資源簡介

第四章 三角形
第22講 銳角三角函數及其應用
（思維導圖+3考點+2命題點20種題型（含5種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 銳角三角函數
考點二 解直角三角形
考點三 解直角三角形的應用
04題型精研·考向洞悉
命題點一 銳角三角函數
題型01 理解銳角三角函數的概念
題型02 求角的三角函數值
題型03 由三角函數求邊長
題型04 由特殊角的三角函數值求解
題型05 特殊角三角函數值的混合運算
題型06 根據特殊角三角函數值求角的度數
題型07 已知角度比較三角函數值的大小
題型08 利用同角的三角函數求解
題型09 利用互余兩角的三角函數關系求解
題型10 三角函數綜合
題型11 在平面直角坐標系中求銳角三角函數值
題型12 特殊角三角函數值的另類應用
題型13 在網格中求銳角三角函數值
命題點二 解直角三角形
題型01 解直角三角形的相關計算
題型02 構造直角三角形求不規則圖形的邊長或面積
題型03 運用解直角三角形的知識解決視角相關問題
題型04 運用解直角三角形的知識解決方向角相關問題
題型05 運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關問題
題型06 運用解直角三角形的知識解決實際問題
題型07 運用解直角三角形的知識解決實際問題（新考法/新情境）
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
三角函數值的確定 ★★ 探索并認識銳角三角函數(sin A, cos A，tan A)； 知道30°,45°,60°角的三角函數值； 會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角.
特殊角的三角函數值 ★
解直角三角形 ★★ 能用銳角三角函數解直角三角形.
解直角三角形的應用 ★★ 能用相關知識解決一些簡單的實際問題.
【考情分析】銳角三角函數值的考查多以選擇題、填空題為主，解題的一般過程是構造直角三角形，確定相應的邊長，利用定義求相應的三角函數值，試題難度中等，解題關鍵是正確添加輔助線，確定合適的直角三角形. 【命題預測】銳角三角函數及其應用是數學中考中比較重要的考點，其考察內容主要包括：①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數值，③解直角三角形與其應用等. 出題時除了會單獨出題以外，還常和四邊形、圓、網格圖形等結合考察，是近幾年中考填空壓軸題常考題型. 預計2025年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構造直角三角形，是得分的關鍵.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 銳角三角函數
1.正弦、余弦、正切
正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做
∠A的正弦，記作sin A，即；
余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做
∠A的余弦，記作cos A，即；
正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tan A，則
【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中進行定義的，本質是兩條線段的比，因此沒有單位，只與角的大小有關，而與直角三角形的邊長無關.
2）根據定義求三角函數值時，一定根據題目圖形來理解，嚴格按照三角函數的定義求解，有時需要通過輔助線來構造直角三角形.
3）表示，可以寫成，不能寫成(正弦、余弦相同).
2. 銳角三角函數
銳角三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數．（其中：0＜∠A＜90°）
取值范圍：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角邊一定比斜邊短，故有如下結論：，，.
增減變化：當0°＜∠A＜90°，sin A，tan A隨∠A的增大而增大，cos A隨∠A的增大而減小.
【補充】利用銳角三角函數值的增減變化規律可比較銳角的大小.
3. 特殊角的三角函數值
利用三角函數的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數值，如下表所示：
三角函數值 特殊角
30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
4. 銳角三角函數的關系：
在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關系：
1）同角三角函數的關系：
① 平方關系：；
② 商數關系：.
2) 互余兩角的三角函數關系：
① 互余關系：
sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.
sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一個銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.
② 倒數關系：
1．（2024云南真題）在中，，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇蘇州·一模）化簡等于（ ）
A． B．0
C． D．以上都不對
3．（2023·湖北黃石·中考真題）計算： ．
4．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，，點D在邊AB上，連接CD．若，，則 ．

考點二 解直角三角形
1. 解直角三角形
定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．
在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關系：
1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B.
2）三邊之間的關系：（勾股定理）.
3）兩銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°.
4）邊角之間的關系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = .
【補充】三角函數是連接邊與角的橋梁.
5）面積公式（h為斜邊上的高）.
2. 解直角三角形的常見類型
已知條件 解法步驟 圖示
兩 邊 斜邊和一直角邊(如c，a) ，∠B=90°－∠A，
兩直角邊(如a，b) ，∠B=90°－∠A，
一 邊 一 角 斜邊和一銳角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ，
一直角邊和一銳角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A，
另一直角邊和一銳角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A，
【注意】已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定.
【總結】在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一條邊)，可求出其余的三個未知元素(知二求三).
【已知一邊一角的記憶口訣】有斜求對用正弦，有斜求鄰用余弦，無斜求對(鄰)用正切.
1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在中，，，則的長是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
2．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，的周長為，正六邊形內接于．則的面積為（ ）

A．4 B． C．6 D．
3．（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長為，且有一個內角為，則該菱形的高為 ．
4．（2023·青海西寧·中考真題）在中，，，，則的長約為 ．（結果精確到．參考數據：，，）
5．（2024·浙江·中考真題）如圖，在中，，是邊上的中線，．
(1)求的長；
(2)求的值．
考點三 解直角三角形的應用
1）仰角、俯角
視角：視線與水平線的夾角叫做視角．
仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．
俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．
【注意】仰角和俯角是相對于水平線而言的，在不同的位置觀測，仰角和俯角是不同的.
2）坡度、坡角
坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作.
坡角：坡面與水平面的夾角α叫做坡角.
【注意】坡度與坡角是兩個不同的概念，坡角是兩個面的夾角，坡度(用字母i表示)是比；兩者之壓間的關系是，坡角越大，坡度越大.
3）方位角、方向角
方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
4）解直角三角形實際應用的一般步驟
①弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；
②將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；當有些圖形不是直角三角形時，可適當添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形.
③選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；
④得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．
【常見類型】航海、建橋修路、測量樓高、塔高等.
1．（2024·四川·中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔100海里的處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的南偏東方向上的處．這時，處距離處有多遠？（參考數據：，，）
2．（2024·江蘇南通·中考真題）社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為，，則旗桿的高度為 m．
3．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結果精確到米）（參考數據：）

04題型精研·考向洞悉
命題點一 銳角三角函數
題型01 理解銳角三角函數的概念
1．（2024廣州市模擬）在中，，各邊都擴大2倍，則銳角A的三角函數值（ ）
A．擴大2倍 B．不變 C．縮小 D．擴大
2．（2024宣化區一模）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為，敘述正確的是（　　）
A．的值越大，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡
D．陡緩程度與的函數值無關
3．（2022·吉林長春·中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，垂直地面，垂足為點D，，垂足為點C．設，下列關系式正確的是（ ）
A． B． C． D．
題型02 求角的三角函數值
求銳角的三角函數值時，先確定銳角在哪個直角三角形中,，若已知三邊，則直接利用定義求解；如果已知兩邊，則利用勾股定理求出第三邊，然后利用定義求解.
1．（2024·浙江寧波·一模）如圖，在中，，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川內江·中考真題）在中，的對邊分別為a、b、c，且滿足，則的值為 ．
3．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線分別交邊于點E、F．若，，則 ．
4．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，中，，為上一點，以為直徑的與相切于點，交于點，，垂足為．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
5．（2022·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，已知為的直徑，點為外一點，，連接，是的垂直平分線，交于點，垂足為點，連接、，且．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的值．
6．（2024·甘肅·中考真題）如圖，是的直徑，，點E在的延長線上，且．
(1)求證：是的切線；
(2)當的半徑為2，時，求的值．
題型03 由三角函數求邊長
1．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，矩形的頂點在反比例函數的圖像上，頂點在第一象限，對角線軸，交軸于點．若矩形的面積是6，，則 ．

2．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知內接于，是的直徑，的平分線交于點，過點作，交的延長線于點，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的直徑．
3．（2022·廣西貴港·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于點E，O為AC上一點，經過點A、E的⊙O分別交AB、AC于點D、F，連接OD交AE于點M．

(1)求證：BC是⊙O的切線．
(2)若CF＝2，sinC＝，求AE的長．
4．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，內接于，，過點A作，交的直徑的延長線于點E，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求和的長．
5．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖1，拋物線經過點，與y軸交于點，點E為第一象限內拋物線上一動點．
　　
(1)求拋物線的解析式．
(2)直線與x軸交于點A，與y軸交于點D，過點E作直線軸，交于點F，連接．當時，求點E的橫坐標．
(3)如圖2，點N為x軸正半軸上一點，與交于點M．若，，求點E的坐標．
題型04 由特殊角的三角函數值求解
1．（2023·山東日照·模擬預測）在實數中，有理數的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（2024·湖南·模擬預測）我國是最早使用負數的國家，在數據，，0，，，中是負數的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．（2023·湖南益陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，有三點，，，則（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·山東青島·一模）計算： ．
5．（2023·浙江寧波·模擬預測）平面直角坐標系中，點與點 關于軸對稱，如果函數的圖象經過點，那么 ．
6．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）化簡求值： 其中
題型05 特殊角三角函數值的混合運算
有關特殊角的三角函數值的計算是一類重要題型，解這類問題時，要熟記30°、45°60°角的三種三角函數值，并能準確地把值代入算式，結合實數的運算順序及運算法則進行相關計算.
1．（2024·湖南長沙·中考真題）計算：．
2．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）計算：．
3．（2023·四川德陽·中考真題）計算：
題型06 根據特殊角三角函數值求角的度數
1．（2022·遼寧朝陽·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，將線段DC繞點D按逆時針方向旋轉，當點C的對應點E恰好落在邊AB上時，圖中陰影部分的面積是 ．
2．（2024·湖北·中考真題）如圖，在中，，點在上，以為直徑的經過上的點，與交于點，且．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
3．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖1，將兩個寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形．
(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)已知矩形紙條寬度為，將矩形紙條旋轉至如圖2位置時，四邊形的面積為，求此時直線所夾銳角的度數．
4．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，正比例函數與反比例函數的圖象交于點，將正比例函數圖象向下平移個單位后，與反比例函數圖象在第一、三象限交于點B，C，與x軸，y軸交于點D，E，且滿足．過點B作軸，垂足為點F，G為x軸上一點，直線與關于直線成軸對稱，連接．
(1)求反比例函數的表達式；
(2)求n的值及的面積．
題型07 已知角度比較三角函數值的大小
1．（2020·湖南婁底·中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個杠桿，動力臂，阻力臂，如果動力F的用力方向始終保持豎直向下，當阻力不變時，則杠桿向下運動時的動力變化情況是（ ）

A．越來越小 B．不變 C．越來越大 D．無法確定
2．（2023·上海靜安·一模）如果，那么與的差（ ）．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定
3．（21-22九年級上·上海靜安·期末）如果銳角A的度數是25°，那么下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·四川成都·模擬預測）比較大小： （填“”“”）．
題型08 利用同角的三角函數求解
1．（2023·湖南婁底·中考真題）我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數學九章》一書中，給出了這樣的一個結論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江寧波·模擬預測）第二十四屆國際數學家大會會徽的設計基礎是1700多年前中國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（，，，）和中間一個小正方形拼成的大正方形中，連接．設，，正方形和正方形的面積分別為和，若，則 ．
3．（2024·山東·模擬預測）（1）計算：；（參考公式：）
（2）已知a、b是一元二次方程的兩個實根，求的S值．
4．（2024·山西晉城·二模）如圖，在矩形中，，，為邊上一點，連接，過點作，垂足為，交邊于點，連接．若，則線段的長為 ．
題型09 利用互余兩角的三角函數關系求解
1．（2021·湖南婁底·中考真題）高速公路上有一種標線叫縱向減速標線，外號叫魚骨線，作用是為了提醒駕駛員在開車時減速慢行．如圖，用平行四邊形表示一個“魚骨”，平行于車輛前行方向，，過B作的垂線，垂足為（A點的視覺錯覺點），若，則 ．
2．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，為半圓O的直徑，C為上一點，連接，．請用尺規作圖法，在直徑上求作一點D，使：．（保留作圖痕跡，不寫作法）
3．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作業中得到如下結果：
，
，
，
，
．
據此，嘉嘉猜想：對于任意銳角，，若，均有．
(1)當，時，驗證是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結合如圖所示給予證明，其中所對的邊為，所對的邊為，斜邊為；若不成立，請舉出一個反例；
(3)利用上面的證明方法，直接寫出與，之間的關系．
題型10 三角函數綜合
1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線上，且點A的橫坐標為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經過點A，另一條直角邊與直線交于點B，當點C在x軸上移動時，線段的最小值為 ．
2．（2024·四川成都·中考真題）數學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質．已知三角形紙片和中，，，．
【初步感知】
（1）如圖1，連接，，在紙片繞點旋轉過程中，試探究的值．
【深入探究】
（2）如圖2，在紙片繞點旋轉過程中，當點恰好落在的中線的延長線上時，延長交于點，求的長．
【拓展延伸】
（3）在紙片繞點旋轉過程中，試探究，，三點能否構成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形的面積；若不能，請說明理由．
題型11 在平面直角坐標系中求銳角三角函數值
1．（2024·上海·中考真題）在平面直角坐標系中，反比例函數（k為常數且）上有一點，且與直線交于另一點．

