資源簡介

第四章 三角形
第21講 相似三角形及其應用
（思維導圖+2考點+3命題點24種題型（含7種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 相似多邊形
考點二 相似三角形
04題型精研·考向洞悉
命題點一 相似三角形的性質與判定-基礎
題型01 選擇或補充一個條件使兩個三角形相似
題型02 選擇合適的方法證明兩個三角形相似
題型03 補全判定相似三角形的證明過程
題型04 以注重過程性學習的形式考查相似三角形的證明過程
題型05 利用相似三角形的性質求解
題型06 利用相似的性質求坐標
題型07 相似三角形在網格中的應用
題型08 相似三角形的性質與判定綜合
命題點二 相似三角形的性質與判定-拔高
題型01 利用相似三角形的性質與判定解決折疊問題
題型02 利用相似三角形的性質與判定解決動態函數圖像
題型03 利用相似三角形的性質與判定求線段比值
題型04 利用相似三角形的性質與判定求最值
題型05 利用相似三角形的性質與判定解決動點問題
題型06 利用相似三角形的性質與判定解決存在性問題
題型07 利用相似三角形列函數關系式
題型08 利用三點定形法證明比例式或等積式
題型09 尺規作圖與相似三角形綜合應用
題型10 三角板與相似三角形綜合應用
題型11平移與相似三角形綜合應用
題型12 利用相似三角形的性質與判定解決多結論問題
題型13 與相似三角形有關的新考法問題
命題點三 相似三角形的應用
題型01 利用相似測量物體的高度
題型02 利用相似測量物體（不易測量）的寬度
題型03 其它問題
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
相似三角形的性質 ★★★ 了解相似三角形的判定定理； 了解相似三角形的性質定理.
相似三角形的有關證明與計算 ★★★
相似三角形的應用 ★★ 會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題
【考情分析】本專題主要考查相似三角形的判定和性質，利用相似的性質求線段的長度、圖形的面積等，試題形式多樣，難度不一，相似三角形的判定方法較多，合理的選擇方法是解題的關鍵，常見的相似模型有“A”字形、8”字形及“一線三等角”等，熟練掌握這些模型能提升解題速度. 【命題預測】相似三角形是中考數學中非常重要的一個考點，也是難度最大的一個考點. 它不僅可以作為簡單考點單獨考察，還經常作為壓軸題的重要解題方法，和其他如函數、特殊四邊形、圓等問題一起考察. 而且在很多壓軸題中，經常通過相似三角形的判定以及性質來得到角相等或者邊長間的關系，也是動點問題中得到函數關系式的重要手段，需要考生在復習的時候給予加倍的重視!
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 相似多邊形
1.相似圖形：把形狀相同的圖形叫做相似形.
【補充】1）相似圖形的形狀完全一樣，圖形的大小不一定相同；
2）全等圖形是一種特殊的相似圖形，它們不僅形狀相同，大小也相同；
3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形的是不是形狀相同，與其它的因素無關.
2.相似多邊形及、性質與判定
相似多邊形的定義：兩個邊數相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.
相似比：相似多邊形對應邊的比叫做相似比.
相似多邊形的表示：兩個相似多邊形可以用符號“∽”，讀作“相似于”.
【補充】1）相似多邊形的三個條件：①邊數相同；②對應角相等；③對應邊成比例；
2）全等多邊形的相似比是1，即全等圖形是一種特殊的相似圖形；；
3）當用符號“∽”表示兩個相似圖形時，對應點必須寫在對應位置.
1．（2024·寧夏銀川·三模）如圖，用放大鏡將賀蘭山旅游圖標放大，這兩個圖形之間屬于以下哪種圖形變換（ ）
A．相似 B．平移 C．軸對稱 D．旋轉
2．（2024·江蘇連云港·中考真題）下列網格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（ ）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
3．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，以點O為位似中心，作四邊形的位似圖形﹐已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
4．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖與關于點A 成位似圖形，若他們的位似比為，則與的面積比為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖是我國自主研發的某汽車的廣告文案．已知：將矩形對折后所得的矩形如果與原矩形相似，那么原矩形的長與寬之比稱為白銀比，則白銀比的近似值是 ．（小數點后保留三位）
它們的大氣端莊，主要來源于對東方傳統美學中，白銀比例這一規律的運用，和黃金比例相比白銀比例下的作品，更為端正平街也更符合東方審美.
考點二 相似三角形
相似三角形的定義：三個角對應相等，三條邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示為△ABC∽△DEF.
【補充】三角形全等是三角形相似的特殊情況，全等三角形的相似比等于1.
【注意事項】符號“∽”表示兩個三角形相似時，要把表示對應頂點的大宇母寫在對應的位置上，如△ABC∽△DEF，表示頂點A與D，B與E，C與F分別對應；
【易錯點】如果僅說△ABC與△DEF相似，沒有用“∽”連接，則需要分情況討論它們之間的對應關系.
相似比：相似三角形對應邊的比叫做相似比.
【補充】相似比具有順序性，如△ABC∽△DEF，相似比為k，則△DEF與△ABC的相似比為.
常見的基本圖形：
圖①和圖②分別為“A型”圖和“X型”圖，條件是DE//BC，基本結論是△ABC∽△ADE；
圖③、圖④是圖①的變形圖，圖⑤是圖②的變形圖;
圖⑥是“母子型”圖，條件是BD為直角△ABC斜邊上的高，基本結論是△ABC∽△BDC∽△ADB.
相似三角形的判定方法：
1）判定三角形相似的常用定理：
①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似．
②三邊成比例的兩個三角形相似；
③兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；
④兩角分別相等的兩個三角形相似．
2）直角三角形相似的判定方法：
①有一個銳角相等的兩個直角三角形相似.
②兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似.
③斜邊和直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似.
相似三角形的性質：
1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.
【補充】己知兩三角形相似，寫對應角相等，對應邊成比例時，原則是“大對大，小對??；長對長，短對短”.
【小技巧】相似多邊形對應邊的比相等是求某條線段的長或求兩條線段的比的一種常用方法，采用此方法時一定要注意找準對應關系.
2）相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.
3）相似三角形周長的比等于相似比.
4）相似三角形面積比等于相似比的平方.
5）傳遞性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，則△BDC∽△ADB.
1．（2024·湖南·中考真題）如圖，在中，點分別為邊的中點．下列結論中，錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·青海·中考真題）如圖，線段AC、BD交于點O，請你添加一個條件： ，使△AOB∽△COD．
3．（2024·云南·中考真題）如圖，與交于點，且．若，則 ．

4．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形的對角線相交于點O，點E是的中點，點F是上一點．連接．若，則的值為 ．
5．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．
04題型精研·考向洞悉
命題點一 相似三角形的性質與判定-基礎
題型01 選擇或補充一個條件使兩個三角形相似
相似三角形的判定方法：
判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法
1 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似 斜邊和直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似
2 三邊成比例的兩個三角形相似 有一個銳角相等的兩個直角三角形相似
3 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似 兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似
4 兩角分別相等的兩個三角形相似
解題方法：判定兩個三角形相似需要根據條件選擇方法．有時條件不具備，需從以下幾個方面探求：
1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；
2）兩個三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找夾這組等角的兩邊成比例；
3）兩個三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例；
4）條件中若有一組直角，可再找一組等角或證明斜邊、直角邊對應成比例；
5）條件中若有等腰三角形，可找頂角相等，或找底角相等，或找底和腰對應成比例.
【拓展】特殊三角形相似的判定：
1）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似.
2）兩個等腰直角三角形一定相似.
1．（2021·湖南湘潭·中考真題）如圖，在中，點D，E分別為邊，上的點，試添加一個條件： ，使得與相似．（任意寫出一個滿足條件的即可）
2．（2022·湖南邵陽·中考真題）如圖，在中，點在邊上，點在邊上，請添加一個條件 ，使．
3．（2024·黑龍江綏化·模擬預測）如圖，點P在的邊上，要判斷，添加一個條件，下列不正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南昆明·三模）如圖，在四邊形中，平分，且，．當 時，．
題型02 選擇合適的方法證明兩個三角形相似
1．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在與中，點、分別在邊、上，且，若___________，則．請從①；②；③這三個選項中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明．
2．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點，且，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：．
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，將繞點B逆時針旋轉得到，連接MA，求證：∽
4．（2024·山西呂梁·模擬預測）李老師在編寫下面這個題目的答案時，不小心打亂了解答過程的順序，你能幫他調整過來嗎？證明步驟正確的順序是（　?。?br/>已知：如圖，在中，點 分別在邊上，且，求證：．
證明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴．
A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①
5．（2024·北京西城·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系內有兩點，，所在直線的方程為，連接．

(1)求的值；
(2)求證：．
6．（2024·廣東惠州·二模）如圖，四邊形是某學校的一塊種植實驗基地，其中是水果園，是蔬菜園．已知．
(1)求證：；
(2)若蔬菜園的面積為80，求水果園的面積．
題型03 補全判定相似三角形的證明過程
1．（2024·山西·模擬預測）閱讀下列材料，并完成相應任務：
下面是小華同學，課后學習過程中遇到的一個問題：
如圖①，在中，分別是邊的中點，，相交于點．求證：．
小華認真思考后，寫出下面的證明過程：連結．
分別是邊的中點，
，（依據）
……；……．；
任務：(1)填空：材料中的依據是指：______．
(2)將材料中的證明過程補充完整．
(3)如圖②，在中，為邊的中線．點分別為邊的中點，與交于點與交于點．則______．
2．（2024·福建泉州·模擬預測）在初中物理學中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯系．請耐心閱讀以下材料：
【光學模型】如圖1，通過凸透鏡光心O的光線，其傳播方向不變，平行于主光軸的光線經凸透鏡L折射后通過焦點，凸透鏡的兩側各有一個焦點F和，焦點到光心的距離稱為焦距，記為f．
【模型驗證】如圖2，平行于主光軸的光線經凸透鏡L折射后與光線的交點為點，過點作主光軸的垂線，垂足為，即可得出物體所成的像．
已知，，，，，當時，求證：．
證明：∵，，
∴，∴，∴，即．
同理可得，∴，即①______，
∴②______，∴，∴，即．
請結合上述材料，解決以下問題：
(1)在上述證明過程的虛框部分中，得到比例式所用到的幾何知識是___________；
(2)請補充上述證明過程中①②所缺的內容（用含的代數式表示）；
(3)如圖3，在中，，平分并交邊于點D，設，求的值(用含n的代數式表示)．
3．（2024·江蘇淮安·一模）如圖，在矩形中，，，點E在上，連接、，相交于點G，作，交于點F，設．
【變中不變】
（1）明明發現：連接，當點E的位置在上發生變化時，的度數始終不變．經過思考，他整理出如下說理過程，請補充完整．
∵，且①_______；∴；
∴即：；又∵；∴②_______；∴；
∴；
在矩形中，；
∴；∴③_______°，即度數不變．
【嘗試應用】（2）若，求的長；
【思維拓展】（3）將繞著點E順時針旋轉得到，是否存在這樣的x，使得有頂點落在直線上，若存在，請求出滿足條件的x值；若不存在，請說明理由．
題型04 以注重過程性學習的形式考查相似三角形的證明過程
1．（23-24九年級上·河北廊坊·階段練習）下表是小明填寫的綜合實踐活動報告的部分內容．
題目 測量河流寬度
目標 示意圖
測量數據 ，，
(1)下面是小亮借助小明的測量數據求河流寬度AB的過程，小亮檢查自己的解題過程時發現有錯誤，開始出現錯誤的是第______步；
解：由已知得，，
∴． ……第一步
又∵，
∴， ……第二步
∴， ……第三步
解得． ……第四步
(2)請你求出河流寬度的長．
2．（22-23九年級上·河北保定·期中）【閱讀與思考】
如圖是兩位同學對一道習題的交流，請認真閱讀下列對話并完成相應的任務．
在中，，，，是線段上一點，且，過點作交于點，使以，，為頂點的三角形與相似，求的長． 如圖，過點作，交于點，則 ． 這個解答有兩處錯誤，一處是比例式寫錯了，另一處是解答過程不完整，沒有分類討論．
【解決問題】(1)寫出正確的比例式及后續解答．
(2)請將另一種情況畫出相應圖形并解答．
3．（2022·山西運城·一模）計算：
(1)
(2)下面是小明作業中一個題目的解答過程，請你仔細閱讀，并完成相應的任務．
如圖，在中，點E是BC上一點，，連接BD，AE，AE與BD交于點F，已知的面積為24，求△BEF的面積．
解：作AG⊥BC于點G．
∵，∴．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，．
∴∠FBE＝∠ADF，∠FEB＝∠FAD，∴．………………依據
∴．∴．
∴．……………………×
∴．
任務一：填空：①上面解答過程中，證明三角形相似的依據是______．
②小明的作業經過老師批改在后畫了錯號，這一步錯誤的原因是______．
任務二：請你經過正確計算直接寫出△BEF的面積為______．
題型05 利用相似三角形的性質求解
利用相似三角形的性質可推得成比例線段，從而建立等式求得未知線段的長.在中考題中常常運用相似三角形的面積比等于相似比的平方解決與幾何圖形面積相關的問題.
1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案．若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·云南·中考真題）如圖，在ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點，設ABC的面積為S，EBD的面積為S．則=（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江蘇連云港·中考真題）的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形，其最長邊為12，則的周長是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
4．（2022·四川涼山·中考真題）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長為（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
5．（2022·浙江杭州·中考真題）如圖，在ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．
(1)若，求線段AD的長．
(2)若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．
題型06 利用相似的性質求坐標
1．（2020·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為、，點在第一象限內，連接、．已知，則 ．
2．（2023·江蘇鎮江·中考真題）如圖，正比例函數與反比例函數的圖象交于A，兩點，點C在x軸負半軸上，．

