資源簡介

第四章 三角形
第19講 直角三角形
（思維導圖+4考點+4命題點18種題型（含5種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 直角三角形
考點二 勾股定理
考點三 勾股定理逆定理
考點四 勾股定理的實際應用
04題型精研·考向洞悉
命題點一 直角三角形的性質與判定
題型01 由直角三角形的性質求解
題型02 根據已知條件判定直角三角形
命題點二 勾股定理
題型01 利用勾股定理求解
題型02 判斷勾股數問題
題型03 以直角三角形三邊為邊長的圖形面積
題型04 與直角三角形三邊為邊長的圖形面積有關的規律探究問題
題型05 勾股定理與網格問題
題型06 勾股定理與折疊問題
題型07 勾股定理與無理數
題型08 利用勾股定理證明線段平方關系
題型09 勾股定理的證明方法
題型10 趙爽弦圖
題型11 利用勾股定理構造圖形解決實際問題
命題點三 勾股定理逆定理
題型01 在網格中判定直角三角形
題型02 利用勾股定理逆定理求解
命題點四 勾股定理的實際應用
題型01 用勾股定理解決實際生活問題
題型02 用勾股定理逆定理解決實際生活問題
題型03 求最短路徑問題
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
直角三角形 ★★★ 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質定理;
勾股定理 ★★ 探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題.
勾股定理逆定理 ★★
【考情分析】該模塊內容在中考中一直是較為重要的幾何考點，考察難度為中等偏上，?？伎键c為:直角三角形的性質定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理與實際問題等，特別是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重點.出題類型可以是選擇，填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進行拓展延伸. 結合以上考察形式，需要考生在復習這一模塊時，準確掌握有關直角三角形的各種性質與判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 直角三角形
定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．
性質：
性質 直角三角形兩個銳角互余. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.
圖示
幾何描述 在△ABC，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，CD為AB邊的中點，∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°， ∴AB=2AC
判定：1）兩個內角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．
3）有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形是直角三角形.
面積公式：S= (其中：c為斜邊上的高，m為斜邊長)
1．（2024·海南·中考真題）設直角三角形中一個銳角為x度（），另一個銳角為y度，則y與x的函數關系式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了函數關系式．利用直角三角形的兩銳角互余可得到y與x的關系式．
【詳解】解：∵直角三角形中一個銳角的度數為x度，另一個銳角為y度，
∴．
故選：D．
2．（2024·青海·中考真題）如圖，在中，D是的中點，，，則的長是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等邊三角形的判定和性質．根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結合等邊三角形的判定得到等邊三角形，據此求解即可．
【詳解】解：∵在中，，D是的中點，
∴，
∵，
∴等邊三角形，
∴．
故選：A．
3．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖是脊柱側彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角的大小，需將轉化為與它相等的角，則圖中與相等的角是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據直角三角形的性質可知：與互余，與互余，根據同角的余角相等可得結論．
【詳解】由示意圖可知：和都是直角三角形，
，，
，
故選：B．
【點睛】本題考查直角三角形的性質的應用，掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題的關鍵．
4．（2023·貴州·中考真題）5月26日，“2023中國國際大數據產業博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為，腰長為，則底邊上的高是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作于點D，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可得，再根據含30度角的直角三角形的性質即可得出答案．
【詳解】解：如圖，作于點D，
中,，，
，
，
，
故選B．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質，三角形內角和定理，含30度角的直角三角形的性質等，解題的關鍵是掌握30度角所對的直角邊等于斜邊的一半．
5．（2023·湖南·中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則 度．

【答案】//．
【分析】根據矩、宣、欘的概念計算即可．
【詳解】解：由題意可知，
矩，
欘宣矩，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了新概念的理解，直角三角形銳角互余，角度的計算；解題的關鍵是新概念的理解，并正確計算．
考點二 勾股定理
文字語言：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
符號語言：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么.
變式：，，
,,.
【易錯點】
1）勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系，它只適用于直角三角形，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形；
2）如果已知的兩邊沒有指明邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時必須進行分類討論，以免漏解．
3）應用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶時，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關系式是；若a為斜邊，則關系式是．
勾股定理的驗證
方法一：如圖一，用4個全等的直角三角形，可以得到一個以為邊長的小正方形和一個以c為邊長的大正方形.即 ，所以，化簡可證．
方法二（圖二）：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為
大正方形面積為，所以
方法三：如圖三，用兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形，可以得到一個直角梯形.
，，化簡得證
圖一 圖二 圖三
1．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長．
【答案】（1）或
（2）第三邊的長是或
【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理．
（1）用因式分解法解即可；
（2）分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個是直角邊，一個是斜邊，再用勾股定理分別計算即可．
【詳解】解：（1）
或；
（2）當兩條直角邊分別為3和1時，
根據勾股定理得，第三邊為；
當一條直角邊為1，斜邊為3時，
根據勾股定理得，第三邊為．
答：第三邊的長是或．
2．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在數軸上，，過作直線于點，在直線上截取，且在上方．連接，以點為圓心，為半徑作弧交直線于點，則點的橫坐標為 ．
【答案】/
【分析】根據勾股定理求得，根據題意可得，進而即可求解．
【詳解】解：∵，，，
在中，，
∴，
∴，
為原點，為正方向，則點的橫坐標為；
故答案為：．
【點睛】本題考查了勾股定理與無理數，實數與數軸，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
3．（2023·湖南郴州·中考真題）在中，，則邊上的中線 ．
【答案】5
【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質．先利用勾股定理求出的長，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行求解即可．
【詳解】解：在中，，
∴，
∴邊上的中線，
故答案為：5．
4．（2023·江蘇鎮江·中考真題）《九章算術》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓，徑幾何？”譯文：現在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步．問這個直角三角形內切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長．用直角三角形三條邊的長相加作為除數，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數，計算所得的商就是這個直角三角形內切圓的直徑．根據以上方法，求得該直徑等于 步．（注：“步”為長度單位）

【答案】6
【分析】根據勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據直角三角形的內切圓的半徑的求法確定出內切圓半徑，得到直徑．
【詳解】解：根據勾股定理得：斜邊為，
則該直角三角形能容納的圓形（內切圓）半徑（步），即直徑為6步，
故答案為：6．
【點睛】此題考查了三角形的內切圓與內心，掌握中，兩直角邊分別為、，斜邊為，其內切圓半徑是解題的關鍵．
5．（2024·江蘇南通·中考真題）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形的兩條直角邊長分別為m，．若小正方形面積為5，，則大正方形面積為（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】本題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎題型．由題意可知，中間小正方形的邊長為，根據勾股定理以及題目給出的已知數據即可求出大正方形的面積為．
【詳解】解：由題意可知，中間小正方形的邊長為，
∴，即①，
∵，
∴②，
①②得，
∴大正方形的面積，
故選：B．
考點三 勾股定理逆定理
1.勾股數
勾股數：能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即滿足關系的3個正整數a，b，c稱為勾股數.
勾股數需要滿足的兩個條件：1）這三個數均是正整數；
2）兩個較小數的平方和等于最大數的平方.
常見的勾股數：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.
2.勾股定理的逆定理
內容：如果三角形三邊長，，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊.
【補充說明】
1）勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法；
2）勾股定理的逆定理通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，①若時，以，，為三邊的三角形是直角三角形；
②若時，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；
③若時，以，，為三邊的三角形是銳角三角形
1．（2024·江蘇揚州·三模）下列幾組數中不能作為直角三角形三邊長度的是（ ）
A．3，4，5 B．9，15，17 C．25，7，24 D．8，6，10
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理逆定理的運用，掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的方法是解題的關鍵．
根據若三角形的三邊（較長邊）滿足，，則該三角形時直角三角形，由此即可求解．
【詳解】解：A、，能作為直角三角形的三邊，不符合題意；
B、，不能作為直角三角形三邊，符合題意；
C、，能作為直角三角形的三邊，不符合題意；
D、，能作為直角三角形的三邊，不符合題意；
故選：B ．
2．（2024·江蘇南京·三模）下列各組數中是勾股數的為（ ）
A． B． C．7，8，9 D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了勾股數的知識，理解勾股數的定義是解題關鍵．勾股數就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數，據此逐項分析判斷即可．
【詳解】解：A. ∵，，又∵，∴不是勾股數，不符合題意；
B.∵ 不是正整數，∴不是勾股數，不符合題意；
C. ∵，，又∵，∴7，8，9不是勾股數，不符合題意；
D. ∵，∴是勾股數，符合題意．
故選：D．
3．（21-22八年級下·湖北省直轄縣級單位·階段練習）如圖，每個小正方形的邊長為1，則∠ABC的度數為 度．
【答案】45
【分析】連接AC，利用勾股定理計算出AC2、BC2、AB2，然后利用勾股定理逆定理可判斷出△ABC是直角三角形，進而可得答案．
【詳解】解：連接AC，
由勾股定理得：AC2=22+12=5，
BC2=22+12=5，
AB2=12+32=10，
∴AC2+BC2=5+5=10=BA2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
故答案為：45．
【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，關鍵是掌握運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．
4．（2023·吉林白城·模擬預測）正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點．以格點為頂點．
(1)在圖①中，畫一個邊長為的線段；
(2)在圖②中，畫一個直角三角形，使它的三邊長分別是、、．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查利用勾股定理畫圖．
（1）借助格點，根據勾股定理構長為的線段即可；
（2）借助格點，根據勾股定理構造三邊長分別為、、的三角形即可。
【詳解】（1）解：如圖①，線段即為邊長為的線段；
（2）解：如圖②，直角三角形即為所求，
三邊長分別是、、．
5．（2024·廣東·模擬預測）若，則以a，b，c為邊長的三角形的形狀是 ．
【答案】等腰直角三角形
【分析】本題考查非負性，勾股定理的逆定理，根據非負性，求出的值，再利用勾股定理逆定理進行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴以a，b，c為邊長的三角形的形狀是等腰直角三角形；
故答案為：等腰直角三角形．
考點四 勾股定理的實際應用
1.利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：
1）從實際問題中抽象出幾何圖形；
2）確定與問題相關的直角三角形；
3）找準直角邊和斜邊，根據勾股定理建立等量關系；
4）求得符合題意的結果.
2.利用勾股定理解決實際問題的常見類型
1）直接利用勾股定理列方程解決實際問題；
2）利用勾股定理解決幾何體表面最短距離問題；
3）利用勾股定理和方程思想解決與“翻折”相關的問題；
4）利用勾股定理解決有關幾何圖形的面積問題.
1．（2024·四川巴中·中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深幾何？”這是我國數學史上的“葭生池中”問題．即，，，則（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【分析】本題考查勾股定理的實際應用．設，則，由勾股定理列出方程進行求解即可．
【詳解】解：設，則，
由題意，得：，
解得：，即，
故選：C．
2．（2021·江蘇宿遷·中考真題）《九章算術》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦生長在它的中央，高出水面部分為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，則水深為 尺．

【答案】12
【分析】此題主要考查了勾股定理的應用，我們可以將其轉化為數學幾何圖形，根據題意，可知的長為10尺，則尺，設出尺，表示出水深，在中，根據勾股定理建立方程，是解題的關鍵．
【詳解】解：依題意畫出圖形，設蘆葦長尺，則尺，
尺，
尺
在中，，
解得，
即蘆葦長13尺，
水深為（尺），
故答案為：12．
3．（2024·上海寶山·一模）在馬拉松比賽過程中，嘉琪和李明之間一直用最遠對講距離為300米的對講設備聯系．嘉琪運動到A點時，嘉琪用對講機與朋友李明聯系，李明告知嘉琪正在通過路口B向C運動后，就失去了聯系，已知嘉琪的跑步速度為，李明的跑步速度為，，足夠長，多少秒后他們再次取得聯系？（ ）
A．150s B．60s C．100s D．不會再取得聯系
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的應用及勾股定理的應用，理解題意并畫出相應的圖形是解題的關鍵．設秒后他們再次取得聯系，依題意，，然后用含的代數式表示出和，利用勾股定理列方程求解．
【詳解】解：如圖，設秒后他們再次取得聯系，此時嘉琪運動到點，李明運動到點，
依題意：，
則，，
由勾股定理有，
即，
解得或（不合題意 ，舍去），
60秒后他們再次取得聯系．
故選：B．
4．（2023·陜西西安·二模）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為，底面周長為，在容器內壁離容器底部的點處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿的點處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是 ．