(1)求k與m的值；
(2)過點A作直線軸與直線交于點C，求的值．
2．（2022·遼寧·中考真題）如圖，拋物線交x軸于點和，交y軸于點C．
(1)求拋物線的表達式；
(2)D是直線上方拋物線上一動點，連接交于點N，當的值最大時，求點D的坐標；
(3)P為拋物線上一點，連接，過點P作交拋物線對稱軸于點Q，當時，請直接寫出點P的橫坐標．
3．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線：與軸交于A，B兩點（點在點的左側），其頂點為，是拋物線第四象限上一點．
(1)求線段的長；
(2)當時，若的面積與的面積相等，求的值；
(3)延長交軸于點，當時，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個定點．若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．
4．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于點，（在的左邊），與軸相交于點，已知、，，是y軸上的動點（位于點下方），過點的直線l垂直于y軸，與拋物線相交于兩點、（在的左邊），與直線交于點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖1，四邊形是正方形，連接，的面積為，正方形的面積為，求的取值范圍；
(3)如圖2，以點為圓心，為半徑作．
①動點在上，連接，請直接寫出的最小值為 ；
②點是y軸上的一動點，連接，當的值最大時，請直接寫出的坐標．
5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，點O為平面直角坐標系的坐標原點，直線 交x軸于點A，交y軸于點 C，點B在x軸負半軸上，連接， ．
(1)如圖1，求直線 的解析式；
(2)如圖1，點P在線段上，點Q在線段上，，點P的橫坐標為t，過點Q作 軸交于點 D，連接， 的面積為S，求S與t之間的函數關系式（不需要寫出自變量t的取值范圍）；
(3)如圖2，在（2）的條件下，過點P作交于點E，過點D作 于點G，交于點F，連接交y軸于點M，連接， 求點 F的坐標．
題型12 特殊角三角函數值的另類應用
1．（2023·湖南婁底·一模）同學們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則 ．
2．（2022·黑龍江綏化·中考真題）定義一種運算；，．例如：當，時， ，則的值為 ．
3．（2023·湖南婁底·一模）定義一種運算：，例如：當，時，，則的值為(　　)
A． B． C． D．
4．（2023九年級下·全國·專題練習）一般地，當，為任意角時，，，與的值可以用下面的公式求得：
；
；
；
．
例如：．
類似地，求：
(1)的值．
(2)的值．
(3)的值提示：對于鈍角，定義它的三角函數值如下：，．
題型13 在網格中求銳角三角函數值
1．（2020·湖北荊州·中考真題）如圖，在 正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，點A，B，C均在網格交點上，⊙O是的外接圓，則的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北武漢·中考真題）由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O=60°，則tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在的正方形網格圖中，已知點A、B、C、D、O均在格點上，其中A、B、D又在上，點E是線段與的交點．則的正切值為 ．
4．（2024茅箭區二模）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，則 ．
5．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，四邊形的頂點均在網格的格點上．
(1)求的值．
(2)操作與計算：用尺規作圖法過點C作，垂足為E，并直接寫出的長．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）
命題點二 解直角三角形
題型01 解直角三角形的相關計算
1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形中，，點，分別在邊，上．連接，將四邊形沿翻折，點，分別落在點，處．則的值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在菱形中，，是的中點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形的對角線與交于點，于點，延長與交于點．若，，則點到的距離為 ．
4．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，為的內接三角形，為的直徑，將沿直線翻折到，點在上．連接，交于點，延長，，兩線相交于點，過點作的切線交于點．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)若，．求的值．
5．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點是坐標原點，點在函數的圖象上．將直線沿軸向上平移，平移后的直線與軸交于點，與函數的圖象交于點．若，則點的坐標是（　　）
A． B． C． D．
題型02 構造直角三角形求不規則圖形的邊長或面積
1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．
證明：如圖1，過點作于點，則：在中， CD=asinB，在中， ，根據上面的材料解決下列問題：
(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；
(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境．如圖3，規劃中的一片三角形區域需美化，已知，，米，求這片區域的面積．（結果保留根號．參考數據：，
2．（2022·山東濟寧·中考真題）知識再現：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．
∵，∴，∴
(1)拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．請探究，，之間的關系，并寫出探究過程．
(2)解決問題：如圖3，為測量點A到河對岸點B的距離，選取與點A在河岸同一側的點C，測得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請用拓展探究中的結論，求點A到點B的距離．
3．（2022·江蘇蘇州·一模）【理解概念】
定義：如果三角形有兩個內角的差為，那么這樣的三角形叫做“準直角三角形”．
(1)已知△ABC是“準直角三角形”，且．
①若，則______；
②若，則______；
【鞏固新知】(2)如圖①，在中，，點D在邊上，若是“準直角三角形”，求的長；
【解決問題】(3)如圖②，在四邊形中，，且是“準直角三角形”，求的面積．
4．（2023·安徽·二模）如圖，已知：是的直徑，點C在圓上，，，點C、E分別在兩側，且E為半圓的中點．
(1)求的面積；
(2)求的長．
5（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，已知拋物線：與x軸交于A，D兩點，，點A在直線l：上．
(1)求拋物線的解析式；
(2)將拋物線沿x軸翻折后得到拋物線，與直線l交于A，B兩點，點P是拋物線上A，B之間的一個動點（不與點A、B重合），于M，軸交于N，求的最大值．
6．（2024·湖北武漢·一模）【問題提出】在等腰中，為中點，以D為頂點作，角的兩邊分別交于點，連接，試探究點D到線段的距離．
【問題探究】
（1）先將問題特殊化，如圖2，當點E和A重合時，直接寫出D到線段的距離（用含的式子表示）；
（2）再探究一般情形，如圖1，證明（1）中的結論仍然成立；
【問題拓展】如圖3，在等腰中，為中點，以D為頂點作，角的兩邊分別交直線于點，連接．若，直接寫出的值（用含的式子表示）．
題型03 運用解直角三角形的知識解決視角相關問題
1）實際問題中已知視角的度數求邊長時，應先根據題意畫出直角三角形，求出這個角的三角函數值，再利用三角函數的定義求得相應邊長.
2）利用三角函數求實際問題中視角的度數時，應先根據題意畫出直角三角形，并根據已知條件求出這個角的三角函數值，再求出角的度數.
1．（2024·河北·中考真題）中國的探月工程激發了同學們對太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離，仰角為；淇淇向前走了后到達點D，透過點P恰好看到月亮，仰角為，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面的距離，點P到的距離，的延長線交于點E．（注：圖中所有點均在同一平面）
(1)求的大小及的值；
(2)求的長及的值．
2．（2024·河南·中考真題）如圖1，塑像在底座上，點D是人眼所在的位置．當點B高于人的水平視線時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大．數學家研究發現：當經過A，B兩點的圓與水平視線相切時（如圖2），在切點P處感覺看到的塑像最大，此時為最大視角．
(1)請僅就圖2的情形證明．
(2)經測量，最大視角為，在點P處看塑像頂部點A的仰角為，點P到塑像的水平距離為．求塑像的高（結果精確到．參考數據：）．
3．（2024·甘肅·中考真題）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現碳達峰、2060年前實現碳中和．甘肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速．某學習小組成員查閱資料得知，在風力發電機組中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設計參數．于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動．如圖，已知一風電塔筒垂直于地面，測角儀，在兩側，，點C與點E相距 （點C，H，E在同一條直線上），在D處測得簡尖頂點A的仰角為，在F處測得筒尖頂點A的仰角為．求風電塔筒的高度．（參考數據：，，．）
4．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）綜合實踐活動中，數學興趣小組利用無人機測量大樓的高度．如圖，無人機在離地面40米的處，測得操控者的俯角為，測得樓樓頂處的俯角為，又經過人工測量得到操控者和大樓之間的水平距離是80米，則樓的高度是多少米？（點都在同一平面內，參考數據：）
題型04 運用解直角三角形的知識解決方向角相關問題
方向角問題應結合實際問題抽象出示意圖并構造三角形，還要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果這些元素不在同一個三角形中或者在同一個斜三角形中，需要添加輔助線.在解題的過程中，有時需要設未知數，通過構造方程(組)來求解.
1．（2024·重慶·中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發，分別向，兩港運送物資，最后到達港正東方向的港裝運新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達港，再沿北偏東方向航行一定距離到達港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達港，再沿南偏東方向航行一定距離到達港．（參考數據：，，）
(1)求，兩港之間的距離（結果保留小數點后一位）；
(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達港？請通過計算說明．
2．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，海中有一個小島C，某漁船在海中的A點測得小島C位于東北方向上，該漁船由西向東航行一段時間后到達B點，測得小島C位于北偏西方向上，再沿北偏東方向繼續航行一段時間后到達D點，這時測得小島C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D間的距離（計算過程中的數據不取近似值）．
3．（2023·遼寧丹東·中考真題）一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時，測得燈塔B在它北偏東方向上，繼續向東航行到達C港，此時測得燈塔B在它北偏西方向上，求輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離．（結果精確到）（參考數據：，，，，，）．

題型05 運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關問題
解決這類問題時，要利用已知角度構造直角三角形，在直角三角形中求解.
1．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測量電線塔高度的實踐活動．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測得電線塔頂部的仰角為，在處測得電線塔頂部的仰角為．
(1)求點離水平地面的高度．
(2)求電線塔的高度（結果保留根號）．
2．（2023·湖北恩施·中考真題）小王同學學習了銳角三角函數后，通過觀察廣場的臺階與信號塔之間的相對位置，他認為利用臺階的可測數據與在點，處測出點的仰角度數，可以求出信號塔的高．如圖，的長為，高為．他在點處測得點的仰角為，在點處測得點的仰角為，在同一平面內．你認為小王同學能求出信號塔的高嗎？若能，請求出信號塔的高；若不能，請說明理由．（參考數據：，，，結果保留整數）
3．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩長為，坡度i為，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高的鐵塔．小明欲測量山高，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角為．求堤壩高及山高．（，，，小明身高忽略不計，結果精確到）

4．（2023·四川自貢·中考真題）為測量學校后山高度，數學興趣小組活動過程如下：

(1)測量坡角
如圖1，后山一側有三段相對平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長度可以直接測量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大小．
如圖2，同學們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細線系小重物G，當直桿與鉛垂線重合時，測得兩桿夾角的度數，由此可得山坡AB坡角的度數．請直接寫出之間的數量關系．
(2)測量山高
同學們測得山坡的坡長依次為40米，50米，40米，坡角依次為；為求，小熠同學在作業本上畫了一個含角的（如圖3），量得．求山高．（，結果精確到1米）
(3)測量改進
由于測量工作量較大，同學們圍繞如何優化測量進行了深入探究，有了以下新的測量方法．