(1)______，______，點C的坐標為______．
(2)點P在x軸上，若以B，O，P為頂點的三角形與相似，求點P的坐標．
3．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，以點為位似中心，將按相似比放大，得到，則點的對應點的坐標為 ．
4．（2023·陜西西安·模擬預測）已知拋物線W：交x軸于點，交y軸于點，頂點為D．
(1)求出拋物線W的解析式；
(2)已知拋物線的對稱軸為直線l，點P為拋物線W上一點，過點P作l的垂線，垂足為Q，連接，若，求出點P的坐標．
題型07 相似三角形在網格中的應用
1．（2020·江蘇南通·中考真題）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點都在網格線的交點上．設△ABC的周長為C1，△DEF的周長為C2，則的值等于 ．
2．（2020·浙江湖州·中考真題）在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形．如圖，已知Rt△ABC是6×6網格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點三角形中．面積最大的三角形的斜邊長是 ．
3．（2024·河南洛陽·一模）圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上，在圖①、圖②、圖③給定的網格中按要求畫圖．（保留作圖痕跡，要求：借助網格，只用無刻度的直尺，不要求寫出畫法）
(1)在圖①中，在線段上畫出點M，使
(2)在圖②中，在線段上畫出點N，使
(3)在圖③中，在線段上畫出點Q，使
題型08 相似三角形的性質與判定綜合
由于相似三角形具有對應邊成比例、對應角相等的特性，因此在求線段的長及角的大小時，可以找出邊、角所在的三角形，然后尋找條件證明三角形相似，再根據相似三角形的性質得出對應邊成比例、對應角相等，進而求出線段的長及角的大小.
1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在邊長為10的菱形中，對角線，相交與點，點在延長線上，與相交與點．若，，則菱形的面積為 ．
2．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在中，點在邊上，，連接并延長交的延長線于點，連接并延長交的延長線于點F．求證：．小麗的思考過程如下：
參考小麗的思考過程，完成推理．
3．（2024·山東濟南·中考真題）某校數學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了深入研究．
（一）拓展探究 如圖1，在中，，垂足為．
（1）興趣小組的同學得出．理由如下：
①______ ②______
請完成填空：①______；②______；
（2）如圖2，為線段上一點，連接并延長至點，連接，當時，請判斷的形狀，并說明理由．
（二）學以致用
（3）如圖3，是直角三角形，，平面內一點，滿足，連接并延長至點，且，當線段的長度取得最小值時，求線段的長．
4．（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發現】如圖1，在中，點D在邊上．若，則，請證明；
（2）【靈活運用】如圖2，在中，，點D為邊的中點，，點E在上，連接，．若，求的長；
（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形中，，點E，F分別在邊，上，，延長，相交于點G．若，，求的長．
命題點二 相似三角形的性質與判定-拔高
題型01 利用相似三角形的性質與判定解決折疊問題
1．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在矩形中，平分，將矩形沿直線折疊，使點A，B分別落在邊上的點，處，，分別交于點G，H．若，，則的長為（ ）
A． B． C． D．5
2．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖， 在菱形紙片中， 點E在邊上，將紙片沿折疊， 點B落在處，， 垂足為F 若， 則
3．（2023·湖北武漢·中考真題）如圖，平分等邊的面積，折疊得到分別與相交于兩點．若，用含的式子表示的長是 ．

4．（2023·湖北·中考真題）如圖，將邊長為3的正方形沿直線折疊，使點的對應點落在邊上（點不與點重合），點落在點處，與交于點，折痕分別與邊，交于點，連接．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
5．（2024·湖北·中考真題）在矩形中，點E，F分別在邊，上，將矩形沿折疊，使點A的對應點P落在邊上，點B的對應點為點G，交于點H．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，當P為的中點，，時，求的長；
(3)如圖3，連接，當P，H分別為，的中點時，探究與的數量關系，并說明理由．
題型02 利用相似三角形的性質與判定解決動態函數圖像
1．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在中，，，，在中，，，與在同一條直線上，點C與點E重合．以每秒1個單位長度的速度沿線段所在直線向右勻速運動，當點B運動到點F時，停止運動．設運動時間為t秒，與重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是（ ）

A． B． C． D．
2．（2022·湖南衡陽·中考真題）如圖，在四邊形中，，，，平分．設，，則關于的函數關系用圖象大致可以表示為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·青海西寧·中考真題）如圖，△ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點D，E，F分別在邊BC，AB，AC上，且EF∥BC．設點E到BC的距離為x，△DEF的面積為y，則y關于x的函數圖象大致是（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在四邊形中，，，，，，動點P從點A出發，按的方向在，邊上移動，記，點D到直線的距離為y，則y關于x的函數圖象大致是（ ）
A． B．C．D．
題型03 利用相似三角形的性質與判定求線段比值
1．（2024·福建·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為的延長線交于點．
(1)求的值；
(2)求證：；
(3)求證：與互相平分．
2．（2024·安徽·中考真題）如圖1，的對角線與交于點O，點M，N分別在邊，上，且．點E，F分別是與，的交點．
(1)求證：；
(2)連接交于點H，連接，．
（?。┤鐖D2，若，求證：；
（ⅱ）如圖3，若為菱形，且，，求的值．
3．（2024·貴州·中考真題）綜合與探究：如圖，，點P在的平分線上，于點A．
(1)【操作判斷】
如圖①，過點P作于點C，根據題意在圖①中畫出，圖中的度數為______度；
(2)【問題探究】
如圖②，點M在線段上，連接，過點P作交射線于點N，求證：；
(3)【拓展延伸】
點M在射線上，連接，過點P作交射線于點N，射線與射線相交于點F，若，求的值．
4．（2023·浙江湖州·中考真題）【特例感知】
（1）如圖1，在正方形中，點P在邊的延長線上，連接，過點D作，交的延長線于點M．求證：．
【變式求異】
（2）如圖2，在中，，點D在邊上，過點D作，交于點Q，點P在邊的延長線上，連接，過點Q作，交射線于點M．已知，，，求的值．
【拓展應用】
（3）如圖3，在中，，點P在邊的延長線上，點Q在邊上（不與點A，C重合），連接，以Q為頂點作，的邊交射線于點M．若，（m，n是常數），求的值（用含m，n的代數式表示）．

題型04 利用相似三角形的性質與判定求最值
1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，中，于點，則的最大值為 ．
2．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的一邊在軸正半軸上，頂點的坐標為，點是邊上的動點，過點作 交邊于點，作交邊于點，連接．設的面積為．

(1)求關于的函數解析式；
(2)當取何值時，的值最大？請求出最大值．
3．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．

(1)求此拋物線的解析式；
(2)已知拋物線上有一點，其中，若，求的值；
(3)若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．
4．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，點依次在直線上，點固定不動，且，分別以為邊在直線同側作正方形、正方形，，直角邊恒過點，直角邊恒過點．
(1)如圖，若，，求點與點之間的距離；
(2)如圖，若，當點在點之間運動時，求的最大值；
(3)如圖，若，當點在點之間運動時，點隨之運動，連接，點是的中點，連接，則的最小值為_______．
題型05 利用相似三角形的性質與判定解決動點問題
對于動態相似圖形問題，一般是已知結論，求使結論成立的條件，可采取逆向思維，把結論視為題設的一部分，再結合已有的條件和圖形進行分析、探究，便可得到所需的條件.
1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動點，且．當的值最小時，則 ．

2．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，為原點，，點為平面內一動點，，連接，點是線段上的一點，且滿足．當線段取最大值時，點的坐標是（　?。?br/>
A． B． C． D．
3．（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，，是正方形的邊的三等分點，是對角線上的動點，當取得最小值時，的值是 ．

4．（2022·山東青島·中考真題）如圖，在中，，將繞點A按逆時針方向旋轉得到，連接．點P從點B出發，沿方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點A出發，沿方向勻速運動，速度為．交于點F，連接．設運動時間為．解答下列問題：
(1)當時，求t的值；
(2)設四邊形的面積為，求S與t之間的函數關系式；
(3)是否存在某一時刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
題型06 利用相似三角形的性質與判定解決存在性問題
1．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像經過原點和點．經過點的直線與該二次函數圖象交于點，與軸交于點．
(1)求二次函數的解析式及點的坐標；
(2)點是二次函數圖象上的一個動點，當點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設點的橫坐標為．
①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；
②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．
2．（2024·廣東·中考真題）【知識技能】
（1）如圖1，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉，得到．當點E的對應點與點A重合時，求證：．
【數學理解】
（2）如圖2，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉，得到，連接，，作的中線．求證：．
【拓展探索】
（3）如圖3，在中，，點D在上，．過點D作，垂足為E，，．在四邊形內是否存在點G，使得？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．
題型07 利用相似三角形列函數關系式
解決幾何圖形中的函數關系的問題，往往要用到幾何圖形的特征和相似的性質，尤其是利用相似得到比例式，從而將未知線段用含字母的代數式表示出來.
1．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在菱形中，，，點E是邊上的動點，連接，，過點A作于點F．設，，則y與x之間的函數解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在中，，，直線，是上的動點（端點除外），射線交于點．在射線上取一點，使得，作，交射線于點．設，．當時， ；在點運動的過程中，關于的函數表達式為 ．
3．（2022·遼寧大連·中考真題）如圖，在中，，，點D在上，，連接，，點P是邊上一動點（點P不與點A，D，C重合），過點P作的垂線，與相交于點Q，連接，設，與重疊部分的面積為S．
(1)求的長；
(2)求S關于x的函數解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．
題型08 利用三點定形法證明比例式或等積式
1．（2024·山東淄博·中考真題）在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學習．
【操作發現】
小明作出了的內接等腰三角形，．并在邊上任取一點（不與點，重合），連接，然后將繞點逆時針旋轉得到．如圖①
小明發現：與的位置關系是__________，請說明理由：
【實踐探究】
連接，與相交于點．如圖②，小明又發現：當確定時，線段的長存在最大值．
請求出當．時，長的最大值；
【問題解決】
在圖②中，小明進一步發現：點分線段所成的比與點分線段所成的比始終相等．請予以證明．
2．（2023·浙江杭州·中考真題）如圖，在中，直徑垂直弦于點，連接，作于點，交線段于點（不與點重合），連接．

(1)若，求的長．
(2)求證：．
(3)若，猜想的度數，并證明你的結論．
3．（2022·四川攀枝花·中考真題）如圖，直線分別與x軸、y軸交于點A、B，點C為線段上一動點（不與A、B重合），以C為頂點作，射線交線段于點D，將射線繞點O順時針旋轉交射線于點E，連接．
(1)證明：；（用圖1）
(2)當為直角三角形時，求的長度；（用圖2）
(3)點A關于射線的對稱點為F，求的最小值．（用圖3）
4．（2024·山東·模擬預測）如圖，點是上的一個動點，點是圓外任意兩點，連接，作的外接圓，恰好為外接圓的直徑，且外接圓過點，點是的中點，共線．
(1)作的邊上的高，垂足為點，證明：①；②；
(2)若的半徑為，，，求線段的長度的最小值．
題型09 尺規作圖與相似三角形綜合應用
1．（2021·山東濟寧·中考真題）如圖，已知．
（1）以點A為圓心，以適當長為半徑畫弧，交于點M，交于點N．
（2）分別以M，N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點P．
（3）作射線交于點D．
（4）分別以A，D為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于G，H兩點．
（5）作直線，交，分別于點E，F．
依據以上作圖，若，，，則的長是（ ）
A． B．1 C． D．4
2．（2024·江蘇鎮江·二模）某校課后延時興趣小組嘗試用尺規來“作一條線段的三等分點”，請認真閱讀下面的操作過程并完成相應的學習任務．
如圖，①分別以點，為圓心，大于的長為半徑在兩側畫弧，四段弧分別交于點，點；②連接，，，作射線；③以為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點；④連接，交于點．點即為的一個三等分點（即．
學習任務：
(1)填空：四邊形的形狀是 ； 你的依據是 ；
(2)證明：
3．（2024·山東日照·中考真題）如圖，以的頂點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，畫射線，交于點，交的延長線于點．
(1)由以上作圖可知，與的數量關系是_______
(2)求證：
(3)若，，，求的面積．
4．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，已知等腰，，作的外接圓為，小明同學利用尺規按以下步驟作圖：
①以點C為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交于兩點，
②再以點A為圓心，以相同長度為半徑畫弧交于點M，
③以點M為圓心，以兩弧交點間的距離為半徑，交第一個弧于點N；過點C作的垂線交射線于點D，為∠CAD的角平分線；
(1)求證：是的切線；
(2)若，求的面積．
題型10 三角板與相似三角形綜合應用
1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線上，且點A的橫坐標為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經過點A，另一條直角邊與直線交于點B，當點C在x軸上移動時，線段的最小值為 ．
2．（2022·浙江麗水·中考真題）一副三角板按圖1放置，O是邊的中點，．如圖2，將繞點O順時針旋轉，與相交于點G，則的長是 ．
3．（2024·內蒙古包頭·三模）如圖，將一個三角板放在上，使三角板的一直角邊經過圓心測得，，則的半徑長為（ ）．
A． B． C． D．
4．（2024·山西運城·一模）綜合與實踐
數學活動課上，王老師帶領學生利用手頭的三角板進行了如下的探究：

