禮盒售出的數量不超過B品種茶葉禮盒數量的1.5倍，總成本不超過10500元，一共有多少種滿足條件的方案？
（3）在（2）的條件下，要使農戶收益最大，該鄉鎮應怎樣安排A、B兩種茶葉禮盒的銷售方案，并求出農戶在這次農產品展銷活動中的最大收益為多少元？
【分析】（1）設A、B兩種茶葉禮盒每件的售價分別為a元，b元，根據題意列出二元一次方程組，解方程即可；
（2）設售出A種茶葉禮盒x盒，則售出B種茶葉禮盒（100﹣x）盒，根據題意列出一元一次不等式組，解不等式組即可得出結論；
（3）設收益為y元，根據題意結合（2）列出y關于x的一次函數關系式，然后由一次函數的性質求最值即可．
【解答】解：（1）設A、B兩種茶葉禮盒每件的售價分別為a元，b元，
根據題意得，
解得，
所以A、B兩種茶葉禮盒每件的售價分別為160元，180元，
答：A、B兩種茶葉禮盒每件的售價分別為160元，180元；
（2）設售出A種茶葉禮盒x盒，則售出B種茶葉禮盒（100﹣x）盒，
根據題意得，，
解得50≤x≤60，
∵60﹣50+1＝11，x為正整數，
∴共有11種滿足條件的方案；
（3）設收益為y元，
根據題意得，y＝（160﹣100）x+（180﹣110）（100﹣x）＝﹣10x+7000，
∵﹣10＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當x＝50時，y取得最大值，最大值為﹣10×50+7000＝6500（元），
∴售出B種茶葉禮盒100﹣50＝50（盒），
所以要使農戶收益最大，銷售方案為售出A種茶葉禮盒50盒，售出B種茶葉禮盒50盒，最大收益為6500元．
答：要使農戶收益最大，銷售方案為售出A種茶葉禮盒50盒，售出B種茶葉禮盒50盒，最大收益為6500元．
【點評】本題考查了一元一次不等式組的應用、二元一次方程組的應用以及一次函數的應用，關鍵是根據題意找到等量關系式．
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（北師大版）2024-2025學年八年級下學期數學
期中質量檢測卷01
（測試范圍：第1章---第3章）
（考試時間120分鐘 滿分120分）
一、選擇題（共10題，每小題3分，共30分）
1．剪紙藝術是最古老的中國民間藝術之一，先后入選中國國家級非物質文化遺產名錄和人類非物質文化遺產代表作名錄．下列剪紙作品中是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若關于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集為x＞1，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m＝1
3．如圖，將△ABC向右平移得到△DEF，且點B，E，C，F在同一條直線上，若EC＝2，BF＝8，則AD的長為（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于點E，若BC＝3，且△BDC的周長為8，則AE的長為（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
5．若不等式組無解，則a的取值范圍是（　　）
A．a≤2 B．a＞2 C．a＞3 D．a≥3
6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，把Rt△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△DEC，點A，B的對應點分別為D，E，DE的延長線與AB相交于點F，連接BE，則下列結論一定正確的是（　　）
A．BE＝AE B．∠ABC＝∠BEF C．AE+BC＝ED D．DF⊥AB
7．如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6，點E，F是邊BC上的三等分點，分別過點E，F沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如圖，將長為8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定兩端A和B，然后把中點C垂直向上拉升3cm至點D，則橡皮筋被拉長了（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
9．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分線MN交AC于D．下列結論中：①∠C＝72°； ②BD是△ABC的中線；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正確的序號有（　　）
A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
10．已知關于x的方程的解是非負數，且關于y的不等式組至多有3個整數解，則符合條件的所有整數a的和為（　　）
A．27 B．28 C．35 D．36
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11．在等腰△ABC中，如果兩邊長分別為5、10，則第三邊的長為 　 　．
12．在平面直角坐標系中，點A（2a+4，6﹣2a）在第四象限，則a的取值范圍是 　 　 ．
13．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E的度數為　 　 ．
14．不等式組無解，則m的取值范圍是　 　 ．
15．如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EDC．若點A，D，E在同一條直線上，AB＝2，AC＝5，則AD的長為　 　 ．
16．如圖所示是一種程序運算，規定：程序運行到“判斷結果是否大于100”為一次運算，若結果大于100，則輸出此結果；若結果不大于100，則將此結果作為m的值再進行第二次運算．已知運算進行了三次后停止，則m的取值范圍為 　 　．
三、解答題（本大題共8小題，滿分共72分）
17．（每小題4分，共8分）按要求解下列不等式（組）．
（1）解關于x的不等式1，并將解集用數軸表示出來．
（2）解不等式組，將解集用數軸表示出來，并寫出它的所有整數解．
18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為AC上一點，且滿足AD＝BD＝BC．點E是AB的中點，連接ED并延長，交BC的延長線于點F，連接AF．
（1）求∠BAC和∠ACB的度數；
（2）求證：△ACF是等腰三角形．
19．（8分）如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中建立直角坐標系，△AOB的頂點均在格點上，點O為原點，點A、B的坐標分別是A（3，2）、B（1，3）．
（1）將△AOB向下平移4個單位得到△A′B′C′，請在圖中作出△A′B′C′，則點B的對應點B′坐標為　 　；
（2）將△AOB繞點O逆時針旋轉90°后得到△A1OB1，請在圖中作出△A1OB1；
（3）求△A1OB1的面積．
20．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，△ABC是等邊三角形．線段CD繞點C順時針旋轉60°得到線段CE，連接AE．
（1）求證：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的長．
21．（8分）已知關于x，y的方程組的解均為非負數，
（1）用a的代數式表示方程組的解；
（2）求a的取值范圍；
（3）化簡：|2a+4|﹣|a﹣1|．
22．（10分）已知在△ABC中，AB＝AC，點D是邊AB上一點，∠BCD＝∠A．
（1）如圖1，試說明CD＝CB的理由；
（2）如圖2，過點B作BE⊥AC，垂足為點E，BE與CD相交于點F．
①試說明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度數．
23．（10分）如圖：在等腰直角三角形中，AB＝AC，點D是斜邊BC上的中點，點E、F分別為AB，AC上的點，且DE⊥DF．
（1）若設BE＝a，CF＝b，滿足|b﹣5|，求BE及CF的長．
（2）求證：BE2+CF2＝EF2．
（3）在（1）的條件下，求△DEF的面積．
24．（12分）宣城市郎溪縣是我國綠茶之鄉，縣內有八萬畝茶園．為拓寬銷售渠道，進一步向外擴大郎溪縣茶葉市場，某鄉鎮幫助農戶將A、B兩個品種的茶葉包裝成茶葉禮盒后再出售．已知每件A品種茶葉禮盒比B品種茶葉禮盒的售價少20元，且出售2件A品種茶葉禮盒和1件B品種茶葉禮盒的總價共500元．
（1）求A、B兩種茶葉禮盒每件的售價分別為多少元？
（2）已知A、B兩種茶葉禮盒每件的成本分別為100元、110元，該鄉鎮計劃在某農產品展銷活動中售出A、B兩種茶葉禮盒共100盒，且A品種茶葉禮盒售出的數量不超過B品種茶葉禮盒數量的1.5倍，總成本不超過10500元，一共有多少種滿足條件的方案？
（3）在（2）的條件下，要使農戶收益最大，該鄉鎮應怎樣安排A、B兩種茶葉禮盒的銷售方案，并求出農戶在這次農產品展銷活動中的最大收益為多少元？
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