如圖4，5，在學校操場上，將直桿NP置于的頂端，當與鉛垂線重合時，轉動直桿，使點N，P，D共線，測得的度數，從而得到山頂仰角，向后山方向前進40米，采用相同方式，測得山頂仰角；畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高MN為米，求山高．（結果用不含的字母表示）
題型06 運用解直角三角形的知識解決實際問題
1．（2024·福建·中考真題）無動力帆船是借助風力前行的．下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風對帆的作用力為．根據物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據此，建立數學模型：，則 ．（單位：）（參考數據：）
2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調節支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動桿可繞點A旋轉，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．
(1)如圖②，當活動桿處于水平狀態時，求可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）；
(2)如圖③，當活動桿繞點A由水平狀態按逆時針方向旋轉角度，且（為銳角），求此時可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）．
3．（2024·山東濟南·中考真題）城市軌道交通發展迅猛，為市民出行帶來極大方便，某校“綜合實踐”小組想測得輕軌高架站的相關距離，數據勘測組通過勘測得到了如下記錄表：
綜合實踐活動記錄表
活動內容 測量輕軌高架站的相關距離
測量工具 測傾器，紅外測距儀等
過程資料 相關數據及說明：圖中點，在同平面內，房頂，吊頂和地面所在的直線都平行，點在與地面垂直的中軸線上，，．
成果梳理 ……
請根據記錄表提供的信息完成下列問題：
(1)求點到地面的距離；
(2)求頂部線段的長．（結果精確到，參考數據：，，，）
4．（2024·四川樂山·中考真題）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：
平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．
仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？
詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很直）
(1)如圖1，請你根據詞意計算秋千繩索的長度；
(2)如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據上述條件能否求出秋千繩索的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．
題型07 運用解直角三角形的知識解決實際問題（新考法/新情境）
1．（2024·廣東·中考真題）中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作出了巨大貢獻．為滿足新能源汽車的充電需求，某小區增設了充電站，如圖是矩形充電站的平面示意圖，矩形是其中一個停車位．經測量，，，，，是另一個車位的寬，所有車位的長寬相同，按圖示并列劃定．

根據以上信息回答下列問題：（結果精確到，參考數據）
(1)求的長；
(2)該充電站有20個停車位，求的長．
2．（2024·貴州·中考真題）綜合與實踐：小星學習解直角三角形知識后，結合光的折射規律進行了如下綜合性學習．
【實驗操作】
第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內壁的夾角為；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中點E處時，停止注水．（直線為法線，為入射光線，為折射光線．）
【測量數據】
如圖，點A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面內，測得，，折射角．
【問題解決】
根據以上實驗操作和測量的數據，解答下列問題：
(1)求的長；
(2)求B，D之間的距離（結果精確到0.1cm）．
（參考數據：，，）
3．（2024·四川成都·中考真題）中國古代運用“土圭之法”判別四季．夏至時日影最短，冬至時日影最長，春分和秋分時日影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數．某地學生運用此法進行實踐探索，如圖，在示意圖中，產生日影的桿子垂直于地面，長8尺．在夏至時，桿子在太陽光線照射下產生的日影為；在冬至時，桿子在太陽光線照射下產生的日影為．已知，，求春分和秋分時日影長度．（結果精確到0.1尺；參考數據：，，，，，）

4（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質發生折射時，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質中傳播時，介質對光作用的一種特征．
(1)若光從真空射入某介質，入射角為，折射角為，且，，求該介質的折射率；
(2)現有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質，如圖①所示，點A，B，C，D分別是長方體棱的中點，若光線經真空從矩形對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出．如圖②，已知，，求截面的面積．
5．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，某人的一器官后面處長了一個新生物，現需檢測到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測技術，檢測射線可避開器官從側面測量．某醫療小組制定方案，通過醫療儀器的測量獲得相關數據，并利用數據計算出新生物到皮膚的距離．方案如下：
課題 檢測新生物到皮膚的距離
工具 醫療儀器等
示意圖
說明 如圖2，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為．
測量數據 ，，
請你根據上表中的測量數據，計算新生物處到皮膚的距離．（結果精確到）（參考數據：，，，，，）
6．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數學家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關研究．數學興趣小組也類比進行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城的邊長為，南門設立在邊的正中央，游樂城南側有一條東西走向的道路，在上（門寬及門與道路間距離忽略不計），東側有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測得雕塑在北偏東方向上，在處測得雕塑在北偏東方向上．
(1)__________，__________；
(2)求點到道路的距離；
(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路向東行走，求她離處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結果精確到，參考數據：，，，，）第四章 三角形
第22講 銳角三角函數及其應用
（思維導圖+3考點+2命題點20種題型（含5種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 銳角三角函數
考點二 解直角三角形
考點三 解直角三角形的應用
04題型精研·考向洞悉
命題點一 銳角三角函數
題型01 理解銳角三角函數的概念
題型02 求角的三角函數值
題型03 由三角函數求邊長
題型04 由特殊角的三角函數值求解
題型05 特殊角三角函數值的混合運算
題型06 根據特殊角三角函數值求角的度數
題型07 已知角度比較三角函數值的大小
題型08 利用同角的三角函數求解
題型09 利用互余兩角的三角函數關系求解
題型10 三角函數綜合
題型11 在平面直角坐標系中求銳角三角函數值
題型12 特殊角三角函數值的另類應用
題型13 在網格中求銳角三角函數值
命題點二 解直角三角形
題型01 解直角三角形的相關計算
題型02 構造直角三角形求不規則圖形的邊長或面積
題型03 運用解直角三角形的知識解決視角相關問題
題型04 運用解直角三角形的知識解決方向角相關問題
題型05 運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關問題
題型06 運用解直角三角形的知識解決實際問題
題型07 運用解直角三角形的知識解決實際問題（新考法/新情境）
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
三角函數值的確定 ★★ 探索并認識銳角三角函數(sin A, cos A，tan A)； 知道30°,45°,60°角的三角函數值； 會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角.
特殊角的三角函數值 ★
解直角三角形 ★★ 能用銳角三角函數解直角三角形.
解直角三角形的應用 ★★ 能用相關知識解決一些簡單的實際問題.
【考情分析】銳角三角函數值的考查多以選擇題、填空題為主，解題的一般過程是構造直角三角形，確定相應的邊長，利用定義求相應的三角函數值，試題難度中等，解題關鍵是正確添加輔助線，確定合適的直角三角形. 【命題預測】銳角三角函數及其應用是數學中考中比較重要的考點，其考察內容主要包括：①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數值，③解直角三角形與其應用等. 出題時除了會單獨出題以外，還常和四邊形、圓、網格圖形等結合考察，是近幾年中考填空壓軸題常考題型. 預計2025年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構造直角三角形，是得分的關鍵.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 銳角三角函數
1.正弦、余弦、正切
正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做
∠A的正弦，記作sin A，即；
余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做
∠A的余弦，記作cos A，即；
正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tan A，則
【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中進行定義的，本質是兩條線段的比，因此沒有單位，只與角的大小有關，而與直角三角形的邊長無關.
2）根據定義求三角函數值時，一定根據題目圖形來理解，嚴格按照三角函數的定義求解，有時需要通過輔助線來構造直角三角形.
3）表示，可以寫成，不能寫成(正弦、余弦相同).
2. 銳角三角函數
銳角三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數．（其中：0＜∠A＜90°）
取值范圍：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角邊一定比斜邊短，故有如下結論：，，.
增減變化：當0°＜∠A＜90°，sin A，tan A隨∠A的增大而增大，cos A隨∠A的增大而減小.
【補充】利用銳角三角函數值的增減變化規律可比較銳角的大小.
3. 特殊角的三角函數值
利用三角函數的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數值，如下表所示：
三角函數值 特殊角
30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
4. 銳角三角函數的關系：
在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關系：
1）同角三角函數的關系：
① 平方關系：；
② 商數關系：.
2) 互余兩角的三角函數關系：
① 互余關系：
sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.
sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一個銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.
② 倒數關系：
1．（2024云南真題）在中，，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據三角函數的定義求解即可．
【詳解】解：∵在中，，，，
∴ ，
故選：B．
【點睛】本題考查了正切的定義，解題關鍵是理解三角函數的定義．
2．（2023·江蘇蘇州·一模）化簡等于（ ）
A． B．0
C． D．以上都不對
【答案】C
【分析】根據二次根式的性質得出，然后化為同名三角函數，根據三角函數的增減性化簡即可求解．
【詳解】解： ，
∵，
∴原式，
故選：C．
【點睛】本題考查了三角函數關系，掌握三角函數的增減性是解題的關鍵．
3．（2023·湖北黃石·中考真題）計算： ．
【答案】9
【分析】先計算零次冪、負整數指數冪和特殊角的三角函數值，再計算乘法，最后計算加減．
【詳解】解：
，
故答案為：9．
【點睛】此題考查了實數的混合運算能力，解題的關鍵是能準確確定運算順序，并能進行正確地計算．
4．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，，點D在邊AB上，連接CD．若，，則 ．

【答案】/
【分析】由題意可設，則，，在中求得，在中求出答案即可．
【詳解】解： ，，
設，則，，
在中，由勾股定理得：，
在中，．
【點睛】本題考查的是求銳角三角函數，解題關鍵是根據比值設未知數，表示出邊長從而求出銳角三角函數值．
考點二 解直角三角形
1. 解直角三角形
定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．
在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關系：
1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B.
2）三邊之間的關系：（勾股定理）.
3）兩銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°.
4）邊角之間的關系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = .
【補充】三角函數是連接邊與角的橋梁.
5）面積公式（h為斜邊上的高）.
2. 解直角三角形的常見類型
已知條件 解法步驟 圖示
兩 邊 斜邊和一直角邊(如c，a) ，∠B=90°－∠A，
兩直角邊(如a，b) ，∠B=90°－∠A，
一 邊 一 角 斜邊和一銳角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ，
一直角邊和一銳角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A，
另一直角邊和一銳角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A，
【注意】已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定.
【總結】在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一條邊)，可求出其余的三個未知元素(知二求三).
【已知一邊一角的記憶口訣】有斜求對用正弦，有斜求鄰用余弦，無斜求對(鄰)用正切.
1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在中，，，則的長是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質，勾股定理．正確作出輔助線是解題關鍵．過點A作于點D．由等腰三角形三線合一的性質得出．根據，可求出，最后根據勾股定理可求出，即得出．
【詳解】解：如圖，過點A作于點D．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故選B．
2．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，的周長為，正六邊形內接于．則的面積為（ ）

A．4 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質，解直角三角形是正確解答的關鍵．
根據正六邊形的性質以及解直角三角形進行計算即可．
【詳解】解：設半徑為，由題意得，，
解得，
∵六邊形是的內接正六邊形，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，
∴弦所對應的弦心距為，
∴．
故選：B．
3．（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長為，且有一個內角為，則該菱形的高為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是菱形的性質，銳角的正弦的含義，先畫圖，求解，過作于，結合可得答案．
【詳解】解：如圖，菱形的周長為，
∴，
過作于，而，
∴，
故答案為：
4．（2023·青海西寧·中考真題）在中，，，，則的長約為 ．（結果精確到．參考數據：，，）
【答案】
【分析】根據銳角三角函數的定義進行計算即可．
【詳解】解：在中，，，，

∵,
∴，
則，
故選：
【點睛】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
5．（2024·浙江·中考真題）如圖，在中，，是邊上的中線，．
(1)求的長；
(2)求的值．
【答案】(1)14
(2)
【分析】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，分別解與，得出，是解題的關鍵．
（1）先由三角形的高的定義得出，再利用得出；在，根據勾股定理求出，然后根據即可求解．
（2）先由三角形的中線的定義求出的值，則，然后在中根據正弦函數的定義即可求解．
【詳解】（1）解：在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）∵是邊上的中線，
∴，
∴，
∴，
∴．
考點三 解直角三角形的應用
1）仰角、俯角
視角：視線與水平線的夾角叫做視角．
仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．
俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．
【注意】仰角和俯角是相對于水平線而言的，在不同的位置觀測，仰角和俯角是不同的.
2）坡度、坡角
坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作.
坡角：坡面與水平面的夾角α叫做坡角.
【注意】坡度與坡角是兩個不同的概念，坡角是兩個面的夾角，坡度(用字母i表示)是比；兩者之壓間的關系是，坡角越大，坡度越大.
3）方位角、方向角
方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
4）解直角三角形實際應用的一般步驟
①弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；
②將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；當有些圖形不是直角三角形時，可適當添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形.
③選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；
④得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．
【常見類型】航海、建橋修路、測量樓高、塔高等.
1．（2024·四川·中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔100海里的處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的南偏東方向上的處．這時，處距離處有多遠？（參考數據：，，）
【答案】處距離處有140海里．
【分析】本題考查了解直角三角形的應用方向角問題．過作于，解直角三角形即可得到結論．
【詳解】解：過作于，
在中，，海里，
（海里），
（海里），
在中，，
（海里），
（海里），
答：處距離處有140海里．
2．（2024·江蘇南通·中考真題）社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為，，則旗桿的高度為 m．
【答案】
【分析】本題考查解直角三角形的應用，直接利用銳角三角函數，求出的值即可．
【詳解】解：由題意：，
∴；
故答案為：．
3．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結果精確到米）（參考數據：）