【答案】
【分析】本題考查了最短路徑問題，將圓柱側面展開，作出點關于的對稱點，根據兩點之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求出即可求解，利用軸對稱找到螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是解題的關鍵．
【詳解】解：將圓柱側面展開，作出點關于的對稱點，如圖，
∵高為，底面周長為，
此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿與飯粒相對的點處，
∴，，
連接，則即為最短距離，
∵，
∴螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是，
故答案為：．

04題型精研·考向洞悉
命題點一 直角三角形的性質與判定
題型01 由直角三角形的性質求解
1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，是的直徑，點在的延長線上，與相切于點，若，則 °．
【答案】35
【分析】本題利用了切線的性質，三角形的外角與內角的關系，等邊對等角求解．連接，構造直角三角形，利用，從而得出的度數．
【詳解】解：連接，
與相切于點，
，
，
；
，
，
故答案為：35
2．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧分別交于點和點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點．若的面積為8，則的面積是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】B
【分析】本題考查了尺規作圖，含的直角三角形的性質，等腰三角形的判定等知識， 由作圖知平分，則可求，利用含的直角三角形的性質得出，利用等角對等邊得出，進而得出，然后利用面積公式即可求解．
【詳解】解： ∵，
∴，
由作圖知：平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又的面積為8，
∴的面積是，
故選B．
3．（2023·湖南郴州·中考真題）在中，，則邊上的中線 ．
【答案】5
【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質．先利用勾股定理求出的長，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行求解即可．
【詳解】解：在中，，
∴，
∴邊上的中線，
故答案為：5．
4．（2023·海南·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為，將繞著點B順時針旋轉，得到，則點C的坐標是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點作，由題意可得：，，再利用含30度直角三角形的性質，求解即可．
【詳解】解：過點作，如下圖：

則
由題意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴點的坐標為，
故選：B
【點睛】此題考查了旋轉的性質，坐標與圖形，含30度直角三角形的性質，以及勾股定理，解題的關鍵是作輔助線，構造出直角三角形，熟練掌握相關基礎性質．
5．（2024·海南·中考真題）如圖，菱形的邊長為2，，邊在數軸上，將繞點A順時針旋轉，點C落在數軸上的點E處，若點E表示的數是3，則點A表示的數是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質，勾股定理．作于點，利用菱形的性質，直角三角形的性質，勾股定理計算即可．
【詳解】解：作于點，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵點E表示的數是3，
∴點A表示的數是，
故選：D．
題型02 根據已知條件判定直角三角形
1．（2022·湖南株洲·中考真題）如圖所示，在菱形中，對角線與相交于點，過點作交的延長線于點，下列結論不一定正確的是（ ）
A． B．是直角三角形
C． D．
【答案】D
【分析】由菱形的性質可知，，由兩直線平行，同位角相等可以推出，再證明 ，得出，，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可以得出．現有條件不足以證明．
【詳解】解：∵在菱形中，對角線與相交于點，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故B選項正確；
∵，，
∴ ，
∴，
∴，，故A選項正確；
∴BC為斜邊上的中線，
∴，故C選項正確；
現有條件不足以證明，故D選項錯誤；
故選D．
【點睛】本題考查菱形的性質，平行線的性質，相似三角形的判定與性質以及直角三角形斜邊中線的性質，難度一般，由菱形的性質得出，是解題的關鍵．
2．（2024·福建南平·一模）如圖1，點是的邊上一點．，，是的外接圓，點在上（不與點，點重合），且．

(1)求證：是直角三角形；
(2)如圖2，若是⊙的直徑，且，折線是由折線繞點順時針旋轉得到．
①當時，求的面積；
②求證：點，，三點共線．
【答案】(1)見解析
(2)①；②見解析
【分析】本題考查了旋轉的性質，圓的基本性質，勾股定理，三角形內角和定理，直角三角形的特征，三點共線判定方法等；
（1）由圓的基本性質得 ，從而可得，即可求證；
（2）①由圓的性質得，從而可求，有直角三角形的特征得，由勾股定理得可求出的長，由即可求解；②由旋轉的性質得，，從而可求，由三角形內角和定理得，等量代換得 即可求證；
掌握相關的性質及三點共線判定方法，能證出是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明： ，
，
，
，
是直角三角形；
（2）解：①是直徑，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
②折線由折線旋轉得到，
，
，
，
由①得，
，
，
，
，
，
點C，D，F三點共線．
3．（2024·山東濟南·模擬預測）如圖1，拋物線L：與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，已知．
(1)求m的值；
(2)點D是直線下方拋物線L上一動點，當的面積最大時，求點D的坐標；
(3)如圖2，在（2）條件下，將拋物線L向右平移1個單位長度后得到拋物線M，設拋物線M與拋物線L的交點為E，，垂足為F．證明是直角三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)見解析
【分析】
（1）由題意可知，將點A的坐標代入拋物線L即可得出m的值；
（2）設點D的坐標，表達的面積，并根據二次根式的性質可得出結論；
（3）由題可知，則點F是的中點，可求出的長，取的中點H，則是的中位線，則軸，由平移可得出拋物線M的解析式，聯立可得點E的坐標，求出點E的坐標，即可得出軸，進而可得結論．
【詳解】（1）解：，
，
在拋物線L：，
，解得：，
故答案為：；
（2）令，
解得：或，
，
令，則，
，
；
過點D作y軸的平行線于點G，
設，則，
，
，
當時，的面積最大，
，
；
（3）證明：如圖，連接，
，
，
，
是的中點，，
:，
在中，，
，
過點F作于點H，
，
點是的中點，
是的中位線，
，
軸，
將拋物線L向右平移1個單位長度后得到拋物線M，
則：，
令，解得：，
，
，
軸，
，即是直角三角形．
【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法，等腰三角形的性質，勾股定理等，中位線性質定理，含角直角三角形特征，熟練掌握相關知識是解題關鍵．
命題點二 勾股定理
題型01 利用勾股定理求解
1．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形內接于，則它的內切圓半徑為（ ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質，勾股定理；
連接，，作于G，證明是等邊三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖，連接，，作于G，

∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即它的內切圓半徑為，
故選：D．
2．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點在軸負半軸上，頂點在直線上，若點的橫坐標是8，為點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點B作軸，垂足為點D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性質得到軸，最后由平移即可求解．
【詳解】解：過點B作軸，垂足為點D，
∵頂點在直線上，點的橫坐標是8，
∴，即，
∴，
∵軸，
∴由勾股定理得：，
∵四邊形是菱形，
∴軸，
∴將點B向左平移10個單位得到點C，
∴點，
故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數的圖像，勾股定理，菱形的性質，點的坐標平移，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．
3．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，圓錐的側面展開圖是一個圓心角為的扇形，若扇形的半徑是5，則該圓錐的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了弧長公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長與側面展開圖扇形的弧長相等是解題關鍵，設圓錐的半徑為，則圓錐的底面周長為，根據弧長公式得出側面展開圖的弧長，進而得出，再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可．
【詳解】解：設圓錐的半徑為，則圓錐的底面周長為，
圓錐的側面展開圖是一個圓心角為的扇形，且扇形的半徑是5，
扇形的弧長為，
圓錐的底面周長與側面展開圖扇形的弧長相等，
，
，
圓錐的高為，
圓錐的體積為，
故選：D．
4．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在菱形中，，，是一條對角線，是上一點，過點作，垂足為，連接．若，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理等知識，過D作于H，先判斷，都是等邊三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性質可得出，進而求出，，然后利用勾股定理求解即可．
【詳解】解∶過D作于H，
∵菱形中，，，
∴，，
∴，都是等邊三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案為：．
5．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，四邊形是菱形，，，于點，則的長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理，菱形的性質，根據勾股定理求得，進而得出，進而根據等面積法，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，
∴，，，
在中，，
∴，
∵菱形的面積為，
∴，
故選：A．
題型02 判斷勾股數問題
1）確定是三個正整數a，b，c；
2）確定最大的數c；
3）計算較小的兩個數的平方是否等于.
1．（2023·江蘇南通·中考真題）勾股數是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數，世界上第一次給出勾股數公式的是中國古代數學著作《九章算術》．現有勾股數a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇數，則 （用含的式子表示）．
【答案】
【分析】根據直角三角形的性質，直角邊小于斜邊得到，為直角邊，為斜邊，根據勾股定理即可得到的值．
【詳解】解：由于現有勾股數a，b，c，其中，均小于，
，為直角邊，為斜邊，
，
，
得到，
，
，
是大于1的奇數，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查勾股定理的應用，分清楚，為直角邊，為斜邊是解題的關鍵．
2．（2023·四川瀘州·中考真題）《九章算術》是中國古代重要的數學著作，該著作中給出了勾股數，，的計算公式：，，，其中，，是互質的奇數．下列四組勾股數中，不能由該勾股數計算公式直接得出的是（　?。?br/>A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
【答案】C
【分析】首先證明出，得到a，b是直角三角形的直角邊然后由，，是互質的奇數逐項求解即可．
【詳解】∵，
∴．
∵，
∴．
∴a，b是直角三角形的直角邊，
∵，是互質的奇數，
∴A．，
∴當，時，，，，
∴3，4，5能由該勾股數計算公式直接得出；
B．，
∴當，時，，，，
∴5，12，13能由該勾股數計算公式直接得出；
C．，，
∵，是互質的奇數，
∴6，8，10不能由該勾股數計算公式直接得出；
D．，
∴當，時，，，，
∴7，24，25能由該勾股數計算公式直接得出．
故選：C．
【點睛】本題考查了勾股數的應用，通過，，是互質的奇數這兩個條件去求得符合題意的t的值是解決本題的關鍵．
3．（2024·河北秦皇島·一模）我們把滿足的三個正整數a，b，c稱為“勾股數”．若是一組勾股數，n為正整數．
(1)當，時，請用含n的代數式表示，并直接寫出n取何值時，a為滿足題意的最小整數；
(2)當，時，用含n的代數式表示，再完成下列勾股數表．
a b c
_____ 40 41
11 60 _____
【答案】(1)，當時，滿足題意的最小整數
(2)，9，61
【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理的應用，準確理解題意是解題的關鍵．
（1）根據變形式 可得到結果，根據的算術平方根是最小整數得到結果；
（2）根據變形式得到結果，根據變形式 得即可得到c的值，根據變形成 得到a的值．
【詳解】（1）解：，
把，代入中，
得，
∵n為正整數，
∴當時，滿足題意的最小整數；
（2），
，，，
，，，
補全勾股數表如下：
4．（2024·浙江·模擬預測）在中國古代數學著作《周髀算經》中就對勾股定理和勾股數有過一定的描述，所謂勾股數一般是指能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，觀察下面的表格中的勾股數：
… … …
(1)當時，______，______．
(2)按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含的等式表示，為正整數）．
(3)請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的．
【答案】(1)60 61
(2)
(3)見解析
【分析】本題主要考查了勾股數，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股數是解題的關鍵．
（1）根據表格中的數據即可得到答案；
（2）．根據表格中的數據找出規律即可得到答案；
（3）根據勾股定理的逆定理即可得到答案．
【詳解】（1）解：，
，
，
故答案為：60，61
（2）解：由（1）可得，，
當時，
（3）解：
．
結論成立．
題型03 以直角三角形三邊為邊長的圖形面積
作正方形 作半圓 作等邊三角形 作等腰直角三角形
圖示
結論
1．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個正方形．執行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”．若圖①中的直角三角形斜邊長為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為 ．
【答案】48
【分析】本題主要考查了圖形規律，直角三角形的性質、勾股定理、正方形的性質等知識．根據題意分別計算出圖①、圖②和圖③的面積，得出規律即可求解．
【詳解】解：圖①中，∵，
根據勾股定理得，，
∴圖①中所有正方形面積和為：，
圖②中所有正方形面積和，即1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：
，
圖③中所有正方形面積和，即2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：
，

