資源簡介

第四章 三角形
第17講 全等三角形
（思維導圖+3考點+4命題點19種題型（含5種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 全等三角形的概念及性質
考點二 全等三角形的判定
04題型精研·考向洞悉
命題點一 全等三角形的性質與判定
題型01 利用全等三角形的性質求解
題型02 添加一個條件使兩個三角形全等
題型03 結合尺規作圖的全等問題
題型04 以注重過程性學習的形式考查全等三角形的證明過程
題型05 補全全等三角形的證明過程
題型06 全等三角形證明方法的合理選擇
題型07 利用相似三角形的性質與判定解決多結論問題
命題點二 與全等三角形有關的基礎模型
題型01 平移模型
題型02 對稱模型
題型03 旋轉模型
題型04 一線三等角
題型05 手拉手模型
命題點三 添加輔助線證明兩個三角形全等
題型01 倍長中線法
題型02 截長補短法
題型03 構造平行線
題型04 構造垂線
命題點四 全等三角形的應用
題型01 利用全等三角形的性質與判定解決高度測量問題
題型02 利用全等三角形的性質與判定解決河寬測量問題
題型03 利用全等三角形的性質與判定解決動點問題
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
全等三角形的判定 ★★★ 理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應邊、對應角;掌握全等三角形的判定定理； 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.
全等三角形的性質與證明 ★★
全等三角形的性質與計算 ★★
【考情分析】全等三角形的判定及性質經常與平移、旋轉等幾何變換相結合，綜合考查學生的邏輯推理能力和分析幾何圖形的能力. 此類題目通常是要利用全等三角形的性質得到線段(或角)相等. 解答時應結合已知條件找到兩個全等三角形，甚至需要添加輔助線構造兩個全等三角形，試題常以解答題的形式出現，有一定難度.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 全等三角形的概念及性質
一、全等三角形的概念及表示
全等圖形的概念：能完全重合的兩個圖形叫做全等圖形.
特征：①形狀相同.②大小相等.③對應邊相等、對應角相等.④周長、面積相等.
全等三角形的概念：能完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.
【補充】
1）全等三角形是特殊的全等圖形，同樣的，判斷兩個三角形是否為全等三角形，主要看這兩個三角形的形狀和大小是否完全相同，與它們所處的位置無關.
2）形狀相同的兩個圖形不一定是全等圖形，面積相同的兩個圖形也不一定是全等圖形.
全等三角形的表示：全等用符號“≌”，讀作“全等于”.
【補充】書寫三角形全等時，要注意對應頂點字母要寫在對應位置上. 如△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，讀作△ABC全等于△DEF.
全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換.
常見的全等變換：平移變換、翻折變換、旋轉變換，即過平移、翻折、旋轉后得到的圖形與原圖形是全等圖形.
二、全等三角形的性質
性質：1）全等三角形的對應邊相等，對應角相等.
2）全等三角形對應邊上的高線相等，對應邊上的中線相等，對應角的角平分線相等．
3）全等三角形的周長相等，面積相等（但周長或面積相等的三角形不一定是全等三角形）.
1．（2023·江蘇鎮江·模擬預測）已知如圖，，其中的：對應邊 與 ， 與 ， 與 ，對應角： 與 ， 與 ， 與 ．
2．（2024·江蘇南通·模擬預測）下面四個幾何體中，主視圖、左視圖、俯視圖是全等圖形的幾何圖形是（ ）
A．圓柱 B．正方體 C．三棱柱 D．圓錐
3．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，已知，則的度數為（ ）．
A． B． C． D．
4．（2020·山東淄博·中考真題）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結論中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
5．（2023·四川成都·中考真題）如圖，已知，點B，E，C，F依次在同一條直線上．若，則的長為 ．

考點二 全等三角形的判定
1）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；
2）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；
【易錯】
①只有兩邊及其夾角分別對應相等，才能判定兩個三角形全等，“邊邊角”不能判定三角形全等；
例:
②在書寫過程中，要按照邊角邊對應順序書寫，即對應頂點的字母寫在對應的位置上.
3）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；
4）角角邊定理：有兩角和它們所對的任意一邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）；
5）斜邊、直角邊：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．
【總結】從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素（其中至少有一個元素是邊）對應相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準確地確定要補充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路.
1．（2023·四川涼山·中考真題）如圖，點在上，，，添加一個條件，不能證明的是（　　）