【答案】斜坡的長約為10米
【分析】過點作于點，在中，利用正弦函數求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：過點作于點，則四邊形是矩形，
在中，，
．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
答：斜坡的長約為10米．
【點睛】此題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
04題型精研·考向洞悉
命題點一 銳角三角函數
題型01 理解銳角三角函數的概念
1．（2024廣州市模擬）在中，，各邊都擴大2倍，則銳角A的三角函數值（ ）
A．擴大2倍 B．不變 C．縮小 D．擴大
【答案】B
【分析】本題考查的是銳角三角函數的定義，三角形相似的判定和性質，解題的關鍵是掌握銳角三角函數的定義，三角形相似的判定和性質，根據三角形相似的判定，可以確定各邊擴大后的三角形與原三角形相似，再根據相似三角形的性質可知銳角A的度數不變，所以銳角A對應的三角函數值就不變．
【詳解】解：因為各邊擴大后的三角形與原三角形相似，銳角A的度數不變，銳角A對應的三角函數值就不變．
故選：B．
2．（2024宣化區一模）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為，敘述正確的是（　　）
A．的值越大，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡
D．陡緩程度與的函數值無關
【答案】A
【分析】根據三角函數定義與性質，值越大越大；值越小越大；值越大越大，從而判斷出答案．
本題考查三角函數定義與性質，熟記“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解決問題的關鍵．
【詳解】解：A、的值越大，梯子越陡，故A符合題意；
B、的值越小，梯子越陡，故B不符合題意；
C、的值越大，梯子越陡，故C不符合題意；
D、陡緩程度與的三角函數值有關，故D不符合題意．
故選：A．
3．（2022·吉林長春·中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，垂直地面，垂足為點D，，垂足為點C．設，下列關系式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據正弦三角函數的定義判斷即可．
【詳解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了正弦三角函數的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對邊與斜邊之比叫做∠A的正弦，記作sin∠A．掌握正弦三角函數的定義是解答本題的關鍵．
題型02 求角的三角函數值
求銳角的三角函數值時，先確定銳角在哪個直角三角形中,，若已知三邊，則直接利用定義求解；如果已知兩邊，則利用勾股定理求出第三邊，然后利用定義求解.
1．（2024·浙江寧波·一模）如圖，在中，，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了銳角三角函數的定義，勾股定理，互余兩角三角函數的關系等知識點，能熟記銳角三角函數的定義是解此題的關鍵；根據銳角三角函數的定義得出，設，，根據勾股定理求出，再根據銳角三角函數的定義求出答案即可．
【詳解】解：，
設，，
由勾股定理得：，
．
故選：B．
2．（2023·四川內江·中考真題）在中，的對邊分別為a、b、c，且滿足，則的值為 ．
【答案】/
【分析】由，可得，求解，證明，再利用正弦的定義求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術平方根，絕對值，偶次方的非負性，勾股定理的逆定理的應用，銳角的正弦的含義，證明是解本題的關鍵．
3．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線分別交邊于點E、F．若，，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查三角形相似的判定和性質以及勾股定理，熟練掌握三角形的判定和性質是解題的關鍵．設與相交于點，證明，根據相似的性質進行計算即可；
【詳解】解：的垂直平分線分別交邊于點E、F．
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
令，
，
解得或（舍去），
．
故答案為：．
4．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，中，，為上一點，以為直徑的與相切于點，交于點，，垂足為．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，設 ，，根據已知條件以及直徑所對的圓周角相等，證明，進而求得，即可證明是的切線；
（2）根據已知條件結合（1）的結論可得四邊形是正方形，進而求得的長，根據，，即可求解．
【詳解】（1）如圖，連接，
，
則，
設 ，，
，
，
為的直徑，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
為的半徑，
是的切線；
（2）如圖，連接，
是的切線，則，又，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
在中，，，
，
，
由（1）可得，
，
，
，
解得 ．
【點睛】本題考查了切線的性質與判定，正方形的性質與判定，等腰三角形的性質，正弦的定義，掌握切線的性質與判定是解題的關鍵．
5．（2022·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，已知為的直徑，點為外一點，，連接，是的垂直平分線，交于點，垂足為點，連接、，且．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性質可得由線段垂直平分線的性質可得由可得證明AD//OC，從而可得結論；
（2）連接AF，由線段垂直平分線的性質可得再由勾股定理求出相關線段長即可．
【詳解】（1）∵O為圓心，
∴OA=OB，
∵AC=BC，
∴即∠
∵DF是AC的垂直平分線，
∴
∴∠
∵∠
∴∠
∴
∴∠，即
又AB是圓O的直徑，
∴是的切線；
（2）連接AF，如圖，

由（1）知，
∵∠
∴
∴
在中，
∴
在中，
∴
∴
∴
【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，切線的判定，勾股定理以及求銳角余弦值，熟練運用相關知識解答本題的關鍵
6．（2024·甘肅·中考真題）如圖，是的直徑，，點E在的延長線上，且．
(1)求證：是的切線；
(2)當的半徑為2，時，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，，證明垂直平分，得出，證明，得出，說明，即可證明結論；
（2）根據是的直徑，得出，根據勾股定理求出，根據三角函數定義求出，證明，得出即可．
【詳解】（1）證明：連接，，如圖所示：
∵，
∴，
∵，
∴點O、B在的垂直平分線上，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴是的切線；
（2）解：∵的半徑為2，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，勾股定理，求一個角的正切值，圓周角定理，垂直平分線的判定，平行線的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質．
題型03 由三角函數求邊長
1．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，矩形的頂點在反比例函數的圖像上，頂點在第一象限，對角線軸，交軸于點．若矩形的面積是6，，則 ．

【答案】
【分析】方法一：根據的面積為，得出，，在中，，得出，根據勾股定理求得，根據的幾何意義，即可求解．
方法二：根據已知得出則，即可求解．
【詳解】解：方法一：∵，
∴
設，則，
∴
∵矩形的面積是6，是對角線，
∴的面積為，即
∴
在中，
即
即
解得：
在中，
∵對角線軸，則，
∴,
∵反比例函數圖象在第二象限，
∴，
方法二：∵，
∴
設，則，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質，反比例函數的幾何意義，余弦的定義，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
2．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知內接于，是的直徑，的平分線交于點，過點作，交的延長線于點，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的直徑．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（）連接，由角平分線可得，又由可得，即得，由得，進而可得，即得，即可求證；
（）是的直徑可得，又由（）知，由，，進而可得，再根據，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解；
本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質，切線的判定，圓周角定理，三角函數，掌握圓的有關定理是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：連接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵是的直徑，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即的直徑為．
3．（2022·廣西貴港·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于點E，O為AC上一點，經過點A、E的⊙O分別交AB、AC于點D、F，連接OD交AE于點M．

(1)求證：BC是⊙O的切線．
(2)若CF＝2，sinC＝，求AE的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接OE，方法一：根據角平分線的性質及同弧所對的圓周角是圓心角的一半得出∠OEC＝90°即可；
方法二：根據角平分線的性質和等腰三角形的性質得出∠OEC＝90°即可；
（2）連接EF，根據三角函數求出AB和半徑的長度，再利用三角函數求出AE的長即可．
【詳解】（1）連接OE，

方法一：∵AE平分∠BAC交BC于點E，
∴∠BAC＝2∠OAE，
∵∠FOE＝2∠OAE，
∴∠FOE＝∠BAC，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線；
方法二：∵AE平分∠BAC交BC于點E，
∴∠OAE＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠OEA，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線；
（2）連接EF，

∵CF＝2，sinC＝，
∴，
∵OE＝OF，
∴OE＝OF＝3，
∵OA＝OF＝3，
∴AC＝OA+OF+CF＝8，
∴AB＝AC sinC＝8×＝，
∵∠OAE＝∠BAE，
∴cos∠OAE＝cos∠BAE，
即，
∴，
解得AE＝（舍去負數），
∴AE的長為．
【點睛】本題主要考查切線的判定和三角函數的應用，熟練掌握切線的判定定理和三角函數是解題的關鍵．
4．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，內接于，，過點A作，交的直徑的延長線于點E，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求和的長．
【答案】(1)見解析
(2)，．
【分析】（1）延長交于點F，連接，根據等邊對等角可得，，，，繼而可得是的角平分線，根據等邊三角形“三線合一”的性質可得，由平行線的性質可得，繼而根據切線判定定理即可求證結論；
（2）連接，先求得，利用圓周角定理結合勾股定理求得直徑的長，利用垂徑定理結合勾股定理得到，代入數據計算求得，利用勾股定理可求得的長，證明，利用相似三角形的性質計算即可求得．
【詳解】（1）證明：延長交于點F，連接，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即是的角平分線，
∵，
∴，且平分線段，
∵，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線；
（2）解：連接，
∵是的直徑，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，，
設，
∴，
∴，
解得，即，
∴，
∴，
∴，
設，則，
∵是的切線，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，
∴．
【點睛】本題考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．
5．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖1，拋物線經過點，與y軸交于點，點E為第一象限內拋物線上一動點．
　　
(1)求拋物線的解析式．
(2)直線與x軸交于點A，與y軸交于點D，過點E作直線軸，交于點F，連接．當時，求點E的橫坐標．
(3)如圖2，點N為x軸正半軸上一點，與交于點M．若，，求點E的坐標．
【答案】(1)
(2)或1
(3)或
【分析】（1）利用待定系數法，把已知點坐標代入解析式即可求解函數的解析式；
（2）分別過，向軸作垂線，垂足為，，根據證得 ，從而，設點坐標，分別表示出，坐標，再列方程求解即可；
（3）將平移到，連接，則；過作于，過作軸于，過作交延長線于，延長交軸于，設，則，，，由可得，從而，設由 可得，， ，再求出點坐標為，代入拋物線解析式中即可求得或，從而可得點坐標 ．
【詳解】（1）解：把和代入到解析式中可得
，解得，
拋物線的解析式為：；
（2）直線中，令，則，所以，
直線中，令，則，所以，
分別過，向軸作垂線，垂足為，，

根據題意可得，
軸，軸，
和為直角三角形，
在和中，
，
，
，
設，
則，
，，
從而，，
則有或，
解得（舍去），或，或
故點的橫坐標為：或1；
（3）將平移到，連接，則四邊形為平行四邊形，，過作于，過作軸于，過作交延長線于，延長交軸于，
，
可設，則，
∴，
則，

設，
軸，
，
，
，，，
，，，
，
，，
，
，
，，則，
，，
，
代入拋物線解析式中有：，
解得：或，
當時，，
當時，．
【點睛】本題是二次函數與相似三角形綜合題，考查了待定系數法求二次函數解析式，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正切的定義等知識，解題關鍵是在坐標系中利用等線段構造全等進行計算，構造相似三角形解決問題．
題型04 由特殊角的三角函數值求解
1．（2023·山東日照·模擬預測）在實數中，有理數的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題主要考查零指數冪，特殊角的三角函數值，實數，根據零指數冪，特殊角的三角函數值，實數的意義，即可解答．
【詳解】解：在實數中，有理數是 ，
所以，有理數的個數為2，
故選：B
2．（2024·湖南·模擬預測）我國是最早使用負數的國家，在數據，，0，，，中是負數的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查負數的識別，熟練掌握其定義是解題的關鍵．
小于0的數即為負數，據此即可求得答案．
【詳解】解：，是負數，共2個，
故選：B．
3．（2023·湖南益陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，有三點，，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖，取格點D，連接，，則B在上，由，，，證明，可得．
【詳解】解：如圖，取格點D，連接，，則B在上，