∴n次操作后的圖形中所有正方形的面積和為，
∴10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為，
故答案為：48．
2．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，矩形內接于，分別以為直徑向外作半圓．若，則陰影部分的面積是（ ）

A． B． C． D．20
【答案】D
【分析】根據陰影部分面積為2個直徑分別為的半圓的面積加上矩形的面積減去直徑為矩形對角線長的圓的面積即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，

∵矩形內接于，
∴
∴陰影部分的面積是
，
故選：D．
【點睛】本題考查了勾股定理，矩形的性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
3．（2024·廣東中山·模擬預測）在直線L上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別1、4、9，正放置的四個正方形的面積依次為，，，，則的值是 ．
【答案】10
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，考查了勾股定理的靈活運用，本題中證明是解題的關鍵．
證，得，同理，．
【詳解】解：如圖所示，
在和中，
，
，
，，
，
同理可證，
．
故答案為：10．
4．（2024·廣西梧州·二模）圖1是第七屆國際數學教育大會（）的會徽，會徽的主題圖案是由圖2中七個直角三角形演化而成的，其中．則組成會徽的七個直角三角形的面積的平方和為 ．

【答案】7
【分析】本題考查了勾股定理．利用勾股定理依次計算出，，，，然后依據計算出前幾個三角形的面積，然后依據規律解答即可得到結論．
【詳解】解：由題意得，
，
，
，
，
；；；；；
∴
，
故答案為：7．
5．（2024·江蘇宿遷·二模）小明在一塊畫有的紙片上（其中，＜）進行了如下操作：第一步分別以、為邊向外畫正方形和正方形；第二步過點、分別作的垂線和的平行線，將紙片－分成②、③、④、⑤四塊，如圖；第三步將圖中的正方形紙片、紙片及紙片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成圖2．若則的值 ．

【答案】
【分析】本題考查了解一元二次方程，勾股定理；根據題意得出為正方形，設，設則，根據題意，根據勾股定理建立方程，得出，進而得出，則，即可求解．
【詳解】解：根據圖1可得，
由圖1圖2兩個圖形可得正方形與正方形的面積和即，四邊形的面積為，
根據兩個圖形對應，，則對應圖2中可得 ，
∴四邊形為矩形，
又∵矩形的面積為，
∴，
∴四邊形為正方形，
∵
設
∴
如圖所示，
，
，，
設則
∴，
∵
∴
∴
整理得，
解得：或（舍去）
∴
∴
故答案為：．
6．（2020·江西·中考真題）某數學課外活動小組在學習了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側作多邊形，它們的面積，，之間的關系問題”進行了以下探究：
類比探究
（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以為斜邊向外側作，，，若，則面積，，之間的關系式為 ；
推廣驗證
（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以為邊向外側作任意，，，滿足，，則（1）中所得關系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明理由；
拓展應用
（3）如圖4，在五邊形中，，，，，點在上，，，求五邊形的面積．
【答案】（1）；（2）結論成立，證明看解析；（3）
【分析】（1）由題目已知△ABD、△ACE、△BCF、△ABC均為直角三角形，又因為，則有∽∽，利用相似三角形的面積比為邊長平方的比，列出等式，找到從而找到面積之間的關系；
（2）在△ABD、△ACE、△BCF中，，，可以得到∽∽，利用相似三角形的面積比為邊長平方的比，列出等式，從而找到面積之間的關系；
（3）將不規則四邊形借助輔助線轉換為熟悉的三角形，過點A作AHBP于點H，連接PD，BD，由此可知，，即可計算出，根據△ABP∽△EDP∽△CBD，從而有，由（2）結論有，最后即可計算出四邊形ABCD的面積．
【詳解】（1）∵△ABC是直角三角形，
∴，
∵△ABD、△ACE、△BCF均為直角三角形，且，
∴∽∽，
∴，，
∴
∴得證．
（2）成立，理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴，
∵在△ABD、△ACE、△BCF中，，，
∴∽∽，
∴，，
∴
∴得證．
（3）過點A作AHBP于點H，連接PD，BD，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴PH=AH=，
∴，，
∴，
∵，ED=2，
∴，，
∴，
∵，
∴△ABP∽△EDP，
∴，，
∴，，
∴，
，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴△ABP∽△EDP∽△CBD
∴
故最后答案為．
【點睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性質，若兩三角形相似，則有面積的比值為邊長的平方，根據此性質找到面積與邊長的關系即可；（3）主要考查了不規則四邊形面積的計算以及（2）的結論，其中合理正確利用前面得出的結論是解題的關鍵．
題型04 與直角三角形三邊為邊長的圖形面積有關的規律探究問題
1．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在矩形中，，，連接，以為邊，作矩形使，連接交于點；以為邊，作矩形，使，連接交于點；以為邊，作矩形，使，連接交于點；…按照這個規律進行下去，則的面積為 ．
【答案】．
【分析】先尋找規律求得的面積，再結合勾股定理以及三角形中線平分三角形的面積求得三角形面積是它所在矩形面積的，依此即可求得的面積．
【詳解】解：∵四邊形為矩形，
∴∠A=∠B=90°，，，，
∴，
∴,，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
同理可證， ，
依次類推，，
故 ，
在矩形中，設，則，
根據勾股定理，
即，解得，
∵，即，
同理可證，
∴
同理可證
故答案為：．
【點睛】本題考查矩形的性質，勾股定理，三角形中線有關的面積計算，探索與表達規律，解直角三角形．解決此題的關鍵有兩個：①尋找規律，求得；②得出三角形面積是它所在矩形面積的．需注意標序號的時候不要混淆了．
2．（2024·四川內江·二模）如圖，正方形的邊長為2，其面積標記為，以為斜邊作等腰直角三角形，并以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為……按照此規律繼續下去，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查圖形類規律類、等腰直角三角形的性質、勾股定理，先根據題意求得前幾個正方形的面積，繼而可得第n個正方形的邊長為，則，即可求解．
【詳解】解：由題意得，第一個正方形的邊長為2，則，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴第二個正方形的邊長為，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴第三個正方形的邊長為，
∴，
同理可得，第四個正方形的邊長為，
∴，
，
∴第n個正方形的邊長為，
∴，
∴，
故答案為：．
3．（23-24九年級下·山東聊城·階段練習）如圖（），已知小正方形的面積為，把它的各邊延長一倍得到新正方形；把正方形邊長按原法延長一倍得到正方形（如圖（））…；以此下去，則正方形的面積為 ．

【答案】
【分析】本題考查了圖形的變化規律問題，根據勾股定理，結合正方形的面積公式，找出正方形的面積與序數的關系即可，解題的關鍵是找出正方形的面積與序數的關系．
【詳解】由正方形邊長的平方為：，故正方形面積為：；
正方形邊長的平方為：，故正方形面積為：；
正方形邊長的平方為：，故正方形面積為：；
，
正方形面積為：；
∴當時，正方形的面積為，
故答案為：．
4．（2023·山東青島·二模）【問題背景】
如圖，是一張等腰直角三角形紙板，，取、、中點進行第次剪取，記所得正方形面積為，如圖，在余下的和中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第次剪取，并記這兩個正方形面積和為如圖.
【問題探究】
（1） ______ ；
（2）如圖，再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第次剪取，并記這四個正方形面積和為繼續操作下去，則第次剪取時， ______ ；第次剪取時， ______ ．
【拓展延伸】
在第次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和為______ ．
【答案】（1）；（2），；【拓展延伸】
【分析】（1）根據題意，可求得，第一次剪取后剩余三角形面積和為：，第二次剪取后剩余三角形面積和為：；
（2）同理可得規律：即是第次剪取后剩余三角形面積和，根據此規律求解即可答案；
（3）依此規律可得第次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和．
本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，得出甲、乙兩種剪法，所得的正方形面積是解題的關鍵．
【詳解】解：（1）∵四邊形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
同理：等于第二次剪取后剩余三角形面積和，
，
故答案為：；
（2）等于第次剪取后剩余三角形面積和，
第一次剪取后剩余三角形面積和為：，
第二次剪取后剩余三角形面積和為：，
第三次剪取后剩余三角形面積和為：，
第十次剪取后剩余三角形面積和為：，
第次剪取后剩余三角形面積和為：，
故答案為：，；
（3）在第次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和為，
故答案為：．
題型05 勾股定理與網格問題
正方形網格中的每一個角都是直角，在正方形網格中的長度計算都可以歸結為求任意兩個點之間的距離，一般情況下都是運用勾股定理來進行計算，關鍵是確定每一條邊所在的直角三角形.
1．（2023·吉林長春·中考真題）圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作，點C在格點上．

(1)在圖①中，的面積為；
(2)在圖②中，的面積為5
(3)在圖③中，是面積為的鈍角三角形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）以為底，設邊上的高為，依題意得，解得，即點在上方且到距離為個單位的線段上的格點即可；
（2）由網格可知，，以為底，設邊上的高為，依題意得，解得，將繞或旋轉，過線段的另一個端點作的平行線，與網格格點的交點即為點；
（3）作，過點作，交于格點，連接A、B、C即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，
以為底，設邊上的高為，
依題意得：
解得：
即點在上方且到距離為個單位的線段上的格點即可，
答案不唯一；
（2）由網格可知，
以為底，設邊上的高為，
依題意得：
解得：
將繞或旋轉，過線段的另一個端點作的平行線，與網格格點的交點即為點，
答案不唯一，
（3）如圖所示，
作，過點作，交于格點，

由網格可知，
，，
∴是直角三角形，且
∵
∴．
【點睛】本題考查了網格作圖，勾股定理求線段長度，與三角形的高的有關計算；解題的關鍵是熟練利用網格作平行線或垂直．
2．（2023·吉林·中考真題）圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上．在圖①、圖②、圖③中以為邊各畫一個等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點均在格點上．

【答案】見解析
【分析】根據勾股定理可得，結合題意與網格的特點分別作圖即可求解．
【詳解】解：如圖所示，

如圖①，，則是等腰三角形，且是銳角三角形，
如圖②，，，則，則是等腰直角三角形，
如圖③，，則是等腰三角形，且是鈍角三角形，
【點睛】本題考查了勾股定理與網格問題，等腰三角形的定義，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
3．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，四邊形的頂點均在網格的格點上．
(1)求的值．
(2)操作與計算：用尺規作圖法過點C作，垂足為E，并直接寫出的長．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）
【答案】(1)
(2)圖見解析，
【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂線，熟練掌握正弦的定義是解題關鍵．
（1）先根據勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以為直角的直角三角形，再根據正弦的定義求解即可得；
（2）先以點為圓心、為半徑畫弧交于點，再分別以點為圓心，長為半徑畫弧，分別交于點，然后畫直線，交于點，則即為所作；最后利用正弦的定義即可求出的長．
【詳解】（1）解：如圖，連接，
∵，，，
∴，
∴是以為直角的直角三角形，
∴．
（2）解：用尺規作圖法過點作，垂足為，作圖如下：
在中，．
題型06 勾股定理與折疊問題
解決“翻折”問題時，要弄清翻折前后的邊、角的對應情況，將待求線段或角與已知線段、角歸結到一起，尤其是求線段長度時，常常利用勾股定理直接求出未知線段的長度或通過勾股定理列方程使問題得以解決.
1．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，，，，D是邊的中點，E是邊上一點，連接．將沿翻折，點C落在上的點F處，則 ．
【答案】
【分析】本題考查勾股定理與折疊問題，勾股定理求出的長，折疊得到，，設，在中，利用勾股定理進行求解即可．
【詳解】解：∵，，，D是邊的中點，
∴，
∴，
∵將沿翻折，點C落在上的點F處，
∴，，
∴，
設，則：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故答案為：．
2．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，點E在矩形的邊上，將沿折疊，點D恰好落在邊上的點F處，若．，則 ．