(1)問題發現：如圖1，將一個足夠大的三角板的直角頂點D放在三角板的斜邊中點處轉動，該三角板的兩直角邊與等腰直角三角板的兩直角邊，分別交于E、F兩點，則線段與的數量關系是______；
(2)拓展探究：如圖2，將一個足夠大的三角板的角（）頂點D放在三角板的斜邊中點處轉動，且，該三角板的兩邊與，的延長線分別交于E、F兩點，當時，試確定與的數量關系，并說明理由；
(3)類比提升：如圖3，將一個足夠大的三角板的直角頂點D放在三角板的斜邊中點處轉動，且，該三角板的兩直角邊與，分別交于E、F兩點，請直接寫出線段與的數量關系（無需證明）．
題型11平移與相似三角形綜合應用
1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，等腰中，，，將沿其底邊中線向下平移，使的對應點滿足，則平移前后兩三角形重疊部分的面積是 ．
2．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，點，，將線段平移得到線段，若，，則點的坐標是 ．
3．（2021·四川綿陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，，，，，將四邊形向左平移個單位后，點恰好和原點重合，則的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
4．（2021·四川雅安·中考真題）如圖，將沿邊向右平移得到，交于點G．若．．則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
題型12 利用相似三角形的性質與判定解決多結論問題
1．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在正方形中，與交于點O，H為延長線上的一點，且，連接，分別交，BC于點E，F，連接，則下列結論：①；②；③平分；④．
其中正確結論的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（2023·山東日照·中考真題）如圖，矩形中，，點P在對角線上，過點P作，交邊于點M，N，過點M作交于點E，連接．下列結論：①；②四邊形的面積不變；③當時，；④的最小值是20．其中所有正確結論的序號是 ．

3．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形沿著直線折疊，使點C與延長線上的點Q重合．交于點F，交延長線于點E．交于點P，于點M，，則下列結論，①，②，③，④．正確的是（ ）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
4．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，和是以點為直角頂點的等腰直角三角形，把以為中心順時針旋轉，點為射線、的交點．若，．以下結論：
①；②；
③當點在的延長線上時，；
④在旋轉過程中，當線段最短時，的面積為．
其中正確結論有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
題型13 與相似三角形有關的新考法問題
1．（2024·江蘇鎮江·中考真題）主題學習：僅用一把無刻度的直尺作圖
【閱讀理解】
任務：如圖1，點D、E分別在的邊、上，，僅用一把無刻度的直尺作、的中點．

操作：如圖2，連接、交于點P，連接交于點M，延長交于點N，則M、N分別為、的中點．
理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，則，，即M、N分別為、的中點．
【實踐操作】
請僅用一把無刻度的直尺完成下列作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡．
（1）如圖3，，點E、F在直線上．
①作線段的中點；
②在①中作圖的基礎上，在直線上位于點Ｆ的右側作一點P，使得；
（2）小明發現，如果重復上面的過程，就可以作出長度是已知線段長度的3倍、4倍、…k倍（k為正整數）的線段．如圖4，，已知點、在上，他利用上述方法作出了．點E、F在直線上，請在圖4中作出線段的三等分點；
【探索發現】
請僅用一把無刻度的直尺完成作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡．
（3）如圖5，是的中位線．請在線段上作出一點Q，使得（要求用兩種方法）．
2．（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動．
【特例探究】
（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．
等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表
圖序 角平分線的長 的度數 腰長 兩腰之和 兩腰之積
圖① 1 2 4 4
圖② 1 2
圖③ 1 ______ ______ ______
請補全表格中數據，并完成以下猜想．
已知的角平分線，，，用含的等式寫出兩腰之和與兩腰之積之間的數量關系：______．
【變式思考】
（2）已知的角平分線，，用等式寫出兩邊之和與兩邊之積之間的數量關系，并證明．
【拓展運用】
（3）如圖④，中，，點D在邊上，．以點C為圓心，長為半徑作弧與線段相交于點E，過點E作任意直線與邊，分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析的值是否變化？
3．（2021·山西·中考真題）閱讀與思考，請閱讀下列科普材料，并完成相應的任務．
圖算法 圖算法也叫諾模圖，是根據幾何原理，將某一已知函數關系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲線），并把它們按一定的規律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數式中的未知量．比如想知道10攝氏度相當于多少華氏度，我們可根據攝氏溫度與華氏溫度之間的關系：得出，當時，．但是如果你的溫度計上有華氏溫標刻度，就可以從溫度計上直接讀出答案，這種利用特制的線條進行計算的方法就是圖算法． 再看一個例子：設有兩只電阻，分別為5千歐和7.5千歐，問并聯后的電阻值是多少？ 我們可以利用公式求得的值，也可以設計一種圖算法直接得出結果：我們先來畫出一個的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長度進行刻度，這樣就制好了一張算圖．我們只要把角的兩邊刻著7.5和5的兩點連成一條直線，這條直線與角平分線的交點的刻度值就是并聯后的電阻值． 圖算法得出的數據大多是近似值，但在大多數情況下是夠用的，那些需要用同一類公式進行計算的測量制圖人員，往往更能體會到它的優越性．
任務：
（1）請根據以上材料簡要說明圖算法的優越性；
（2）請用以下兩種方法驗證第二個例子中圖算法的正確性：
①用公式計算：當，時，的值為多少；
②如圖，在中，，是的角平分線，，，用你所學的幾何知識求線段的長．
4．（2024·江西吉安·模擬預測）一塊材料的形狀是銳角三角形，下面分別對這塊材料進行課題探究：
課本再現：
（1）在圖1中，若邊，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在，上，這個正方形零件的邊長是多少
類比探究
（2）如圖2，若這塊銳角三角形材料可以加工成3個相同大小的正方形零件，請你探究高與邊的數量關系，并說明理由．
拓展延伸
（3）①如圖3，若這塊銳角三角形材料可以加工成圖中所示的4個相同大小的正方形零件，則的值為_______（直接寫出結果）；
②如圖4，若這塊銳角三角形材料可以加工成圖中所示的相同大小的正方形零件，求的值．
命題點三 相似三角形的應用
題型01 利用相似測量物體的高度
利用相似三角形的性質解決問題的關鍵是構造相似三角形，在構造的三角形中，被測物體一般是三角形的一邊，至少有一組對應邊的長度應易測得.
1．（2024·四川自貢·中考真題）為測量水平操場上旗桿的高度，九（2）班各學習小組運用了多種測量方法．

(1)如圖1，小張在測量時發現，自己在操場上的影長恰好等于自己的身高．此時，小組同學測得旗桿的影長為，據此可得旗桿高度為________m；
(2)如圖2，小李站在操場上E點處，前面水平放置鏡面C，并通過鏡面觀測到旗桿頂部A．小組同學測得小李的眼睛距地面高度，小李到鏡面距離，鏡面到旗桿的距離．求旗桿高度；
(3)小王所在小組采用圖3的方法測量，結果誤差較大．在更新測量工具，優化測量方法后，測量精度明顯提高，研學旅行時，他們利用自制工具，成功測量了江姐故里廣場雕塑的高度．方法如下：

如圖4，在透明的塑料軟管內注入適量的水，利用連通器原理，保持管內水面M，N兩點始終處于同一水平線上．
如圖5，在支架上端P處，用細線系小重物Q，標高線始終垂直于水平地面．
如圖6，在江姐故里廣場上E點處，同學們用注水管確定與雕塑底部B處于同一水平線的D，G兩點，并標記觀測視線與標高線交點C，測得標高，．將觀測點D后移到處，采用同樣方法，測得，．求雕塑高度（結果精確到）．
2．（2023·四川攀枝花·中考真題）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區銀川市賀蘭縣拜寺口內，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術珍品．某數學興趣小組決定采用我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為，選取與塔底在同一水平地面上的、兩點，分別垂直地面豎立兩根高為的標桿和，兩標桿間隔為，并且東塔、標桿和在同一豎直平面內．從標桿后退到處（即），從處觀察點，、、在一直線上；從標桿后退到處（即），從處觀察A點，A、、三點也在一直線上，且、、、、在同一直線上，請你根據以上測量數據，幫助興趣小組求出東塔的高度．

