資源簡介

第四章 三角形
第15講 幾何圖形的初步
（思維導圖+5考點+2命題點15種題型（含4種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 直線，射線，線段
考點二 角
考點三 相交線
考點四 相交線中的角
考點五 平行線的性質與判定
04題型精研·考向洞悉
命題點一 幾何圖形的初步
題型01 從不同方向看幾何體
題型02 由幾何體展開圖計算表面積、體積
題型03 正方體的展開圖
題型04 平面圖形旋轉所得的立體圖形
題型05 指出現實問題后的數學依據
題型06 與線段中點有關的計算
題型07 方向角
題型08 與角平分線有關的計算
題型09 與余角、補角、對頂角、鄰補角有關的計算
題型10 三線八角的識別
命題點二 平行線的性質與判定
題型01 利用平行線的判定進行證明
題型02 根據平行線的性質求解
題型03 平行線的形狀在生活中的應用
題型04 根據平行線性質與判定求角度
題型05 根據平行線性質與判定證明
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
直線和線段 ★ 會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點的意義.
鐘面角和角的換算 ★ 理解角、余角、補角的概念，能比較角的大小; 認識度、分、秒等角的度量單位，能進行簡單的單位換算，會計算角的和、差； 探索并掌握同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的補角相等的性質
余角與補角 ★★
角平分線 ★★
相交線 ★★ 理解對頂角、垂線、垂線段等概念； 探索并掌握對頂角相等的性質；識別同位角、內錯角、同旁內角.
平行線 ★★★ 理解平行線的概念； 探索并證明平行線的判定定理和性質定理.
【考情分析】初中幾何包括立體幾何和平面幾何兩部分，本專題是所有幾何內容的基礎，包括立體幾何部分常考的展開與折疊，平面幾何部分的角的和、差、倍、分的計算，平行線與相交線等內容.在中考數學中屬于基礎考點，年年都會考查，分值為8分左右，預計2025年各地中考還將出現，試題形式以選擇題、填空題為主，難度不大，常集合多個知識點進行考查. 【備考建議】該專題主要考察平行線的性質和判定、方位角、角度的大小等知識，這些知識點考查較容易，另外平行線的性質可能在綜合題中出現，考查學生綜合能力，比如：作平行的輔助線，構造特殊四邊形，此類題目有一定難度，需要學生靈活掌握．對本專題的復習也直接影響后續對其他幾何圖形的學習，需要考生細心對待.
002知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 直線，射線，線段
1、線段
定義：直線上兩點和它們之間的部分叫做線段，這兩個點叫做線段的端點.
【補充】線段的長度可以度量，所以能夠比較線段的長短，而且線段的長度是非負數.
注意：線段沒有方向，但線段的延長線和反向延長線是有方向的，如“線段AB的延長線”和“線段BA的延長線”表示的方向是不同的.（延長線一般用虛線表示）.
2、射線
定義：直線上一點和它一側的部分叫射線，這個點叫射線的端點.
【易錯點】
1）表示射線時端點一定在左邊，而且不能度量，因此射線BA和射線AB是不同的射線.
2）因為射線可以向一個方向無限延伸，所以射線沒有延長線，但它有反向延長線.
3、有關直線的基本事實：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線，簡述為兩點確定一條直線.
4、線段的性質
兩點的距離：連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離.它是線段的長度，是數量.
線段基本性質：兩點的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點之間，線段最短.
1．（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根據兩點之間線段最短進行解答即可．
【詳解】解：∵兩點之間線段最短，
∴從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線中，最短的路線是②，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了兩點之間線段最短，解題的關鍵是熟練掌握兩點之間所有連線中，線段最短．
2．（2024·貴州銅仁·一模）如圖，田亮同學用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發現剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，能正確解釋這一現象的數學知識是（ ）

A．兩點確定一條直線 B．經過一點有無數條直線
C．經過兩點，有且僅有一條直線 D．兩點之間，線段最短
【答案】D
【分析】此題主要考查了線段的性質．根據兩點之間，線段最短進行解答．
【詳解】解：田亮同學用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發現剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，能正確解釋這一現象的數學知識是兩點之間，線段最短，
故選：D．
3．（2022·浙江金華·中考真題）如圖，圓柱的底面直徑為，高為，一只螞蟻在C處，沿圓柱的側面爬到B處，現將圓柱側面沿“剪開”，在側面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據圓柱的側面展開特征，兩點之間線段最短判斷即可；
【詳解】解：∵AB為底面直徑，
∴將圓柱側面沿“剪開”后， B點在長方形上面那條邊的中間，
∵兩點之間線段最短，
故選： C．
【點睛】本題考查了圓柱的側面展開，掌握兩點之間線段最短是解題關鍵．
4．（2022·山東臨沂·中考真題）如圖，，位于數軸上原點兩側，且．若點表示的數是6，則點表示的數是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
【答案】B
【分析】根據，點表示的數是6，先求解 再根據A的位置求解A對應的數即可．
【詳解】解：由題意可得：點表示的數是6，且B在原點的右側，
，
在原點的左側，
表示的數為
故選B
【點睛】本題考查的是線段的和差倍分關系，數軸上的點所對應的數的表示，熟悉數軸的組成與數軸上數的分布是解本題的關鍵．
5．（2024·河北·模擬預測）如圖，下列給出的直線，射線，線段能相交的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】C
【分析】本題考查線段、直線、射線的概念和性質，直線：直線向兩方無限延伸，無法度量長度；射線：射線只能向一方無限延伸，無法度量長度；線段：線段不能向任何一方無限延伸，能度量長度．
【詳解】A、線段不能向兩邊延伸，
∴與不會相交，故本選項錯誤；
B、射線向右上方方向延伸，
∴與不會相交，故本選項錯誤；
C、射線向左下方方向延伸，
∴與會相交，故本選項正確；
D、射線向右上方方向延伸，射線向左下方方向延伸，
∴與不會相交，故本選項錯誤；
故選：C．
考點二 角
角的度量單位：度、分、秒是常用的角的度量單位，
1）把一個周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，記為1°；
2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，記為1″；
3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，記為1′.
角的換算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″，
1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°
角的換算方法：
1）由度化為分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″；
2）由分、秒化為度的形式（即由低位向高位化）：，.
【注意】
1）在進行度、分、秒運算時，由低級單位向高級單位轉化或由高級單位向低級單位轉化要逐步進行.
2）在計算兩個角的和或差時，要將度與度、分與分、秒與秒分別相加減，分、秒相加時，逢60要進位，相減時要借1作60.
3）兩個角的和或兩個角的差，仍然是一個角；兩個角的和或差的度數，就是它們度數的和或差.
1．（2023·山東臨沂·中考真題）下圖中用量角器測得的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由圖形可直接得出．
【詳解】解：由題意，可得，
故選：C．
【點睛】本題考查角的度量，量角器的使用方法，正確使用量角器是解題的關鍵．
2．（20-21七年級上·北京海淀·期末）如圖，用三角板比較與的大小，其中正確的是（　　）
A． B． C． D．不能確定
【答案】B
【分析】本題考查了角的大小比較，解題的關鍵是數形結合．由圖可得，，，即可得出與的大小關系．
【詳解】解：由圖可得，，，
，
故選：B．
3．（2023·河北·中考真題）淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，則淇淇家位于西柏坡的（ ）

A．南偏西方向 B．南偏東方向
C．北偏西方向 D．北偏東方向
【答案】D
【分析】根據方向角的定義可得答案．
【詳解】解：如圖：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏東方向．

故選D．
【點睛】本題主要考查方向角，理解方向角的定義是正確解答的關鍵．
4．（2024·廣西·中考真題）如圖，2時整，鐘表的時針和分針所成的銳角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了鐘面角，用乘以兩針相距的份數是解題關鍵．根據鐘面的特點，鐘面平均分成12份，每份是，根據時針與分針相距的份數，可得答案．
【詳解】解：2時整，鐘表的時針和分針所成的銳角是，
故選：C．
5．（2023·湖南岳陽·中考真題）如圖，①在上分別截取線段，使；②分別以為圓心，以大于的長為半徑畫弧，在內兩弧交于點；③作射線．若，則 ．

【答案】
【分析】由作圖可知是的角平分線，根據角平分線的定義即可得到答案．
【詳解】解：由題意可知，是的角平分線，
∴．
故答案為：
【點睛】此題考查角平分線的作圖、角平分線相關計算，熟練掌握角平分線的作圖是解題的關鍵．
考點三 相交線
直線的位置關系：在同一平面內不重合的兩條直線之間的位置關系只有兩種：相交或平行.
垂線的性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.如圖，點P與直線m上的各點連線中，線段PO最短.
點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.
【注意】
1）垂線段是一個幾何圖形，而點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數量，容易出現概念混淆的錯誤；
2）過直線外一點和直線上各點的線段有無數條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.
1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，斑馬線的作用是為了引導行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現的數學依據是（ ）
A．垂線段最短
B．兩點確定一條直線
C．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
【答案】A
【分析】根據垂線段最短解答即可．
【詳解】解：行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線，體現的數學依據是垂線段最短，
故選：A．
【點睛】本題考查垂線段最短，熟知垂線段最短是解答的關鍵．
2．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，推動水桶，以點O為支點，使其向右傾斜．若在點A處分別施加推力、，則的力臂大于的力臂．這一判斷過程體現的數學依據是（ ）
A．垂線段最短
B．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C．兩點確定一條直線
D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
【答案】A
【分析】本題考查了力臂，平行公理，垂直的性質，直線特點，垂線段最短，根據圖形分析得到過點有，進而利用垂線段最短得到即可解題．
【詳解】解：過點有，
，
即得到的力臂大于的力臂，
其體現的數學依據是垂線段最短，
故選：A．
3．（2024·河北唐山·二模）如圖，同一平面內，直線 m和直線n 的位置關系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
【答案】A
【分析】本題考查了同一平面內兩條直線的位置關系，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
將直線m，n分別延長之后，會交于一點，即可判斷．
【詳解】解：由圖可得：同一平面內，直線 m和直線n 的位置關系是相交，
故選：A．
4．（2023·北京·模擬預測）如圖，，垂足為E，則下面的結論中，不正確的是（ ）
A．點C到的垂線段是線段 B．與互相垂直
C．與互相垂直 D．線段的長度是點D到的距離
【答案】A
【分析】本題考查的是點到直線的距離，根據點到直線距離的定義對各選項進行逐一分析即可．
【詳解】解：A、∵，
∴點C到的垂線段是線段，原說法錯誤，故本選項符合題意；
B、∵，
∴，
即與互相垂直，原說法正確，故本選項不符合題意；
C、∵，垂足為E，
∴與互相垂直，原說法正確，故本選項不符合題意；
D、∵，
∴，
∴線段的長度是點D到的距離，原說法正確，故本選項不符合題意．
故選：A．
5．（2023·浙江杭州·三模）如圖，點P是直線l外一點，A，O，B，C在直線l上，且，其中，則點P到直線l的距離可能是（　　）