【答案】5
【分析】利用矩形的性質及折疊的性質可得，，可得，，設，則，利用勾股定理可得，進而可得結果．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，，，
根據折疊可知，可知，，
則，在中，，則，
∴，則，
設，則，
在中，，即：，
解得：，
即：，
故答案為：5．
【點睛】本題考查矩形的性質、折疊的性質、解直角三角形，靈活運用折疊的性質得到相等線段是解決問題的關鍵．
3．（2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知正方形的邊長為1，點E、F分別在邊上，將正方形沿著翻折，點B恰好落在邊上的點處，如果四邊形與四邊形的面積比為3∶5，那么線段的長為 ．

【答案】
【分析】連接，過點作于點，設，則，則，根據已知條件，分別表示出，證明 ，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，

∵正方形的邊長為1，四邊形與四邊形的面積比為3∶5，
∴，
設，則，則
∴
即
∴
∴，
∴，
∵折疊，
∴，
∴，
∵，
∴，
又,
∴ ，
∴
在中，
即
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
4．（2024·四川廣元·中考真題）已知與的圖象交于點，點B為y軸上一點，將沿翻折，使點B恰好落在上點C處，則B點坐標為 ．

【答案】
【分析】本題考查了反比例函數的幾何綜合，折疊性質，解直角三角形的性質，勾股定理，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．先得出以及，根據解直角三角形得，根據折疊性質，，然后根據勾股定理進行列式，即．
【詳解】解：如圖所示：過點A作軸，過點C作軸，

∵與的圖象交于點，
∴把代入，得出，
∴，
把代入，
解得，
∴，
設，
在，
∴，
∵點B為y軸上一點，將沿翻折，
∴，，
∴，
則，
解得（負值已舍去），
∴，
∴，
∴點的坐標為，
故答案為：．
題型07 勾股定理與無理數
1．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段，按以下步驟作圖：①過點B作，使，連接；②以點C為圓心，以長為半徑畫弧，交于點D；③以點A為圓心，以長為半徑畫弧，交于點E．若，則m的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理，根據垂直定義可得，再根據，設，然后在中，利用勾股定理可得，再根據題意可得：，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，設
∴，
∴，
由題意得：，
∴，
∵，
∴，
故選：A
2．（2024·貴州貴陽·一模）如圖，，在數軸上點A表示的數為a，則a的值最接近的整數是 ．
【答案】
【分析】本題考查數軸上的點表示的數，解題的關鍵是求出，即可得的值．
【詳解】解：由圖可得，，
表示的數比表示的數小，
，
，
，
，
的值最接近的整數是，
故答案為：．
3．（2024·山西大同·模擬預測）為了比較與的大小，小亮先畫了一條數軸，然后在原點O處作了一條垂線段，且，點B表示的數是2，點C表示的數為3，連接，由推出，這里小亮用到的數學思想是（ ）
A．統計思想 B．數形結合 C．模型思想 D．分類討論
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理、三角形的三邊關系等知識點，根據題意可得，據此即可求解．
【詳解】解：由題意得，
∴
該過程利用數軸，結合勾股定理可得，用到了數形結合的數學思想．
故選：B．
4．（2024南寧三中模擬）利用勾股定理，可以作出長為、、、的線段，如圖：在中，，，，則的長等于______．在按同樣的方法，可以在數軸上畫出表示、、、的點．

（）在數軸上作出表示的點（尺規作圖，保留痕跡）．
（）在數軸上作出表示的點（尺規作圖，保留痕跡）．
【答案】；（）作圖見解析；（）作圖見解析．
【分析】本題考查了勾股定理，在數軸上表示無理數，利用勾股定理正確作出直角三角形是解題的關鍵．利用勾股定理即可求出的長度；
（）如圖，在數軸上作出直角邊為的等腰直角三角形，由勾股定理得斜邊長為，以原點為圓心，為半徑畫圓，與數軸的負半軸交于點，點表示的數即為；
（）如圖，先在數軸上作出直角邊為的等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜邊為直角邊，另一條直角邊為作一個直角三角形，由勾股定理可得，它的斜邊為，然后以原點為圓心，為半徑畫圓，與數軸的正半軸交于點，點表示的數即為；
【詳解】解：∵，，，
∴，
故答案為：；
（）如圖，點即為所求；
（）如圖，點即為所求．
題型08 利用勾股定理證明線段平方關系
1．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由；
（2）性質探究：如圖1，垂美四邊形的對角線，交于點．猜想：與有什么關系？并證明你的猜想．
（3）解決問題：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結，，．已知，，求的長．
【答案】（1）四邊形是垂美四邊形，理由見解析；（2），證明見解析；（3）．
【分析】（1）連接，先根據線段垂直平分線的判定定理可證直線是線段的垂直平分線，再根據垂美四邊形的定義即可得證；
（2）先根據垂美四邊形的定義可得，再利用勾股定理解答即可；
（3）設分別交于點，交于點，連接，先證明，得到，再根據角的和差可證，即，從而可得四邊形是垂美四邊形，然后結合（2）的結論、利用勾股定理進行計算即可得．
【詳解】證明：（1）四邊形是垂美四邊形，理由如下：
如圖，連接，
∵，
∴點在線段的垂直平分線上，
∵，
∴點在線段的垂直平分線上，
∴直線是線段的垂直平分線，即，
∴四邊形是垂美四邊形；
（2）猜想，證明如下：
∵四邊形是垂美四邊形，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
，
∴；
（3）如圖，設分別交于點，交于點，連接，
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴四邊形是垂美四邊形，
由（2）得：，
∵是的斜邊，且，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
解得或（不符題意，舍去），
故的長為．
【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定定理與性質、線段垂直平分線的判定、勾股定理等知識點，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題關鍵．
2．（2024·山西朔州·二模）閱讀與思考
下面是小宇同學收集的一篇數學小論文，請仔細閱讀并完成相應的任務.
構圖法在初中數學解題中的應用構圖法指的是構造與數量關系對應的幾何圖形，用幾何圖形中反映的數量關系來解決數學問題的方法.巧妙地構造圖形有助于我們把握問題的本質，明晰解題的路徑，也有利于發現數學結論.本文通過列舉一個例子，介紹構圖法在解題中的應用， 例：如圖1，已知P為等邊三角形內一點，，. 求以，，為邊的三角形中各個內角的度數. 解析：如何求所構成的三角形三個內角的度數？由于沒有出現以，，為邊的三角形，問題難以解決.于是考慮通過構圖法構造長度為，，的三角形來解決問題． 解：將繞點A順時針旋轉得，則． ，，． 由旋轉可知， 是等邊三角形．【依據】 ，． 就是以，，為邊的三角形． ， ． . ． ． 以，，為邊的三角形中，三個內角的度數分別為，，. 構造圖形的關鍵在于通過圖形的變化，能使抽象的數量關系集中在一個圖形上直觀地表達出來，使問題變簡單．
任務：
(1)上面小論文中的“依據”是________．
(2)如圖2，已知點P是等邊三角形的邊上的一點，若，則在以線段，，為邊的三角形中，最小內角的度數為________．
(3)如圖3，在四邊形中，，，．求證：．
【答案】(1)有一個角是的等腰三角形是等邊三角形
(2)18
(3)證明見解析
【分析】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，三角形內角和定理，勾股定理：
（1）依據是有一個角是的等腰三角形是等邊三角形；
（2）將繞點A順時針旋轉到的位置，連接，則，可得是等邊三角形，則就是以，，為邊的三角形．根據全等三角形的性質及三角形內角和定理分別求得三個內角的度數，即可得到答案；
（3）連接，將繞點C順時針旋轉到的位置，連接，先證明是等邊三角形，由旋轉的性質可得為等邊三角形，進而可得，利用勾股定理即可得證．
【詳解】（1）解：依據是有一個角是的等腰三角形是等邊三角形，
故答案為：有一個角是的等腰三角形是等邊三角形；
（2）解：如圖，將繞點A順時針旋轉到的位置，連接，則，
，，，
由旋轉的性質可知，
是等邊三角形，
，，
就是以，，為邊的三角形，
，
，
，
，
，
，
最小內角的度數為，
故答案為：18；
（3）證明：如圖，連接，將繞點C順時針旋轉到的位置，連接，
，，
是等邊三角形，
，
由旋轉可知，，，
為等邊三角形，
，，
，
在中，由勾股定理得，
．
3．（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點在的斜邊上．

(1)判斷與間的數量關系，并說明理由；
(2)直接寫出線段、、間滿足的數量關系．
【答案】(1)見解析
(2)，理由見解析
【分析】（1）根據已知條件得出，即，即可得出；
（2）證明，得出，，進而根據四邊形內角和為，求得，進而勾股定理即可得證．
【詳解】（1）理由如下，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
如圖所示，連接，

由（1）可得
∵
∴
∴，，
∵
∴
∵
在四邊形中，
∴是直角三角形，
∴
又是等腰直角三角形，
∴，即,
又∵，
∴
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
4．（2023·陜西咸陽·一模）在中，，是的中點，作．分別交，于點，，連接
(1)【嘗試探究】如圖1，若，求證；
(2)【深入研究】如圖2，試探索（1）中的結論在一般情況下是否仍然成立；
(3)【解決問題】如圖3，若，，點，，，在同一個圓上，求面積的最大值．
【答案】(1)見解析
(2)成立，證明見解析
(3)
【分析】（1）證明，得到，推出，由勾股定理，得到，即可得證；
（2）延長至，使，連接，易得四邊形是平行四邊形，得到，進而得到，，推出垂直平分，得到，即可得證；
（3）根據，推出，利用（2）的結論，設，求出之間的關系式，利用面積公式將三角形的面積轉化為二次函數求最值即可得解．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵點O是的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），仍然成立．
證明：延長至，使，連接，
∵點O是的中點，
∴，
∴互相平分，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴；
（3）解：∵，點，，，在同一個圓上，
∴是圓的直徑，
∴，
由②知，，
又，
∴，
設，
則：，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴當時，的面積的最大值是．
【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，勾股定理，圓周角定理，二次函數求最值．本題的綜合性強，屬于中考常考壓軸題．熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．
題型09 勾股定理的證明方法
1．（2023·北京大興·一模）下面是用面積關系證明勾股定理的兩種拼接圖形的方法，選擇其中一種，完成證明．
勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方． 已知：如圖，直角三角形的直角邊長分別為，，斜邊長為． 求證：．
方法一 如圖，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為． 證明 方法二 如圖，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為． 證明
【答案】見解析
【分析】利用面積法，根據大正方形面等于4個直角三角形面積加上小正方形面積求解即可．
【詳解】證明：方法一：由圖可得：
∴；
方法二：由圖可得：，
∴．
【點睛】本題考查勾股定理的證明，利用數形結合，得出大正方形面等于4個直角三角形面積加上小正方形面積是解題的關鍵．
2．（2024·山西呂梁·模擬預測）閱讀與思考：請閱讀下列材料，完成相應任務．
從勾股定理的“無字證明”談起
在勾股定理的學習過程中，我們已經學會運用一些幾何圖形驗證勾股定理．如圖1是古印度的一種證明方法：過正方形的中心O，作兩條互相垂直的直線，將正方形分成4份，所分成的四部分和一小正方形恰好能拼成一個大正方形．這種方法，不用運算，單靠移動幾塊圖形就直觀地證出了勾股定理，這種根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．