3．（2022·江蘇連云港·中考真題）我市的花果山景區大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區現存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點處測得阿育王塔最高點的仰角，再沿正對阿育王塔方向前進至處測得最高點的仰角，；小亮在點處豎立標桿，小亮的所在位置點、標桿頂、最高點在一條直線上，，．（注：結果精確到，參考數據：，，）
(1)求阿育王塔的高度；
(2)求小亮與阿育王塔之間的距離．
4．（2023·福建漳州模擬預測）為了加強視力保護意識，歡歡想在書房里掛一張測試距離為的視力表，但兩面墻的距離只有．在一次課題學習課上，歡歡向全班同學征集“解決空間過小，如何放置視力表問題”的方案，其中甲、乙兩位同學設計方案新穎，構思巧妙．
甲 乙
圖例
方案 如圖①是測試距離為的大視力表，可以用硬紙板制作一個測試距離為的小視力表②．通過測量大視力表中“”的高度（的長），即可求出小視力表中相應的“”的高度（的長） 使用平面鏡成像的原理來解決房間小的問題．如圖，在相距的兩面墻上分別懸掛視力表（）與平面鏡（），由平面鏡成像原理，作出了光路圖，通過調整人的位置，使得視力表的上、下邊沿，發出的光線經平面鏡的上下邊沿反射后射入人眼處，通過測量視力表的全長（）就可以計算出鏡長
(1)甲生的方案中如果大視力表中“”的高是，那么小視力表中相應“”的高是多少？
(2)乙生的方案中如果視力表的全長為，請計算出鏡長至少為多少米．
題型02 利用相似測量物體（不易測量）的寬度
利用相似測量物體(不易測量)的寬度的方法是將實際問題轉化為數學問題，并找出包含已知線段和待求線段的兩個相似三角形.然后根據相似三角形的對應邊成比例，求出物體的寬度.
1．（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，為了估算河面的寬度，即的長，在離河岸點2米遠的點，立一根長為1米的標桿，在河對岸的岸邊有一塊高為米的安全警示牌，警示牌的頂端M在河里的倒影為點N，即，兩岸均高出水平面米，即米，經測量此時A、D、N三點在同一直線上，并且點M、F、P、N共線，若均垂直于河面，求河寬是多少米？
2．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，一條小河兩岸分別有兩棵樹，記為樹A和樹B．小河的寬度未知，為了安全起見，數學興趣小組成員不得通過涉水的方式測量樹A與樹B之間的距離，于是他們采取如下方式：
①在樹B所在的河岸邊選擇一點C，觀測對岸的樹A，并記錄下的距離為；
②在樹B所在的河岸內側，選擇兩點D，E，從點D觀測樹A，且A，D以及C三點共線，然后從點E觀測樹B與樹A，并使E，B，A三點共線；
③調整D，E的位置，使，記錄下的距離為；
④測量出之間的距離大約為．
數學興趣小組的方案能否得出樹A與樹B之間的距離？請通過分析與計算說明．
3．（2023·福建三明·一模）下表是小明填寫的綜合實踐活動報告的部分內容，請你借助小明的測量數據，計算河流的寬度．
題目 測量河流寬度
目標示意圖
測量數據 ，，
題型03 其它問題
1．（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，小杰從燈桿的底部點B處沿水平直線前進到達點C處，他在燈光下的影長米，然后他轉身按原路返回到點B處，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是（ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
2．（2024·江蘇揚州·中考真題）物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現圖像投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）經小孔在屏幕（豎直放置）上成像．設，．小孔到的距離為，則小孔到的距離為 ．
3．（2022·江蘇鹽城·中考真題）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法
步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；
第二步：閉上左眼，調整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；
第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時看到被測物體出現在大拇指左側，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測物體的大小，估算橫向距離的長度；
第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測物體離觀測，點的距離值．
如圖是用“跳眼法”估測前方一輛汽車到觀測點距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測點的距離約為（ ）
A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
4．（2022·廣西賀州·中考真題）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）．“沙漏”是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計時結束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（ ）
A． B． C． D．第四章 三角形
第21講 相似三角形及其應用
（思維導圖+2考點+3命題點24種題型（含7種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 相似多邊形
考點二 相似三角形
04題型精研·考向洞悉
命題點一 相似三角形的性質與判定-基礎
題型01 選擇或補充一個條件使兩個三角形相似
題型02 選擇合適的方法證明兩個三角形相似
題型03 補全判定相似三角形的證明過程
題型04 以注重過程性學習的形式考查相似三角形的證明過程
題型05 利用相似三角形的性質求解
題型06 利用相似的性質求坐標
題型07 相似三角形在網格中的應用
題型08 相似三角形的性質與判定綜合
命題點二 相似三角形的性質與判定-拔高
題型01 利用相似三角形的性質與判定解決折疊問題
題型02 利用相似三角形的性質與判定解決動態函數圖像
題型03 利用相似三角形的性質與判定求線段比值
題型04 利用相似三角形的性質與判定求最值
題型05 利用相似三角形的性質與判定解決動點問題
題型06 利用相似三角形的性質與判定解決存在性問題
題型07 利用相似三角形列函數關系式
題型08 利用三點定形法證明比例式或等積式
題型09 尺規作圖與相似三角形綜合應用
題型10 三角板與相似三角形綜合應用
題型11平移與相似三角形綜合應用
題型12 利用相似三角形的性質與判定解決多結論問題
題型13 與相似三角形有關的新考法問題
命題點三 相似三角形的應用
題型01 利用相似測量物體的高度
題型02 利用相似測量物體（不易測量）的寬度
題型03 其它問題
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
相似三角形的性質 ★★★ 了解相似三角形的判定定理； 了解相似三角形的性質定理.
相似三角形的有關證明與計算 ★★★
相似三角形的應用 ★★ 會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題
【考情分析】本專題主要考查相似三角形的判定和性質，利用相似的性質求線段的長度、圖形的面積等，試題形式多樣，難度不一，相似三角形的判定方法較多，合理的選擇方法是解題的關鍵，常見的相似模型有“A”字形、8”字形及“一線三等角”等，熟練掌握這些模型能提升解題速度. 【命題預測】相似三角形是中考數學中非常重要的一個考點，也是難度最大的一個考點. 它不僅可以作為簡單考點單獨考察，還經常作為壓軸題的重要解題方法，和其他如函數、特殊四邊形、圓等問題一起考察. 而且在很多壓軸題中，經常通過相似三角形的判定以及性質來得到角相等或者邊長間的關系，也是動點問題中得到函數關系式的重要手段，需要考生在復習的時候給予加倍的重視!
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 相似多邊形
1.相似圖形：把形狀相同的圖形叫做相似形.
【補充】1）相似圖形的形狀完全一樣，圖形的大小不一定相同；
2）全等圖形是一種特殊的相似圖形，它們不僅形狀相同，大小也相同；
3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形的是不是形狀相同，與其它的因素無關.
2.相似多邊形及、性質與判定
相似多邊形的定義：兩個邊數相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.
相似比：相似多邊形對應邊的比叫做相似比.
相似多邊形的表示：兩個相似多邊形可以用符號“∽”，讀作“相似于”.
【補充】1）相似多邊形的三個條件：①邊數相同；②對應角相等；③對應邊成比例；
2）全等多邊形的相似比是1，即全等圖形是一種特殊的相似圖形；；
3）當用符號“∽”表示兩個相似圖形時，對應點必須寫在對應位置.
1．（2024·寧夏銀川·三模）如圖，用放大鏡將賀蘭山旅游圖標放大，這兩個圖形之間屬于以下哪種圖形變換（ ）
A．相似 B．平移 C．軸對稱 D．旋轉
【答案】A
【分析】本題考查數學知識解決實際問題，理解相似、平移、軸對稱和旋轉的定義及性質是解決問題的關鍵．根據題意可知，將圖標放大，圖形大小發生了變化，結合平移、軸對稱和旋轉不改變圖形大小可以確定，這兩個圖是相似關系，從而得到答案．
【詳解】解：根據相似的定義及性質可知，用放大鏡將石阡旅游圖標放大，兩個圖形的形狀相同，大小不同，因此這兩個圖形的關系是相似，
故選：A．
2．（2024·江蘇連云港·中考真題）下列網格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（ ）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【分析】本題考查相似圖形，根據對應角相等，對應邊對應成比例的圖形是相似圖形結合正方形的性質，進行判斷即可．
【詳解】解：由圖可知，只有選項甲和丁中的對應角相等，且對應邊對應成比例，它們的形狀相同，大小不同，是相似形．
故選D．
3．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，以點O為位似中心，作四邊形的位似圖形﹐已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【分析】兩圖形位似必相似，再由相似的圖形面積比等于相似比的平方即可求解．
【詳解】解：由題意可知，四邊形與四邊形相似，
由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：，
又四邊形的面積是2，
∴四邊形的面積為18，
故選：D．
【點睛】本題考查相似多邊形的性質，屬于基礎題，熟練掌握相似圖形的性質是解決本題的關鍵．
4．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖與關于點A 成位似圖形，若他們的位似比為，則與的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是位似圖形的概念和性質，掌握位似圖形的概念、相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．根據位似圖形的概念得到與相似，根據相似多邊形的性質計算，得到答案．
【詳解】解：∵與關于點A 成位似圖形，他們的位似比為，
∴與相似，他們的相似比為，
∴與的面積比為，
故選：A．
5．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖是我國自主研發的某汽車的廣告文案．已知：將矩形對折后所得的矩形如果與原矩形相似，那么原矩形的長與寬之比稱為白銀比，則白銀比的近似值是 ．（小數點后保留三位）
它們的大氣端莊 主要來源于對東方傳統美學中 白銀比例這一規律的運用 和黃金比例相比白 銀比例下的作品 更為端正平街 也更符合東方審美
【答案】1.414
【分析】本題考查相似矩形、折疊性質、新定義問題等知識，讀懂題意，理解白銀比概念，設原來矩形的長為，寬為，由折疊性質及相似多邊形定義得到白銀比的數學表示，求解即可得到答案，讀懂題意，理解白銀比是解決問題的關鍵．
【詳解】解：設原來矩形的長為，寬為，
根據白銀比定義可得，即，解得，
白銀比為．
考點二 相似三角形
相似三角形的定義：三個角對應相等，三條邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示為△ABC∽△DEF.
【補充】三角形全等是三角形相似的特殊情況，全等三角形的相似比等于1.
【注意事項】符號“∽”表示兩個三角形相似時，要把表示對應頂點的大宇母寫在對應的位置上，如△ABC∽△DEF，表示頂點A與D，B與E，C與F分別對應；
【易錯點】如果僅說△ABC與△DEF相似，沒有用“∽”連接，則需要分情況討論它們之間的對應關系.
相似比：相似三角形對應邊的比叫做相似比.
【補充】相似比具有順序性，如△ABC∽△DEF，相似比為k，則△DEF與△ABC的相似比為.
常見的基本圖形：
圖①和圖②分別為“A型”圖和“X型”圖，條件是DE//BC，基本結論是△ABC∽△ADE；
圖③、圖④是圖①的變形圖，圖⑤是圖②的變形圖;
圖⑥是“母子型”圖，條件是BD為直角△ABC斜邊上的高，基本結論是△ABC∽△BDC∽△ADB.
相似三角形的判定方法：
1）判定三角形相似的常用定理：
①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似．
②三邊成比例的兩個三角形相似；
③兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；
④兩角分別相等的兩個三角形相似．
2）直角三角形相似的判定方法：
①有一個銳角相等的兩個直角三角形相似.
②兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似.
③斜邊和直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似.
相似三角形的性質：
1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.
【補充】己知兩三角形相似，寫對應角相等，對應邊成比例時，原則是“大對大，小對??；長對長，短對短”.
【小技巧】相似多邊形對應邊的比相等是求某條線段的長或求兩條線段的比的一種常用方法，采用此方法時一定要注意找準對應關系.
2）相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.
3）相似三角形周長的比等于相似比.
4）相似三角形面積比等于相似比的平方.
5）傳遞性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，則△BDC∽△ADB.
1．（2024·湖南·中考真題）如圖，在中，點分別為邊的中點．下列結論中，錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了三角形中位線的性質，相似三角形的判定和性質，由三角形中位線性質可判斷；由相似三角形的判定和性質可判斷，掌握三角形中位線的性質及相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵點分別為邊的中點，
∴，，故正確；
∵，
∴，故正確；
∵，
∴，
∴，故錯誤；
故選：．
2．（2024·青海·中考真題）如圖，線段AC、BD交于點O，請你添加一個條件： ，使△AOB∽△COD．
【答案】．(答案不唯一)
【分析】有一對對頂角∠AOB與∠COD，添加，即得結論．
【詳解】解： ∵∠AOB=∠COD（對頂角相等），，
∴△ABO∽△CDO．
故答案為：．(答案不唯一)
【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
3．（2024·云南·中考真題）如圖，與交于點，且．若，則 ．

【答案】/0.5
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，證明，根據相似三角形周長之比等于相似比，即可解題．
【詳解】解： ，
，
，
故答案為：．
4．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形的對角線相交于點O，點E是的中點，點F是上一點．連接．若，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，正方形的性質，先由正方形的性質得到，，再證明，進而可證明，由相似三角形的性質可得，即．
【詳解】解：∵正方形的對角線相交于點O，
∴，，
∵點E是的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案為：．
5．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．根據正方形的性質，得出，，進而得出，根據兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可證明．
【詳解】解：，，
，
四邊形是正方形，
，，
，，
又，
．
04題型精研·考向洞悉
命題點一 相似三角形的性質與判定-基礎
題型01 選擇或補充一個條件使兩個三角形相似
相似三角形的判定方法：
判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法
1 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似 斜邊和直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似
2 三邊成比例的兩個三角形相似 有一個銳角相等的兩個直角三角形相似
3 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似 兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似
4 兩角分別相等的兩個三角形相似
解題方法：判定兩個三角形相似需要根據條件選擇方法．有時條件不具備，需從以下幾個方面探求：
1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；
2）兩個三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找夾這組等角的兩邊成比例；
3）兩個三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例；
4）條件中若有一組直角，可再找一組等角或證明斜邊、直角邊對應成比例；
5）條件中若有等腰三角形，可找頂角相等，或找底角相等，或找底和腰對應成比例.
【拓展】特殊三角形相似的判定：
1）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似.
2）兩個等腰直角三角形一定相似.
1．（2021·湖南湘潭·中考真題）如圖，在中，點D，E分別為邊，上的點，試添加一個條件： ，使得與相似．（任意寫出一個滿足條件的即可）
【答案】
【分析】根據相似三角形的判定方法：兩邊成比例，夾角相等解題．
【詳解】解：根據題意，添加條件，
故答案為：．
【點睛】本題考查相似三角形的判定，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
2．（2022·湖南邵陽·中考真題）如圖，在中，點在邊上，點在邊上，請添加一個條件 ，使．
【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【分析】已知有一個公共角，則可以再添加一個角從而利用有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定或添加夾此角的兩邊對應成比例也可以判定．
【詳解】解∶∵∠A=∠A，
∴根據兩角相等的兩個三角形相似，可添加條件∠ADE=∠B或∠AED=∠C證相似；
根據兩邊對應成比例且夾角相等，可添加條件證相似．
故答案為∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【點睛】此題考查了本題考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．
3．（2024·黑龍江綏化·模擬預測）如圖，點P在的邊上，要判斷，添加一個條件，下列不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是相似三角形的判定，分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．
【詳解】解：A、當時，
又∵，
∴，故此選項不符合題意；
B、當時，
又∵，
∴，故此選項不符合題意；
C、當時，
又∵，
∴，故此選項不符合題意；
D、當時，無法得到，故此選項符合題意．
故選：D．
4．（2024·云南昆明·三模）如圖，在四邊形中，平分，且，．當 時，．
【答案】9
【分析】本題考查相似三角形的判定，根據兩組對應邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，進行求解即可．
【詳解】解：∵平分，
∴，
當時，，
即：，
∵，，
∴，
∴；
故答案為：9．
題型02 選擇合適的方法證明兩個三角形相似
1．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在與中，點、分別在邊、上，且，若___________，則．請從①；②；③這三個選項中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明．
【答案】見解析．
【分析】根據相似三角形的判定定理證明即可．
【詳解】解：若選①，
證明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
選擇②，不能證明．
若選③，
證明：∵，
∴，∴，
又∵，
∴．
【點睛】本題考查相似三角形的判定定理，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．
2．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點，且，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：．
【答案】見解析
【分析】先根據等腰三角形的性質得∠C=∠BEC，又由對頂角相等可證得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出結論．
【詳解】證明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質和相似三角形的判定定理是解題的關鍵．
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，將繞點B逆時針旋轉得到，連接MA，求證：∽
【答案】見解析
【分析】本題考查了相似三角形的判定，旋轉的性質，熟練掌握相似三角形的判定定理，旋轉的性質是解題的關鍵．
由旋轉性質可得：，，，進而可得，，由此根據相似三角形的判定定理即可證明
【詳解】證明：將繞點B逆時針旋轉得到，
由旋轉性質，得，，，
，
，
，
即，
∽
4．（2024·山西呂梁·模擬預測）李老師在編寫下面這個題目的答案時，不小心打亂了解答過程的順序，你能幫他調整過來嗎？證明步驟正確的順序是（　　）
已知：如圖，在中，點 分別在邊上，且，求證：．
證明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴．
A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①
【答案】B
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質；關鍵是證明三角形相似．根據平行線的性質可得到兩組對應角相等，易得解題步驟；
【詳解】證明：②，
④，
①又，
③，
．
故選：B．
5．（2024·北京西城·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系內有兩點，，所在直線的方程為，連接．