A． B． C． D．
2．（2023·四川甘孜·中考真題）如圖，與相交于點， ，只添加一個條件，能判定的是( )

A． B． C． D．
3．（2023·吉林長春·中考真題）如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑的卡鉗，卡鉗交叉點O為、的中點，只要量出的長度，就可以道該零件內徑的長度．依據的數學基本事實是（ ）
A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等
C．兩條直線被一組平行線所截，所的對應線段成比例 D．兩點之間線段最短
4．（2023·福建·中考真題）閱讀以下作圖步驟：
①在和上分別截取，使；
②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；
③作射線，連接，如圖所示．
根據以上作圖，一定可以推得的結論是（ ）

A．且 B．且
C．且 D．且
5．（2024·山東德州·中考真題）如圖，C是的中點，，請添加一個條件 ，使．
6．（2024·云南·中考真題）如圖，在和中，，，．
求證：．
04題型精研·考向洞悉
命題點一 全等三角形的性質與判定
題型01 利用全等三角形的性質求解
1．（2024·四川資陽·中考真題）第屆國際數學教育大會（）會標如圖所示，會標中心的圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（，，，）和一個小正方形拼成的大正方形．若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在中，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點在第一象限（不與點重合），且與全等，點的坐標是 ．
3．（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數為 ．
4．（2024·寧夏銀川·模擬預測）如圖的正方形網格中，點A，B，C，D，E均為格點，，點B，C，D在同一直線上，則下列結論中正確的是 （選填序號）．
①；②；③；④．
題型02 添加一個條件使兩個三角形全等
1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，中，D是上一點，，D、E、F三點共線，請添加一個條件 ，使得．（只添一種情況即可）
2．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，點，在線段上，且．
請從①；②；③中．選擇一個合適的選項作為已知條件，使得．
你添加的條件是：__________（只填寫一個序號）．
添加條件后，請證明．
3．（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，，．
若________，則．
請從①；②；③這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結論成立，并說明理由．
4．（2024·廣東陽江·一模）問題情境：在數學探究活動中，老師給出了如圖所示的圖形及下面三個等式：①，②，③，若以其中兩個等式作為已知條件，能否得到余下一個等式成立？
解決方案：探究與全等．
問題解決：
(1)當選擇①②作為已知條件時，與全等嗎？
_________（填“全等”或“不全等”），依據是_________；
(2)當選擇_________兩個等式作為已知條件時，不能說明，但補充一個條件例如_________也可以證明，請寫出過程．
題型03 結合尺規作圖的全等問題
1．（2024·廣東深圳·中考真題）在如圖的三個圖形中，根據尺規作圖的痕跡，能判斷射線平分的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
2．（2024·貴州·模擬預測）如圖，在中，，根據尺規作圖的痕跡，判斷以下結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川達州·中考真題）如圖，線段、相交于點．且，于點．
(1)尺規作圖：過點作的垂線，垂足為點、連接、；（不寫作法，保留作圖痕跡，并標明相應的字母）
(2)若，請判斷四邊形的形狀，并說明理由．（若前問未完成，可畫草圖完成此問）
4．（2023·河南·中考真題）如圖，中，點D在邊上，且．