意大利著名畫家達·芬奇用如圖2所示的方法證明了勾股定理，其中圖甲的空白部分是由兩個正方形和兩個直角三角形組成，圖丙的空白部分由兩個直角三角形和一個正方形組成．設圖甲中空白部分的面積為，圖丙中空白部分的面積為．
任務：
(1)下面是小亮利用圖2驗證勾股定理的過程，請你幫他補充完整．
解：根據題意，得________
．
∵，
∴________，即________．
(2)我國是最早了解勾股定理的國家之一．東漢末年數學家劉徽在為《九章算術》作注中依據割補術而創造了勾股定理的無字證明“青朱出入圖”．如圖3，若，，則的長度為________．
(3)在初中的數學學習中，我們已經接觸了很多代數恒等式．一些代數恒等式也可以通過“無字證明”來解釋．可以借助圖4直觀地解釋的代數恒等式為________．借助此方法可將抽象的數學知識變得直觀且具有可操作性，從而幫助我們解決問題，在此過程中體現的數學思想是________．
A．分類討論思想 B．公理化思想 C．數形結合思想 D．從特殊到一般的思想
(4)借助圖5可以直觀解釋的式子為________．（填序號）
①； ②；
③； ④．
(5)實際上，初中數學還有一些代數恒等式（除上述涉及的）也可以借助“無字證明”來直觀解釋，請你舉出一例，畫出圖形并直接寫出所解釋的代數恒等式．
【答案】(1)；；
(2)
(3)；C
(4)②
(5)，圖形見解析（答案不唯一）
【分析】本題主要考查勾股定理的幾何證明、完全平方式在幾何中的應用，涉及了正方形的性質、相似三角形的性質和判定以及勾股定理的應用等知識點，熟練掌握面積的不同表示方法得到相應的等式是解題的關鍵．
（1）根據圖甲的空白部分是由兩個正方形和兩個直角三角形組成，即可求出，再進行化簡即可求解；
（2）根據正方形的性質以及勾股定理求出，再根據相似三角形的判定和性質即可求出；
（3）根據“大正方形的面積9個小正方形面積之和”即可求解，主要體現的是數形結合的思想；
（4）根據“大正方形的面積稍大正方形面積稍小正方形面積2個長方形面積”即可求解；
（5）借助數形結合的思想，設計一個邊長為的正方形即可．
【詳解】（1）解：根據題意，得，
．
∵，
∴，即．
故答案為：；；．
（2）∵，，
∴，，
由勾股定理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）由圖可知，，體現了數形結合的思想，
故答案為：；
故選：C．
（4）由圖可知，，
故選：②．
（5），圖形如圖所示：

題型10 趙爽弦圖
內弦圖模型 外弦圖模型
條件 在正方形內部，有四個全等的直角三角形.
圖示
結論 1）四邊形ABMN為正方形 2） 3） 1）四邊形CMHG為正方形 2） 3）
1．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．直線交正方形的兩邊于點，，記正方形的面積為，正方形的面積為．若，則用含的式子表示的值是 ．
【答案】
【分析】作交于點，不妨設，設，通過四邊形是正方形，推出，得到，然后證明，利用相似三角形對應邊成比例，得到，從而表示出，的長度，最后利用和表示出正方形和的面積，從而得到．
【詳解】解：作交于點，不妨設，設
四邊形是正方形
在和中，，
由題意可知，
正方形的面積，
正方形的面積
；
故答案為：.
【點睛】本題考查了弦圖，正方形的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，正方形的面積，勾股定理，熟練掌握以上知識點并能畫出合適的輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．
2．（2023·湖北鄂州·中考真題）2002年的國際數學家大會在中國北京舉行，這是21世紀全世界數學家的第一次大聚會．這次大會的會徽選定了我國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個全等的直角三角形（）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形與正方形，連接和，與、、分別相交于點P、O、Q，若，則的值是 ．

【答案】
【分析】設，，則，證明，利用相似三角形的性質求出，可得，，利用勾股定理求出和，進而可得的長，再證明，可得，然后根據正方形的性質求出，即可得出答案．
【詳解】解：設，，則，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
即，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，解一元二次方程以及二次根式的混合運算等知識，證明，求出的長是解題的關鍵．
3．（2023·湖北黃岡·中考真題）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設圖中，，連接，若與的面積相等，則 ．

【答案】
【分析】根據題意得出，即，解方程得出（負值舍去）代入進行計算即可求解．
【詳解】解：∵圖中，，
∴
∵與的面積相等，
∴
∴
∴
∴
∴
解得：（負值舍去）
∴，
故答案為：3．
【點睛】本題考查了解一元二次方程，弦圖的計算，根據題意列出關于的方程是解題的關鍵．
4．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，在趙爽弦圖中，正方形是由四個全等的直角三角形，，，和一個小正方形組成的．若把四個直角三角形分別沿斜邊向外翻折，可得正方形，連接并延長，交于點．若正方形的面積為196，正方形的面積為4，則：
（1）正方形的面積為 ．
（2）的長為 ．
【答案】 100 7.9
【分析】本題考查了勾股定理、正方形的性質、全等三角形的性質、相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．
（1）設每個小直角三角形的長直角邊長為，短直角邊長為，斜邊長為．，則，進而得出{，勾股定理得出，即可求解；
（2）設交于點，證明，利用同角的三角函數性質求出，，，即可求解．
【詳解】解：（1）設每個小直角三角形的長直角邊長為，短直角邊長為，斜邊長為．
正方形的面積為196，正方形的面積為4，
．
，，
．
解得：．
．
正方形的面積為：．
故答案為100；
（2）設交于點．
由題意得：，，
．
．
．
四邊形是正方形，
．
．
由題意得：，．
．
同理．
．
由題意得：，，．
．
．
故答案為：7.9．
題型11 利用勾股定理構造圖形解決實際問題
1．（2024·遼寧撫順·一模）《算法統宗》是中國古代數學名著，作者是明代數學家程大位．書中記載了一道“蕩秋千”問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地；送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉；良工高士素好奇，算出索長有幾 ”譯文：“秋千靜止的時候，踏板高地1尺，將它往前推送兩步(兩步＝10尺)時，此時踏板升高到離地5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問秋千繩索有多長 ”如圖，若設秋千繩索長為x尺，則可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了考差了勾股定理的應用，關鍵是正確理解題意，表示出 的長，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．設秋千的繩索長為 尺，根據題意可得 尺，利用勾股定理可得方程．
【詳解】解：設秋千的繩索長為 尺，根據題意可列方程為：即．
故選：C
2．（2023·四川瀘州·一模）我國古代偉大的數學家劉徽將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成．若，，則該矩形的面積為（　　　?。?br/>
A．96 B． C． D．90
【答案】A
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質、勾股定理、代數式求值等知識．設，根據題意可知，，，在中，由勾股定理可得，代入并整理可得，然后結合矩形的面積公式可得 ，整體代入即可獲得答案．
【詳解】解：如下圖，

設，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
整理，可得，即，
∴該矩形的面積
．
故選：A．
3．（2022·貴州遵義·二模）已知a，b均為正數，且，，是一個三角形的三邊的長，則這個三角形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】構造矩形， E、F分別為、的中點，設， ，將所求三角形面積轉化為即可求解．
【詳解】解：如圖，在矩形中， E、F分別為、的中點，
設， ，
∴，，
∴在、、中，依次可得到：
，
，
，
∴
．
故選：A
【點睛】本題考查二次根式的應用．能夠通過構造矩形及直角三角形，利用等積變換將所求三角形的面積轉化為矩形和幾個直角三角形的面積之差．利用數形結合是解答本題的關鍵．
4．（2023·湖南衡陽·一模）在日常生活中我們經常會使用到訂書機，如圖是裝訂機的底座，是裝訂機的托板，始終與底座平行，連接桿的點固定，點從向處滑動，壓柄可繞著轉軸旋轉．已知，．
(1)當托板與壓柄夾角時，如圖①，點從點滑動了，求連接桿的長度；
(2)當壓柄從（1）中的位置旋轉到與底座的夾角，如圖②．求這個過程中點滑動的距離．（答案保留根號）（參考數據：，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作于，在中，由三角函數可知，，可解得， ，然后在中由勾股定理即可獲得答案；
（2）作的延長線于點，在中，由三角函數和勾股定理可解得，，再在中，可有，代入求解即可獲得答案．
【詳解】（1）解：如圖①，作于，
在中，，，，
∴，，
∴， ，
∵，，
∴，
∴；
答：連接桿的長度為 ；
（2）如圖②，作的延長線于點，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴點滑動的距離為：．
答：這個過程中點滑動的距離為．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用以及勾股定理等知識，作出輔助線，正確構造直角三角形是解決問題的關鍵．
命題點三 勾股定理逆定理
題型01 在網格中判定直角三角形
1．（2022·四川廣元·中考真題）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cos∠APC的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把AB向上平移一個單位到DE，連接CE，則DE∥AB，由勾股定理逆定理可以證明△DCE為直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．
【詳解】解：把AB向上平移一個單位到DE，連接CE，如圖．
則DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝．
故選：B．
【點睛】本題考查了解直角三角形、平行線的性質，勾股定理，作出合適輔助線是解題關鍵．
2．（2023·廣東·中考真題）綜合與實踐
主題：制作無蓋正方體形紙盒
素材：一張正方形紙板．
步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；
步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．
猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上與紙盒上的大小關系；
(2)證明（1）中你發現的結論．
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；
（2）證明是等腰直角三角形即可.
【詳解】（1）解：
（2）證明：連接，

設小正方形邊長為1，則，，
，
為等腰直角三角形，
∵，
∴為等腰直角三角形，
，
故
【點睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應用和等腰三角形的性質，熟練掌握其性質是解答此題的關鍵．
3．（2024·北京·模擬預測）如圖所示的網格是正方形網格，點A，B，C，D是網格線交點，則 （填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】
【分析】本題主要考查了勾股定理的網格問題、勾股定理逆定理等知識點，應用勾股定理逆定理得到是直角三角形成為解題的關鍵．
先應用勾股定理逆定理得到是直角三角形，然后分別求得、，最后比較即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵
∴，
∴．
故答案為：．
4．（23-24九年級下·河南駐馬店·階段練習）如圖，在的網格圖中，每個小正方形的邊長均為1．點A、B、C、D均在格點上．則圖中陰影部分的面積為 ．（結果保留）
【答案】
【分析】本題考查了扇形的面積、勾股定理及逆定理，先利用勾股定理求得，，再利用勾股定理的逆定理得，再根據即可求解，熟練掌握扇形的面積公式及勾股定理及逆定理是解題的關鍵．
【詳解】解：取的中點，連接，，如圖：
根據勾股定理得：，，
，
，
為圓的直徑，點是的中點，
，，
，
故答案為：．
題型02 利用勾股定理逆定理求解
1．（2023·湖北·中考真題）如圖，在的正方形網格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中的圓弧為格點外接圓的一部分，小正方形邊長為1，圖中陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據網格的特點作的垂直平分線，作的垂直平分線，設與相交于點O，連接，則點O是外接圓的圓心，先根據勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，然后根據，進行計算即可解答．
【詳解】解：如圖：作的垂直平分線，作的垂直平分線，設與相交于點O，連接，則點O是外接圓的圓心，

由題意得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴
，
故選：D．
【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
2．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，在中，，點P為線段上的動點，以每秒1個單位長度的速度從點A向點B移動，到達點B時停止．過點P作于點M、作于點N，連接，線段的長度y與點P的運動時間t（秒）的函數關系如圖所示，則函數圖象最低點E的坐標為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖所示，過點C作于D，連接，先利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即，進而利用等面積法求出，則可利用勾股定理求出；再證明四邊形是矩形，得到，故當點P與點D重合時，最小，即最小，此時最小值為，，則點E的坐標為．
【詳解】解：如圖所示，過點C作于D，連接，
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴當最小時，即最小，
∴當點P與點D重合時，最小，即最小，此時最小值為，，
∴點E的坐標為，
故選C．