(1)求的值；
(2)求證：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析．
【分析】（）把代入即可求解；
（）由得直線的方程為，求出，從而得，，，然后根據“兩組對邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”即可求證；
本題考查了待定系數法求一次函數解析式，相似三角形的判定，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】（1）∵在直線上，
∴，
解得：；
（2）由（）得，
∴所在直線的方程為，
當時，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
又，
∴．
6．（2024·廣東惠州·二模）如圖，四邊形是某學校的一塊種植實驗基地，其中是水果園，是蔬菜園．已知．
(1)求證：；
(2)若蔬菜園的面積為80，求水果園的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵
（1）由，可得，由，，即，可證．
（2）由（1）知，則，即，計算求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，
∴，即，
解得，，
答：水果園的面積為 ．
題型03 補全判定相似三角形的證明過程
1．（2024·山西·模擬預測）閱讀下列材料，并完成相應任務：
下面是小華同學，課后學習過程中遇到的一個問題：
如圖①，在中，分別是邊的中點，，相交于點．求證：．
小華認真思考后，寫出下面的證明過程：連結．
分別是邊的中點，
，（依據）
……；……．
；
任務：
(1)填空：材料中的依據是指：______．
(2)將材料中的證明過程補充完整．
(3)如圖②，在中，為邊的中線．點分別為邊的中點，與交于點與交于點．則______．
【答案】(1)三角形中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
（1）利用三角形中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”解答即可；
（2）證明，即可解答；
（3）如圖中，連接．設的面積為．證明，得出，從而得出，，再根據，得出，，即可求解．
【詳解】（1）解：依據：三角形中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）．
（2）解：補充如下：
，
，
，
，
；
（3）解：如圖中，連接．設的面積為．
，
，
，
，，
，
∴，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
∴，
．
2．（2024·福建泉州·模擬預測）在初中物理學中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯系．請耐心閱讀以下材料：
【光學模型】如圖1，通過凸透鏡光心O的光線，其傳播方向不變，平行于主光軸的光線經凸透鏡L折射后通過焦點，凸透鏡的兩側各有一個焦點F和，焦點到光心的距離稱為焦距，記為f．
【模型驗證】如圖2，平行于主光軸的光線經凸透鏡L折射后與光線的交點為點，過點作主光軸的垂線，垂足為，即可得出物體所成的像．
已知，，，，，當時，求證：．
證明：∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
同理可得，
∴，即①______，
∴②______，∴，∴，即．
請結合上述材料，解決以下問題：
(1)在上述證明過程的虛框部分中，得到比例式所用到的幾何知識是___________；
(2)請補充上述證明過程中①②所缺的內容（用含的代數式表示）；
(3)如圖3，在中，，平分并交邊于點D，設，求的值(用含n的代數式表示)．
【答案】(1)相似三角形的性質
(2)①，②
(3)
【分析】（1）根據相似三角形的性質求解即可；
（2）根據相似三角形的性質可得，再利用等量代換可得即可；
（3）作，交的延長線于點E，作，交于點F，過點F作，垂足為G，由角平分線的定義和平行線的性質可得，再由等角對等邊可得，同理可得，證明，，可得，，進而可得，即 ，根據等腰三角形的性質可得，利用銳角三角函數求得，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可得，上述證明過程的虛框部分中，得到比例式所用到的幾何知識是相似三角形的性質，
故答案為：相似三角形的性質；
（2）解：由題意可得，，即①，
∴②，
故答案為：①，②；
（3）解：如圖，作，交的延長線于點E，作，交于點F，過點F作，垂足為G，
∵平分，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在中，，，即，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查相似三角形的性質與判定、銳角三角函數、平行線的性質、等腰三角形的性質與判定及角平分線的定義，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．
3．（2024·江蘇淮安·一模）如圖，在矩形中，，，點E在上，連接、，相交于點G，作，交于點F，設．
【變中不變】
（1）明明發現：連接，當點E的位置在上發生變化時，的度數始終不變．經過思考，他整理出如下說理過程，請補充完整．
∵，且①_______；
∴；
∴即：；
又∵；
∴②_______；
∴；
∴；
在矩形中，；
∴；
∴③_______°，即度數不變．
【嘗試應用】
（2）若，求的長；
【思維拓展】
（3）將繞著點E順時針旋轉得到，是否存在這樣的x，使得有頂點落在直線上，若存在，請求出滿足條件的x值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；；；（2）；（3）或或．
【分析】（1）證明推出，再證明，得到，據此即可求解；
（2）由（1）得到，推出，得到，根據勾股定理求得相關數據，再代入求解即可；
（3）分三種情況討論，①當點與點重合時；②當點落在直線上時，過點作交分別為，證明，用表示出，在中，利用勾股定理列式計算即可求解；③當點落在直線上時，過點作交分別為，用表示出，證明，利用相似三角形的性質列式計算即可求解．
【詳解】解：（1）∵，且；
∴；
∴即：；
又∵；
∴；
∴；
∴；
在矩形中，；
∴；
∴，即度數不變．
故答案為：；；；
（2）∵矩形中，，，
∴，，，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，即，
解得；
（2）存在，①當點與點重合時，點都在直線上，此時；
②當點落在直線上時，由旋轉得，，，
過點作交分別為，
∴四邊形為矩形，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，
同理，
在中，，即，
整理得，
解得或，
∵，
∴不合題意，舍去，
∴；
③當點落在直線上時，過點作交分別為，
同理四邊形為矩形，
∴，
由旋轉得，，，
同理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得（舍去負值），
∴，
綜上，或或．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形，矩形的性質，旋轉的性質，勾股定理，解一元二次方程，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題．
題型04 以注重過程性學習的形式考查相似三角形的證明過程
1．（23-24九年級上·河北廊坊·階段練習）下表是小明填寫的綜合實踐活動報告的部分內容．
題目 測量河流寬度
目標 示意圖
測量數據 ，，
(1)下面是小亮借助小明的測量數據求河流寬度AB的過程，小亮檢查自己的解題過程時發現有錯誤，開始出現錯誤的是第______步；
解：由已知得，，
∴． ……第一步
又∵，
∴， ……第二步
∴， ……第三步
解得． ……第四步
(2)請你求出河流寬度的長．
【答案】(1)三
(2)
【分析】本題主要考查相似三角形的應用：
（1）根據題意可得：開始出現錯誤的是第三步；
（2）先證明，再利用相似三角形對應邊成比例，即可求解．
【詳解】（1）解：開始出現錯誤的是第三步；
故答案為：三
（2）解：由已知得，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴ ，
解得：．
2．（22-23九年級上·河北保定·期中）【閱讀與思考】
如圖是兩位同學對一道習題的交流，請認真閱讀下列對話并完成相應的任務．
在中，，，，是線段上一點，且，過點作交于點，使以，，為頂點的三角形與相似，求的長． 如圖，過點作，交于點，則 ． 這個解答有兩處錯誤，一處是比例式寫錯了，另一處是解答過程不完整，沒有分類討論．
【解決問題】
(1)寫出正確的比例式及后續解答．
(2)請將另一種情況畫出相應圖形并解答．
【答案】(1)，；
(2)見解析．
【分析】（1）根據相似三角形的性質可得出結論；
（2）另一個錯誤是沒有進行分類討論，過點作，則，可得出結論．
【詳解】（1）正確比例式為：，
，
（2）另一個錯誤是沒有進行分類討論，如圖，過點作，

，則，
，
，
綜上可得：DE為或．
【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質，正確進行分類討論是解題的關鍵．
3．（2022·山西運城·一模）計算：
(1)
(2)下面是小明作業中一個題目的解答過程，請你仔細閱讀，并完成相應的任務．
如圖，在中，點E是BC上一點，，連接BD，AE，AE與BD交于點F，已知的面積為24，求△BEF的面積．
解：作AG⊥BC于點G．
∵，∴．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，．
∴∠FBE＝∠ADF，∠FEB＝∠FAD，∴．………………依據
∴．∴．
∴．……………………×
∴．
任務一：填空：①上面解答過程中，證明三角形相似的依據是______．
②小明的作業經過老師批改在后畫了錯號，這一步錯誤的原因是______．
任務二：請你經過正確計算直接寫出△BEF的面積為______．
【答案】(1)
(2)①兩組角對應相等的兩個三角形相似；②；③1
【分析】（1）先計算平方，負整數指數冪，絕對值，然后進行除法和加減運算即可；
（2）①由題意知，證明三角形相似的依據是兩組角對應相等的三角形相似；進而可得答案；②由①可知，由與的底邊，上的高相等，可得，進而可得答案；③由題意知，，根據，，，計算求解即可．
【詳解】（1）解：原式
（2）解：①由題意知，證明三角形相似的依據是兩組角對應相等的兩個三角形相似；
故答案為：兩組角對應相等的兩個三角形相似．
②由①可知
∵與底邊，上的高相等，
∴
故答案為：．
③解：由題意知，
∴，
∵
∴
解得
故答案為：1．
【點睛】本題考查了平方，負整數指數冪，絕對值，相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．
題型05 利用相似三角形的性質求解
利用相似三角形的性質可推得成比例線段，從而建立等式求得未知線段的長.在中考題中常常運用相似三角形的面積比等于相似比的平方解決與幾何圖形面積相關的問題.
1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是相似三角形的性質，銳角三角函數的應用，規律探究；先求解，可得，再進一步探究即可；
【詳解】解：∵12個相似的直角三角形，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
∴，
故選C
2．（2022·云南·中考真題）如圖，在ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點，設ABC的面積為S，EBD的面積為S．則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判定，得到相似比為，再根據兩個相似三角形的面積比等于相似比的平方，據此解題即可．
【詳解】解：∵D、E分別為線段BC、BA的中點，
∴，
又∵，
∴，相似比為，
∴，
故選：B．
【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
3．（2022·江蘇連云港·中考真題）的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形，其最長邊為12，則的周長是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
【答案】C
【分析】根據相似三角形的性質求解即可．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF相似，△ABC的最長邊為4，△DEF的最長邊為12，
∴兩個相似三角形的相似比為1:3，
∴△DEF的周長與△ABC的周長比為3:1，
∴△DEF的周長為3×（2+3+4）=27，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，熟知相似三角形的周長之比等于相似之比是解題的關鍵．
4．（2022·四川涼山·中考真題）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長為（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
【答案】C
【分析】根據平行得到，根據相似的性質得出，再結合，DE＝6cm，利用相似比即可得出結論．
【詳解】解：在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DEBC，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：C．
【點睛】本題考查利用相似求線段長，涉及到平行線的性質、兩個三角形相似的判定與性質等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．
5．（2022·浙江杭州·中考真題）如圖，在ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．
(1)若，求線段AD的長．
(2)若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．
【答案】(1)2
(2)6
【分析】（1）利用平行四邊形對邊平行證明，得到即可求出；
（2）利用平行條件證明，分別求出、的相似比，通過相似三角形的面積比等于相似比的平方分別求出、，最后通過求出．
【詳解】（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵四邊形BFED是平行四邊形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方、靈活運用平行條件證明三角形相似并求出相似比是解題關鍵．
題型06 利用相似的性質求坐標
1．（2020·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為、，點在第一象限內，連接、．已知，則 ．
【答案】
【分析】過點C作CD⊥y軸，交y軸于點D，則CD∥AO，先證CDE≌CDB（ASA），進而可得DE＝DB＝4－n，再證AOE∽CDE，進而可得，由此計算即可求得答案．
【詳解】解：如圖，過點C作CD⊥y軸，交y軸于點D，則CD∥AO，
∴∠DCE＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCA＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵CD⊥y軸，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，
又∵CD＝CD，
∴CDE≌CDB（ASA），
∴DE＝DB，
∵B（0，4），C（3，n），
∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，
∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，
∴OE＝OD－DE
＝n－（4－n）
＝2n－4，
∵A（－4，0），
∴AO＝4，
∵CD∥AO，
∴AOE∽CDE，
∴ ，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質以及點的坐標的應用，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解決本題的關鍵．
2．（2023·江蘇鎮江·中考真題）如圖，正比例函數與反比例函數的圖象交于A，兩點，點C在x軸負半軸上，．

(1)______，______，點C的坐標為______．
(2)點P在x軸上，若以B，O，P為頂點的三角形與相似，求點P的坐標．
【答案】(1)，，
(2)點P的坐標為或
【分析】（1）點B是兩函數圖象的交點，利用待定系數法求出m，k的值；根據“A，B兩點關于原點對稱”求出點A的坐標，過點A作x軸的垂線，利用等腰直角三角形的性質，結合圖形，求出點C的坐標．
（2）根據點P在x軸上，結合圖形，排除點P在x軸負半軸上的情形，當點P在x軸正半軸上時，兩個三角形中已有一對角相等，而夾角的兩邊的對應關系不確定，故分類討論：①；②．分別求出兩種情況下的長，從而得出點P的坐標．
【詳解】（1）（1）將代入，得，
∴．
將代入，得，
∴．
如圖，過點A作軸于點D，則．