∵，，，
∴，，，
∴，
∴；
故選C
【點睛】本題考查的是坐標與圖形，等腰直角三角形的判定與性質，特殊角的三角函數值，作出合適的輔助線構建直角三角形是解本題的關鍵．
4．（2023·山東青島·一模）計算： ．
【答案】
【分析】本題實數的混合運算，先根據特殊角的三角函數值和二次根式化簡，再計算即可．
【詳解】，
故答案為：．
5．（2023·浙江寧波·模擬預測）平面直角坐標系中，點與點 關于軸對稱，如果函數的圖象經過點，那么 ．
【答案】/
【分析】根據“關于軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數”可知點坐標；代入函數關系式求解．主要考查了待定系數法求反比例函數的解析式和特殊角的三角函數值及坐標系中的對稱點的坐標特點．
【詳解】解：，
點，
∵點與點 關于軸對稱
∴點為，
函數的圖象經過點，
．
故答案為：．
6．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）化簡求值： 其中
【答案】，
【分析】本題考查了分式的化簡求值，特殊角的三角函數值，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
先化簡括號內分式，再將除法運算轉化為乘法運算，根據特殊角的三角函數值求出x，最后代入計算即可．
【詳解】解：原式
，
∵
，
∴原式
．
題型05 特殊角三角函數值的混合運算
有關特殊角的三角函數值的計算是一類重要題型，解這類問題時，要熟記30°、45°60°角的三種三角函數值，并能準確地把值代入算式，結合實數的運算順序及運算法則進行相關計算.
1．（2024·湖南長沙·中考真題）計算：．
【答案】
【分析】本題考查了實數的混合運算，先根據絕對值、零指數冪、負整數指數冪的意義，特殊角的三角函值化簡，再算加減即可．
【詳解】解：原式
．
2．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）計算：．
【答案】
【分析】本題考查實數的混合運算．根據零指數冪，負整數指數冪，特殊角的三角函數值計算即可得出答案．
【詳解】解：
．
3．（2023·四川德陽·中考真題）計算：
【答案】4
【分析】先計算銳角的余弦，負整數指數冪，化簡絕對值，零次冪，算術平方根，再合并即可．
【詳解】解：
．
【點睛】本題考查的是實數的混合運算，負整數指數冪的含義，零次冪的含義，求解算術平方根，特殊角的三角函數值，熟記運算法則與運算順序是解本題的關鍵．
題型06 根據特殊角三角函數值求角的度數
1．（2022·遼寧朝陽·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，將線段DC繞點D按逆時針方向旋轉，當點C的對應點E恰好落在邊AB上時，圖中陰影部分的面積是 ．
【答案】24﹣64π
【分析】由旋轉的性質可得DE＝DC＝4，由銳角三角函數可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的長，分別求出扇形EDC和四邊形DCBE的面積，即可求解．
【詳解】解：∵將線段DC繞點D按逆時針方向旋轉，
∴DE＝DC＝4，
∵cos∠ADE，
∴∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴S扇形EDC4π，
∵AE6，
∴BE＝AB﹣AE＝46，
∴S四邊形DCBE24﹣6，
∴陰影部分的面積＝24﹣64π，
故答案為：24﹣64π．
【點睛】本題考查了旋轉的性質，銳角三角函數，矩形的性質，扇形的面積公式等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．
2．（2024·湖北·中考真題）如圖，在中，，點在上，以為直徑的經過上的點，與交于點，且．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（）連接，可得，得到，即得，即可求證；
（）設的半徑為，則，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，進而得到，最后利用弧長公式即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，則，
，，
，
，
．
是的半徑，
是的切線；
（2）解：設的半徑為，則，
∵，
∴，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
的長為．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，切線的判定，勾股定理，三角函數及弧長公式，求出是解題的關鍵．
3．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖1，將兩個寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形．
(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)已知矩形紙條寬度為，將矩形紙條旋轉至如圖2位置時，四邊形的面積為，求此時直線所夾銳角的度數．
【答案】(1)四邊形是菱形，理由見詳解
(2)
【分析】本題主要考查矩形的性質，菱形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角函數，掌握菱形的判定和性質是解題的關鍵．
（1）根據矩形的性質可得四邊形是平行四邊形，作，可證，可得，由此可證平行四邊形是菱形；
（2）作，根據面積的計算方法可得，結合菱形的性質可得，根據含的直角三角形的性質即可求解．
【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下，
如圖所示，過點作于點，過點作于點，
根據題意，四邊形，四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵寬度相等，即，且，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形；
（2）解：如圖所示，過點作于點，
根據題意，，
∵，
∴，
由（1）可得四邊形是菱形，
∴，
在中，，
即，
∴．
4．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，正比例函數與反比例函數的圖象交于點，將正比例函數圖象向下平移個單位后，與反比例函數圖象在第一、三象限交于點B，C，與x軸，y軸交于點D，E，且滿足．過點B作軸，垂足為點F，G為x軸上一點，直線與關于直線成軸對稱，連接．
(1)求反比例函數的表達式；
(2)求n的值及的面積．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本題考查反比例函數與一次函數的綜合應用：
（1）先求出的值，進而求出反比例函數的解析式即可；
（2）根據平移規則，得到平移后的解析式，聯立兩個解析式，表示出的坐標，過點，作軸的平行線交軸于點,根據，進而求出的值，進而根據對稱性得出，勾股定理求得，進而求得的長，即可求解．
【詳解】（1）解：∵正比例函數與反比例函數的圖象交于點，
∴，
∴，
∴；
∴；
（2）∵
∴
∴
∴
∵將正比例函數圖象向下平移個單位，
∴平移后的解析式為：，
如圖所示，過點，作軸的平行線交軸于點，則，是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
設，則
∴，
∴，
∵，，在上
∴
解得：（負值舍去）
∴，
∴的解析式為，
當時，，則，
∴，，則
∵直線與關于直線成軸對稱，軸，
∴，和是等腰直角三角形，
∴
∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴
∴
題型07 已知角度比較三角函數值的大小
1．（2020·湖南婁底·中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個杠桿，動力臂，阻力臂，如果動力F的用力方向始終保持豎直向下，當阻力不變時，則杠桿向下運動時的動力變化情況是（ ）

A．越來越小 B．不變 C．越來越大 D．無法確定
【答案】A
【分析】根據杠桿原理及的值隨著的減小而增大結合反比例函數的增減性即可求得答案．
【詳解】解：∵動力×動力臂=阻力×阻力臂，
∴當阻力及阻力臂不變時，動力×動力臂為定值，且定值＞0，
∴動力隨著動力臂的增大而減小，
∵杠桿向下運動時的度數越來越小，此時的值越來越大，
又∵動力臂，
∴此時動力臂也越來越大，
∴此時的動力越來越小，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了杠桿原理以及銳角三角函數和反比例函數的增減性，熟練掌握相關知識是解決本題的關鍵．
2．（2023·上海靜安·一模）如果，那么與的差（ ）．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定
【答案】D
【分析】利用銳角三角函數的增減性分類討論，即可得到答案．
【詳解】解：當時，，
，
，
；
當時，，
，
，
；
當，，
，
，
，
綜上所述，與的差不能確定，
故選：D．
【點睛】本題考查了銳角三角函數的增減性，解題關鍵是掌握在之間（不包括和），角度變大，正弦值、正切值也隨之變大，余弦值隨之變小．注意分類討論．
3．（21-22九年級上·上海靜安·期末）如果銳角A的度數是25°，那么下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據“正弦值隨著角度的增大而增大”解答即可．
【詳解】解：∵0°＜25°＜30°
∴
∴．
故選A．
【點睛】本題主要考查了銳角三角形的增減性，當角度在0°~90°間變化時，①正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）；②余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）；③正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）．
4．（2020·四川成都·模擬預測）比較大小： （填“”“”）．
【答案】
【分析】把余弦化成正弦,再通過角度大小比較正弦值的大小即可．
【詳解】∵．
在銳角范圍內，隨的增大而增大，
∴，
∴．
故答案為：＜．
【點睛】本題考查三角函數值的大小比較，利用正弦余弦的關系進行大小比較即可．
題型08 利用同角的三角函數求解
1．（2023·湖南婁底·中考真題）我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數學九章》一書中，給出了這樣的一個結論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題利用三角函數間的關系和面積相等進行變形解題即可．
【詳解】解：∵，，
∴
即，
，
，
故選：A．
【點睛】本題考查等式利用等式的性質解題化簡，熟悉是解題的關鍵．
2．（2024·浙江寧波·模擬預測）第二十四屆國際數學家大會會徽的設計基礎是1700多年前中國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（，，，）和中間一個小正方形拼成的大正方形中，連接．設，，正方形和正方形的面積分別為和，若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查正方形的性質，銳角三角函數等知識．證是關鍵．
設，，則，，，，得出，即，求出和即可解答．
【詳解】
解：設，，則，，，，
∵在中，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，負值舍去，
∴，，
∴；
故答案為：．
3．（2024·山東·模擬預測）（1）計算：；（參考公式：）
（2）已知a、b是一元二次方程的兩個實根，求的S值．
【答案】（1）（2）或
【分析】本題考查特殊角的三角函數值，同角三角函數，解一元二次方程，代數式求值，以及對題干參考公式的理解，解題的關鍵在于熟練掌握相關運算法則，并正確計算．
（1）本題根據，以及將式子變形為，再結合特殊角的三角函數值求解，即可解題；
（2）解一元二次方程得到a、b的值，分別討論當，時，以及當，時，結合特殊角的三角函數值計算求解，即可解題．
【詳解】（1）解：
；
（2）解： a、b是一元二次方程的兩個實根，
，
解得，或，，
當，時，
則
；
當，時，
則
；
4．（2024·山西晉城·二模）如圖，在矩形中，，，為邊上一點，連接，過點作，垂足為，交邊于點，連接．若，則線段的長為 ．
【答案】
【分析】過點作的垂線，交于點，先證明出，計算出的長度，根據同角的三角函數相等，可求得，利用線段關系得到的值，最后通過勾股定理即可求解
【詳解】過點作的垂線，交于點
是矩形
在與中，
故答案為：
【點睛】本題考查了矩形的性質、相似三角形的性質與判定、勾股定理以及三角函數，解題的關鍵在于畫出輔助線
題型09 利用互余兩角的三角函數關系求解
1．（2021·湖南婁底·中考真題）高速公路上有一種標線叫縱向減速標線，外號叫魚骨線，作用是為了提醒駕駛員在開車時減速慢行．如圖，用平行四邊形表示一個“魚骨”，平行于車輛前行方向，，過B作的垂線，垂足為（A點的視覺錯覺點），若，則 ．
【答案】15．
【分析】根據同角的余角相等得到，進一步根據三角函數求解即可．
【詳解】解：如圖所示，
∵且四邊形為平行四邊形，
∴，，
又∵,
∴，
∴，
∴,
又∵，
∴mm．
故答案為：15．
【點睛】本題考查三角函數的實際應用，解題的關鍵是利用同角的余角相等找出角的關系，根據同角三角函數關系求值．
2．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，為半圓O的直徑，C為上一點，連接，．請用尺規作圖法，在直徑上求作一點D，使：．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見詳解
【分析】本題考查了圓周角定理，三角函數以及垂直平分線的尺規作圖，根據圓周角定理可知：，即在中，，結合，即可得，本題即作等于已知角，即點D即為所求．
【詳解】解：作圖如下：點D即為所作．
3．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作業中得到如下結果：
，
，
，
，
．
據此，嘉嘉猜想：對于任意銳角，，若，均有．
(1)當，時，驗證是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結合如圖所示給予證明，其中所對的邊為，所對的邊為，斜邊為；若不成立，請舉出一個反例；
(3)利用上面的證明方法，直接寫出與，之間的關系．
【答案】(1)成立，見解析
(2)成立，見解析
(3)
【分析】（1）直接根據特殊角的三角函數值代入計算驗證即可；
（2）根據正弦函數的定義列出，，結合勾股定理整理化簡即可證得結論；
（3）根據正切函數的定義列出表達式，然后結合中，，，再變形代入整理即可得出結論．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，結論成立；
（2）解：成立．理由如下：
在中，，且，
∴，故結論成立；
（3）解：，理由如下：
在中，，，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查余角之間的三角函數關系，以及同角三角函數關系的推理證明，理解三角函數的基本定義，靈活變形構造是解題關鍵．
題型10 三角函數綜合
1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線上，且點A的橫坐標為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經過點A，另一條直角邊與直線交于點B，當點C在x軸上移動時，線段的最小值為 ．
【答案】
【分析】利用一次函數求出點A的坐標，利用勾股定理求出，當點C在x軸上移動時，作與關于對稱，且交x軸于點，由對稱性質可知，，，當 軸于點時，最短，記此時點C所在位置為，作于點，有，設，則，利用銳角三角函數建立等式求出，證明，再利用相似三角形性質求出，最后根據求解，即可解題．
【詳解】解：點A在直線上，且點A的橫坐標為4，
點A的坐標為，
，
當點C在x軸上移動時，作與關于對稱，且交x軸于點，
由對稱性質可知，，
當 軸于點時，最短，記此時點C所在位置為，
由對稱性質可知，，
作于點，有，
設，則，
，
，
解得，
經檢驗是方程的解，
，，
，
，
，
，
，
解得，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了軸對稱性質，勾股定理，銳角三角函數，相似三角形性質和判定，角平分線性質，垂線段最短，一次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據軸對稱性質和垂線段最短找出最短的情況．
2．（2024·四川成都·中考真題）數學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質．已知三角形紙片和中，，，．
【初步感知】
（1）如圖1，連接，，在紙片繞點旋轉過程中，試探究的值．
【深入探究】
（2）如圖2，在紙片繞點旋轉過程中，當點恰好落在的中線的延長線上時，延長交于點，求的長．
【拓展延伸】
（3）在紙片繞點旋轉過程中，試探究，，三點能否構成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形的面積；若不能，請說明理由．
【答案】（1）的值為；（2）；（3）直角三角形的面積為4或16或12或．
【分析】（1）根據，，．證明，，繼而得到，即，再證明，得到．
（2）連接，延長交于點Q，根據(1)得，得到，根據中線得到，繼而得到，結合，得到即，得到，再證明，得證矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性質計算即可．
（3）運用分類思想解答即可．
【詳解】（1）∵，，．
∴，
∴，，
∴即，
∵
∴，
∴．
（2）連接，延長交于點Q，根據（1）得，
∴，
∵是中線
∴，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵
∴四邊形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
設，則，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
（3）如圖，當與重合時，此時，此時是直角三角形，
故；
如圖，當在的延長線上時，此時，此時是直角三角形，
故；
如圖，當時，此時是直角三角形，
過點A作于點Q，
∵，
∴，
∵，，，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
故；
如圖，當時，此時是直角三角形，過點A作于點Q，交于點N，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
故．
綜上，直角三角形的面積為4或16或12或．
【點睛】本題考查了旋轉的性質，三角形相似的判定和性質，三角形中位線定理的判定和應用，三角形全等的判定和性質，三角函數的應用，勾股定理，熟練掌握三角函數的應用，三角形相似的判定和性質，矩形的判定和性質，中位線定理是解題的關鍵．
題型11 在平面直角坐標系中求銳角三角函數值
1．（2024·上海·中考真題）在平面直角坐標系中，反比例函數（k為常數且）上有一點，且與直線交于另一點．