A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】A
【分析】根據垂線段最短解決此題．
【詳解】解：根據垂線段最短，，
∵，
∴A符合要求．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了點到直線的距離，熟知“垂線段最短”是解答此題的關鍵．
考點四 相交線中的角
1.對頂角與鄰補角
種類 圖形 頂點 邊的關系 大小關系
對頂角 有公共頂點 一個角的兩邊分別是另一角的兩邊的反向延長線 ∠1=∠2，∠3=∠4
鄰補角 有公共頂點 兩個角有一條公共邊，且它們的另一邊互為反向延長線. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°
2.同位角、內錯角、同旁內角
角的名稱 位置特征 基本圖形 圖形結構特征
同位角 在截線的同側，在被截兩條直線同側 形如字母“F”
內錯角 在截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間 形如字母“Z”
同旁內角 在截線的同側，在被截兩條直線之間 形如字母“U”
【補充】如圖，兩條直線a、b被第三條直線c所截，構成8個角，簡稱為“三線八角”，其中共有4對同位角，2對內錯角，2對同旁內角.
3、余角和補角的性質
余角的性質：同角（等角）的余角相等；
補角的性質：同角（等角）的補角相等；
1．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，直線，點在直線上，射線交直線于點，則圖中與互補的角有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質，對頂角的性質，補角的定義等知識，利用平行線的性質得出，得出結合對頂角的性質，根據鄰補角的定義得出，即可求出中與互補的角，即可求解．
【詳解】解∶∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴圖中與互補的角有，，，共3個．
故選∶C．
2．（2024·吉林長春·中考真題）在剪紙活動中，小花同學想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則的大小為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了多邊形內角與外角，正多邊形的內角和，熟練掌握正多邊形的內角和公式是解題的關鍵．
根據正五邊形的內角和公式和鄰補角的性質即可得到結論．
【詳解】解：，
故選：D．
3．（2023·青海·中考真題）如圖，直線，相交于點O，，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據鄰補角可進行求解．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：A．
【點睛】本題主要考查鄰補角，熟練掌握鄰補角是解題的關鍵．
4．（2022·青海·中考真題）數學課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（ ）
A．同旁內角、同位角、內錯角
B．同位角、內錯角、對頂角
C．對頂角、同位角、同旁內角
D．同位角、內錯角、同旁內角
【答案】D
【分析】兩條線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關系的角稱為同位角；兩個角分別在截線的異側，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關系的一對角互為內錯角；兩個角都在截線的同一側，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關系的一對角互為同旁內角．據此作答即可．
【詳解】解：根據同位角、內錯角、同旁內角的概念，可知
第一個圖是同位角，第二個圖是內錯角，第三個圖是同旁內角．
故選：D．
【點睛】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角，解題的關鍵是掌握同位角、內錯角、同旁內角，并能區別它們．
5．（2024·廣西·中考真題）已知與為對頂角，，則 °．
【答案】35
【分析】本題主要考查了對頂角性質，根據對頂角相等，得出答案即可．
【詳解】解：∵與為對頂角，，
∴．
故答案為：35．
考點五 平行線的性質與判定
平行線的判定與性質的區別
條件 結論 作用
判定 同位角相等 兩直線平行 由角的數量關系確定直線的位置關系
內錯角相等 兩直線平行
同旁內角互補 兩直線平行
性質 兩直線平行 同位角相等 由直線位置關系得到角的數量關系
兩直線平行 內錯角相等
兩直線平行 同旁內角互補
【總結】從角的關系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補關系，是平行線的性質.
【注意】在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補的結論.這是平行線特有的性質不要一提同位角或內錯角就認為它們相等，一提同旁內角就認為互補，若沒有兩直線平行的條件，這些是不成立的.
平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.
性質：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；
2）平行線間的距離處處相等.
1．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小明在地圖上量得，由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據是（ ）
A．同位角相等，兩直線平行 B．內錯角相等，兩直線平行
C．同旁內角互補，兩直線平行 D．對頂角相等
【答案】B
【分析】本題主要考查了平行線的判定，由，即可得出福大街與平安大街互相平行，即內錯角相等，兩直線平行．
【詳解】解：∵，
∴福大街與平安大街互相平行，
判斷的依據是：內錯角相等，兩直線平行，
故選：B．
2．（2023·山東臨沂·中考真題）在同一平面內，過直線外一點作的垂線，再過作的垂線，則直線與的位置關系是（ ）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能確定
【答案】C
【分析】根據“在同一平面內，垂直于同一直線的兩直線互相平行”即可作出判斷．
【詳解】解：∵在同一平面內，過直線外一點作的垂線，即，
又∵過作的垂線，即，
∴，
∴直線與的位置關系是平行，
故選：C．
【點睛】本題考查平行線的判定．掌握平行線判定的方法是解題的關鍵．
3．（2022·內蒙古鄂爾多斯·中考真題）下列尺規作圖不能得到平行線的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本作圖，根據同位角相等兩直線平行可對A選項進行判斷；根據在同一平面內，垂直于同一直線兩直線平行可對B選項進行判斷；根據內錯角相等兩直線平行可對C選項進行判斷；根據平行線的判定方法可對D選項進行判斷．
【詳解】解：A.根據同位角相等兩直線平行可知，能得到平行線，故A不符合題意；
B.根據在同一平面內，垂直于同一直線兩直線平行可知，能得到平行線，故B不符合題意；
C.根據內錯角相等兩直線平行可知，能得到平行線，故C不符合題意；
D.作一個角的平分線和這個角一邊的垂線，不一定能夠得到平行線，故D符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線的判定．
4．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖，直線，且直線a，b被直線c，d所截，則下列條件不能判定直線的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行線的判定條件進行分析即可得出結果．
【詳解】解：A、當時，；故A不符合題意；
B、當時，；故B不符合題意；
C、當時，；故C符合題意；
D、∵，則，
∵，則，
∴；故D不符合題意；
故選：C
【點睛】本題主要考查平行線的判定，解答的關鍵是熟記平行線的判定條件并靈活運用．
5．（2024·貴州貴陽·模擬預測）如圖，在探索直線平行的條件時，將木條a，c固定，使，轉動木條b，當 時，木條a與木條b平行．
【答案】
【分析】本題主要考查了平行線的判定，根據題意可知時，木條a與木條b平行．即可得出答案．
【詳解】解：如圖，木條轉動到時．木條a與木條b平行．
當時，．
即時，木條a與b平行．
故答案為：．
04題型精研·考向洞悉
命題點一 幾何圖形的初步
題型01 從不同方向看幾何體
1．（2023·湖南·中考真題）作為中國非物質文化遺產之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，下面四幅圖是從左面看到的圖形的是（　　）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了從三個方面看物體，準確把握從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖形是解決問題的關鍵．從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖形，注意所有的看到的或看不到的棱都應表現在視圖中，看得見的用實線，看不見的用虛線，虛實重合用實線．
【詳解】
解：從左面看，得到的平面圖形是，
故選：B．
2．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）從正面，左面，上面觀察由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的形狀圖（如圖所示），則搭成這個幾何體的小正方體的個數是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】此題考查了從不同方位看簡單幾何組合體，熟知以上知識點是解題的關鍵．根據從正面看以及從左面看可得出該小正方形共有兩行搭成，從上面看可確定幾何體中小正方形的列數，從而得出答案．
【詳解】解：從正面看左邊第一列兩個正方體，第二列有一個正方體；從左面來看，左邊第一列兩個正方體，第二列有一個正方體；說明從上面來看時，后面有兩個正方體，前面一排各有一個，所以此幾何體共有四個正方體，
故選：．
28．（2024深圳市三模）北宋時期的汝官窯天藍釉刻花鵝頸瓶是河南博物院九大鎮院之寶之一，具有極高的歷史價值、文化價值．如圖所示，關于它的從正面、左面、上面三個不同的方向觀察看到的平面圖形，下列說法正確的是（ ）
A．從正面看與從左面看到的圖形相同 B．從正面看與從上面看到的圖形相同
C．從左面看與從上面看到的圖形相同 D．從正面、左面、上面看到的圖形都相同
【答案】A
【分析】本題考查從不同方向看幾何體．根據從不同方向看到的圖形解答即可．
【詳解】解：由題意可知，該幾何體從正面和左面看到的形狀圖相同．
故選：A．
29．（2024·河南商丘·三模）如圖是從上面看到的由個小立方塊所搭成的幾何體的形狀圖，小正方形中的數字表示該位置小立方塊的個數，從左面看該幾何體的形狀圖是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】考查簡單幾何體的三視圖的畫法，根據俯視圖推測出左視圖的情況，再根據左視圖的畫法畫出相應的圖形即可．
【詳解】由俯視圖可知知，幾何體橫向有三排，最高層有三個小方塊
即從左面看，是三列三層，其中第一列高為，第二列高為，第三列高為
故選：C．
題型02 由幾何體展開圖計算表面積、體積
1．（2023·江蘇無錫·中考真題）若直三棱柱的上下底面為正三角形，側面展開圖是邊長為的正方形，則該直三棱柱的表面積為 ．
【答案】/
【分析】根據題意得出正三角形的邊長為，進而根據表面積等于兩個底面積加上側面正方形的面積即可求解．
【詳解】解：∵側面展開圖是邊長為的正方形，
∴底面周長為，
∵底面為正三角形，
∴正三角形的邊長為
作，
是等邊三角形，，
，
在直角中，
，
；