【點睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性質與判斷，垂線段最短，坐標與圖形等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．
3．（2024·浙江·模擬預測）如圖，X，Y，Z是某社區的三棟樓，，，．若在中點M處建一個網絡基站，該基站的覆蓋半徑為，則這三棟樓中在該基站覆蓋范圍內的是（ ）
A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y
【答案】A
【分析】本題考查點和圓的位置關系，勾股定理的逆定理，解題的關鍵是求出三角形三個頂點到點的距離．根據勾股定理的逆定理證得是直角三角形，可以根據直角三角形斜邊中線的性質求得的長，然后與比較大小，即可解答本題．
【詳解】解：，，．
，
是直角三角形，
，
點是斜邊的中點，
，
是直角三角形，是斜邊的中線，
，
，
點、、都在圓內，
這三棟樓都在該基站覆蓋范圍內．
故選：A
4．（2023·江蘇南通·模擬預測）如圖，已知點，點C在第一象限，且，，則直線的函數表達式為 ．
【答案】
【分析】本題考查了正比例函數的解析式，勾股定理逆定理，相似三角形的判定與性質，坐標與圖形，連接，過點C作軸，垂足為D，求出的長，證明是直角三角形，證明，利用相似三角形的性質求出，進而求出，得到點C的坐標，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，過點C作軸，垂足為D，
，，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
設直線的函數表達式為，
，
，
直線的函數表達式為，
故答案為：．
命題點四 勾股定理的實際應用
題型01 用勾股定理解決實際生活問題
1．（2021·江蘇南通·中考真題）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為 海里（結果保留根號）．
【答案】．
【分析】先作PC⊥AB于點C，然后利用勾股定理進行求解即可．
【詳解】解：如圖，作PC⊥AB于點C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴海里，海里，
在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC=海里，
∴海里，
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為用勾股定理解決問題，解決的方法就是作高線．
2．（2020·四川·中考真題）如圖，海中有一小島A，它周圍10.5海里內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行．在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上．如果漁船不改變航線繼續向東航行，那么漁船還需航行 海里就開始有觸礁的危險．
【答案】4.5
【分析】過A作AC⊥BD于點C，求出∠CAD、∠CAB的度數，求出∠BAD和∠ABD，根據等角對等邊得出AD＝BD＝12，根據含30度角的直角三角形性質求出CD，根據勾股定理求出AC即可．
【詳解】
解：
如圖，過A作AC⊥BD于點C，則AC的長是A到BD的最短距離，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如圖，設漁船還需航行x海里就開始有觸礁的危險，即到達點D′時有觸礁的危險，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
漁船還需航行 4.5海里就開始有觸礁的危險．
故答案是：4.5．
【點睛】本題主要考查方位角及勾股定理，關鍵是根據題意得到角的度數，然后利用特殊角的關系及勾股定理進行求解即可．
3．（2024·四川樂山·中考真題）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：
平地秋千未起，踏板一尺離地．
送行二步與人齊，五尺人高曾記．
仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．
良工高士素好奇，算出索長有幾？
詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很直）
(1)如圖1，請你根據詞意計算秋千繩索的長度；
(2)如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據上述條件能否求出秋千繩索的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．
【答案】(1)秋千繩索的長度為尺
(2)能，
【分析】該題主要考查了勾股定理的應用以及解直角三角形的應用，解題的關鍵是掌握以上知識點．
（1）如圖，過點作，垂足為點B．設秋千繩索的長度為x尺．由題可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解；
（2）由題可知，，．在中，得出，同理，．再根據，列等式即可求出．
【詳解】（1）解：如圖，過點作，垂足為點B．
設秋千繩索的長度為x尺．
由題可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千繩索的長度為尺．
（2）能．
由題可知，，．
在中，，
同理，．
∵，
∴．
∴．
4．（2024·湖南永州·模擬預測）如圖某貨船以海里的速度將一批重要的物資由處運往正西方向的處，經的航行到達，到達后必須立即卸貨．此時，接到氣象部門的通知，一臺風中心、以海里的速度由處向北偏西方向移動，距臺風中心海里以內的圓形區域會受到影響．（）問：
(1)處是否會受到臺風的影響？請說明理由．
(2)如果處受到臺風影響，那么求出影響的時間．
【答案】(1)會受臺風影響，理由見解析
(2)小時
【分析】本題主要考查含30度直角三角形的性質及勾股定理解三角形，解題的關鍵是理解題意，靈活運用相關知識．
（1）處是否會受到臺風影響，其實就是到的垂直距離是否超過海里，如果超過則不會影響，反之受影響，過點作交于點，求出即可求解；
（2））結合題意可得在點右側相同的距離內點也受影響，即可求出時間；將實際問題轉化為數學問題，構造出與實際問題有關的直角三角形是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：如圖1，過點作交于點，
在中，，
，
海里，
海里，
，
會受臺風影響；
（2）如圖2，
如圖，海里，
在中，海里，
同時在點右側相同的距離內點也受影響，
小時，
影響的時間為小時．
題型02 用勾股定理逆定理解決實際生活問題
1．（2021·廣西玉林·中考真題）如圖，某港口位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后兩船分別位于點，處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，則乙船沿 方向航行．
【答案】北偏東50°（或東偏北40°）
【分析】由題意易得海里，PB=16海里，，則有，所以∠APB=90°，進而可得，然后問題可求解．
【詳解】解：由題意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，
∴，
∴∠APB=90°，
∴，
∴乙船沿北偏東50°（或東偏北40°）方向航行；
故答案為北偏東50°（或東偏北40°）．
【點睛】本題主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟練掌握勾股定理的逆定理及方位角是解題的關鍵．
2．（2023·海南?？凇つM預測）深秋已至，稻客張師傅在一塊四邊形（如圖）的田地里收割稻谷．已知四邊形中，，，，，，若張師傅的收割價格為元，請你計算這塊田地張師傅應該收費多少元？

【答案】元
【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟練掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解題的關鍵．
如圖，連接，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，，則，根據，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，

由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴ ，
∴（元），
∴這塊田地張師傅應該收費元．
3．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖1，圖2分別是某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，根據商品介紹，獲得了如下信息：滑竿、箱長、拉桿的長度都相等，即，點B、F在線段上，點C在上，支桿．
(1)若時，B，D相距，試判定與的位置關系，并說明理由；
(2)當，時，求的長．
【答案】(1)，理由見解析
(2)
【分析】本題考查了解直角三角形的應用：
（1）連接，根據題意可得，然后利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即可解答；
（2）過點F作，垂足為H，根據題意可得，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，再在中，利用勾股定理求出的長，進行計算即可解答．
【詳解】（1）解：，
理由：連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：過點F作，垂足為H，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴的長為．
題型03 求最短路徑問題
1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，過點作軸的垂線，為直線上一動點，連接，，則的最小值為 ．
【答案】5
【分析】本題考查軸對稱—最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質．先取點A關于直線的對稱點，連交直線于點C，連，得到，，再由軸對稱圖形的性質和兩點之間線段最短，得到當三點共線時，的最小值為，再利用勾股定理求即可．
【詳解】解：取點A關于直線的對稱點，連交直線于點C，連，
則可知，，
∴，
即當三點共線時，的最小值為，
∵直線垂直于y軸，
∴軸，
∵，，
∴，
∴在中，
，
故答案為：5
2．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）某班學生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為 ，母線長為30，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（ ）
v
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據圓錐的底面圓周長求得半徑為，根據母線長求得展開后的扇形的圓心角為，進而即可求解．
【詳解】解：∵這個圓錐的底面圓周長為 ，
∴
解得：
∵
解得：
∴側面展開圖的圓心角為
如圖所示，即為所求，過點作，
∵，，則
∵，則
∴，，

故選：B．
【點睛】本題考查了圓錐側面展開圖的圓心角的度數，勾股定理解直角三角形，求得側面展開圖的圓心角為解題的關鍵．
3．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內壁處所走的最短路程為 ．（杯壁厚度不計）

【答案】10
【分析】如圖（見解析），將玻璃杯側面展開，作關于的對稱點，根據兩點之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．
【詳解】解：如圖，將玻璃杯側面展開，作關于的對稱點，作，交延長線于點，連接，

由題意得：，
，
∵底面周長為，
，
，
由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內壁處所走的最短路程為，
故答案為：10．
【點睛】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創造性思維能力．
4．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，一個長方體的底面是邊長為2的正方形，高為9，一只螞蟻沿著長方體表面從點A出發，經過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，那么的長為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，相似三角形的應用，將長方體沿著它的兩條高展開，連接，此時線段的長即為最短路線長，證明得到，再利用勾股定理求出的長即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，將長方體沿著它的兩條高展開，連接，此時線段的長即為最短路線長，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故答案為：．
5．（2022·湖北武漢·模擬預測）如圖，為線段上一動點，分別過、作，，連接、，已知，，，設．線段的長可表示為，當、、三點共線時，的值最小，根據上述方法，求代數式的最小值為（ ）

A．11 B．13 C． D．
【答案】B
【分析】依題意， ，令，則轉化為求，進而根據題意構造直角三角形，勾股定理，即可求解．
【詳解】解： ，令，
原式
如圖，為線段上一動點，分別過、作，，連接、，

已知，，，設，線段的長可表示為
當、、三點共線時，的值最??；
過點作 交的延長線于點，得矩形，
，，
，
所以 ，
即的最小值為，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了軸對稱求最短路線以及勾股定理等知識，本題利用了數形結合的思想，通過構造直角三角形，利用勾股定理求解．第四章 三角形
第19講 直角三角形
（思維導圖+4考點+4命題點18種題型（含5種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 直角三角形
考點二 勾股定理
考點三 勾股定理逆定理
考點四 勾股定理的實際應用
04題型精研·考向洞悉
命題點一 直角三角形的性質與判定
題型01 由直角三角形的性質求解
題型02 根據已知條件判定直角三角形
命題點二 勾股定理
題型01 利用勾股定理求解
題型02 判斷勾股數問題
題型03 以直角三角形三邊為邊長的圖形面積
題型04 與直角三角形三邊為邊長的圖形面積有關的規律探究問題
題型05 勾股定理與網格問題
題型06 勾股定理與折疊問題
題型07 勾股定理與無理數
題型08 利用勾股定理證明線段平方關系
題型09 勾股定理的證明方法
題型10 趙爽弦圖
題型11 利用勾股定理構造圖形解決實際問題
命題點三 勾股定理逆定理
題型01 在網格中判定直角三角形
題型02 利用勾股定理逆定理求解
命題點四 勾股定理的實際應用
題型01 用勾股定理解決實際生活問題
題型02 用勾股定理逆定理解決實際生活問題
題型03 求最短路徑問題
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
直角三角形 ★★★ 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質定理;
勾股定理 ★★ 探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題.
勾股定理逆定理 ★★
【考情分析】該模塊內容在中考中一直是較為重要的幾何考點，考察難度為中等偏上，?？伎键c為:直角三角形的性質定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理與實際問題等，特別是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重點.出題類型可以是選擇，填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進行拓展延伸. 結合以上考察形式，需要考生在復習這一模塊時，準確掌握有關直角三角形的各種性質與判定方法，以及特殊直角三角形?？嫉目疾旆较?
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 直角三角形
定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．
性質：
性質 直角三角形兩個銳角互余. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.
圖示
幾何描述 在△ABC，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，CD為AB邊的中點，∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°， ∴AB=2AC
判定：1）兩個內角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．
3）有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形是直角三角形.
面積公式：S= (其中：c為斜邊上的高，m為斜邊長)
1．（2024·海南·中考真題）設直角三角形中一個銳角為x度（），另一個銳角為y度，則y與x的函數關系式為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·青海·中考真題）如圖，在中，D是的中點，，，則的長是（ ）
A．3 B．6 C． D．
3．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖是脊柱側彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角的大小，需將轉化為與它相等的角，則圖中與相等的角是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·貴州·中考真題）5月26日，“2023中國國際大數據產業博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為，腰長為，則底邊上的高是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023·湖南·中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則 度．