(1)求k與m的值；
(2)過點A作直線軸與直線交于點C，求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數，銳角三角函數，勾股定理等知識，解題的關鍵是：
（1）把B的坐標代入，求出n，然后把B的坐標代入，求出k，最后把A的坐標代入求出m即可；
（2）根據軸求出C的縱坐標，然后代入，求出C的橫坐標，利用勾股定理求出，最后根據正弦的定義求解即可．
【詳解】（1）解：把代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
把代入，
得；
（2）解：由（1）知：
設l與y軸相交于D，

∵軸，軸軸，
∴A、C、D的縱坐標相同，均為2，，
把代入，得，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴．
2．（2022·遼寧·中考真題）如圖，拋物線交x軸于點和，交y軸于點C．
(1)求拋物線的表達式；
(2)D是直線上方拋物線上一動點，連接交于點N，當的值最大時，求點D的坐標；
(3)P為拋物線上一點，連接，過點P作交拋物線對稱軸于點Q，當時，請直接寫出點P的橫坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)點P的橫坐標為或或或
【分析】（1）把點和代入解析式求解即可；
（2）過點D作DH∥y軸，交AC于點H，由（1）設，直線AC的解析式為，然后可求出直線AC的解析式，則有，進而可得，最后根據可進行求解；
（3）由題意可作出圖象，設，然后根據題意及k型相似可進行求解．
【詳解】（1）解：把點和代入得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：過點D作DH∥y軸，交AC于點H，如圖所示：
設，直線AC的解析式為，
由（1）可得：，
∴，解得：，
∴直線AC的解析式為，
∴，
∴，
∵DH∥y軸，
∴，
∴，
∵，
∴當時，的值最大，
∴；
（3）解：由題意可得如圖所示：
分別過點C、Q作垂線，交過點P作y軸的平行線于點G、H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
設點，由題意可知：拋物線的對稱軸為直線，，
∴，
∴，
當時，解得：，
當時，解得：
綜上：點P的橫坐標為或或或．
【點睛】本題主要考查二次函數的綜合、三角函數及相似三角形的性質與判定，熟練掌握二次函數的綜合、三角函數及相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．
3．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線：與軸交于A，B兩點（點在點的左側），其頂點為，是拋物線第四象限上一點．
(1)求線段的長；
(2)當時，若的面積與的面積相等，求的值；
(3)延長交軸于點，當時，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個定點．若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)拋物線與交于定點
【分析】（1）根據題意可得，整理得，即可知則有；
（2）由題意得拋物線：，則設 ，可求得，結合題意可得直線解析式為，設直線與拋物線對稱軸交于點E，則，即可求得，進一步解得點，過D作于點H，則，即可求得；
（3）設可求得直線解析式為，過點D作，可得，結合題意得 設拋物線解析式為，由于過點，可求得拋物線解析式為，根據解得，即可判斷拋物線與交于定點．
【詳解】（1）解：∵拋物線：與軸交于A，B兩點，
∴，整理得，解得
∴
則；
（2）當時，拋物線：，
則
設 ，則，
設直線解析式為，
∵點D在直線上，
∴，解得，
則直線解析式為，
設直線與拋物線對稱軸交于點E，則，
∴，
∵的面積與的面積相等，
∴，解得，
∴點，
過點D作于點H，則，
則；
（3）設直線解析式為，
則，解得，
那么直線解析式為，
過點D作，如圖，
則，
∵，
∴，
∵將沿方向平移得到，
∴
由題意知拋物線平移得到拋物線，設拋物線解析式為，
∵點，都落在拋物線上
∴
解得，
則拋物線解析式為
∵
整理得，解得，
∴拋物線與交于定點．
【點睛】本題主要考查二次函數的性質、兩點之間的距離、一次函數的性質、求正切值、二次函數的平移、等腰三角形的性質和拋物線過定點，解題的關鍵是熟悉二次函數的性質和平移過程中數形結合思想的應用．
4．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于點，（在的左邊），與軸相交于點，已知、，，是y軸上的動點（位于點下方），過點的直線l垂直于y軸，與拋物線相交于兩點、（在的左邊），與直線交于點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖1，四邊形是正方形，連接，的面積為，正方形的面積為，求的取值范圍；
(3)如圖2，以點為圓心，為半徑作．
①動點在上，連接，請直接寫出的最小值為 ；
②點是y軸上的一動點，連接，當的值最大時，請直接寫出的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②點的坐標為或
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）設，待定系數法求出直線的解析式為，則，得出，設點，則，即，再表示出，，，結合，，得出，求出，結合二次函數的性質即可得出答案；
（3）①連接，在軸上取點，連接，，證明，由相似三角形的性質得出，推出，即當、、共線時，最小，最小值即為的長度，再由勾股定理計算即可得出答案；②分兩種情況：當在軸正半軸時；當在軸負半軸時，分別求解即可得出答案．
【詳解】（1）解：把、，代入得：，
解得：，
∴拋物線的表達式為；
（2）解：設，
設直線的解析式為，
將，代入解析式得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵軸，
∴，
∴，
設點，則，即，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴拋物線頂點坐標為，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴當時，的值隨的增大而減小，
∴當時，的值最大，為，當時，的值最小，為，
∴的取值范圍為；
（3）解：①連接，在軸上取點，連接，，如圖，
，
∵的半徑，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵當、、共線時，最小，
∴當、、共線時，最小，最小值即為的長度，
∵，，
∴，
∴的最小值為；
②當在軸正半軸時，作的外接圓，作軸于，連接，，，則，，
∵，
∴，
∴，
∴
∵為定值，
∴當最小時，最大，
∵，
∴當最小時，最小，
∴當軸時，最小，
此時，，
∴，
∴，
∴；
當點在軸負半軸上時，同理可得,
綜上所述，點的坐標為或．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、相似三角形的判定與性質、解直角三角形、勾股定理等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線，采用數形結合與分類討論的思想是解此題的關鍵．
5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，點O為平面直角坐標系的坐標原點，直線 交x軸于點A，交y軸于點 C，點B在x軸負半軸上，連接， ．
(1)如圖1，求直線 的解析式；
(2)如圖1，點P在線段上，點Q在線段上，，點P的橫坐標為t，過點Q作 軸交于點 D，連接， 的面積為S，求S與t之間的函數關系式（不需要寫出自變量t的取值范圍）；
(3)如圖2，在（2）的條件下，過點P作交于點E，過點D作 于點G，交于點F，連接交y軸于點M，連接， 求點 F的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，，根據，算出，根據待定系數法即可求解；
（2）先求出，，求出，即可表示出，即可求解；
（3）如圖，延長 至點 K，使，連接．根據，，得出，，，證明，得出，過點M作 于L，算出，證明，得出，過點 E 作 軸于點 N，證明，解出 延長 交x軸于點R，證明，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
令，
∴，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
設解析式為，
，
，
∴解析式為 ；
（2）解：∵P的橫坐標為t，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵軸于Q，
∴D的橫坐標為 ，
將代入 中， ，
，
，
的面積為S，
，
∴；
（3）解： 如圖，延長 至點 K，使，連接．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
過點M作 于L，
∴，
∴，
∴，
，
，
∵ ，
∴，
∴，
，
過點 E 作 軸于點 N，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，
解得
延長 交x軸于點R，
∵于點 G，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了一次函數綜合，結合相似三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，三角函數解直角三角形知識點，數形結合、畫出圖象分析、推理和計算是解題的關鍵．
題型12 特殊角三角函數值的另類應用
1．（2023·湖南婁底·一模）同學們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則 ．
【答案】
【分析】先根據求出，把變為，然后根據計算即可．
【詳解】解：如圖，在中，