∴該直三棱柱的表面積為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了三棱柱的側面展開圖的面積，等邊三角形的性質，正方形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
2．（2020·湖南懷化·中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中所示數據求得這個幾何體的側面積是 （結果保留）．
【答案】24π cm
【分析】根據三視圖確定該幾何體是圓柱體，再計算圓柱體的側面積．
【詳解】解：先由三視圖確定該幾何體是圓柱體，底面半徑是4÷2=2cm，高是6cm，
圓柱的側面展開圖是一個長方形，長方形的長是圓柱的底面周長，長方形的寬是圓柱的高，
且底面周長為：2π×2=4π(cm)，
∴這個圓柱的側面積是4π×6=24π(cm )．
故答案為：24π cm ．
【點睛】此題主要考查了由三視圖確定幾何體和求圓柱體的側面積，關鍵是根據三視圖確定該幾何體是圓柱體．
3．（2022·貴州貴陽·三模）如圖，把一個高9dm的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后把圓柱切開，拼成一個與它等底等高的近似長方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了．原來這個圓柱的體積是 ．
【答案】
【分析】增加的面積等于底面半徑乘以高，再乘以2，由此可以計算出圓柱的底面半徑，進而可以算出圓柱的體積．
【詳解】解：圓柱的底面半徑為：36÷2÷9=2（分米），
故圓柱的體積為：（立方分米），
故答案：．
【點睛】本題考查圓柱的體積，長方形的面積，長方體的表面積，掌握圓周的體積公式是解決本題的關鍵．
4．（2021·遼寧撫順·一模）某工廠要加工一批上下底密封紙盒，設計者給出了密封紙盒的三視圖，如圖1．
（1）由三視圖可知，密封紙盒的形狀是__________；
（2）根據該幾何體的三視圖，在圖2中補全它的表面展開圖；
（3）請你根據圖1中數據，計算這個密封紙盒的表面積．（結果保留根號）
【答案】（1）（正）六棱柱；（2）見解析；（3）
【分析】（1）通過三視圖，發揮想象力可以得到答案；
（2）由（1）得到的答案可以得到表面展開圖；
（3）分別計算出側面積和上下底面積即可得到答案 ．　　
【詳解】解：（1）根據該幾何體的三視圖知道它是一個（正）六棱柱；
（2）由（1）可以得到六棱柱的表面展開圖如圖：
（3）由圖中數據可知：六棱柱的高為12，底面邊長為5，
∴六棱柱的側面積為．
又∵密封紙盒的底面面積為：，
∴六棱柱的表面積為：．
【點睛】本題考查三視圖與展開圖的綜合應用，充分發揮想象力是解題關鍵．
題型03 正方體的展開圖
一個正方體的展開圖共有11種
1-4-1 2-3-1 2-2-2與3-3 口訣
1）“一四一”、“一三二”，“一”在同層可任意， 2）“三個二”成階梯， 3）“二個三”“日”相連，異層必有“日”. 4） “一線超過四”“凹” “田”“L型”棄之.
6種 3種 2種
1．（2024·江西·中考真題）如圖是的正方形網格，選擇一空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖的方法有（ ）
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
【答案】B
【分析】此題主要考查了幾何體的展開圖，關鍵是掌握正方體展開圖的特點．依據正方體的展開圖的結構特征進行判斷，即可得出結論．
【詳解】解：如圖所示：
共有2種方法，
故選：B．
2．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖是正方體表面展開圖．將其折疊成正方體后，距頂點A最遠的點是（ ）
A．B點 B．C點 C．D點 D．E點
【答案】B
【分析】本題考查了平面圖形和立體圖形，把圖形圍成立體圖形求解．
【詳解】解：把圖形圍成立方體如圖所示：
所以與頂點A距離最遠的頂點是C，
故選：B．
3．（2023·江蘇南京·二模）如圖，將左圖的正方形紙盒切去一角得到下圖，下列選項中，不能作為紙盒剩余部分的展開圖的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據正方體展開圖的特征，由條件結合圖形驗證是否能拼成正方體，逐項判斷即可得出結論．
【詳解】解：根據正方體的展開圖的特征可知：
A.圖形是中間四個連一行，兩邊隨意擺的形式，符合正方體的展開圖，所以A選項正確；
B.圖形是二三相連錯一個，三一相連隨意的形式，符合正方體的展開圖，所以B選項正確；
C.圖形是三個兩排一對齊，不符合正方體的展開圖，無法拼成正方體，所以C選項不正確；
D.圖形是兩兩相連各錯一的形式，符合正方體的展開圖，所以D選項正確；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了正方體展開圖的特征，熟練掌握正方體展開圖的各種形式，是解題的關鍵．
4．（2024·江蘇鹽城·中考真題）正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種平面展開圖，那么在原正方體中，與“鹽”字所在面相對的面上的漢字是（ ）
A．濕 B．地 C．之 D．都
【答案】C
【分析】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，對于正方體的平面展開圖中相對的面一定相隔一個小正方形，由此可解．
【詳解】解：由正方體表面展開圖的特征可得：
“鹽”的對面是“之”，
“地”的對面是“都”，
“濕”的對面是“城”，
故選C．
5．（2023·山東青島·中考真題）一個不透明小立方塊的六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數字之和最小是（　　）

A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【分析】根據正方體展開圖的特征，得出相對面上的數字，再結合正方體擺放方式，得出使該幾何體能看得到的面上數字之和最小，則看不見的面數字之和要最大，即可解答．
【詳解】解：由圖①可知：1的相對面是3，2的相對面是4，5的相對面是6，
由圖2可知：
要使該幾何體能看得到的面上數字之和最小，則看不見的面數字之和要最大，
上面的正方體有一個面被遮住，則這個面數字為6，
能看見的面數字之和為：；
左下的正方體有3個面被遮住，其中兩個為相對面，則這三個面數字分別為4，5，6，
能看見的面數字之和為：；
右下的正方體有2個面被遮住，這兩個面不是相對面，則這兩個面數字為4，6，
能看見的面數字之和為：；
∴能看得到的面上數字之和最小為：，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了正方體的相對面，掌握正方體展開圖中“相間一行是相對面”，是解題的關鍵．
6．（2023·山東青島·二模）如圖的正方體紙盒，只有三個面上印有圖案，下面四個平面圖形中，經過折疊能圍成此正方體紙盒的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】四個選項中的圖都是正方體展開圖的“”結構．由正方體可以看出，有圖案的三個面兩兩相鄰．
【詳解】解：四個選項中的圖都是正方體展開圖的“”結構．由正方體可以看出，有圖案的三個面兩兩相鄰；
A、C、D選項折成正方體后有圖案的面有兩個相對，不符合題意；B選項折成正方體后，有圖案的三個面兩兩相鄰；
的展開圖是
故選：B．
【點睛】正方體展開圖“1 4 1”結構，折成正方體后，兩個“1”相對，“4”組成側面，間隔面相鄰．關鍵是明白有圖案的三個面兩兩相鄰．
題型04 平面圖形旋轉所得的立體圖形
1．（2024·陜西·中考真題）如圖，將半圓繞直徑所在的虛線旋轉一周，得到的立體圖形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了點、線、面、體問題．根據旋轉體的特征判斷即可．
【詳解】解：將一個半圓繞它的直徑所在的直線旋轉一周得到的幾何體是球，
故選：C．
2．（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，將矩形繞著它的一邊所在的直線l旋轉一周，可以得到的立體圖形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據面動成體：一個長方形繞著它的一條邊所在的直線旋轉一周后所得到的立體圖形是圓柱，據此判斷即可．
【詳解】解：由題意可知：
一個長方形繞著它的一條邊所在的直線旋轉一周后所得到的立體圖形是圓柱．
故選：B
【點睛】本題考查了圓柱的概念和面動成體，屬于應知應會題型，熟練掌握基礎知識是解題關鍵．
3．（2024·廣東中山·三模）如圖，在中，，，，將繞所在直線旋轉一周所得到的幾何體的表面積是 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了圓錐的側面積計算，解直角三角形，平面圖形旋轉后的幾何圖形等知識，過點B作于D，解直角三角形求出的長，再根據旋轉后的幾何體是兩個圓錐組成的結合圓錐側面積計算公式求解即可．
【詳解】解：如圖所示，過點B作于D，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵將繞所在直線旋轉一周所得到的幾何體可以看做底面圓半徑為，高分別為的長的兩個圓錐組成的幾何體，
∴將繞所在直線旋轉一周所得到的幾何體的表面積為，
故答案為：．
4．（2024·陜西渭南·二模）如圖，將平面圖形甲、乙分別繞軸l、m旋轉一周，可以得到立體圖形①、②，圖形甲是直角邊分別為a、2a的直角三角形，圖形乙是邊長為a的正方形．
(1)立體圖形①的名稱是_______；
(2)請問立體圖形②比立體圖形①的體積大多少？(用含a和π的式子表示，
【答案】(1)圓錐；
(2)立體圖形②比立體圖形①的體積大 ．
【分析】本題主要考查了圓錐的定義、圓錐的體積、圓柱的體積等知識點，掌握圓錐的相關知識成為解題的關鍵．
（1）根據立體圖形的定義即可解答；
（2）設圖形①、②的體積分別為，然后分別求得圖形①、②的體積，然后作差即可解答．
【詳解】（1）解：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉軸得到的立體圖形為圓錐．
故答案為：圓錐．
（2）解：設圖形①、②的體積分別為，
則 ，，
即立體圖形②比立體圖形①的體積大．
題型05 指出現實問題后的數學依據
1．（2024·吉林·二模）臺灣省，簡稱“臺”，是中華人民共和國省級行政區，省會為臺北市．在地圖上如果把城市看作一點，下列城市與臺北市之間的距離最大的是（ ）
A．吉林市 B．西安市 C．海口市 D．福州市
【答案】A
【分析】本題考查了點與點之間的距離，根據點與點之間的距離并結合生活常識即可得出答案．
【詳解】解：在地圖上如果把城市看作一點，與臺北市之間的距離最大的是吉林市，
故選：A．
2．（2023·北京海淀·一模）在一條沿直線鋪設的電纜兩側有甲、乙兩個小區，現要求在上選取一點P，向兩個小區鋪設電纜．下面四種鋪設方案中，使用電纜材料最少的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】根據兩點之間線段最短即可得出答案．
【詳解】解：甲、乙位于直線的兩側，
根據兩點之間線段最短，連接甲、乙兩點，與直線交于點，點即為所求；
故選：A．
【點睛】本題考查兩點之間線段最短的公理，解題的關鍵是分析題中兩點的位置是在直線的同側還是異側，在異側連接兩點即可，在同側需做其中一點的對稱點再連接．
3．（2022·河北·二模）下列能用“垂線段最短”來解釋的現象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了兩點確定一條直線，垂線段最短，兩點之間，線段最短等知識．熟練掌握兩點確定一條直線，垂線段最短，兩點之間，線段最短是解題．
【詳解】解：由題意知，A中能用兩點確定一條直線進行解釋，不符合題意；
B中能用兩點確定一條直線進行解釋，不符合題意；
C中能用垂線段最短進行解釋，符合題意；
D中能用兩點之間，線段最短進行解釋，不符合題意；
故選：C．
4．（2024·吉林·中考真題）如圖，從長春站去往勝利公園，與其它道路相比，走人民大街路程最近，其蘊含的數學道理是 ．