(1)請用無刻度的直尺和圓規作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．
(2)若（1）中所作的角平分線與邊交于點E，連接．求證：．
題型04 以注重過程性學習的形式考查全等三角形的證明過程
1．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，點，分別在，上，，，相交于點，．
求證：．
小虎同學的證明過程如下：
證明：∵，∴．
∵，∴．第一步又，，
∴第二步∴第三步
(1)小虎同學的證明過程中，第___________步出現錯誤；
(2)請寫出正確的證明過程．
2．（2024·貴州遵義·三模）如圖，點D，E分別在上，，，相交于點O．
求證：．
小剛同學的證明過程如下：
證明：在和中， ，…第一步 ∴…第二步 ∴…第三步
(1)小剛同學的證明過程中，第______步出現錯誤；
(2)請寫出正確的證明過程．
3．（2024·山西陽泉·三模）如圖，，點在上，．求證：．
小虎同學的證明過程如下：
證明：
，
， 第一步
在和中，
， 第二步
． 第三步
任務一：
①以上證明過程中，第一步依據的定理是：______；
②從第______步出現錯誤；具體錯誤是______；
任務二：請寫出正確的證明過程．
4．（2024·江蘇南通·二模）如圖，點P是內一射線上一點，點M、N分別是邊、上的點，連接，且，．
求證：是的平分線．
小星的解答如下：
證明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分線．……第三步
(1)小星的解答從第 步開始出現錯誤；
(2)請寫出你認為正確的證明過程．
題型05 補全全等三角形的證明過程
1．（2024·河北·中考真題）下面是嘉嘉作業本上的一道習題及解答過程：
已知：如圖，中，，平分的外角，點是的中點，連接并延長交于點，連接． 求證：四邊形是平行四邊形． 證明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四邊形是平行四邊形．
若以上解答過程正確，①，②應分別為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2021·廣西柳州·中考真題）如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個點C，從點C不經過池塘可以直接到達點A和B，連接并延長到點D，使，連接并延長到點E，使，連接，那么量出的長就是A、B的距離，為什么？請結合解題過程，完成本題的證明．
證明：在和中，
∴
∴____________
3．（2023·重慶潼南·模擬預測）如圖，已知正方形，點在邊上，連接．
(1)尺規作圖：在正方形內部作，使，邊交線段于點，交邊于點（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)要探究，的位置關系和數量關系，請將下列過程補充完整．
解：，，理由如下．
四邊形是正方形，
　?、?，，
在和中
，
　　③
，，
　?、?br/>　　⑤，
，．
4．（2024·重慶九龍坡·模擬預測）學習了圖形的旋轉等相關知識后，小李同學進行了一次拓展性研究．他發現，若一個四邊形有一組對角均為且這組對角中有一個直角的兩邊相等，則連接這組對角的頂點，此對角線平分另一個直角．他的解決思路是通過作一個角等于已知角等知識證明兩個三角形全等得出的結論．請根據他的思路完成以下作圖與填空：
(1)用直尺和圓規作圖：如圖，以為邊在四邊形外部作，，連接．（保留作圖痕跡）
(2)已知：如圖，是四邊形的對角線，，，，．
求證：．
證明：∵
∴ ，
∵，，，
∴
∴，
∴
∴點C，D，E三點共線．
又，
∴．
即．
小李再進一步研究發現，線段，，存在一定的數量關系，請你根據以上信息，直接寫出，，三者之間的數量關系 ．
題型06 全等三角形證明方法的合理選擇
全等三角形的判定法方法：
【易錯點】
1）若△ABC≌ΔDEF，則前后對應關系確定；若△ABC與△DEF全等，則前后對應關系不確定.
2）在全等三角形判定中，有兩種不能判定三角形全等的方法：SSA和AAA.
1．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，在中，點，分別在邊，上，．
(1)求證：；
(2)連接．請添加一個與線段相關的條件，使四邊形是平行四邊形．（不需要說明理由）
2．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，在中，點M，N分別在邊，上，且，對角線分別交，于點E，F．求證．
3．（2022·貴州遵義·中考真題）將正方形和菱形按照如圖所示擺放，頂點與頂點重合，菱形的對角線經過點，點，分別在，上．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
4．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在中，的平分線交于點E，的平分線交于點F，點G，H分別是和的中點．

(1)求證：；
(2)連接．若，請判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．
5．（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，點在的邊上，，，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數．
題型07 利用相似三角形的性質與判定解決多結論問題
1．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，以的邊、為腰分別向外作等腰直角、，連結、、，過點的直線分別交線段、于點、，以下說法：①當時，；②；③若，，，則；④當直線時，點為線段的中點．正確的有 ．(填序號)

2．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在中，，M是的中點，點D在上，，，垂足分別為E，F，連接．則下列結論中：①；②；③；④；⑤若平分，則；⑥，正確的有 ．（只填序號）
3．（2024·吉林長春·二模）如圖，點為線段上一點，、都是等邊三角形，、交于點，、交于點，、交于點，連結，給出下面四個結論：；；；．上述結論中，一定正確的是 （填所有正確結論的序號）．
4．（2023·山東濟南·三模）如圖，現有邊長為4的正方形紙片，點P為邊上的一點(不與點A點重合）將正方形紙片沿折疊，使點B落在P處，點落在G處，交于，連結、，下列結論：
①；②當P為中點時，三邊之比為；③；④周長等于8．其中正確的是 （寫出所有正確結論的序號）
5．（2023·湖北·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點在內，，連接交于點交于點，連接．給出下面四個結論：①；②；③；④．其中所有正確結論的序號是 ．
命題點二 與全等三角形有關的基礎模型
題型01 平移模型
1．（2024·四川內江·中考真題）如圖，點、、、在同一條直線上，，，
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
2．（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，點A，D，C，F在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．