∵點A，B關于原點O對稱，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：，，；
（2）由（1）可知，，．
當點P在x軸的負半軸上時，，
∴．
又∵，
∴與不可能相似．
當點P在x軸的正半軸上時，．
①若，則，
∵，
∴，
∴；
②若，則，
又∵，，
∴，
∴．
綜上所述，點P的坐標為或．
【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、相似三角形的性質．熟練掌握用待定系數法求函數表達式，并能利用數形結合思想和分類討論思想分析是解答本題的關鍵．
3．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，以點為位似中心，將按相似比放大，得到，則點的對應點的坐標為 ．
【答案】或/或
【分析】本題主要考查了位似變換、相似三角形的判定與性質等知識，理解位似圖形的定義和性質是解題關鍵．分與在軸同側和與在軸異側兩種情況討論，分別求解即可．
【詳解】解：分兩種情況討論，
①如下圖，當與在軸同側時，過點作軸于點，過點作軸于點，
∵，，
∴，，，
∵將按相似比放大，得到，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴；
②如下圖，當與在軸異側時，過點作軸于點，過點作軸于點，
由①可知，，，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴
∴．
故答案為：或．
4．（2023·陜西西安·模擬預測）已知拋物線W：交x軸于點，交y軸于點，頂點為D．
(1)求出拋物線W的解析式；
(2)已知拋物線的對稱軸為直線l，點P為拋物線W上一點，過點P作l的垂線，垂足為Q，連接，若，求出點P的坐標．
【答案】(1)
(2)或
【分析】
本題主要考查了二次函數綜合，相似三角形的性質，求二次函數解析式：
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）先把解析式化為頂點式得到拋物線對稱軸為直線，頂點D的坐標為，設，則，可得，再求出，根據相似三角形的性質可得，即，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線W：交x軸于點，交y軸于點，
∴，
∴，
∴拋物線W的解析式為；
（2）解：∵拋物線解析式為，
∴拋物線對稱軸為直線，頂點D的坐標為，
設，則，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴或，
∴或，
解得（舍去）或或，
∴點P的坐標為或．
題型07 相似三角形在網格中的應用
1．（2020·江蘇南通·中考真題）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點都在網格線的交點上．設△ABC的周長為C1，△DEF的周長為C2，則的值等于 ．
【答案】
【分析】先證明兩個三角形相似，再根據相似三角形的周長比等于相似比，得出周長比的值便可．
【詳解】解：∵，
，
，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查相似三角形的性質與判定，勾股定理，本題關鍵是證明三角形相似．
2．（2020·浙江湖州·中考真題）在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形．如圖，已知Rt△ABC是6×6網格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點三角形中．面積最大的三角形的斜邊長是 ．
【答案】5
【分析】根據相似三角形的性質確定兩直角邊的比值為1：2，以及6×6網格圖形中，最長線段為6，進行嘗試，可確定、、為邊的這樣一組三角形滿足條件．
【詳解】解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，
∴AB=，AC：BC=1：2，
∴與Rt△ABC相似的格點三角形的兩直角邊的比值為1：2，
若該三角形最短邊長為4，則另一直角邊長為8，但在6×6網格圖形中，最長線段為6，但此時畫出的直角三角形為等腰直角三角形，從而畫不出端點都在格點且長為8的線段，故最短直角邊長應小于4，在圖中嘗試，可畫出DE=，EF=2，DF=5的三角形，
∵===，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠DEF=∠C=90°，
∴此時△DEF的面積為：×2÷2=10，△DEF為面積最大的三角形，其斜邊長為：5．
故答案為：5．
【點睛】本題考查了作圖-應用與設計、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
3．（2024·河南洛陽·一模）圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上，在圖①、圖②、圖③給定的網格中按要求畫圖．（保留作圖痕跡，要求：借助網格，只用無刻度的直尺，不要求寫出畫法）
(1)在圖①中，在線段上畫出點M，使
(2)在圖②中，在線段上畫出點N，使
(3)在圖③中，在線段上畫出點Q，使
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)見解析．
【分析】本題考查作圖-應用與設計作圖、相似三角形的判定與性質、垂線，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
（1）取格點C，D，使，且，連接，交于點M，則點M即為所求．
（2）取格點E，F，使，且，連接，交于點N，則點N即為所求．
（3）利用網格，過點P作的垂線，與的交點即為點Q
【詳解】（1）解：如圖①，取格點C，D，使，且，
連接，交于點M，
則，
，
即，
則點M即為所求．
（2）如圖②，取格點E，F，使，且，
連接，交于點N，
則，
，
即，
則點N即為所求．
（3）如圖③，取格點G，連接交于點Q，
則點Q即為所求．
題型08 相似三角形的性質與判定綜合
由于相似三角形具有對應邊成比例、對應角相等的特性，因此在求線段的長及角的大小時，可以找出邊、角所在的三角形，然后尋找條件證明三角形相似，再根據相似三角形的性質得出對應邊成比例、對應角相等，進而求出線段的長及角的大小.
1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在邊長為10的菱形中，對角線，相交與點，點在延長線上，與相交與點．若，，則菱形的面積為 ．
【答案】96
【分析】此題重點考查菱形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識．作交于點H，則，求得，再證明，求得，再證明，則，利用勾股定理求得的長，再利用菱形的面積公式求解即可得到問題的答案．
【詳解】解：作交于點H，則，
∵四邊形是邊長為10的菱形，對角線相交于點O，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形是菱形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：96．
2．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在中，點在邊上，，連接并延長交的延長線于點，連接并延長交的延長線于點F．求證：．小麗的思考過程如下：
參考小麗的思考過程，完成推理．
【答案】見解析
【分析】本題考查的是平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，先證明，可得，同理可得：，再進一步證明即可．
【詳解】證明：四邊形是平行四邊形
，，
，
同理可得，，
∴
又，
即，
又，
．
3．（2024·山東濟南·中考真題）某校數學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了深入研究．
（一）拓展探究
如圖1，在中，，垂足為．
（1）興趣小組的同學得出．理由如下：
①______ ②______
請完成填空：①______；②______；
（2）如圖2，為線段上一點，連接并延長至點，連接，當時，請判斷的形狀，并說明理由．
（二）學以致用
（3）如圖3，是直角三角形，，平面內一點，滿足，連接并延長至點，且，當線段的長度取得最小值時，求線段的長．
【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，證明見解析；（3）
【分析】（1）根據余角的性質和三角形相似的性質進行解答即可；
（2）證明，得出，證明，得出，即可得出答案；
（3）證明，得出，求出，以點為圓心，2為半徑作，則都在上，延長到，使，交于，連接，證明，得出，說明點在過點且與垂直的直線上運動，過點作，垂足為，連接，根據垂線段最短，得出當點E在點處時，最小，根據勾股定理求出結果即可．
【詳解】解：（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）是直角三角形；理由如下：
，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
（3），
，
，
，
如圖，以點為圓心，2為半徑作，則都在上，延長到，使，交于，連接，
則，
∵為的直徑，
∴，
，
∴，
，
，
，
點在過點且與垂直的直線上運動，
過點作，垂足為，連接，
∵垂線段最短，
∴當點E在點處時，最小，
即的最小值為的長，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
在中根據勾股定理得：，
即當線段的長度取得最小值時，線段的長為．
【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質，圓周角定理，矩形的判定和性質，勾股定理，垂線段最短，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．
4．（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發現】如圖1，在中，點D在邊上．若，則，請證明；
（2）【靈活運用】如圖2，在中，，點D為邊的中點，，點E在上，連接，．若，求的長；
（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形中，，點E，F分別在邊，上，，延長，相交于點G．若，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【分析】（1）證明，得出，即可證明結論；
（2）過點C作于點F，過點D作于點G，解直角三角形得出，，證明，得出，求出，根據勾股定理得出，得出，證明，得出，求出；
（3）連接，證明，得出，求出，證明為直角三角形，得出，根據勾股定理求出，證明，得出，求出結果即可．
【詳解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）過點C作于點F，過點D作于點G，如圖所示：
則，
∴，
∵，
∴，，
∵為的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
（3）連接，如圖所示：
∵四邊形為菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，負值舍去，
∴，
∴，
∵，
∴為直角三角形，，
∴，
∴在中根據勾股定理得：
，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質，勾股定理及其逆定理，三角函數的應用，三角形相似的判定和性質，平行線的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．
命題點二 相似三角形的性質與判定-拔高
題型01 利用相似三角形的性質與判定解決折疊問題
1．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在矩形中，平分，將矩形沿直線折疊，使點A，B分別落在邊上的點，處，，分別交于點G，H．若，，則的長為（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】本題考查了折疊的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理．先證明，設，證明和，推出和，由，列式計算求得，在中，求得的長，據此求解即可．
【詳解】解：如圖，交于點，
∵矩形，
∴，
由折疊的性質得，，四邊形和四邊形都是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
設，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即①，
∵，
∴，
∴，即②，
∵，
由①②得，
解得，則，
在中，，
∵，
∴，即，
故答案為：A．
2．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖， 在菱形紙片中， 點E在邊上，將紙片沿折疊， 點B落在處，， 垂足為F 若， 則
【答案】/
【分析】根據菱形的性質，翻折的性質，和三角形的相似判定和性質解答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
由翻折，菱形的性質，得： ， ，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
過點E作，
設， 則，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了菱形的性質，折疊的性質，勾股定理，三角形相似的判定和性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．
3．（2023·湖北武漢·中考真題）如圖，平分等邊的面積，折疊得到分別與相交于兩點．若，用含的式子表示的長是 ．

【答案】
【分析】先根據折疊的性質可得，，從而可得，再根據相似三角形的判定可證，根據相似三角形的性質可得，，然后將兩個等式相加即可得．
【詳解】解：是等邊三角形，
，
∵折疊得到，
，
，，
平分等邊的面積，
，
，
又，
，
，，
，
，
解得或（不符合題意，舍去），
故答案為：．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、折疊的性質、相似三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．
4．（2023·湖北·中考真題）如圖，將邊長為3的正方形沿直線折疊，使點的對應點落在邊上（點不與點重合），點落在點處，與交于點，折痕分別與邊，交于點，連接．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由折疊和正方形的性質得到，則，進而證明，再由平行線的性質證明即可證明；
（2）如圖，延長交于點．證明得到，，
設，則，．由，得到．則．由勾股定理建立方程，解方程即可得到．
【詳解】（1）證明：由翻折和正方形的性質可得，．
∴．
∴，即，
∵四邊形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如圖，延長交于點．
∵，
∴．
又∵，正方形邊長為3，
∴
∴，
∴，，
設，則，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．

【點睛】本題主要考查了正方形與折疊問題，相似三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．
5．（2024·湖北·中考真題）在矩形中，點E，F分別在邊，上，將矩形沿折疊，使點A的對應點P落在邊上，點B的對應點為點G，交于點H．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，當P為的中點，，時，求的長；
(3)如圖3，連接，當P，H分別為，的中點時，探究與的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)，見解析
【分析】（1）證明對應角相等，即可得到；
（2）根據，求得的長度，從而得出長度；
（3）延長，交于一點，連接，先證明，得到相等的邊，再根據，得出大小關系．
【詳解】（1）證明：如圖，
四邊形是矩形，
，
，
，分別在，上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，
，
，
，
；
（2）解：四邊形是矩形，
，，，
為中點，
，
設，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，即，
，
，
．
（3）解：如圖，延長，交于一點，連接，
，分別在，上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，
，直線，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
為中點，
設，
，
為中點，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，即．
【點睛】本題考查了矩形與折疊、相似三角形的判定與性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握以上基礎知識是解題關鍵．
題型02 利用相似三角形的性質與判定解決動態函數圖像
1．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在中，，，，在中，，，與在同一條直線上，點C與點E重合．以每秒1個單位長度的速度沿線段所在直線向右勻速運動，當點B運動到點F時，停止運動．設運動時間為t秒，與重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分，， 三種情況，分別求出函數解析即可判斷．
【詳解】解：過點D作于H，
，
∵，，
∴，
∴
當時，
如圖，重疊部分為，此時，，
，
∴，
∴，即，
∴
∴；
當時，
如圖，重疊部分為四邊形，此時，，

∴，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
當 時
如圖，重疊部分為四邊形，此時，，

∴，
∵，
∴，
∴，即
∴，
綜上，，
∴符合題意的函數圖象是選項A．
故選：A．
【點睛】此題結合圖像平移時面積的變化規律，考查二次函數相關知識，根據平移點的特點列出函數表達式是關鍵，有一定難度．
2．（2022·湖南衡陽·中考真題）如圖，在四邊形中，，，，平分．設，，則關于的函數關系用圖象大致可以表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先證明，過點做于點，證明，利用相似三角形的性質可得函數關系式，從而可得答案．
【詳解】解：∵，∴，
∵平分，∴，
∴，則，即為等腰三角形，
過點做于點．
則垂直平分，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
故選D．
【點睛】本題考查的是角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，反比例函數的圖象，證明是解本題的關鍵．
3．（2022·青海西寧·中考真題）如圖，△ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點D，E，F分別在邊BC，AB，AC上，且EF∥BC．設點E到BC的距離為x，△DEF的面積為y，則y關于x的函數圖象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點A向BC作AH⊥BC于點H，所以根據相似三角形的性質可求出EF，進而求出函數關系式，由此即可求出答案．
【詳解】解：過點A向BC作AH⊥BC于點H，

根據相似比可知：，
即，
解得：EF=2（3-x），
則△DEF的面積y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+，
故y關于x的函數圖象是一個開口向下、頂點坐標為(，)的拋物線．
故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數圖象，主要利用了相似三角形的性質，求出S與x的函數關系式是解題的關鍵．
4．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在四邊形中，，，，，，動點P從點A出發，按的方向在，邊上移動，記，點D到直線的距離為y，則y關于x的函數圖象大致是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了動點問題函數圖象，關鍵是利用了相似三角形的判定與性質，難點在于根據點的位置分兩種情況討論．分兩種情況：（1）當點在上移動時，點到直線的距離不變，恒為5；（2）當點在上移動時，根據相似三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出，據此判斷出關于的函數大致圖象是哪個即可．
【詳解】解：根據題意，分兩種情況：
（1）當點在上移動時，
點到直線的距離為：
，即點到的距離為的長度，是定值5；
（2）當點在上移動時，
連接，過作于，如圖所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
綜上，觀察各選項，只有B選項圖形符合．
故選：B．
題型03 利用相似三角形的性質與判定求線段比值
1．（2024·福建·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為的延長線交于點．
(1)求的值；
(2)求證：；
(3)求證：與互相平分．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）先證得，再在中，．在中，，可得，再證得結果；
（2）過點作，交延長線于點，先證明，可得，再證得，再由相似三角形的判定可得結論；
（3）如圖，連接，由（2），可得，從而得出，得出， 得出，再由平行線判定得出，，從而得出四邊形是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質可得結果．
【詳解】（1），且是的直徑，
．
，
在中，．
，
在中，．
，
；
（2）過點作，交延長線于點．
．
，
，
．
，
，
，
，，
．
，
，
，
，
．
（3）如圖，連接．
是的直徑，
．
，
．
由（2）知，，
，
，
．
．
，
．
由（2）知，，
．
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
與互相平分．
【點睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質、銳角三角函數、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、圓的基本性質等基礎知識，考查推理能力、幾何直觀、運算能力、創新意識等，熟練掌握相關圖形的性質定理是關鍵．
2．（2024·安徽·中考真題）如圖1，的對角線與交于點O，點M，N分別在邊，上，且．點E，F分別是與，的交點．
(1)求證：；
(2)連接交于點H，連接，．
（?。┤鐖D2，若，求證：；
（ⅱ）如圖3，若為菱形，且，，求的值．
【答案】(1)見詳解
(2)（ⅰ）見詳解，（ⅱ）
【分析】（1）利用平行四邊形的性質得出，再證明是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質可得出，再利用證明，利用全等三角形的性質可得出．
（2）（ⅰ）由平行線截線段成比例可得出，結合已知條件等量代換，進一步證明，由相似三角形的性質可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性質得出，進一步得出，，進一步可得出，進一步得出，同理可求出，再根據即可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴．
在與中，
∴．
∴．
（2）（?。?br/>∴，
又．，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（ⅱ）∵是菱形，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵．，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
∴
∴，
故．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定以及性質，全等三角形判定以及性質，相似三角形的判定以及性質，平行線截線段成比例以及菱形的性質，掌握這些判定方法以及性質是解題的關鍵．
3．（2024·貴州·中考真題）綜合與探究：如圖，，點P在的平分線上，于點A．
(1)【操作判斷】
如圖①，過點P作于點C，根據題意在圖①中畫出，圖中的度數為______度；
(2)【問題探究】
如圖②，點M在線段上，連接，過點P作交射線于點N，求證：；
(3)【拓展延伸】
點M在射線上，連接，過點P作交射線于點N，射線與射線相交于點F，若，求的值．
【答案】(1)畫圖見解析，90
(2)見解析
(3)或
【分析】（1）依題意畫出圖形即可，證明四邊形是矩形，即可求解；
（2）過P作于C，證明矩形是正方形，得出，利用證明，得出，然后利用線段的和差關系以及等量代換即可得證；
（3）分M在線段，線段的延長線討論，利用相似三角形的判定與性質求解即可；
【詳解】（1）解：如圖，即為所求，
∵，，，
∴四邊形是矩形，
∴，
故答案為：90；
（2）證明：過P作于C，
由（1）知：四邊形是矩形，
∵點P在的平分線上，，，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：①當M在線段上時，如圖，延長、相交于點G，
由（2）知，
設，則，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②當M在的延長線上時，如圖，過P作于C，并延長交于G
由（2）知：四邊形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
綜上，的值為或．
【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，正方形的判定與性質，角平分線的性質，全等三角形的判斷與性質，相似三角形的判斷與性質等知識，明確題意，添加合適輔助線，構造全等三角形、相似三角形，合理分類討論是解題的關鍵．
4．（2023·浙江湖州·中考真題）【特例感知】
（1）如圖1，在正方形中，點P在邊的延長線上，連接，過點D作，交的延長線于點M．求證：．
【變式求異】
（2）如圖2，在中，，點D在邊上，過點D作，交于點Q，點P在邊的延長線上，連接，過點Q作，交射線于點M．已知，，，求的值．
【拓展應用】
（3）如圖3，在中，，點P在邊的延長線上，點Q在邊上（不與點A，C重合），連接，以Q為頂點作，的邊交射線于點M．若，（m，n是常數），求的值（用含m，n的代數式表示）．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【分析】（1）根據證明即可；
（2）證明，得出，根據勾股定理，根據，得出，求出，得出，求出；
（3），作于點N，證明，得出．證明，得出，求出．
【詳解】（1）證明：在正方形中，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如圖1，作于點N，如圖所示：