【答案】兩點之間，線段最短
【分析】本題考查了兩點之間線段最短，熟記相關結論即可．
【詳解】從長春站去往勝利公園，走人民大街路程最近，
其蘊含的數學道理是：兩點之間，線段最短
故答案為：兩點之間，線段最短．
5．（2024·吉林松原·模擬預測）建筑工人在砌墻時，經常在兩個墻角的位置分別立一根木樁，在兩根木樁之間拉一根線，沿著這條線就可以砌出直的墻，則其中的數學依據是 ．
【答案】兩點確定一條直線
【分析】此題考查了直線的性質：兩點確定一條直線．由直線公理可直接得出答案．
【詳解】解：建筑工人在砌墻時，經常在兩個墻角分別立一根標志桿，在兩根標志桿之間拉一根繩子，沿這根繩子可以砌出直的墻．這樣做蘊含的數學道理是兩點確定一條直線．
故答案為：兩點確定一條直線．
6．（2022·浙江溫州·三模）如圖，在墻面上安裝某一管道需經兩次拐彎，拐彎后的管道與拐彎前的管道平行．若第一個彎道處，則第二個彎道處∠C也為140°，能解釋這一現象的數學知識是（ ）
A．兩直線平行，內錯角相等． B．內錯角相等，兩直線平行．
C．兩直線平行，同位角相等． D．同位角相等，兩直線平行．
【答案】A
【分析】根據平行線的性質判斷即可．
【詳解】解：因為拐彎后的管道與拐彎前的管道平行，
所以根據兩直線平行，內錯角相等可得，
故選A．
【點睛】本題考查了平行線的性質的應用，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
題型06 與線段中點有關的計算
1．（2023·寧夏·中考真題）如圖，點，，在數軸上，點表示的數是，點是的中點，線段，則點表示的數是 ．

【答案】
【分析】根據兩點間的距離公式和中點平分線段進行計算即可．
【詳解】解：∵點是的中點，線段，
∴，
∴點表示的數是：；
故答案為：．
【點睛】本題考查數軸上兩點間的距離，以及線段的中點．熟練掌握線段中點的定義，以及數軸上兩點間的距離公式，是解題的關鍵．
51．（2023花都區零模）已知數軸上三點表示的數分別為，動點從點出發，沿數軸向右運動．在運動過程中，點始終為的中點，點始終為的中點，點在從點運動到點的過程中，則線段的長度為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】本題主要考查了數軸上兩點的距離計算，數軸上兩點中點的計算公式，設運動時間為t，點P的運動速度為v，則點P表示的數為，再根據數軸上兩點中點計算公式得到點M表示的數為，點N表示的數為，則．
【詳解】解；設運動時間為t，點P的運動速度為v，則點P表示的數為，
∵點始終為的中點，點始終為的中點，
∴點M表示的數為，點N表示的數為，
∴，
故選：A．
52．（2024·河北滄州·模擬預測）A，B，C，D四個車站的位置如圖所示．求：
(1)A，D兩站的距離；
(2)C，D兩站的距離；
(3)若，C為的中點，求b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此題考查了整式的加減，線段和差關系；
（1）根據題意列出關系式，合并即可得到結果；
（2）根據題意列出關系式，去括號合并即可得到結果；
（3）根據中點的定義列出方程計算即可求解．
【詳解】（1）
∴A，D兩站的距離是；
（2）
∴C，D兩站的距離為；
（3）由（2）得：C，D兩站的距離為，
∵A，C兩站的距離為，
∵C為的中點，
∴，
∴，
∵，
∴．
題型07 方向角
1．（2024·河南·中考真題）如圖，乙地在甲地的北偏東方向上，則∠1的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了方向角，平行線的性質，利用平行線的性質直接可得答案．
【詳解】解：如圖，
由題意得，，，
∴，
故選：B．
2．（2023·山東東營·中考真題）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為 km．
【答案】50
【分析】根據題意畫出圖形，易證是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【詳解】如圖，根據題意，得，，，，

∵
∴
∴
∴在中，
即A，C兩港之間的距離為50 km．
故答案為：50
【點睛】本題考查方位角，勾股定理，根據題意畫出圖形，證明是直角三角形是解題的關鍵．
3．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，PA，PB表示以P為起點的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34，公路PB的走向是南偏東56，則這兩條公路的夾角∠APB＝ °．
【答案】90
【分析】根據題意可得∠APC＝34，∠BPC＝56，然后進行計算即可解答．
【詳解】解：如圖：
由題意得：
∠APC＝34，∠BPC＝56，
∴∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90，
故答案為：90．
【點睛】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關鍵．
4．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的A處． 記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的B處． 記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東方向．
請你根據以上信息解決下列問題：
(1)填空：________，________， ________海里；
(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異常”區，請計算說明．
（參考數據：）
【答案】(1)30；75；5
(2)該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異常”區
【分析】本題主要考查了方位角的計算，解直角三角形的實際應用，三角形內角和定理：
（1）根據方位角的描述和三角形內角和定理可求出兩個角的度數，根據路程等于速度乘以時間可以計算出對應線段的長度；
（2）設海里，先解得到，再解得到海里，海里，據此可得，解得海里；證明，則海里；再求出上午9時時船與C點的距離即可得到結論．
【詳解】（1）解：如圖所示，過點P作于D，
由題意得， ，
∴；
∵一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時從A出發到上午8時30分到達B，
∴海里．
（2）解：設海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9時時，船距離A的距離為海里，
∵，
∴該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異常”區．
題型08 與角平分線有關的計算
1．（2024·四川·中考真題）如圖，，平分，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了與角平分線有關的計算，根據平行線的性質求角，根據、 即可求解.
【詳解】解：∵，，
∴
∵平分，
∴
故選：B
2．（2023·四川德陽·中考真題）如圖，直線，直線l分別交，于點M，N，的平分線交于點F，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先證明，，結合角平分線可得，從而可得答案．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵的平分線交于點F，
∴，
∴，
故選B
【點睛】本題考查的是平行線的性質，角平分線的定義，熟記兩直線平行，同旁內角互補是解本題的關鍵．
3．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，點O在直線上，是的平分線，若，則的度數為 ．