∵，
∴．
∵，
∴．
∵為銳角，
∴．
∵
∴
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了三角函數的運算，正確理解所給計算公式是解答本題的關鍵．
2．（2022·黑龍江綏化·中考真題）定義一種運算；，．例如：當，時， ，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據代入進行計算即可．
【詳解】解：
=
=
=
=．
故答案為：．
【點睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數值的計算，掌握公式的轉化是解題的關鍵．
3．（2023·湖南婁底·一模）定義一種運算：，例如：當，時，，則的值為(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據，可以計算出的值．
【詳解】解：由題意可得，
，
故選：B．
【點睛】本題考查解直角三角形、二次根式的混合運算、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，利用新定義解答．
4．（2023九年級下·全國·專題練習）一般地，當，為任意角時，，，與的值可以用下面的公式求得：
；
；
；
．
例如：．
類似地，求：
(1)的值．
(2)的值．
(3)的值提示：對于鈍角，定義它的三角函數值如下：，．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由 ，根據特殊角的三角函數值代入公式進行計算即可求解；
（2）由 ，根據特殊角的三角函數值代入公式進行計算即可求解；
（3）由，根據特殊角的三角函數值代入公式進行計算即可求解．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，
．
．
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值的混合運算，牢記特殊角的三角函數值是解題的關鍵．
題型13 在網格中求銳角三角函數值
1．（2020·湖北荊州·中考真題）如圖，在 正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，點A，B，C均在網格交點上，⊙O是的外接圓，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作直徑BD，連接CD，根據勾股定理求出BD，根據圓周角定理得到∠BAC=∠BDC，根據余弦的定義解答即可．
【詳解】解：如圖，作直徑BD，連接CD，
由勾股定理得，
在Rt△BDC中，cos∠BDC=
由圓周角定理得，∠BAC=∠BDC，
∴cos∠BAC=cos∠BDC=
故選：B．
【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握勾股定理的應用，圓周角定理、余弦的定義是解題的關鍵．
2．（2022·湖北武漢·中考真題）由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O=60°，則tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】證明四邊形ADBC為菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函數值即可求解．
【詳解】解：連接AD，如圖：
∵網格是有一個角60°為菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等邊三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四邊形ADBC為菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=．
故選：C．
【點睛】本題考查了菱形的判定和性質，特殊角的三角函數值，證明四邊形ADBC為菱形是解題的關鍵．
3．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在的正方形網格圖中，已知點A、B、C、D、O均在格點上，其中A、B、D又在上，點E是線段與的交點．則的正切值為 ．
【答案】
【分析】由題意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根據三角函數可進行求解．
【詳解】解：由題意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴，
故答案為．
【點睛】本題主要考查三角函數及圓周角定理，熟練掌握三角函數及圓周角定理是解題的關鍵．
4．（2024茅箭區二模）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，則 ．
【答案】2
【分析】連接，先利用勾股定理求出、、的長，然后利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，最后根據即可得解．
【詳解】解：如圖，連接，
，
，
，
，
是直角三角形，，
，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了勾股定理與網格問題，勾股定理，含乘方的有理數混合運算，勾股定理的逆定理，求角的正切值，二次根式的除法，求一個數的算術平方根等知識點，連接并利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形是解題的關鍵．
5．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，四邊形的頂點均在網格的格點上．
(1)求的值．
(2)操作與計算：用尺規作圖法過點C作，垂足為E，并直接寫出的長．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）
【答案】(1)
(2)圖見解析，
【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂線，熟練掌握正弦的定義是解題關鍵．
（1）先根據勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以為直角的直角三角形，再根據正弦的定義求解即可得；
（2）先以點為圓心、為半徑畫弧交于點，再分別以點為圓心，長為半徑畫弧，分別交于點，然后畫直線，交于點，則即為所作；最后利用正弦的定義即可求出的長．
【詳解】（1）解：如圖，連接，
∵，，，
∴，
∴是以為直角的直角三角形，
∴．
（2）解：用尺規作圖法過點作，垂足為，作圖如下：
在中，．
命題點二 解直角三角形
題型01 解直角三角形的相關計算
1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形中，，點，分別在邊，上．連接，將四邊形沿翻折，點，分別落在點，處．則的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】連接交于點F，設，則，利用勾股定理求得，由折疊得到，垂直平分，則，由代入求得，則，所以，于是得到問題的答案．
【詳解】解：連接交于點F，
設，則，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴
∵將四邊形沿翻折，點C，D分別落在點A，E處，
∴點C與點A關于直線對稱，
∴，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴
∴．
故選：A．
【點睛】此題考查矩形的性質、翻折變換的性質、勾股定理、解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
2．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在菱形中，，是的中點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質，解題的關鍵是掌握菱形四邊都相等，以及正確畫出輔助線，構造直角三角形求解．
延長，過點E作延長線的垂線，垂足為點H，設，易得，則，進而得出，再得出，最后根據，即可解答．
【詳解】解：延長，過點E作延長線的垂線，垂足為點H，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，
設，
∵是的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
3．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形的對角線與交于點，于點，延長與交于點．若，，則點到的距離為 ．
【答案】
【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，解直角三角形的相關知識，過點F作，垂足為H，利用勾股定理求出的長，利用角的余弦值求出的長，再利用勾股定理求出，從而得出，利用三角形面積求出即可．
【詳解】解：如圖，過點F作，垂足為H，
四邊形為矩形，
，，
，，
，
，即，
解得：，
，即，
解得：，
，
，
，即，
解得：，
故答案為：．
4．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，為的內接三角形，為的直徑，將沿直線翻折到，點在上．連接，交于點，延長，，兩線相交于點，過點作的切線交于點．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)若，．求的值．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據折疊可得，根據切線的定義可得，即可得證；
（2）根據題意證明，進而證明，根據相似三角形的性質，即可得證；
（3）根據，設，則，得出，根據折疊的性質可得出，則，進而求得，根據，進而根據正切的定義，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵將沿直線翻折到，
∴，
∵為的直徑，是切線，
∴，
∴；
（2）解：∵是切線，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∵由折疊可得，
∴，
∵四邊形是的內接四邊形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵，設，則，
∴，
∴，
∵由折疊可得，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了切線的性質，折疊問題，相似三角形的性質與判定，解直角三角形，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
5．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點是坐標原點，點在函數的圖象上．將直線沿軸向上平移，平移后的直線與軸交于點，與函數的圖象交于點．若，則點的坐標是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查反比例函數、解直角三角形、平移的性質等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關鍵．
如圖：過點A作x軸的垂線交x軸于點E，過點C作y軸的垂線交y軸于點D，先根據點A坐標計算出、k值，再根據平移、平行線的性質證明，進而根據求出，最后代入反比例函數解析式取得點C的坐標，進而確定,，再運用勾股定理求得，進而求得即可解答．
【詳解】解：如圖，過點A作x軸的垂線交x軸于點E，過點C作y軸的垂線交y軸于點D，則軸，
∵，
∴，，
∴．
∵在反比例函數的圖象上，
∴．
∴將直線向上平移若干個單位長度后得到直線，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，即點C的橫坐標為2，
將代入，得，
∴C點的坐標為，
∴,，
∴，
∴,
∴
故選：B．
題型02 構造直角三角形求不規則圖形的邊長或面積
1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：
在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．
證明：如圖1，過點作于點，則：
在中， CD=asinB
在中，
根據上面的材料解決下列問題：
(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；
(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境．如圖3，規劃中的一片三角形區域需美化，已知，，米，求這片區域的面積．（結果保留根號．參考數據：，
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數表示AD后，即可建立關聯并求解；
（2）作BC邊上的高，利用三角函數分別求出AE和BC，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖2，過點作于點，
在中，，
在中，，
，
；
（2）解：如圖3，過點作于點，
，，
，
在中，
又 ，
即，
，
．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數的定義是解決問題的前提．
2．（2022·山東濟寧·中考真題）知識再現：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．
∵，
∴，
∴
(1)拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．請探究，，之間的關系，并寫出探究過程．
(2)解決問題：如圖3，為測量點A到河對岸點B的距離，選取與點A在河岸同一側的點C，測得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請用拓展探究中的結論，求點A到點B的距離．
【答案】(1)，證明見解析
(2)米
【分析】拓展研究：作CD⊥AB于點D，AE⊥BC于點E，根據正弦的定義得AE = csinB，
AE= bsin∠BCA，CD= asinB，CD = bsin∠BAC，從而得出結論；
解決問題：由拓展探究知， 代入計算即可．
【詳解】（1）（拓展探究）證明：作CD⊥AB于點D，AC⊥BC于點E．
在RtΔABE中，，
同理：，
．
．
．
．
．
（2）（解答問題）解：在ΔABC中，
∴
解得：
答：點A到點B的距離為m．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，對于銳角三角形，利用正弦的定義，得出是解題的關鍵．
3．（2022·江蘇蘇州·一模）【理解概念】
定義：如果三角形有兩個內角的差為，那么這樣的三角形叫做“準直角三角形”．
(1)已知△ABC是“準直角三角形”，且．
①若，則______；
②若，則______；
【鞏固新知】
(2)如圖①，在中，，點D在邊上，若是“準直角三角形”，求的長；
【解決問題】
(3)如圖②，在四邊形中，，且是“準直角三角形”，求的面積．
【答案】(1)①15；②10或25
(2)或
(3)的面積為48或24
【分析】（1）①根據三角形內角和定理求解即可；
②根據三角形內角和定理求解即可；
（2）根據題意可分為①當時，過點D作于H，結合勾股定理求解；②，結合相似三角形的判定和性質求解即可；
（3）過點C作于F，，交的延長線于E，設，
根據和可得，即可證明，可得，進而分情況討論求解：當時和當．
【詳解】（1）①當時，則，
∴（不合題意舍去），
當，則，
∵，
∴，
∴，
綜上所述：，
故答案為：15；
②當時，則，
∴，
當，則，
∵，
∴，
∴，
綜上所述：或，
故答案為：10或25；
（2）當時，如圖①，過點D作于H，
在中，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
當時，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
綜上所述：或；
（3）如圖②，過點C作于F，，交的延長線于E，
設，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
當時，
又∵，
∴，
由（2）可知： ，
設，則，
∴，
∴，
∴，
當，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
綜上所述：的面積為48或24．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理和三角形內角和定理，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．
4．（2023·安徽·二模）如圖，已知：是的直徑，點C在圓上，，，點C、E分別在兩側，且E為半圓的中點．
(1)求的面積；
(2)求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直徑所對的圓周角是直角可以得到，根據勾股定理求長，然后求出面積即可；
（2）連，過點A作于點D，則，解直角三角形解題即可．
【詳解】（1）解：∵是的直徑，
∴，
∴，
∴，
（2）連，過點A作于點D，
∵E為半圓的中點，
∴，
∵，
∴，
又∵,
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查解直角三角形，直徑所對的圓周角是直角，圓周角定理，能作輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
5（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，已知拋物線：與x軸交于A，D兩點，，點A在直線l：上．
(1)求拋物線的解析式；
(2)將拋物線沿x軸翻折后得到拋物線，與直線l交于A，B兩點，點P是拋物線上A，B之間的一個動點（不與點A、B重合），于M，軸交于N，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出點A、D坐標，再將代入中即可求解；
（2）先求出將拋物線沿x軸翻折后得到拋物線：，再由可得，即可得，求出的最大值即可得出的最大值．
【詳解】（1）解：當時，，解得：，
∴，
∵，
∴點，
將代入中，
得解得，
∴拋物線的解析式為，
（2）∵拋物線：，將拋物線沿x軸翻折后得到拋物線，
∴拋物線：，
∴聯立拋物線與直線l得：
，
解得：，，
∴點、
如圖：交x軸于點H，直線交y軸于E，
∵，軸，
∴，
又∵，
∴，
∵直線l：與y軸交點為，
∴，
∴，
∴，
∴，
設點的橫坐標為．
∴點的坐標為，其中．
∴點的坐標為．
．
，
∵當時，取得最大值為，
的最大值為，
【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的性質，待定系數法，一次函數圖象的性質，拋物線的軸對稱變換，解三角形的應用，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．
6．（2024·湖北武漢·一模）【問題提出】在等腰中，為中點，以D為頂點作，角的兩邊分別交于點，連接，試探究點D到線段的距離．
【問題探究】
（1）先將問題特殊化，如圖2，當點E和A重合時，直接寫出D到線段的距離（用含的式子表示）；
（2）再探究一般情形，如圖1，證明（1）中的結論仍然成立；
【問題拓展】如圖3，在等腰中，為中點，以D為頂點作，角的兩邊分別交直線于點，連接．若，直接寫出的值（用含的式子表示）．
【答案】（1）；（2）證明見解析；【問題拓展】
【分析】（1）解：根據“三線合一”可得，，，，證明點D到線段的距離即為的長，根據正弦的定義即可求解；
（2）作于于N，由（1）可得，證明，再證明，得到，即可求解；
問題拓展：連接，作于P，設，則，證明，得到，可表示出，由（2）得，得到，表示出，即可求解．
【詳解】（1）解：∵為中點，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴D到線段的距離即為的長，
∵,
∴；
（2）作于于N，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
問題拓展：，
連接，作于P，設，
則，
∵為中點，
∴，，
∵，是公共角，
∴，
，
由（2）得
∴
由（2）得
．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，解直角三角形，等腰三角形的判定與性質等，解題的關鍵是由特殊到一般，從特殊的圖形中發現規律，再將解題思路運用到一般圖形中．
題型03 運用解直角三角形的知識解決視角相關問題
1）實際問題中已知視角的度數求邊長時，應先根據題意畫出直角三角形，求出這個角的三角函數值，再利用三角函數的定義求得相應邊長.
2）利用三角函數求實際問題中視角的度數時，應先根據題意畫出直角三角形，并根據已知條件求出這個角的三角函數值，再求出角的度數.
1．（2024·河北·中考真題）中國的探月工程激發了同學們對太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離，仰角為；淇淇向前走了后到達點D，透過點P恰好看到月亮，仰角為，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面的距離，點P到的距離，的延長線交于點E．（注：圖中所有點均在同一平面）
(1)求的大小及的值；
(2)求的長及的值．
【答案】(1)，
(2) ，
【分析】本題考查的是解直角三角形的應用，理解仰角與俯角的含義以及三角函數的定義是解本題的關鍵；
（1）根據題意先求解 ，再結合等腰三角形的性質與正切的定義可得答案；
（2）利用勾股定理先求解 ，如圖，過作于，結合，設 ，則 ，再建立方程求解，即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意可得：， ， ，
， ，
∴ ， ，，
∴，
∴，；
（2）解：∵ ，，
∴ ，
如圖，過作于，
∵，設 ，則 ，
∴，
解得：，
∴ ，
∴．
2．（2024·河南·中考真題）如圖1，塑像在底座上，點D是人眼所在的位置．當點B高于人的水平視線時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大．數學家研究發現：當經過A，B兩點的圓與水平視線相切時（如圖2），在切點P處感覺看到的塑像最大，此時為最大視角．
(1)請僅就圖2的情形證明．
(2)經測量，最大視角為，在點P處看塑像頂部點A的仰角為，點P到塑像的水平距離為．求塑像的高（結果精確到．參考數據：）．
【答案】(1)見解析
(2)塑像的高約為
【分析】本題考查了圓周角定理，三角形外角的性質，解直角三角形的應用等知識，解題的關鍵是：
（1）連接，根據圓周角定理得出，根據三角形外角的性質得出，然后等量代換即可得證；
（2）在中，利用正切的定義求出，在中，利用正切的定義求出，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖，連接．
則．
∵，
∴．
（2）解：在中，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
答：塑像的高約為．
3．（2024·甘肅·中考真題）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現碳達峰、2060年前實現碳中和．甘肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速．某學習小組成員查閱資料得知，在風力發電機組中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設計參數．于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動．如圖，已知一風電塔筒垂直于地面，測角儀，在兩側，，點C與點E相距 （點C，H，E在同一條直線上），在D處測得簡尖頂點A的仰角為，在F處測得筒尖頂點A的仰角為．求風電塔筒的高度．（參考數據：，，．）
【答案】
【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，矩形的性質與判定，過點作于G，連接，則四邊形是矩形，可得，，再證明四邊形是矩形，則，，進一步證明三點共線，得到；設，解得到；解得到；則，解得，即，則．
【詳解】解：如圖所示，過點作于G，連接，則四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由題意可得，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴三點共線，
∴；
設，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴風電塔筒的高度約為．
4．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）綜合實踐活動中，數學興趣小組利用無人機測量大樓的高度．如圖，無人機在離地面40米的處，測得操控者的俯角為，測得樓樓頂處的俯角為，又經過人工測量得到操控者和大樓之間的水平距離是80米，則樓的高度是多少米？（點都在同一平面內，參考數據：）
【答案】樓的高度為米．
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的判定與性質等知識．過作于，過作于，則四邊形是矩形，則，，由題意知，，根據求的值，根據求的值即可．
【詳解】解：如圖，過作于，過作于，則四邊形是矩形，
∴，，
由題意知，，
∴，
∴，
∴樓的高度為米．
題型04 運用解直角三角形的知識解決方向角相關問題
方向角問題應結合實際問題抽象出示意圖并構造三角形，還要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果這些元素不在同一個三角形中或者在同一個斜三角形中，需要添加輔助線.在解題的過程中，有時需要設未知數，通過構造方程(組)來求解.
1．（2024·重慶·中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發，分別向，兩港運送物資，最后到達港正東方向的港裝運新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達港，再沿北偏東方向航行一定距離到達港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達港，再沿南偏東方向航行一定距離到達港．（參考數據：，，）
(1)求，兩港之間的距離（結果保留小數點后一位）；
(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達港？請通過計算說明．
【答案】(1)，兩港之間的距離海里；
(2)甲貨輪先到達港．
【分析】（）過作于點，由題意可知：，，求出，即可求解；
（）通過三角函數求出甲行駛路程為：，乙行駛路程為：，然后比較即可；
本題考查了方位角視角下的解直角三角形，構造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數是解題的關鍵．
【詳解】（1）如圖，過作于點，
∴，
由題意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，兩港之間的距離海里；
（2）由（）得：，，，
∴，
∴，
由題意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行駛路程為：（海里），乙行駛路程為：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲貨輪先到達港．
2．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，海中有一個小島C，某漁船在海中的A點測得小島C位于東北方向上，該漁船由西向東航行一段時間后到達B點，測得小島C位于北偏西方向上，再沿北偏東方向繼續航行一段時間后到達D點，這時測得小島C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D間的距離（計算過程中的數據不取近似值）．
【答案】C，D間的距離為．
【分析】本題考查了解直角三角形的應用．作于點，利用方向角的定義求得，，，證明是等腰直角三角形，在中，求得的長，再證明，，在中，利用三角函數的定義即可求解．
【詳解】解：作于點，
由題意得，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，，
在中，，，
在中，，
答：C，D間的距離為．
3．（2023·遼寧丹東·中考真題）一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時，測得燈塔B在它北偏東方向上，繼續向東航行到達C港，此時測得燈塔B在它北偏西方向上，求輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離．（結果精確到）（參考數據：，，，，，）．