考點二 勾股定理
文字語言：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
符號語言：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么.
變式：，，
,,.
【易錯點】
1）勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系，它只適用于直角三角形，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形；
2）如果已知的兩邊沒有指明邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時必須進行分類討論，以免漏解．
3）應用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶時，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關系式是；若a為斜邊，則關系式是．
勾股定理的驗證
方法一：如圖一，用4個全等的直角三角形，可以得到一個以為邊長的小正方形和一個以c為邊長的大正方形.即 ，所以，化簡可證．
方法二（圖二）：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為
大正方形面積為，所以
方法三：如圖三，用兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形，可以得到一個直角梯形.
，，化簡得證
圖一 圖二 圖三
1．（2024·青海·中考真題）（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長．
2．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在數軸上，，過作直線于點，在直線上截取，且在上方．連接，以點為圓心，為半徑作弧交直線于點，則點的橫坐標為 ．
3．（2023·湖南郴州·中考真題）在中，，則邊上的中線 ．
4．（2023·江蘇鎮江·中考真題）《九章算術》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓，徑幾何？”譯文：現在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步．問這個直角三角形內切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長．用直角三角形三條邊的長相加作為除數，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數，計算所得的商就是這個直角三角形內切圓的直徑．根據以上方法，求得該直徑等于 步．（注：“步”為長度單位）

5．（2024·江蘇南通·中考真題）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形的兩條直角邊長分別為m，．若小正方形面積為5，，則大正方形面積為（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
考點三 勾股定理逆定理
1.勾股數
勾股數：能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即滿足關系的3個正整數a，b，c稱為勾股數.
勾股數需要滿足的兩個條件：1）這三個數均是正整數；
2）兩個較小數的平方和等于最大數的平方.
常見的勾股數：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.
2.勾股定理的逆定理
內容：如果三角形三邊長，，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊.
【補充說明】
1）勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法；
2）勾股定理的逆定理通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，①若時，以，，為三邊的三角形是直角三角形；
②若時，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；
③若時，以，，為三邊的三角形是銳角三角形
1．（2024·江蘇揚州·三模）下列幾組數中不能作為直角三角形三邊長度的是（ ）
A．3，4，5 B．9，15，17 C．25，7，24 D．8，6，10
2．（2024·江蘇南京·三模）下列各組數中是勾股數的為（ ）
A． B． C．7，8，9 D．
3．（21-22八年級下·湖北省直轄縣級單位·階段練習）如圖，每個小正方形的邊長為1，則∠ABC的度數為 度．
4．（2023·吉林白城·模擬預測）正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點．以格點為頂點．
(1)在圖①中，畫一個邊長為的線段；
(2)在圖②中，畫一個直角三角形，使它的三邊長分別是、、．
5．（2024·廣東·模擬預測）若，則以a，b，c為邊長的三角形的形狀是 ．
考點四 勾股定理的實際應用
1.利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：
1）從實際問題中抽象出幾何圖形；
2）確定與問題相關的直角三角形；
3）找準直角邊和斜邊，根據勾股定理建立等量關系；
4）求得符合題意的結果.
2.利用勾股定理解決實際問題的常見類型
1）直接利用勾股定理列方程解決實際問題；
2）利用勾股定理解決幾何體表面最短距離問題；
3）利用勾股定理和方程思想解決與“翻折”相關的問題；
4）利用勾股定理解決有關幾何圖形的面積問題.
1．（2024·四川巴中·中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深幾何？”這是我國數學史上的“葭生池中”問題．即，，，則（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
2．（2021·江蘇宿遷·中考真題）《九章算術》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦生長在它的中央，高出水面部分為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，則水深為 尺．

3．（2024·上海寶山·一模）在馬拉松比賽過程中，嘉琪和李明之間一直用最遠對講距離為300米的對講設備聯系．嘉琪運動到A點時，嘉琪用對講機與朋友李明聯系，李明告知嘉琪正在通過路口B向C運動后，就失去了聯系，已知嘉琪的跑步速度為，李明的跑步速度為，，足夠長，多少秒后他們再次取得聯系？（ ）
A．150s B．60s C．100s D．不會再取得聯系
4．（2023·陜西西安·二模）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為，底面周長為，在容器內壁離容器底部的點處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿的點處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是 ．

04題型精研·考向洞悉
命題點一 直角三角形的性質與判定
題型01 由直角三角形的性質求解
1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，是的直徑，點在的延長線上，與相切于點，若，則 °．
2．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧分別交于點和點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點．若的面積為8，則的面積是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
3．（2023·湖南郴州·中考真題）在中，，則邊上的中線 ．
4．（2023·海南·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為，將繞著點B順時針旋轉，得到，則點C的坐標是（ ）

A． B． C． D．
5．（2024·海南·中考真題）如圖，菱形的邊長為2，，邊在數軸上，將繞點A順時針旋轉，點C落在數軸上的點E處，若點E表示的數是3，則點A表示的數是（ ）
A．1 B． C．0 D．
題型02 根據已知條件判定直角三角形
1．（2022·湖南株洲·中考真題）如圖所示，在菱形中，對角線與相交于點，過點作交的延長線于點，下列結論不一定正確的是（ ）
A． B．是直角三角形
C． D．
2．（2024·福建南平·一模）如圖1，點是的邊上一點．，，是的外接圓，點在上（不與點，點重合），且．

(1)求證：是直角三角形；
(2)如圖2，若是⊙的直徑，且，折線是由折線繞點順時針旋轉得到．
①當時，求的面積；
②求證：點，，三點共線．
3．（2024·山東濟南·模擬預測）如圖1，拋物線L：與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，已知．
(1)求m的值；
(2)點D是直線下方拋物線L上一動點，當的面積最大時，求點D的坐標；
(3)如圖2，在（2）條件下，將拋物線L向右平移1個單位長度后得到拋物線M，設拋物線M與拋物線L的交點為E，，垂足為F．證明是直角三角形．
命題點二 勾股定理
題型01 利用勾股定理求解
1．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形內接于，則它的內切圓半徑為（ ）

A．1 B．2 C． D．
2．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點在軸負半軸上，頂點在直線上，若點的橫坐標是8，為點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，圓錐的側面展開圖是一個圓心角為的扇形，若扇形的半徑是5，則該圓錐的體積是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在菱形中，，，是一條對角線，是上一點，過點作，垂足為，連接．若，則的長為 ．
5．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，四邊形是菱形，，，于點，則的長是（ ）
A． B． C． D．
題型02 判斷勾股數問題
1）確定是三個正整數a，b，c；
2）確定最大的數c；
3）計算較小的兩個數的平方是否等于.
1．（2023·江蘇南通·中考真題）勾股數是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數，世界上第一次給出勾股數公式的是中國古代數學著作《九章算術》．現有勾股數a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇數，則 （用含的式子表示）．
2．（2023·四川瀘州·中考真題）《九章算術》是中國古代重要的數學著作，該著作中給出了勾股數，，的計算公式：，，，其中，，是互質的奇數．下列四組勾股數中，不能由該勾股數計算公式直接得出的是（　?。?br/>A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
3．（2024·河北秦皇島·一模）我們把滿足的三個正整數a，b，c稱為“勾股數”．若是一組勾股數，n為正整數．
(1)當，時，請用含n的代數式表示，并直接寫出n取何值時，a為滿足題意的最小整數；
(2)當，時，用含n的代數式表示，再完成下列勾股數表．
a b c
_____ 40 41
11 60 _____
4．（2024·浙江·模擬預測）在中國古代數學著作《周髀算經》中就對勾股定理和勾股數有過一定的描述，所謂勾股數一般是指能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，觀察下面的表格中的勾股數：
… … …
(1)當時，______，______．
(2)按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含的等式表示，為正整數）．
(3)請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的．
題型03 以直角三角形三邊為邊長的圖形面積
作正方形 作半圓 作等邊三角形 作等腰直角三角形
圖示
結論
1．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個正方形．執行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”．若圖①中的直角三角形斜邊長為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為 ．
2．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，矩形內接于，分別以為直徑向外作半圓．若，則陰影部分的面積是（ ）

A． B． C． D．20
3．（2024·廣東中山·模擬預測）在直線L上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別1、4、9，正放置的四個正方形的面積依次為，，，，則的值是 ．
4．（2024·廣西梧州·二模）圖1是第七屆國際數學教育大會（）的會徽，會徽的主題圖案是由圖2中七個直角三角形演化而成的，其中．則組成會徽的七個直角三角形的面積的平方和為 ．

5．（2024·江蘇宿遷·二模）小明在一塊畫有的紙片上（其中，＜）進行了如下操作：第一步分別以、為邊向外畫正方形和正方形；第二步過點、分別作的垂線和的平行線，將紙片－分成②、③、④、⑤四塊，如圖；第三步將圖中的正方形紙片、紙片及紙片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成圖2．若則的值 ．

6．（2020·江西·中考真題）某數學課外活動小組在學習了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側作多邊形，它們的面積，，之間的關系問題”進行了以下探究：
類比探究
（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以為斜邊向外側作，，，若，則面積，，之間的關系式為 ；
推廣驗證
（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以為邊向外側作任意，，，滿足，，則（1）中所得關系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明理由；
拓展應用
（3）如圖4，在五邊形中，，，，，點在上，，，求五邊形的面積．
題型04 與直角三角形三邊為邊長的圖形面積有關的規律探究問題
1．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在矩形中，，，連接，以為邊，作矩形使，連接交于點；以為邊，作矩形，使，連接交于點；以為邊，作矩形，使，連接交于點；…按照這個規律進行下去，則的面積為 ．
2．（2024·四川內江·二模）如圖，正方形的邊長為2，其面積標記為，以為斜邊作等腰直角三角形，并以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為……按照此規律繼續下去，則的值為 ．
3．（23-24九年級下·山東聊城·階段練習）如圖（），已知小正方形的面積為，把它的各邊延長一倍得到新正方形；把正方形邊長按原法延長一倍得到正方形（如圖（））…；以此下去，則正方形的面積為 ．

4．（2023·山東青島·二模）【問題背景】
如圖，是一張等腰直角三角形紙板，，取、、中點進行第次剪取，記所得正方形面積為，如圖，在余下的和中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第次剪取，并記這兩個正方形面積和為如圖.
【問題探究】
（1） ______ ；
（2）如圖，再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第次剪取，并記這四個正方形面積和為繼續操作下去，則第次剪取時， ______ ；第次剪取時， ______ ．
【拓展延伸】
在第次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和為______ ．
題型05 勾股定理與網格問題
正方形網格中的每一個角都是直角，在正方形網格中的長度計算都可以歸結為求任意兩個點之間的距離，一般情況下都是運用勾股定理來進行計算，關鍵是確定每一條邊所在的直角三角形.
1．（2023·吉林長春·中考真題）圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作，點C在格點上．

(1)在圖①中，的面積為；
(2)在圖②中，的面積為5
(3)在圖③中，是面積為的鈍角三角形．
2．（2023·吉林·中考真題）圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上．在圖①、圖②、圖③中以為邊各畫一個等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點均在格點上．

3．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，四邊形的頂點均在網格的格點上．
(1)求的值．
(2)操作與計算：用尺規作圖法過點C作，垂足為E，并直接寫出的長．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）
題型06 勾股定理與折疊問題
解決“翻折”問題時，要弄清翻折前后的邊、角的對應情況，將待求線段或角與已知線段、角歸結到一起，尤其是求線段長度時，常常利用勾股定理直接求出未知線段的長度或通過勾股定理列方程使問題得以解決.
1．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，，，，D是邊的中點，E是邊上一點，連接．將沿翻折，點C落在上的點F處，則 ．
2．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，點E在矩形的邊上，將沿折疊，點D恰好落在邊上的點F處，若．，則 ．

3．（2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知正方形的邊長為1，點E、F分別在邊上，將正方形沿著翻折，點B恰好落在邊上的點處，如果四邊形與四邊形的面積比為3∶5，那么線段的長為 ．