【答案】/20度
【分析】根據鄰補角得出，再由角平分線求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵是的平分線，
∴，
故答案為：．
【點睛】題目注意考查鄰補角及角平分線的計算，找準各角之間的關系是解題關鍵．
4．（2021·陜西西安·模擬預測）問題探究
（1）如圖①，已知點P為的內心，，則________．
（2）如圖②，已知中，和分別是和外角的角平分線，，請把的值用表示出來，寫出必要過程．
問題解決
（3）如圖③，有一塊三角形花壇，且周長為40.為了改善和美化環境，市政工程處對其改造方案進行優化，以O為原點，、所在直線為坐標軸建立直角坐標系，點，改造后的花壇為四邊形，其中保持原來的周長不變，點P在的外角的平分線上試探究是否存在最大值？若存在，請求出其最大值；若不存在，請說明理由．（結果保留根號）
【答案】（1）∠BPC=120°；（2）∠Q=；（3）S四邊形OAPB最大=．
【分析】（1）由點P為△ABC的內心，可得PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，由∠A=60°，可求∠ABC+∠ACB =120°，可求∠CBP+∠BCP=，由三角形內角和求∠BPC即可；
（2）由和分別是和外角的角平分線，可得∠1=∠2=，∠3=∠4=，由外角性質∠4=∠Q+∠2，∠3+∠4=∠A+∠1+∠2變形的∠4=∠A+∠2，可得∠Q=∠A即可；
（3）過P作PC⊥x軸于C，OP⊥y軸于D，連結OP，四邊形PDOC為正方形，可得OD=OC=20，可求OD+OC=40，由三角形周長OA+OB+AB=40，可得AD+BC=AB，把△PAD繞著點P逆時針方向旋轉90°得到△PA′C，可證△APB≌△A′PB（SSS），S四邊形OAPB=S正方形ODPC-S△DPA-S△CPB，AB，由最大時，AB最小，S四邊形OAPB最大，可證，可得，僅當OA=OB時AB=OA成立，可得AB=OA，可求S四邊形OAPB最大 =．
【詳解】解：（1）∵點P為△ABC的內心，
∴PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
∴∠ABP=∠CBP=，∠BCP=∠ACP=，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，
∴∠CBP+∠BCP=+=，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°，
故答案為120°；
（2）∵和分別是和外角的角平分線，
∴∠1=∠2=，∠3=∠4=，
∵∠4=∠Q+∠2，∠ACD=∠A+∠ABC即∠3+∠4=∠A+∠1+∠2，
∴∠4=∠A+∠2，
∴∠Q=∠A=；
（3）過P作PC⊥x軸于C，OP⊥y軸于D，連結OP，
∴∠PDO=∠PCO=∠DOC=90°，
∴四邊形PDOC為矩形，
∵點P（20，20），
∴PC=PD=20，
∴矩形PDOC為正方形，
∴OD=OC=20，
∴OD+OC=40，
∴OA+AD+OB+BC=40，
∵OA+OB+AB=40，
∴AD+BC=AB，
把△PAD繞著點P逆時針方向旋轉90°得到△PA′C，
在△APB和△A′PB中，
，
∴△APB≌△A′PB（SSS），
∴S四邊形OAPB=S正方形ODPC-S△DPA-S△CPB= S正方形ODPC-，
=400-，
，
，
∵OA+OB+AB=40，OA2+OB2=AB2，
∴OA+OB=40-AB，
∴，
∴，
∴AB，
∴最大時，AB最小，S四邊形OAPB最大，
∵|OA-OB|≥0，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
僅當OA=OB時AB=OA成立，
此時OA+OB+AB=2OA+OA=（2+）OA=40，
∴OA=，
∴AB=OA=，
S四邊形OAPB最大 ，
，
=．
【點睛】本題考查三角形內心，角平分線定義，外角性質，解方程組，正方形判定與性質，三角形旋轉變換，三角形全等判定與性質，三角形面積，四邊形面積，不等式成立的條件，掌握三角形內心，角平分線定義，外角性質，解方程組，正方形判定與性質，三角形旋轉變換，三角形全等判定與性質，三角形面積，四邊形面積，不等式成立的條件，利用輔助線，圖像旋轉準確畫出圖形是解題關鍵．
題型09 與余角、補角、對頂角、鄰補角有關的計算
1．（2024·甘肅·中考真題）若，則的補角為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據和為的兩個角互為補角，計算即可．
本題考查了補角，熟練掌握定義是解題的關鍵．
【詳解】。
則的補角為．
故選：D．
2．（2022·甘肅武威·中考真題）若，則的余角的大小是（　　）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【答案】A
【分析】用90°減去40°即可求解．
【詳解】解：∵，
∴的余角=，
故選A
【點睛】本題考查了求一個角的余角，掌握和為90° 的兩角互為余角是解題的關鍵．
3．（2023·河南·中考真題）如圖，直線，相交于點O，若，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據對頂角相等可得，再根據角的和差關系可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故選：B
【點睛】本題主要考查了對頂角的性質，解題的關鍵是掌握對頂角相等．
4．（2024·重慶·中考真題）如圖，，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質，鄰補角的定義，根據鄰補角的定義求出，然后根據平行線的性質求解即可．
【詳解】解：如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
5．（2020·黑龍江大慶·中考真題）將兩個三角尺的直角頂點重合為如圖所示的位置，若，則 ．
【答案】
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，進而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出∠BOC．
【詳解】解： ∠AOB=∠COD=90°，
∠AOC=∠BOD， 又∠AOD=108°，
∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，
∠BOC=90°-18°=72°．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是角的和差，兩銳角的互余，掌握以上知識是解題的關鍵．
題型10 三線八角的識別
判斷同位角、內錯角、同旁內角時，需要弄清它們是由哪兩條直線被第三條直線所截而成的.具有上述關系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線就是被截的兩條直線.
1．（2022·廣西賀州·中考真題）如圖，直線a，b被直線c所截，下列各組角是同位角的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】B
【分析】兩條線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關系的角稱為同位角，據此作答即可．
【詳解】解：∠1與∠2是對頂角，選項A不符合題意；
∠1與∠3是同位角，選項B符合題意；
∠2與∠3是內錯角，選項C不符合題意；
∠3與∠4是鄰補角，選項D不符合題意；
故選：B．
【點睛】此題考查了同位角、內錯角、同旁內角，熟記同位角、內錯角、同旁內角的定義是解題的關鍵．
2．（2024·廣東佛山·一模）兩條直線被第三條直線所截，形成了常說的“三線八角”，為了便于記憶，同學們可用雙手表示“三線八角”（兩大拇指代表被截直線，兩只食指在同一直線上代表截線），如圖，它們構成的一對角可以看成（ ）
A．同位角 B．同旁內角 C．內錯角 D．對頂角
【答案】A
【分析】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角的識別，兩條線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關系的角稱為同位角；兩個角分別在截線的異側，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關系的一對角互為內錯角；兩個角都在截線的同一側，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關系的一對角互為同旁內角，據此作答即可．
【詳解】解：根據同位角、內錯角、同旁內角的概念，
可知它們構成的一對角可以看成是同位角，
故選：A．
3．（2023昭平縣一模）如圖，下列結論中錯誤的是（ ）
A．與是同位角 B．與是內錯角
C．與是同旁內角 D．與是內錯角
【答案】B
【分析】根據同位角、內錯角、同旁內角的定義依次判斷即可解答.
【詳解】A. 與是同位角，該結論正確，故不符合題意.
B. 與既不是同位角，也不是內錯角，也不是同旁內角，該結論錯誤，故符合題意.
C. 與是同旁內角，該結論正確，故不符合題意.
D. 與是內錯角，該結論正確，故不符合題意.
故選：B
【點睛】本題主要考查了同位角、內錯角、同旁內角的定義，掌握相關定義是解題的關鍵.
命題點二 平行線的性質與判定
題型01 利用平行線的判定進行證明
1．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，點D在的邊上，經過邊的中點E，且．求證．
【答案】見詳解
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質以及平行線的判定，根據題意得，即可證明，有成立，根據平行線的判定即可證明結論．
【詳解】證明：∵點E為邊的中點，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
2．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，于點C，且，點E是邊上一點，，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，平行線的判定，直接根據已知證明，得到，即可證明．
【詳解】證明：在和中，
∴，
∴，
∴．
3．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，點，在線段上，且．
請從①；②；③中．選擇一個合適的選項作為已知條件，使得．
你添加的條件是：__________（只填寫一個序號）．
添加條件后，請證明．
【答案】①（或②）
【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質及平行線的判定，解答的關鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質并靈活運用．利用全等三角形的判定定理進行分析，選取合適的條件進行求解，再根據全等三角形的性質及平行線的判定證明即可．
【詳解】解：可選取①或②（只選一個即可），
證明：當選取①時，
在與中，
，
，
，
，
，
，
在與中，
，
，
，
；
證明：當選取②時，
在與中，
，
，
，，
，
，
在與中，
，
，
，
；
故答案為：①（或②）
題型02 根據平行線的性質求解
解題方法：運用平行線的性質計算角的度數，要正確地辨認同位角、內錯角、同旁內角，同時結合平行線的性質及其他有關角的性質、定義進行計算.
1．（2024·廣東·中考真題）如圖，一把直尺、兩個含的三角尺拼接在一起，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質．熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
由題意知，，根據，求解作答即可．
【詳解】解：由題意知，，
∴，
故選：C．
2．（2024·福建·中考真題）在同一平面內，將直尺、含角的三角尺和木工角尺（ ）按如圖方式擺放，若 ，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質，由 ，可得，即可求解．
【詳解】∵ ，
∴，
∵ ，則，
∴，
故選：A．
3．（2024·四川涼山·中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點在的延長線上，當時，的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查平行線的性質，三角形的外角的性質，掌握平行線的性質，是解題的關鍵．證明，再利用，進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∵，
∴，
∴；
故選B．
4．（2024·江蘇鹽城·中考真題）小明將一塊直角三角板擺放在直尺上，如圖，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了平行線的性質，根據平行線的性質得到，再利用平角的定義即可求出的度數.
【詳解】解：如圖，
∵，
∴，
∴，
故選：B
5．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，直線，等邊三角形的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查平行線的性質、等邊三角形的性質，根據平行線的性質可得，從而可得，再根據等邊三角形的性質可得，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
即，
∵是等邊三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故選：B．
題型03 平行線的形狀在生活中的應用
解題方法：在平行線的性質在實際生活中的應用中，需正確地辨認同位角、內錯角、同旁內角，從而得到相等或互補的角，解決這類問題，在準確理解題意的同時，還需將實際問題轉化為數學問題.
1．（2023·四川綿陽·中考真題）光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此當光線從水中射向空氣時，要發生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質，根據“兩直線平行，同旁內角互補”和“兩直線平行，同位角相等”即可得到結論．
【詳解】解：水面和杯底互相平行，
，
∵，
．
水中的兩條光線平行，
．
故選：B．
2．（2024景德鎮市模擬）如圖是一盞可調節臺燈及其示意圖．固定支撐桿垂直底座于點，與是分別可繞點和旋轉的調節桿，臺燈燈罩可繞點旋轉調節光線角度，在調節過程中，最外側光線、組成的始終保持不變．現調節臺燈，使外側光線，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，如圖所示，過點A作，過點B作，則，由得到，則，進而得到，再根據平行線的性質得到，由此即可得到．正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖所示，過點A作，過點B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個平面鏡的鏡面與平行，入射光線與反射光線平行．若入射光線與鏡面的夾角，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查平行線的性質，先根據反射角等于入射角求出的度數，再求出的度數，最后根據平行線的性質得出即可．能靈活運用平行線的性質定理推理是解題的關鍵．
【詳解】解：∵入射角等于反射角，，
∴，
∴，
∵入射光線與反射光線平行，
∴．
故選：B．
4．（2024株洲市模擬）如圖，一條平行于凹透鏡主光軸的光線（其中，為凹透鏡的兩個虛焦點），是入射光線經凹透鏡折射后的光線，連接，若，則的度數為 度．（注：折射光線的反向延長線經過虛焦點）
【答案】20
【分析】由折射光線的反向延長線經過虛焦點得到，根據平行線的性質，即可求解，
本題考查了，平行線的性質，解題的關鍵是：得到．
【詳解】解：根據題意得：，
∵，
∴，
∴，
故答案為：20．
5．（2023定州市模擬）【數學抽象】實驗證明：平面鏡反射光線的規律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖①，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與平面鏡a所夾的銳角相等，即．
(1)利用這個規律人們制作了潛望鏡，圖②是潛望鏡工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡，請解釋進入潛望鏡的光線m為什么和離開潛望鏡的光線n是平行的？
(2)如圖③，改變兩平面鏡之間的位置關系，經過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關系會隨之改變．若入射光線m與反射光線n平行但方向相反，則兩平面鏡的夾角為多少度？
【答案】(1)見解析；
(2)
【分析】（1）根據平行線的性質及等量代換、平角的概念即可得證；
（2）根據平行線的性質、平角的概念及等量代換即可求得答案．
【詳解】（1）證明：由題可知，，，
∵，
∴，
∴ ，
∵，，
∴，
∴；
（2），
由題可知，，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴.
【點睛】本題考查了平行線的性質、平角的概念，能夠將實際問題轉化為我們所學的數學知識是解題的關鍵．
題型04 根據平行線性質與判定求角度
1．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，直線，矩形的頂點A在直線b上，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查矩形的性質，平行線的判定和性質，過點作，得到，推出，進行求解即可．
【詳解】解：∵矩形，
∴，
過點作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故選C．
2．（2024·海南·中考真題）如圖，直線，把一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式放置，點B在直線n上，，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行線的性質求角的度數．如圖，過點C作直線平行于直線m，易得，根據平行線的性質可得，由可求出的度數，再由平行線的性質可得的度數．
【詳解】解：如圖，過點C作直線平行于直線m，
∵直線，
∴，
∴，，
由題意可得，
∴，
∴，
故選：D．
3．（2023·山東泰安·中考真題）把一塊直角三角板和一把直尺如圖放置，若，則的度數等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖所示，過點O作，則，由平行線的性質得到，進而推出，由此即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，過點O作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選B．