【答案】輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離為
【分析】過點B作于點D，則，進而得出，，根據，得出，即可求解．
【詳解】解：過點B作于點D，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
答：輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離為．

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．
題型05 運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關問題
解決這類問題時，要利用已知角度構造直角三角形，在直角三角形中求解.
1．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測量電線塔高度的實踐活動．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測得電線塔頂部的仰角為，在處測得電線塔頂部的仰角為．
(1)求點離水平地面的高度．
(2)求電線塔的高度（結果保留根號）．
【答案】(1)；
(2)電線塔的高度．
【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用．
（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函數的定義得到，據此求解即可；
（2）作于點，設，先解得到，解得到米，進而得到方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵斜坡的坡度，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作于點，則四邊形是矩形，，，
設，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
答：電線塔的高度．
2．（2023·湖北恩施·中考真題）小王同學學習了銳角三角函數后，通過觀察廣場的臺階與信號塔之間的相對位置，他認為利用臺階的可測數據與在點，處測出點的仰角度數，可以求出信號塔的高．如圖，的長為，高為．他在點處測得點的仰角為，在點處測得點的仰角為，在同一平面內．你認為小王同學能求出信號塔的高嗎？若能，請求出信號塔的高；若不能，請說明理由．（參考數據：，，，結果保留整數）
【答案】能求出信號塔的高，信號塔的高為；
【分析】過作，垂足為，根據勾股定理及等腰直角三角形的性質，進而設根據銳角三角函數解答即可．
【詳解】解：過作，垂足為，
∵，，
∴四邊形是矩形，
∴，．
∵的長為，高為，
∴．
∴在中，()．
∵，，
∴．
∴．
∴設．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
即信號塔的高為．
∴能求出信號塔的高，信號塔的高為．
【點睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形性質，銳角三角函數，掌握銳角三角函數是解題的關鍵．
3．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩長為，坡度i為，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高的鐵塔．小明欲測量山高，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角為．求堤壩高及山高．（，，，小明身高忽略不計，結果精確到）

【答案】堤壩高為8米，山高為20米．
【分析】過B作于H，設，，根據勾股定理得到，求得，過B作于F，則，設，解直角三角形即可得到結論．
【詳解】解：過B作于H，

∵坡度i為，
∴設，，
∴，
∴，
∴，
過B作于F，
則，
設，
∵．
∴，
∴，
∵坡度i為，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：堤壩高為8米，山高為20米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-俯角仰角，解直角三角形的應用-坡角坡度，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
4．（2023·四川自貢·中考真題）為測量學校后山高度，數學興趣小組活動過程如下：

(1)測量坡角
如圖1，后山一側有三段相對平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長度可以直接測量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大小．
如圖2，同學們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細線系小重物G，當直桿與鉛垂線重合時，測得兩桿夾角的度數，由此可得山坡AB坡角的度數．請直接寫出之間的數量關系．
(2)測量山高
同學們測得山坡的坡長依次為40米，50米，40米，坡角依次為；為求，小熠同學在作業本上畫了一個含角的（如圖3），量得．求山高．（，結果精確到1米）
(3)測量改進
由于測量工作量較大，同學們圍繞如何優化測量進行了深入探究，有了以下新的測量方法．

如圖4，5，在學校操場上，將直桿NP置于的頂端，當與鉛垂線重合時，轉動直桿，使點N，P，D共線，測得的度數，從而得到山頂仰角，向后山方向前進40米，采用相同方式，測得山頂仰角；畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高MN為米，求山高．（結果用不含的字母表示）
【答案】(1)；
(2)山高為69米；
(3)山高的高為米．．
【分析】（1）利用互余的性質即可求解；
（2）先求得，再分別在、、中，解直角三角形即可求解；
（3）先求得，，在和中，分別求得和的長，得到方程，據此即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得，

∴；
（2）解：在中，．

∴，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
∴山高(米)，
答：山高為69米；
（3）解：如圖，由題意得，，

設山高，則，

在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，山高
答：山高的高為米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，能夠正確地構建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關鍵．
題型06 運用解直角三角形的知識解決實際問題
1．（2024·福建·中考真題）無動力帆船是借助風力前行的．下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風對帆的作用力為．根據物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據此，建立數學模型：，則 ．（單位：）（參考數據：）
【答案】128
【分析】此題考查了解直角三角形的應用，求出，，由得到，求出，求出在中，根據即可求出答案．
【詳解】解：如圖，
∵帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由題意可知， ，
∴，
∴
在中，，
∴，
故答案為：
2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調節支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動桿可繞點A旋轉，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．
(1)如圖②，當活動桿處于水平狀態時，求可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）；
(2)如圖③，當活動桿繞點A由水平狀態按逆時針方向旋轉角度，且（為銳角），求此時可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是：
（1）過點C作，垂足為E，判斷四邊形為矩形，可求出，，然后在中，根據勾股定理求出即可；
（2）過點D作，交的延長線于點F，交于點G．判斷四邊形為矩形，得出．在中，利用正切定義求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根據勾股定理求出即可．
【詳解】（1）解：如圖，過點C作，垂足為E，
由題意可知，，
又，
四邊形為矩形．
，，
，．
，
．
在中，．
即可伸縮支撐桿的長度為；
（2）解：過點D作，交的延長線于點F，交于點G．
由題意可知，四邊形為矩形，
．
在中，，
．
，
，
，．
，，
，．
在中，．
即可伸縮支撐桿的長度為．
3．（2024·山東濟南·中考真題）城市軌道交通發展迅猛，為市民出行帶來極大方便，某校“綜合實踐”小組想測得輕軌高架站的相關距離，數據勘測組通過勘測得到了如下記錄表：
綜合實踐活動記錄表
活動內容 測量輕軌高架站的相關距離
測量工具 測傾器，紅外測距儀等
過程資料 相關數據及說明：圖中點，在同平面內，房頂，吊頂和地面所在的直線都平行，點在與地面垂直的中軸線上，，．
成果梳理 ……
請根據記錄表提供的信息完成下列問題：
(1)求點到地面的距離；
(2)求頂部線段的長．（結果精確到，參考數據：，，，）
【答案】(1)點到地面的距離為；
(2)頂部線段的長為．
【分析】本題主要考查了平行線的性質及解直角三角形，熟練掌握解直角三角形是解題的關鍵．
（1）過點作，交的延長線于點，由得，在中解直角三角形即可得解；
（2）過點作，垂足為 由平行線的性質得，進而得，根據平行線間的距離處處相等得，從而得，最后在中，解直角三角形即可得解．
【詳解】（1）解：如圖，過點作，交的延長線于點，
在中
答：點到地面的距離為
（2）解：如圖，過點作，垂足為
，
，
平行線間的距離處處相等
，
∵，
在中
答：頂部線段的長為
4．（2024·四川樂山·中考真題）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：
平地秋千未起，踏板一尺離地．
送行二步與人齊，五尺人高曾記．
仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．
良工高士素好奇，算出索長有幾？
詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很直）
(1)如圖1，請你根據詞意計算秋千繩索的長度；
(2)如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據上述條件能否求出秋千繩索的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．
【答案】(1)秋千繩索的長度為尺
(2)能，
【分析】該題主要考查了勾股定理的應用以及解直角三角形的應用，解題的關鍵是掌握以上知識點．
（1）如圖，過點作，垂足為點B．設秋千繩索的長度為x尺．由題可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解；
（2）由題可知，，．在中，得

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