∵，，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵， ，
∴，
∴．
∵，
∴，
如圖2，作于點N，

∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴
∴．
【點睛】本題主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性質，勾股定理，矩形的判定和性質，平行線的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．
題型04 利用相似三角形的性質與判定求最值
1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，中，于點，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質．首先過點作，使，連接、，利用勾股定理可求，利用兩邊成比例且夾角相等，可證，根據相似三角形對應邊成比例可得，當點、、三點共線時有最大值可求的最大值．
【詳解】解：如下圖所示，過點作，使，連接、，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
當點、、三點共線時有最大值，．
故答案為： ．
2．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的一邊在軸正半軸上，頂點的坐標為，點是邊上的動點，過點作 交邊于點，作交邊于點，連接．設的面積為．

(1)求關于的函數解析式；
(2)當取何值時，的值最大？請求出最大值．
【答案】(1)
(2)當時，的最大值為
【分析】（1）過點作于點，連接，證明是等邊三角形，可得，進而證明，得出，根據三角形面積公式即可求解；
（2）根據二次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，過點作于點，連接，

∵頂點的坐標為，
∴，，
∴，
∴
∵四邊形是菱形，
∴，,，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴,
∴
∴是等邊三角形，
∴
∵，
∴，
∴
∵ ，，則，
∴
∴
∴
∴
∴
（2）解：∵
∵，
∴當時，的值最大，最大值為．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質，菱形的性質，坐標與圖形，特殊角的三角函數值，二次函數的性質，相似三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
3．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．

(1)求此拋物線的解析式；
(2)已知拋物線上有一點，其中，若，求的值；
(3)若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由待定系數法即可求解；
（2）在中，，則，得到直線的表達式為：，進而求解；
（3）作，證明且相似比為，故當、、共線時，為最小，進而求解．
【詳解】（1）解：設拋物線的表達式為：，
即，則，
故拋物線的表達式為：①；
（2）解：在中，，
，
則，
故設直線的表達式為：②，
聯立①②得：，
解得：（不合題意的值已舍去）；
（3）解：作，
設，
，
且相似比為，
則，
故當、、共線時，為最小，
在中，設邊上的高為，
則，
即，
解得：，
則，
則，
過點作軸于點，
則，
即點的縱坐標為：，
同理可得，點的橫坐標為：，
即點，
由點、的坐標得，，
即的最小值為．
【點睛】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．
4．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，點依次在直線上，點固定不動，且，分別以為邊在直線同側作正方形、正方形，，直角邊恒過點，直角邊恒過點．
(1)如圖，若，，求點與點之間的距離；
(2)如圖，若，當點在點之間運動時，求的最大值；
(3)如圖，若，當點在點之間運動時，點隨之運動，連接，點是的中點，連接，則的最小值為_______．
【答案】(1)或；
(2)；
(3)．
【分析】（）設，則，證明，然后根據相似三角形的性質得出，則，轉化為，解方程即可；
（）設，則，證明，然后根據相似三角形的性質得出，則，轉化為然后由二次函數的性質求解即可；
（）連接，由四邊形是正方形，得，即點對角線所在直線上運動，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，當三點共線時，有最小值，利用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：設，則，
∵四邊形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴，即，則，
解得：或，
∴或；
（2）設，則，
∵四邊形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
當時，有最大，最大值為；
（3）連接，
∵四邊形是正方形，
∴，
即點在對角線所在直線上運動，
如圖，作關于的對稱點，連接，過作于點，
∴，四邊形為矩形，
則點三點共線，，
∴，
∴，
∵，點是的中點，
∴，
∴，
∴當三點共線時，有最小值，
∴在中，由勾股定理得：，
∴的最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解一元二次方程，二次函數的最值，兩點之間線段最短等知識，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
題型05 利用相似三角形的性質與判定解決動點問題
對于動態相似圖形問題，一般是已知結論，求使結論成立的條件，可采取逆向思維，把結論視為題設的一部分，再結合已有的條件和圖形進行分析、探究，便可得到所需的條件.
1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動點，且．當的值最小時，則 ．

【答案】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，三角形全等的判定和性質，相似三角形的判定和性質．延長，截取，連接，，證明，得出，說明當最小時，最小，根據兩點之間線段最短，得出當A、E、G三點共線時，最小，即最小，再證明，根據相似三角形的性質，求出結果即可．
【詳解】解：延長，截取，連接，，如圖所示：

∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴當最小時，最小，
∵兩點之間線段最短，
∴當A、E、G三點共線時，最小，即最小，且最小值為的長，

∵，
∴，
∴，即，
解得．
故答案為：．
2．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，為原點，，點為平面內一動點，，連接，點是線段上的一點，且滿足．當線段取最大值時，點的坐標是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可得點在以點為圓心，為半徑的上，在軸的負半軸上取點，連接，分別過、作，，垂足為、，先證，得，從而當取得最大值時，取得最大值，結合圖形可知當，，三點共線，且點在線段上時，取得最大值，然后分別證，，利用相似三角形的性質即可求解．
【詳解】解：∵點為平面內一動點，，
∴點在以點為圓心，為半徑的上，
在軸的負半軸上取點，連接，分別過、作，，垂足為、，

∵，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴當取得最大值時，取得最大值，結合圖形可知當，，三點共線，且點在線段上時，取得最大值，
∵， ，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∵軸軸，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
同理可得，，
∴即，
解得，
∴，
∴當線段取最大值時，點的坐標是，
故選D．
【點睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質、圓的一般概念以及坐標與圖形，熟練掌握相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．
3．（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，，是正方形的邊的三等分點，是對角線上的動點，當取得最小值時，的值是 ．

【答案】
【分析】作點F關于的對稱點，連接交于點，此時取得最小值，過點作的垂線段，交于點K，根據題意可知點落在上，設正方形的邊長為，求得的邊長，證明，可得，即可解答．
【詳解】解：作點F關于的對稱點，連接交于點，過點作的垂線段，交于點K，

由題意得：此時落在上，且根據對稱的性質，當P點與重合時取得最小值，
設正方形的邊長為a，則，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
當取得最小值時，的值是為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了四邊形的最值問題，軸對稱的性質，相似三角形的證明與性質，正方形的性質，正確畫出輔助線是解題的關鍵．
4．（2022·山東青島·中考真題）如圖，在中，，將繞點A按逆時針方向旋轉得到，連接．點P從點B出發，沿方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點A出發，沿方向勻速運動，速度為．交于點F，連接．設運動時間為．解答下列問題：
(1)當時，求t的值；
(2)設四邊形的面積為，求S與t之間的函數關系式；
(3)是否存在某一時刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用得，即，進而求解；
（2）分別過點C，P作，垂足分別為M，N，證得，，求得，再證得，得出，根據即可求出表達式；
（3）當時，易證，得出，則，進而求出t值．
【詳解】（1）解：在中，由勾股定理得，
∵繞點A按逆時針方向旋轉得到
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
答：當時，t的值為．
（2）解：分別過點C，P作，垂足分別為M，N
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（3）解：假設存在某一時刻t，使
∵
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
∴存在時刻，使．
【點睛】本題考查了旋轉與相似，利用勾股定理求線段長，平行線的性質，根據旋轉的性質，找到相似圖形是解決問題的關鍵，是中考中的?？碱}．
題型06 利用相似三角形的性質與判定解決存在性問題
1．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像經過原點和點．經過點的直線與該二次函數圖象交于點，與軸交于點．
(1)求二次函數的解析式及點的坐標；
(2)點是二次函數圖象上的一個動點，當點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設點的橫坐標為．
①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；
②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)①當時，有最大值為；②當P的坐標為或時，與相似
【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系數法求出直線解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐標；
（2）①根據P、D的坐標求出，然后根據二次函數的性質求解即可；
②先利用等邊對等角，平行線的判定與性質等求出，然后分，兩種情況討論過，利用相似三角形的性質、等腰三角形的判定與性質等求解即可．
【詳解】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函數的解析式為，
設直線解析式為，
則，
解得，
∴直線解析式為，
當時，，
∴；
（2）解：①設，則，
∴
，
∴當時，有最大值為；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又軸，
∴軸，
∴，
當時，如圖，
∴，
∴軸，
∴P的縱坐標為3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐標為；
當時，如圖，過B作于F，
則，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐標為
綜上，當P的坐標為或時，與相似．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，待定系數法求二次函數、一次函數解析式，二次函數的性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質等知識，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論是解題的關鍵．
2．（2024·廣東·中考真題）【知識技能】
（1）如圖1，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉，得到．當點E的對應點與點A重合時，求證：．
【數學理解】
（2）如圖2，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉，得到，連接，，作的中線．求證：．
【拓展探索】
（3）如圖3，在中，，點D在上，．過點D作，垂足為E，，．在四邊形內是否存在點G，使得？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，證明見解析
【分析】（1）根據中位線的性質、旋轉的性質即可證明；
（2）利用旋轉的性質、外角定理、中位線的性質證明后即可證明；
（3）通過解直角三角形得到，，過點C作于點M，易證，得到，即可求得，進而，從而點M是的中點，過點D作，交于點P，連接，，，根據三線合一得，證明，即可求的，過點P作于點N，則四邊形是矩形，得到，因此點N是的中點，進而，再證，得到，根據，即可推出，因此當點G與點P重合時，滿足．
【詳解】證明：（1） 是的中位線，
且．
又 繞點D按逆時針方向旋轉得到
．
（2）由題意可知：，，．
作，則且，
又 ，
．
根據外角定理
，
，
．
又 ，是的中位線，
，
，
，
，
，
．
（3）存在點使得．
∵，
∴，
∴在中，，
過點C作于點M，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴點M是的中點，
∴是的垂直平分線，
過點D作，交于點P，連接，，
∴，
∴根據三線合一得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
過點P作于點N，則四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴點N是的中點，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴
即，
∴，
∴當點G與點P重合時，滿足．
【點睛】本題考查了旋轉的性質、中位線的性質、外角定理、相似三角形的判定與性質、勾股定理、解直角三角形，熟練掌握知識點以及靈活運用是解題的關鍵．
題型07 利用相似三角形列函數關系式
解決幾何圖形中的函數關系的問題，往往要用到幾何圖形的特征和相似的性質，尤其是利用相似得到比例式，從而將未知線段用含字母的代數式表示出來.
1．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在菱形中，，，點E是邊上的動點，連接，，過點A作于點F．設，，則y與x之間的函數解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查菱形的性質、含30度角的直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質，利用相似三角形的性質求解x、y的關系式是解答的關鍵．過D作，交延長線于H，則，根據菱形的性質和平行線的性質得到，，，進而利用含30度角的直角三角形的性質，證明得到，然后代值整理即可求解．
【詳解】解：如圖，過D作，交延長線于H，則，
∵在菱形中，，，
∴，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：C．
（法二：同理，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：C．）
2．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在中，，，直線，是上的動點（端點除外），射線交于點．在射線上取一點，使得，作，交射線于點．設，．當時， ；在點運動的過程中，關于的函數表達式為 ．
【答案】 2
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例．
易得，則，得出，代入數據即可求出；根據，得出，設，則，通過證明，得出，則，進而得出，結合，可得，代入各個數據，即可得出 關于的函數表達式．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
∵，
∴，即，
整理得：，
設，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∴，
∵，
∴，即，
整理得：，
故答案為：2，．
3．（2022·遼寧大連·中考真題）如圖，在中，，，點D在上，，連接，，點P是邊上一動點（點P不與點A，D，C重合），過點P作的垂線，與相交于點Q，連接，設，與重疊部分的面積為S．
(1)求的長；
(2)求S關于x的函數解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）根據勾股定理可求出BD的長，進而求得AD的長；
（2）利用相似可求出QP的長，然后利用三角形面積公式可求出關系式,注意分在線段和在線段上分別討論．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴=5，
∴AC=AD+DC=5+3=8；
（2）解：由（1）得AD=5，
∵AP=x，
∴PD=5-x，
∵過點P作的垂線，與相交于點Q，
∴，
∵，
∴即，
在和中
，
∴，
∴
∴
∵與重疊部分的面積為S
∴的面積為S
即，
∵點P不與點A，D，C重合，
∴，
即．
當在上運動時，如圖，設交于點，
則
即
綜上所述，
【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形，三角形的面積公式，解題的關鍵是能找到各個邊長的關系．
題型08 利用三點定形法證明比例式或等積式
1．（2024·山東淄博·中考真題）在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學習．
【操作發現】
小明作出了的內接等腰三角形，．并在邊上任取一點（不與點，重合），連接，然后將繞點逆時針旋轉得到．如圖①
小明發現：與的位置關系是__________，請說明理由：
【實踐探究】
連接，與相交于點．如圖②，小明又發現：當確定時，線段的長存在最大值．
請求出當．時，長的最大值；
【問題解決】
在圖②中，小明進一步發現：點分線段所成的比與點分線段所成的比始終相等．請予以證明．
【答案】操作發現：與相切；實踐探究：；問題解決：見解析
【分析】操作發現：連接并延長交于點M，連接，根據直徑所對圓周角為直角得到，根據旋轉的性質得到，由圓周角定理推出，等量代換得到，利用直角三角形的性質即可證明，即可得出結論；
實踐探究：證明，得到，結合三角形外角的性質得到，易證，得到，設，則，得到，利用二次函是的性質即可求解；
問題解決：過點E作交于點N，由旋轉的性質知：，證明，推出，由旋轉的性質得：，
得到，根據，易證，得到，即可證明結論．
【詳解】操作發現：
解：連接并延長交于點M，連接，
是直徑，
，
，
由旋轉的性質得，
，
，
，
是的半徑，
與相切；
實踐探究：
解： 由旋轉的性質得：，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
設，則，
，
，
，
當時，有最大值為；
問題解決：
證明：過點E作交于點N，
由旋轉的性質知：，
，
，
，
，
由旋轉的性質得：，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查圓周角定理，切線的證明，旋轉的性質，三角形相似的判定與性質，二次函數最值的應用，正確作出輔助線，構造三角形相似是解題的關鍵．
2．（2023·浙江杭州·中考真題）如圖，在中，直徑垂直弦于點，連接，作于點，交線段于點（不與點重合），連接．