【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，正確作出輔助線是解題的關鍵．
4．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖所示的“箭頭”圖形中，，，，則圖中的度數是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延長交于點，延長交于點，過點作的平行線，根據平行線的性質即可解答．
【詳解】解：如圖，延長交于點，延長交于點，過點作的平行線，
，
，，
，
，
，，
，
故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的判定及性質，三角形外角的定義和性質，作出正確的輔助線是解題的關鍵．
題型05 根據平行線性質與判定證明
1．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在中，，．
(1)求證：；
(2)若，平分，請直接寫出的形狀．
【答案】(1)見解析
(2)是等腰直角三角形．
【分析】本題考查了平行線的判定和性質，等腰直角三角形的判定．
（1）由平行證明，由等量代換得到，利用平行線的判定“內錯角相等，兩直線平行”證明，即可證明；
（2）利用平行線的性質結合角平分線的定義求得，，據此即可得到是等腰直角三角形．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
2．（2023·湖北武漢·中考真題）如圖，在四邊形中，，點在的延長線上，連接．

(1)求證：；
(2)若平分，直接寫出的形狀．
【答案】(1)見解析
(2)等邊三角形
【分析】（1）由平行線的性質得到，已知則，可判定即可得到；
（2）由，得到，由平分，得到，進一步可得，即可證明是等邊三角形．
【詳解】（1）證明：，
∴，
，
．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形
【點睛】此題考查了平行線的判定和性質、等邊三角形的判定、三角形內角和定理、角平分線的定義等知識，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．
3．（2022·湖北武漢·中考真題）如圖，在四邊形中，，．
(1)求的度數；
(2)平分交于點，．求證：．
【答案】(1)
(2)詳見解析
【分析】（1）根據兩直線平行，同旁內角互補，即可求解；
（2）根據平分，可得．再由，可得．即可求證．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）證明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定和性質定理是解題的關鍵
4．（2023昆山市模擬）如圖，在中，D為上一點，E為中點，連接并延長至點F，使得，連．
(1)求證：
(2)若，求的度數．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）求出，根據全等三角形的性質得出，根據平行線的判定得出即可；
（2）根據（1）求出，根據三角形內角和定理求出即可．
本題考查了全等三角形的性質和判定、平行線的性質和判定、三角形內角和定理等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．
【詳解】（1）證明：為中點，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．第四章 三角形
第15講 幾何圖形的初步
（思維導圖+5考點+2命題點15種題型（含4種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 直線，射線，線段
考點二 角
考點三 相交線
考點四 相交線中的角
考點五 平行線的性質與判定
04題型精研·考向洞悉
命題點一 幾何圖形的初步
題型01 從不同方向看幾何體
題型02 由幾何體展開圖計算表面積、體積
題型03 正方體的展開圖
題型04 平面圖形旋轉所得的立體圖形
題型05 指出現實問題后的數學依據
題型06 與線段中點有關的計算
題型07 方向角
題型08 與角平分線有關的計算
題型09 與余角、補角、對頂角、鄰補角有關的計算
題型10 三線八角的識別
命題點二 平行線的性質與判定
題型01 利用平行線的判定進行證明
題型02 根據平行線的性質求解
題型03 平行線的形狀在生活中的應用
題型04 根據平行線性質與判定求角度
題型05 根據平行線性質與判定證明
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
直線和線段 ★ 會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點的意義.
鐘面角和角的換算 ★ 理解角、余角、補角的概念，能比較角的大小; 認識度、分、秒等角的度量單位，能進行簡單的單位換算，會計算角的和、差； 探索并掌握同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的補角相等的性質
余角與補角 ★★
角平分線 ★★
相交線 ★★ 理解對頂角、垂線、垂線段等概念； 探索并掌握對頂角相等的性質；識別同位角、內錯角、同旁內角.
平行線 ★★★ 理解平行線的概念； 探索并證明平行線的判定定理和性質定理.
【考情分析】初中幾何包括立體幾何和平面幾何兩部分，本專題是所有幾何內容的基礎，包括立體幾何部分常考的展開與折疊，平面幾何部分的角的和、差、倍、分的計算，平行線與相交線等內容.在中考數學中屬于基礎考點，年年都會考查，分值為8分左右，預計2025年各地中考還將出現，試題形式以選擇題、填空題為主，難度不大，常集合多個知識點進行考查. 【備考建議】該專題主要考察平行線的性質和判定、方位角、角度的大小等知識，這些知識點考查較容易，另外平行線的性質可能在綜合題中出現，考查學生綜合能力，比如：作平行的輔助線，構造特殊四邊形，此類題目有一定難度，需要學生靈活掌握．對本專題的復習也直接影響后續對其他幾何圖形的學習，需要考生細心對待.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 直線，射線，線段
1、線段
定義：直線上兩點和它們之間的部分叫做線段，這兩個點叫做線段的端點.
【補充】線段的長度可以度量，所以能夠比較線段的長短，而且線段的長度是非負數.
注意：線段沒有方向，但線段的延長線和反向延長線是有方向的，如“線段AB的延長線”和“線段BA的延長線”表示的方向是不同的.（延長線一般用虛線表示）.
2、射線
定義：直線上一點和它一側的部分叫射線，這個點叫射線的端點.
【易錯點】
1）表示射線時端點一定在左邊，而且不能度量，因此射線BA和射線AB是不同的射線.
2）因為射線可以向一個方向無限延伸，所以射線沒有延長線，但它有反向延長線.
3、有關直線的基本事實：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線，簡述為兩點確定一條直線.
4、線段的性質
兩點的距離：連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離.它是線段的長度，是數量.
線段基本性質：兩點的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點之間，線段最短.
1．（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
2．（2024·貴州銅仁·一模）如圖，田亮同學用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發現剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，能正確解釋這一現象的數學知識是（ ）
A．兩點確定一條直線 B．經過一點有無數條直線
C．經過兩點，有且僅有一條直線 D．兩點之間，線段最短
3．（2022·浙江金華·中考真題）如圖，圓柱的底面直徑為，高為，一只螞蟻在C處，沿圓柱的側面爬到B處，現將圓柱側面沿“剪開”，在側面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·山東臨沂·中考真題）如圖，，位于數軸上原點兩側，且．若點表示的數是6，則點表示的數是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
5．（2024·河北·模擬預測）如圖，下列給出的直線，射線，線段能相交的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
考點二 角
角的度量單位：度、分、秒是常用的角的度量單位，
1）把一個周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，記為1°；
2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，記為1″；
3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，記為1′.
角的換算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″，
1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°
角的換算方法：
1）由度化為分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″；
2）由分、秒化為度的形式（即由低位向高位化）：，.
【注意】
1）在進行度、分、秒運算時，由低級單位向高級單位轉化或由高級單位向低級單位轉化要逐步進行.
2）在計算兩個角的和或差時，要將度與度、分與分、秒與秒分別相加減，分、秒相加時，逢60要進位，相減時要借1作60.
3）兩個角的和或兩個角的差，仍然是一個角；兩個角的和或差的度數，就是它們度數的和或差.
1．（2023·山東臨沂·中考真題）下圖中用量角器測得的度數是（ ）
A． B． C． D．
2．（20-21七年級上·北京海淀·期末）如圖，用三角板比較與的大小，其中正確的是（　　）
A． B． C． D．不能確定
3．（2023·河北·中考真題）淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，則淇淇家位于西柏坡的（ ）