4．（2024·四川廣元·中考真題）已知與的圖象交于點，點B為y軸上一點，將沿翻折，使點B恰好落在上點C處，則B點坐標為 ．

題型07 勾股定理與無理數
1．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段，按以下步驟作圖：①過點B作，使，連接；②以點C為圓心，以長為半徑畫弧，交于點D；③以點A為圓心，以長為半徑畫弧，交于點E．若，則m的值為（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·貴州貴陽·一模）如圖，，在數軸上點A表示的數為a，則a的值最接近的整數是 ．
3．（2024·山西大同·模擬預測）為了比較與的大小，小亮先畫了一條數軸，然后在原點O處作了一條垂線段，且，點B表示的數是2，點C表示的數為3，連接，由推出，這里小亮用到的數學思想是（ ）
A．統計思想 B．數形結合 C．模型思想 D．分類討論
4．（2024南寧三中模擬）利用勾股定理，可以作出長為、、、的線段，如圖：在中，，，，則的長等于______．在按同樣的方法，可以在數軸上畫出表示、、、的點．

（）在數軸上作出表示的點（尺規作圖，保留痕跡）．
（）在數軸上作出表示的點（尺規作圖，保留痕跡）．
題型08 利用勾股定理證明線段平方關系
1．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由；
（2）性質探究：如圖1，垂美四邊形的對角線，交于點．猜想：與有什么關系？并證明你的猜想．
（3）解決問題：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結，，．已知，，求的長．
2．（2024·山西朔州·二模）閱讀與思考
下面是小宇同學收集的一篇數學小論文，請仔細閱讀并完成相應的任務.
構圖法在初中數學解題中的應用構圖法指的是構造與數量關系對應的幾何圖形，用幾何圖形中反映的數量關系來解決數學問題的方法.巧妙地構造圖形有助于我們把握問題的本質，明晰解題的路徑，也有利于發現數學結論.本文通過列舉一個例子，介紹構圖法在解題中的應用， 例：如圖1，已知P為等邊三角形內一點，，. 求以，，為邊的三角形中各個內角的度數. 解析：如何求所構成的三角形三個內角的度數？由于沒有出現以，，為邊的三角形，問題難以解決.于是考慮通過構圖法構造長度為，，的三角形來解決問題． 解：將繞點A順時針旋轉得，則． ，，． 由旋轉可知， 是等邊三角形．【依據】 ，． 就是以，，為邊的三角形． ， ． . ． ． 以，，為邊的三角形中，三個內角的度數分別為，，. 構造圖形的關鍵在于通過圖形的變化，能使抽象的數量關系集中在一個圖形上直觀地表達出來，使問題變簡單．
任務：
(1)上面小論文中的“依據”是________．
(2)如圖2，已知點P是等邊三角形的邊上的一點，若，則在以線段，，為邊的三角形中，最小內角的度數為________．
(3)如圖3，在四邊形中，，，．求證：．
3．（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點在的斜邊上．

(1)判斷與間的數量關系，并說明理由；
(2)直接寫出線段、、間滿足的數量關系．
4．（2023·陜西咸陽·一模）在中，，是的中點，作．分別交，于點，，連接
(1)【嘗試探究】如圖1，若，求證；
(2)【深入研究】如圖2，試探索（1）中的結論在一般情況下是否仍然成立；
(3)【解決問題】如圖3，若，，點，，，在同一個圓上，求面積的最大值．
題型09 勾股定理的證明方法
1．（2023·北京大興·一模）下面是用面積關系證明勾股定理的兩種拼接圖形的方法，選擇其中一種，完成證明．
勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方． 已知：如圖，直角三角形的直角邊長分別為，，斜邊長為． 求證：．
方法一 如圖，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為． 證明 方法二 如圖，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為． 證明
2．（2024·山西呂梁·模擬預測）閱讀與思考：請閱讀下列材料，完成相應任務．
從勾股定理的“無字證明”談起
在勾股定理的學習過程中，我們已經學會運用一些幾何圖形驗證勾股定理．如圖1是古印度的一種證明方法：過正方形的中心O，作兩條互相垂直的直線，將正方形分成4份，所分成的四部分和一小正方形恰好能拼成一個大正方形．這種方法，不用運算，單靠移動幾塊圖形就直觀地證出了勾股定理，這種根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．

意大利著名畫家達·芬奇用如圖2所示的方法證明了勾股定理，其中圖甲的空白部分是由兩個正方形和兩個直角三角形組成，圖丙的空白部分由兩個直角三角形和一個正方形組成．設圖甲中空白部分的面積為，圖丙中空白部分的面積為．
任務：
(1)下面是小亮利用圖2驗證勾股定理的過程，請你幫他補充完整．
解：根據題意，得________
．
∵，
∴________，即________．
(2)我國是最早了解勾股定理的國家之一．東漢末年數學家劉徽在為《九章算術》作注中依據割補術而創造了勾股定理的無字證明“青朱出入圖”．如圖3，若，，則的長度為________．
(3)在初中的數學學習中，我們已經接觸了很多代數恒等式．一些代數恒等式也可以通過“無字證明”來解釋．可以借助圖4直觀地解釋的代數恒等式為________．借助此方法可將抽象的數學知識變得直觀且具有可操作性，從而幫助我們解決問題，在此過程中體現的數學思想是________．
A．分類討論思想 B．公理化思想 C．數形結合思想 D．從特殊到一般的思想
(4)借助圖5可以直觀解釋的式子為________．（填序號）
①； ②；
③； ④．
(5)實際上，初中數學還有一些代數恒等式（除上述涉及的）也可以借助“無字證明”來直觀解釋，請你舉出一例，畫出圖形并直接寫出所解釋的代數恒等式．
題型10 趙爽弦圖
內弦圖模型 外弦圖模型
條件 在正方形內部，有四個全等的直角三角形.
圖示
結論 1）四邊形ABMN為正方形 2） 3） 1）四邊形CMHG為正方形 2） 3）
1．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．直線交正方形的兩邊于點，，記正方形的面積為，正方形的面積為．若，則用含的式子表示的值是 ．
2．（2023·湖北鄂州·中考真題）2002年的國際數學家大會在中國北京舉行，這是21世紀全世界數學家的第一次大聚會．這次大會的會徽選定了我國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個全等的直角三角形（）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形與正方形，連接和，與、、分別相交于點P、O、Q，若，則的值是 ．

3．（2023·湖北黃岡·中考真題）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設圖中，，連接，若與的面積相等，則 ．

4．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，在趙爽弦圖中，正方形是由四個全等的直角三角形，，，和一個小正方形組成的．若把四個直角三角形分別沿斜邊向外翻折，可得正方形，連接并延長，交于點．若正方形的面積為196，正方形的面積為4，則：
（1）正方形的面積為 ．
（2）的長為 ．
題型11 利用勾股定理構造圖形解決實際問題
1．（2024·遼寧撫順·一模）《算法統宗》是中國古代數學名著，作者是明代數學家程大位．書中記載了一道“蕩秋千”問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地；送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉；良工高士素好奇，算出索長有幾 ”譯文：“秋千靜止的時候，踏板高地1尺，將它往前推送兩步(兩步＝10尺)時，此時踏板升高到離地5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問秋千繩索有多長 ”如圖，若設秋千繩索長為x尺，則可列方程為（　?。?br/>A． B．
C． D．
2．（2023·四川瀘州·一模）我國古代偉大的數學家劉徽將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成．若，，則該矩形的面積為（　　　　）

A．96 B． C． D．90
3．（2022·貴州遵義·二模）已知a，b均為正數，且，，是一個三角形的三邊的長，則這個三角形的面積是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南衡陽·一模）在日常生活中我們經常會使用到訂書機，如圖是裝訂機的底座，是裝訂機的托板，始終與底座平行，連接桿的點固定，點從向處滑動，壓柄可繞著轉軸旋轉．已知，．
(1)當托板與壓柄夾角時，如圖①，點從點滑動了，求連接桿的長度；
(2)當壓柄從（1）中的位置旋轉到與底座的夾角，如圖②．求這個過程中點滑動的距離．（答案保留根號）（參考數據：，，）
命題點三 勾股定理逆定理
題型01 在網格中判定直角三角形
1．（2022·四川廣元·中考真題）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cos∠APC的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2023·廣東·中考真題）綜合與實踐
主題：制作無蓋正方體形紙盒
素材：一張正方形紙板．
步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；
步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．
猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上與紙盒上的大小關系；
(2)證明（1）中你發現的結論．
3．（2024·北京·模擬預測）如圖所示的網格是正方形網格，點A，B，C，D是網格線交點，則 （填“＞”“＝”或“＜”）．
4．（23-24九年級下·河南駐馬店·階段練習）如圖，在的網格圖中，每個小正方形的邊長均為1．點A、B、C、D均在格點上．則圖中陰影部分的面積為 ．（結果保留）
題型02 利用勾股定理逆定理求解
1．（2023·湖北·中考真題）如圖，在的正方形網格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中的圓弧為格點外接圓的一部分，小正方形邊長為1，圖中陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，在中，，點P為線段上的動點，以每秒1個單位長度的速度從點A向點B移動，到達點B時停止．過點P作于點M、作于點N，連接，線段的長度y與點P的運動時間t（秒）的函數關系如圖所示，則函數圖象最低點E的坐標為（ ）

A． B． C． D．
3．（2024·浙江·模擬預測）如圖，X，Y，Z是某社區的三棟樓，，，．若在中點M處建一個網絡基站，該基站的覆蓋半徑為，則這三棟樓中在該基站覆蓋范圍內的是（ ）
A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y
4．（2023·江蘇南通·模擬預測）如圖，已知點，點C在第一象限，且，，則直線的函數表達式為 ．
命題點四 勾股定理的實際應用
題型01 用勾股定理解決實際生活問題
1．（2021·江蘇南通·中考真題）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為 海里（結果保留根號）．
2．（2020·四川·中考真題）如圖，海中有一小島A，它周圍10.5海里內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行．在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上．如果漁船不改變航線繼續向東航行，那么漁船還需航行 海里就開始有觸礁的危險．
3．（2024·四川樂山·中考真題）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：
平地秋千未起，踏板一尺離地．
送行二步與人齊，五尺人高曾記．
仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．
良工高士素好奇，算出索長有幾？
詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很直）
(1)如圖1，請你根據詞意計算秋千繩索的長度；
(2)如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據上述條件能否求出秋千繩索的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．
4．（2024·湖南永州·模擬預測）如圖某貨船以海里的速度將一批重要的物資由處運往正西方向的處，經的航行到達，到達后必須立即卸貨．此時，接到氣象部門的通知，一臺風中心、以海里的速度由處向北偏西方向移動，距臺風中心海里以內的圓形區域會受到影響．（）問：
(1)處是否會受到臺風的影響？請說明理由．
(2)如果處受到臺風影響，那么求出影響的時間．
題型02 用勾股定理逆定理解決實際生活問題
1．（2021·廣西玉林·中考真題）如圖，某港口位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后兩船分別位于點，處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，則乙船沿 方向航行．
2．（2023·海南?？凇つM預測）深秋已至，稻客張師傅在一塊四邊形（如圖）的田地里收割稻谷．已知四邊形中，，，，，，若張師傅的收割價格為元，請你計算這塊田地張師傅應該收費多少元？

3．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖1，圖2分別是某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，根據商品介紹，獲得了如下信息：滑竿、箱長、拉桿的長度都相等，即，點B、F在線段上，點C在上，支桿．
(1)若時，B，D相距，試判定與的位置關系，并說明理由；
(2)當，時，求的長．
題型03 求最短路徑問題
1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，過點作軸的垂線，為直線上一動點，連接，，則的最小值為 ．
2．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）某班學生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為 ，母線長為30，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（ ）
v
A． B． C． D．
3．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內壁處所走的最短路程為 ．（杯壁厚度不計）

4．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，一個長方體的底面是邊長為2的正方形，高為9，一只螞蟻沿著長方體表面從點A出發，經過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，那么的長為 ．
5．（2022·湖北武漢·模擬預測）如圖，為線段上一動點，分別過、作，，連接、，已知，，，設．線段的長可表示為，當、、三點共線時，的值最小，根據上述方法，求代數式的最小值為（ ）

A．11 B．13 C． D．

展開更多......

收起↑