(1)請在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號）______（只需選一個條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的結論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．
題型02 對稱模型
1．（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，，．

(1)求證：；
(2)若，則__________°．
2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，中，，分別以B，C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接，，，與交于點E．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
3．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）感悟
如圖1，在中，點，在邊上，，．求證：．
應用
（1）如圖2，用直尺和圓規在直線上取點，點（點在點的左側），使得，且（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）如圖3，用直尺和圓規在直線上取一點，在直線上取一點，使得，且（不寫作法，保留作圖痕跡）．
4．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，和，點E，F在直線BC上，，，．如圖①，易證：．請解答下列問題：
(1)如圖②，如圖③，請猜想BC，BE，BF之間的數量關系，并直接寫出猜想結論；
(2)請選擇（1）中任意一種結論進行證明；
(3)若，，，，則______，______．
題型03 旋轉模型
1．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，點O是對角線的交點，過點O的直線分別交，于點E，F．
(1)求證：；
(2)當時，，分別連接，，求此時四邊形的周長．
2．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在和中，延長交于， ，．求證：．

3．（2022·貴州安順·中考真題）如圖，在中，，，是邊上的一點，以為直角邊作等腰，其中，連接．
(1)求證：；
(2)若時，求的長．
4．（2024·江西·模擬預測）如圖，四邊形是正方形，，分別在、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法，點與點重合，得到，連接、、．
(1)求證： ．
(2)如圖，已知旋轉得到，如果正方形的邊長是4，求的周長．
題型04 一線三等角
1．（2024·河南周口·三模）如圖，在中，，，，，將向右上方平移，使得點C與原點重合，則點A平移后的坐標為（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023昆明模擬預測）如圖，在中，．
(1)如圖1，直線過點B，于點M，于點N，且，求證：．
(2)如圖2，直線過點B，交于點M，交于點N，且，則是否成立？請說明理由！
3．（2024·山東煙臺·中考真題）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點，連接．將線段繞點D按順時針方向旋轉得線段，連接．
【嘗試發現】
（1）如圖1，當點D在線段上時，線段與的數量關系為________；
【類比探究】
（2）當點D在線段的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段與的數量關系并證明；
【聯系拓廣】
（3）若，，請直接寫出的值．
4．（2024石家莊模擬預測）閱讀理解，自主探究：
“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角角度為，于是有三組邊相互垂直．所以稱為“一線三垂直模型”．當模型中有一組對應邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形．
(1)問題解決：如圖1，在等腰直角中，，，過點作直線，于，于，則與的數量關系是______．
(2)問題探究：如圖2，在等腰直角中，，，過點作直線，于，于，，，求的長；
(3)拓展延伸：如圖3，在平面直角坐標系中，，，為等腰直角三角形，，，求點坐標．
題型05 手拉手模型
1．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形.
(1)問題發現：
如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；
圖1
(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數及線段CM，AE，BE之間的數量關系并說明理由.
圖2
2．（2022·山東濟南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．
(1)判斷線段BD與CE的數量關系并給出證明；
(2)延長ED交直線BC于點F．
①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數量關系為_______；
②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數，并說明理由．
3．（2022·山東煙臺·中考真題）
(1)【問題呈現】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．
(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．
①求的值；
②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．
4．（2020·廣東深圳·中考真題）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按背景圖位置擺放（點E，A，D在同一條直線上），發現BE=DG且BE⊥DG．小組討論后，提出了三個問題，請你幫助解答：