A．南偏西方向 B．南偏東方向
C．北偏西方向 D．北偏東方向
4．（2024·廣西·中考真題）如圖，2時整，鐘表的時針和分針所成的銳角為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南岳陽·中考真題）如圖，①在上分別截取線段，使；②分別以為圓心，以大于的長為半徑畫弧，在內兩弧交于點；③作射線．若，則 ．

考點三 相交線
直線的位置關系：在同一平面內不重合的兩條直線之間的位置關系只有兩種：相交或平行.
垂線的性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.如圖，點P與直線m上的各點連線中，線段PO最短.
點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.
【注意】
1）垂線段是一個幾何圖形，而點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數量，容易出現概念混淆的錯誤；
2）過直線外一點和直線上各點的線段有無數條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.
1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，斑馬線的作用是為了引導行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現的數學依據是（ ）
A．垂線段最短
B．兩點確定一條直線
C．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
2．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，推動水桶，以點O為支點，使其向右傾斜．若在點A處分別施加推力、，則的力臂大于的力臂．這一判斷過程體現的數學依據是（ ）
A．垂線段最短
B．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C．兩點確定一條直線
D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
3．（2024·河北唐山·二模）如圖，同一平面內，直線 m和直線n 的位置關系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
4．（2023·北京·模擬預測）如圖，，垂足為E，則下面的結論中，不正確的是（ ）
A．點C到的垂線段是線段 B．與互相垂直
C．與互相垂直 D．線段的長度是點D到的距離
5．（2023·浙江杭州·三模）如圖，點P是直線l外一點，A，O，B，C在直線l上，且，其中，則點P到直線l的距離可能是（　　）

A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
考點四 相交線中的角
1.對頂角與鄰補角
種類 圖形 頂點 邊的關系 大小關系
對頂角 有公共頂點 一個角的兩邊分別是另一角的兩邊的反向延長線 ∠1=∠2，∠3=∠4
鄰補角 有公共頂點 兩個角有一條公共邊，且它們的另一邊互為反向延長線. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°
2.同位角、內錯角、同旁內角
角的名稱 位置特征 基本圖形 圖形結構特征
同位角 在截線的同側，在被截兩條直線同側 形如字母“F”
內錯角 在截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間 形如字母“Z”
同旁內角 在截線的同側，在被截兩條直線之間 形如字母“U”
【補充】如圖，兩條直線a、b被第三條直線c所截，構成8個角，簡稱為“三線八角”，其中共有4對同位角，2對內錯角，2對同旁內角.
3、余角和補角的性質
余角的性質：同角（等角）的余角相等；
補角的性質：同角（等角）的補角相等；
1．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，直線，點在直線上，射線交直線于點，則圖中與互補的角有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（2024·吉林長春·中考真題）在剪紙活動中，小花同學想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則的大小為（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·青海·中考真題）如圖，直線，相交于點O，，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
4．（2022·青海·中考真題）數學課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（ ）
A．同旁內角、同位角、內錯角
B．同位角、內錯角、對頂角
C．對頂角、同位角、同旁內角
D．同位角、內錯角、同旁內角
5．（2024·廣西·中考真題）已知與為對頂角，，則 °．
考點五 平行線的性質與判定
平行線的判定與性質的區別
條件 結論 作用
判定 同位角相等 兩直線平行 由角的數量關系確定直線的位置關系
內錯角相等 兩直線平行
同旁內角互補 兩直線平行
性質 兩直線平行 同位角相等 由直線位置關系得到角的數量關系
兩直線平行 內錯角相等
兩直線平行 同旁內角互補
【總結】從角的關系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補關系，是平行線的性質.
【注意】在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補的結論.這是平行線特有的性質不要一提同位角或內錯角就認為它們相等，一提同旁內角就認為互補，若沒有兩直線平行的條件，這些是不成立的.
平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.
性質：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；
2）平行線間的距離處處相等.
1．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小明在地圖上量得，由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據是（ ）
A．同位角相等，兩直線平行 B．內錯角相等，兩直線平行
C．同旁內角互補，兩直線平行 D．對頂角相等
2．（2023·山東臨沂·中考真題）在同一平面內，過直線外一點作的垂線，再過作的垂線，則直線與的位置關系是（ ）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能確定
3．（2022·內蒙古鄂爾多斯·中考真題）下列尺規作圖不能得到平行線的是（　　）
A．B．C． D．
4．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖，直線，且直線a，b被直線c，d所截，則下列條件不能判定直線的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·貴州貴陽·模擬預測）如圖，在探索直線平行的條件時，將木條a，c固定，使，轉動木條b，當 時，木條a與木條b平行．
04題型精研·考向洞悉
命題點一 幾何圖形的初步
題型01 從不同方向看幾何體
1．（2023·湖南·中考真題）作為中國非物質文化遺產之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，下面四幅圖是從左面看到的圖形的是（　　）
A．B．C． D．
2．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）從正面，左面，上面觀察由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的形狀圖（如圖所示），則搭成這個幾何體的小正方體的個數是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
28．（2024深圳市三模）北宋時期的汝官窯天藍釉刻花鵝頸瓶是河南博物院九大鎮院之寶之一，具有極高的歷史價值、文化價值．如圖所示，關于它的從正面、左面、上面三個不同的方向觀察看到的平面圖形，下列說法正確的是（ ）
A．從正面看與從左面看到的圖形相同 B．從正面看與從上面看到的圖形相同
C．從左面看與從上面看到的圖形相同 D．從正面、左面、上面看到的圖形都相同
29．（2024·河南商丘·三模）如圖是從上面看到的由個小立方塊所搭成的幾何體的形狀圖，小正方形中的數字表示該位置小立方塊的個數，從左面看該幾何體的形狀圖是（ ）
A．B．C． D．
題型02 由幾何體展開圖計算表面積、體積
1．（2023·江蘇無錫·中考真題）若直三棱柱的上下底面為正三角形，側面展開圖是邊長為的正方形，則該直三棱柱的表面積為 ．
2．（2020·湖南懷化·中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中所示數據求得這個幾何體的側面積是 （結果保留）．
3．（2022·貴州貴陽·三模）如圖，把一個高9dm的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后把圓柱切開，拼成一個與它等底等高的近似長方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了．原來這個圓柱的體積是 ．
4．（2021·遼寧撫順·一模）某工廠要加工一批上下底密封紙盒，設計者給出了密封紙盒的三視圖，如圖1．
（1）由三視圖可知，密封紙盒的形狀是__________；
（2）根據該幾何體的三視圖，在圖2中補全它的表面展開圖；
（3）請你根據圖1中數據，計算這個密封紙盒的表面積．（結果保留根號）
題型03 正方體的展開圖
一個正方體的展開圖共有11種
1-4-1 2-3-1 2-2-2與3-3 口訣
1）“一四一”、“一三二”，“一”在同層可任意， 2）“三個二”成階梯， 3）“二個三”“日”相連，異層必有“日”. 4） “一線超過四”“凹” “田”“L型”棄之.
6種 3種 2種
1．（2024·江西·中考真題）如圖是的正方形網格，選擇一空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖的方法有（ ）
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
2．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖是正方體表面展開圖．將其折疊成正方體后，距頂點A最遠的點是（ ）
A．B點 B．C點 C．D點 D．E點
3．（2023·江蘇南京·二模）如圖，將左圖的正方形紙盒切去一角得到下圖，下列選項中，不能作為紙盒剩余部分的展開圖的是（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·江蘇鹽城·中考真題）正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種平面展開圖，那么在原正方體中，與“鹽”字所在面相對的面上的漢字是（ ）
A．濕 B．地 C．之 D．都
5．（2023·山東青島·中考真題）一個不透明小立方塊的六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數字之和最小是（　　）