(1)若，求的長．
(2)求證：．
(3)若，猜想的度數，并證明你的結論．
【答案】(1)1
(2)見解析
(3)，證明見解析
【分析】（1）由垂徑定理可得，結合可得，根據圓周角定理可得，進而可得，通過證明 可得；
（2）證明 ，根據對應邊成比例可得，再根據，，可證；
（3）設，，可證，，通過證明，進而可得，即，則．
【詳解】（1）解：直徑垂直弦，
，
，
，
，
，
由圓周角定理得，
，
在和中，
，
，
；
（2）證明： 是的直徑，
，
在和中，
，
，
，
，
由（1）知，
，
又 ，
；
（3）解：，證明如下：
如圖，連接，
，
，
直徑垂直弦，
，，
又 ，
，
，
設，，
則，
，
，
又 ，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
即，
，
．
【點睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質等，難度較大，解題的關鍵是綜合應用上述知識點，特別是第3問，需要大膽猜想，再逐步論證．
3．（2022·四川攀枝花·中考真題）如圖，直線分別與x軸、y軸交于點A、B，點C為線段上一動點（不與A、B重合），以C為頂點作，射線交線段于點D，將射線繞點O順時針旋轉交射線于點E，連接．
(1)證明：；（用圖1）
(2)當為直角三角形時，求的長度；（用圖2）
(3)點A關于射線的對稱點為F，求的最小值．（用圖3）
【答案】(1)見解析
(2)
(3)2
【分析】（1）由條件可證得，根據相似三角形對應邊成比例得，即；
（2）先根據函數關系式求出的長度，然后作出對應的圖2，可證明，從而得到，設，，結合對應邊成比例，得到，則，解方程得到，所以，，再由（1）的結論，可計算出．
【詳解】（1）
證明：已知射線繞點O順時針旋轉交射線于點E，
，
，
，
,
，
又，
，
；
（2）
解：直線，當時，，
，
，
當時，，
，
，
，
如圖2，，
，
，
，
，
設，，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
由（1）知：，
，
（3）
解：如圖3，由對稱得：,
則動點F在以O為圓心，以為半徑的半圓上運動，
當F在y軸上，此時在B的正上方，的值最小，如圖4，
此時，即的最小值是2．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形、一次函數與坐標軸交點問題、軸對稱圖形特征、圓的性質、動點中的最短距離問題，熟練掌握相似三角形的性質與判定，采用數形結合，利用相似比列方程求線段長是解題關鍵．
4．（2024·山東·模擬預測）如圖，點是上的一個動點，點是圓外任意兩點，連接，作的外接圓，恰好為外接圓的直徑，且外接圓過點，點是的中點，共線．
(1)作的邊上的高，垂足為點，證明：①；②；
(2)若的半徑為，，，求線段的長度的最小值．
【答案】(1)見解析
(2)5
【分析】（1）由直徑所對的圓周角為90度可得，通過證明可證①，證明可證②；
（2）取中點N，連接，則是的中位線，，可得點M在以N為圓心，為半徑的圓上，再根據圓外一點到圓上點的距離求最小值．
【詳解】（1）證明：①如圖，作的邊上的高，垂足為點，
恰好為外接圓的直徑，
，
，
，
，，
，
又 ，
，
，
；
② ，，
，
，
；
（2）解： ，，，
，
取中點N，連接，則，
點是的中點，
是的中位線，
，
N為定點，
點M在以N為圓心，為半徑的圓上，
連接交于點，此時線段的長度最小，
最小值為：．
【點睛】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質，三角形中位線的性質，圓外一點到圓上點的距離等，綜合性較強，有一定難度，找到點M的運動軌跡是解題的關鍵．
題型09 尺規作圖與相似三角形綜合應用
1．（2021·山東濟寧·中考真題）如圖，已知．
（1）以點A為圓心，以適當長為半徑畫弧，交于點M，交于點N．
（2）分別以M，N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點P．
（3）作射線交于點D．
（4）分別以A，D為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于G，H兩點．
（5）作直線，交，分別于點E，F．
依據以上作圖，若，，，則的長是（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】C
【分析】連接，則，根據相似三角形對應邊成比例即可得出結果
【詳解】如圖，連接
垂直平分
,
平分
同理可知
四邊形是平行四邊形
又
平行四邊形是菱形
又
，
解得：
故選C
【點睛】本題考查了由已知作圖分析角平分線的性質，垂直平分線的性質，相似三角形，菱形的性質與判定，熟知上述各類圖形的判定或性質是解題的基礎，尋找未知量與已知量之間的等量關系是關鍵．
2．（2024·江蘇鎮江·二模）某校課后延時興趣小組嘗試用尺規來“作一條線段的三等分點”，請認真閱讀下面的操作過程并完成相應的學習任務．
如圖，①分別以點，為圓心，大于的長為半徑在兩側畫弧，四段弧分別交于點，點；②連接，，，作射線；③以為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點；④連接，交于點．點即為的一個三等分點（即．
學習任務：
(1)填空：四邊形的形狀是 ； 你的依據是 ；
(2)證明：
【答案】(1)菱形，四條邊相等的四邊形為菱形
(2)見解析
【分析】本題主要考查了基本作圖，菱形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．
（1）利用菱形的判定與性質解答即可；
（2）利用菱形的性質，平行線的性質和相似三角形的判定與性質解答即可．
【詳解】（1）解：由作法可知：，
四邊形的形狀是菱形，
依據是：四條邊相等的四邊形為菱形；
故答案為：菱形，四條邊都相等的四邊形是菱形；
（2）證明：四邊形的形狀是菱形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
．
3．（2024·山東日照·中考真題）如圖，以的頂點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，畫射線，交于點，交的延長線于點．
(1)由以上作圖可知，與的數量關系是_______
(2)求證：
(3)若，，，求的面積．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】本題考查了角平分線定義，平行四邊形的性質，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質，解直角三角形，熟練掌握以上知識點并作出合適的輔助線是解題的關鍵．
（1）根據作圖可知，為的角平分線，即可得到答案；
（2）根據平行四邊形的性質可知，結合，從而推出，即可證明；
（3）過點作的垂線交的延長線于點，根據平行四邊形的性質，，，結合，推出，從而得到，，，最后由計算即可．
【詳解】（1）解：由作圖可知，為的角平分線
故答案為：
（2）證明：四邊形為平行四邊形
（3）解：如圖，過點作的垂線交的延長線于點
四邊形為平行四邊形，
，
，
又
．
4．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，已知等腰，，作的外接圓為，小明同學利用尺規按以下步驟作圖：
①以點C為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交于兩點，
②再以點A為圓心，以相同長度為半徑畫弧交于點M，
③以點M為圓心，以兩弧交點間的距離為半徑，交第一個弧于點N；過點C作的垂線交射線于點D，為∠CAD的角平分線；
(1)求證：是的切線；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查切線的判定，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質等知識，正確作出輔助線構造相似三角形是解答本題的關鍵．
（1）連接并延長，交于H，證明，得，由作圖得，得，從而得出結論；
（2）過E作交于F，證明，得出，再證明和，求出的長，再由三角形面積公式求解即可．
【詳解】（1）證明：連接并延長，交于H，
∵是的外接圓，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴
由作圖可知，
∴，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線.
（2）解：過E作交于F，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∵，平分，
∴=1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
題型10 三角板與相似三角形綜合應用
1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線上，且點A的橫坐標為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經過點A，另一條直角邊與直線交于點B，當點C在x軸上移動時，線段的最小值為 ．
【答案】
【分析】利用一次函數求出點A的坐標，利用勾股定理求出，當點C在x軸上移動時，作與關于對稱，且交x軸于點，由對稱性質可知，，，當 軸于點時，最短，記此時點C所在位置為，作于點，有，設，則，利用銳角三角函數建立等式求出，證明，再利用相似三角形性質求出，最后根據求解，即可解題．
【詳解】解：點A在直線上，且點A的橫坐標為4，
點A的坐標為，
，
當點C在x軸上移動時，作與關于對稱，且交x軸于點，
由對稱性質可知，，
當 軸于點時，最短，記此時點C所在位置為，
由對稱性質可知，，
作于點，有，
設，則，
，
，
解得，
經檢驗是方程的解，
，，
，
，
，
，
，
解得，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了軸對稱性質，勾股定理，銳角三角函數，相似三角形性質和判定，角平分線性質，垂線段最短，一次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據軸對稱性質和垂線段最短找出最短的情況．
2．（2022·浙江麗水·中考真題）一副三角板按圖1放置，O是邊的中點，．如圖2，將繞點O順時針旋轉，與相交于點G，則的長是 ．
【答案】
【分析】BC交EF于點N，由題意得，，，，，BC=DF=12，根據銳角三角函數即可得DE，FE，根據旋轉的性質得是直角三角形，根據直角三角形的性質得，即，根據角之間的關系得是等腰直角三角形，即cm，根據，得，即，解得，即可得．
【詳解】解：如圖所示，BC交EF于點N，
由題意得，，，，，BC=DF=12，
在中，，
，
∵△ABC繞點O順時針旋轉60°，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴（cm），
∴（cm），
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴cm，
∵，，
∴，
即，
，
，
∴（cm），
故答案為：．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，旋轉的性質，解題的關鍵是掌握這些知識點．
3．（2024·內蒙古包頭·三模）如圖，將一個三角板放在上，使三角板的一直角邊經過圓心測得，，則的半徑長為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，直徑所對的圓周角是直角．如圖，延長交于，連接、，根據直徑所對的圓周角是直角得，證明，利用相似比計算出的長，然后計算出的長，從而得到的半徑長．通過作輔助線構造并找出相似三角形是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，延長交于，連接、，
∵為直徑，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴的半徑長為．
故選：C．
4．（2024·山西運城·一模）綜合與實踐
數學活動課上，王老師帶領學生利用手頭的三角板進行了如下的探究：

(1)問題發現：如圖1，將一個足夠大的三角板的直角頂點D放在三角板的斜邊中點處轉動，該三角板的兩直角邊與等腰直角三角板的兩直角邊，分別交于E、F兩點，則線段與的數量關系是______；
(2)拓展探究：如圖2，將一個足夠大的三角板的角（）頂點D放在三角板的斜邊中點處轉動，且，該三角板的兩邊與，的延長線分別交于E、F兩點，當時，試確定與的數量關系，并說明理由；
(3)類比提升：如圖3，將一個足夠大的三角板的直角頂點D放在三角板的斜邊中點處轉動，且，該三角板的兩直角邊與，分別交于E、F兩點，請直接寫出線段與的數量關系（無需證明）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）連接，證明，即可得出結論；
（2）連接，根據斜邊上的中線，得到為等邊三角形，進而證明，得到，利用銳角三角函數求出與的數量關系，即可得出結果；
（3）過點作，易得四邊形為矩形，證明，得到，分別解，，求出，進行求解即可

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