A．31 B．32 C．33 D．34
6．（2023·山東青島·二模）如圖的正方體紙盒，只有三個面上印有圖案，下面四個平面圖形中，經過折疊能圍成此正方體紙盒的是（ ）
A． B． C． D．
題型04 平面圖形旋轉所得的立體圖形
1．（2024·陜西·中考真題）如圖，將半圓繞直徑所在的虛線旋轉一周，得到的立體圖形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，將矩形繞著它的一邊所在的直線l旋轉一周，可以得到的立體圖形是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·廣東中山·三模）如圖，在中，，，，將繞所在直線旋轉一周所得到的幾何體的表面積是 ．
4．（2024·陜西渭南·二模）如圖，將平面圖形甲、乙分別繞軸l、m旋轉一周，可以得到立體圖形①、②，圖形甲是直角邊分別為a、2a的直角三角形，圖形乙是邊長為a的正方形．
(1)立體圖形①的名稱是_______；
(2)請問立體圖形②比立體圖形①的體積大多少？(用含a和π的式子表示，
題型05 指出現實問題后的數學依據
1．（2024·吉林·二模）臺灣省，簡稱“臺”，是中華人民共和國省級行政區，省會為臺北市．在地圖上如果把城市看作一點，下列城市與臺北市之間的距離最大的是（ ）
A．吉林市 B．西安市 C．海口市 D．福州市
2．（2023·北京海淀·一模）在一條沿直線鋪設的電纜兩側有甲、乙兩個小區，現要求在上選取一點P，向兩個小區鋪設電纜．下面四種鋪設方案中，使用電纜材料最少的是（ ）
A． B．C．D．
3．（2022·河北·二模）下列能用“垂線段最短”來解釋的現象是（ ）
A．B．C． D．
4．（2024·吉林·中考真題）如圖，從長春站去往勝利公園，與其它道路相比，走人民大街路程最近，其蘊含的數學道理是 ．

5．（2024·吉林松原·模擬預測）建筑工人在砌墻時，經常在兩個墻角的位置分別立一根木樁，在兩根木樁之間拉一根線，沿著這條線就可以砌出直的墻，則其中的數學依據是 ．
6．（2022·浙江溫州·三模）如圖，在墻面上安裝某一管道需經兩次拐彎，拐彎后的管道與拐彎前的管道平行．若第一個彎道處，則第二個彎道處∠C也為140°，能解釋這一現象的數學知識是（ ）
A．兩直線平行，內錯角相等． B．內錯角相等，兩直線平行．
C．兩直線平行，同位角相等． D．同位角相等，兩直線平行．
題型06 與線段中點有關的計算
1．（2023·寧夏·中考真題）如圖，點，，在數軸上，點表示的數是，點是的中點，線段，則點表示的數是 ．

51．（2023花都區零模）已知數軸上三點表示的數分別為，動點從點出發，沿數軸向右運動．在運動過程中，點始終為的中點，點始終為的中點，點在從點運動到點的過程中，則線段的長度為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
52．（2024·河北滄州·模擬預測）A，B，C，D四個車站的位置如圖所示．求：
(1)A，D兩站的距離；
(2)C，D兩站的距離；
(3)若，C為的中點，求b的值．
題型07 方向角
1．（2024·河南·中考真題）如圖，乙地在甲地的北偏東方向上，則∠1的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山東東營·中考真題）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為 km．
3．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，PA，PB表示以P為起點的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34，公路PB的走向是南偏東56，則這兩條公路的夾角∠APB＝ °．
4．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的A處． 記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的B處． 記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東方向．
請你根據以上信息解決下列問題：
(1)填空：________，________， ________海里；
(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異常”區，請計算說明．
（參考數據：）
題型08 與角平分線有關的計算
1．（2024·四川·中考真題）如圖，，平分，，則（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·四川德陽·中考真題）如圖，直線，直線l分別交，于點M，N，的平分線交于點F，，則（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，點O在直線上，是的平分線，若，則的度數為 ．

4．（2021·陜西西安·模擬預測）問題探究
（1）如圖①，已知點P為的內心，，則________．
（2）如圖②，已知中，和分別是和外角的角平分線，，請把的值用表示出來，寫出必要過程．
問題解決
（3）如圖③，有一塊三角形花壇，且周長為40.為了改善和美化環境，市政工程處對其改造方案進行優化，以O為原點，、所在直線為坐標軸建立直角坐標系，點，改造后的花壇為四邊形，其中保持原來的周長不變，點P在的外角的平分線上試探究是否存在最大值？若存在，請求出其最大值；若不存在，請說明理由．（結果保留根號）
題型09 與余角、補角、對頂角、鄰補角有關的計算
1．（2024·甘肅·中考真題）若，則的補角為（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肅武威·中考真題）若，則的余角的大小是（　　）
A．50° B．60° C．140° D．160°
3．（2023·河南·中考真題）如圖，直線，相交于點O，若，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·重慶·中考真題）如圖，，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
5．（2020·黑龍江大慶·中考真題）將兩個三角尺的直角頂點重合為如圖所示的位置，若，則 ．
題型10 三線八角的識別
判斷同位角、內錯角、同旁內角時，需要弄清它們是由哪兩條直線被第三條直線所截而成的.具有上述關系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線就是被截的兩條直線.
1．（2022·廣西賀州·中考真題）如圖，直線a，b被直線c所截，下列各組角是同位角的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
2．（2024·廣東佛山·一模）兩條直線被第三條直線所截，形成了常說的“三線八角”，為了便于記憶，同學們可用雙手表示“三線八角”（兩大拇指代表被截直線，兩只食指在同一直線上代表截線），如圖，它們構成的一對角可以看成（ ）
A．同位角 B．同旁內角 C．內錯角 D．對頂角
3．（2023昭平縣一模）如圖，下列結論中錯誤的是（ ）
A．與是同位角 B．與是內錯角
C．與是同旁內角 D．與是內錯角
命題點二 平行線的性質與判定
題型01 利用平行線的判定進行證明
1．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，點D在的邊上，經過邊的中點E，且．求證．
2．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，于點C，且，點E是邊上一點，，求證：．
3．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，點，在線段上，且．
請從①；②；③中．選擇一個合適的選項作為已知條件，使得．
你添加的條件是：__________（只填寫一個序號）．
添加條件后，請證明．
題型02 根據平行線的性質求解
解題方法：運用平行線的性質計算角的度數，要正確地辨認同位角、內錯角、同旁內角，同時結合平行線的性質及其他有關角的性質、定義進行計算.
1．（2024·廣東·中考真題）如圖，一把直尺、兩個含的三角尺拼接在一起，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建·中考真題）在同一平面內，將直尺、含角的三角尺和木工角尺（ ）按如圖方式擺放，若 ，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川涼山·中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點在的延長線上，當時，的度數為（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·江蘇鹽城·中考真題）小明將一塊直角三角板擺放在直尺上，如圖，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，直線，等邊三角形的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
題型03 平行線的形狀在生活中的應用
解題方法：在平行線的性質在實際生活中的應用中，需正確地辨認同位角、內錯角、同旁內角，從而得到相等或互補的角，解決這類問題，在準確理解題意的同時，還需將實際問題轉化為數學問題.
1．（2023·四川綿陽·中考真題）光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此當光線從水中射向空氣時，要發生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024景德鎮市模擬）如圖是一盞可調節臺燈及其示意圖．固定支撐桿垂直底座于點，與是分別可繞點和旋轉的調節桿，臺燈燈罩可繞點旋轉調節光線角度，在調節過程中，最外側光線、組成的始終保持不變．現調節臺燈，使外側光線，，若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個平面鏡的鏡面與平行，入射光線與反射光線平行．若入射光線與鏡面的夾角，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024株洲市模擬）如圖，一條平行于凹透鏡主光軸的光線（其中，為凹透鏡的兩個虛焦點），是入射光線經凹透鏡折射后的光線，連接，若，則的度數為 度．（注：折射光線的反向延長線經過虛焦點）
5．（2023定州市模擬）【數學抽象】實驗證明：平面鏡反射光線的規律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖①，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與平面鏡a所夾的銳角相等，即．
(1)利用這個規律人們制作了潛望鏡，圖②是潛望鏡工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡，請解釋進入潛望鏡的光線m為什么和離開潛望鏡的光線n是平行的？
(2)如圖③，改變兩平面鏡之間的位置關系，經過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關系會隨之改變．若入射光線m與反射光線n平行但方向相反，則兩平面鏡的夾角為多少度？
題型04 根據平行線性質與判定求角度
1．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，直線，矩形的頂點A在直線b上，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·海南·中考真題）如圖，直線，把一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式放置，點B在直線n上，，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山東泰安·中考真題）把一塊直角三角板和一把直尺如圖放置，若，則的度數等于（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖所示的“箭頭”圖形中，，，，則圖中的度數是（　　）

A． B． C． D．
題型05 根據平行線性質與判定證明
1．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在中，，．
(1)求證：；
(2)若，平分，請直接寫出的形狀．
2．（2023·湖北武漢·中考真題）如圖，在四邊形中，，點在的延長線上，連接．

(1)求證：；
(2)若平分，直接寫出的形狀．
3．（2022·湖北武漢·中考真題）如圖，在四邊形中，，．
(1)求的度數；
(2)平分交于點，．求證：．
4．（2023昆山市模擬）如圖，在中，D為上一點，E為中點，連接并延長至點F，使得，連．
(1)求證：
(2)若，求的度數．

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