（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉，（如圖1）還能得到BE=DG嗎？如果能，請給出證明．如若不能，請說明理由：
（2）把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，（如圖2）試問當∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關系時，背景中的結論BE=DG仍成立？請說明理由；
（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉（如圖3），連接DE，BG．小組發現：在旋轉過程中， BG2+DE2是定值，請求出這個定值．
命題點三 添加輔助線證明兩個三角形全等
添加輔助線的基本作圖方法：
方法 內容 圖示
連接兩點 連接AD
作延長線 延長AB交CD的延長線于點E
作平行線 過點D，作BC的平行線，與AC交于點E
作垂線 過點A，作BC的垂線，垂足為點D
題型01 倍長中線法
模型介紹：當遇見中線或者中點的時候，可以嘗試倍長中線（或類中線），使得延長后的線段是原中線的二倍，從而構造一對全等三角形(SAS)，并將已知條件中的線段和角進行轉移.
題目特征：有中點，有中線.
1．（2024·廣西·一模）為了進一步探究三角形中線的作用，數學興趣小組合作交流時，小麗在組內做了如下嘗試：如圖1，在中，是邊上的中線，延長到，使，連接．
(1)【探究發現】圖1中與的數量關系是___________，位置關系是___________；
(2)【初步應用】如圖2，在中，是邊上的中線，若，，，判斷的形狀；
(3)【探究提升】如圖3，在中，若，，D為邊上的點，且，求的取值范圍．
2．（2024山東省模擬預測）為了進一步探究三角形中線的作用，數學興趣小組合作交流時，小麗在組內做了如下嘗試：如圖1，在中，是邊上的中線，延長到，使，連接．
(1)【探究發現】圖1中中與的數量關系是 ，位置關系是 ；
(2)【初步應用】如圖2，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍；
(3)【探究提升】如圖3，是的中線，過點分別向外作、，使得，，延長交于點，判斷線段與的數量關系和位置關系，請說明理由．
3．（2020·江蘇徐州·模擬預測）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點D逆時針旋轉得到，在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線的取值范圍是_______；
（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點，于點D，交于點E，DF交于點F，連接，求證：；
（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點作一個的角，角的兩邊分別交于E、F兩點，連接EF，探索線段之間的數量關系，并說明理由．
4．（2024·山西·模擬預測）綜合與實踐
【問題情境】
如圖1，在中，，點D，E分別在邊，上，，連接，，，為的中點，連接．
【數學思考】
（1）線段與的數量關系，說明理由．
【猜想證明】
（2）若把繞點逆時針方向旋轉到圖2的位置，猜想（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出新的結論并說明理由．
【深入探究】
（3）若把繞點A逆時針方向旋轉到圖3的位置，若是的中點，連接AN，若，直接寫出的長．
題型02 截長補短法
模型概述：該模型適用于求證線段的“和、差、倍、分”關系，該類題目中常出現等腰三角形、角平分線等關鍵詞，可以采用截長補短法構造全等三角形來完成證明.
解題方法：用截長補短的方法，將邊長轉化，構造全等.
1．（2024孝感市模擬）如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；
(2)若，求的度數．
∵平分，
2．（2024長春市模擬）如圖，已知：在中，，、是的角平分線，交于點O求證：．
3．（2020·湖南湘西·中考真題）問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，，，繞B點旋轉，它的兩邊分別交、于E、F．探究圖中線段，，之間的數量關系．小李同學探究此問題的方法是：延長到G，使，連接，先證明，再證明，可得出結論，他的結論就是_______________；
探究延伸1：如圖2，在四邊形中，，，，，繞B點旋轉，它的兩邊分別交、于E、F．上述結論是否仍然成立？請直接寫出結論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由．
探究延伸2：如圖3，在四邊形中，，，，繞B點旋轉，它的兩邊分別交、于E、F．上述結論是否仍然成立？并說明理由．
實際應用：如圖4，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西的A處艦艇乙在指揮中心南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為，試求此時兩艦艇之間的距離．
題型03 構造平行線
1．（2023貴州黔西模擬）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點P在AB上，過點P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC至點Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點D，則DE的長為（　　）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
2．（2024齊齊哈爾模擬）如圖，在等邊中，點為邊上任意一點，點在邊的延長線上，且．

(1)當點為的中點時（如圖1），則有______（填“”“”或“”）；
(2)猜想如圖2，與的數量關系，并證明你的猜想．
3．（2024·山西·模擬預測）綜合與實踐
【問題探究】（1）如圖①，在正方形中，，點E為上的點，，連接，點O為上的點，過點O作交于點M，交于點N，求的長度．
【類比遷移】（2）如圖②，在矩形中，，，連接，過的中點O作交于點M，交于點N，求的長度．
【拓展應用】（3）如圖③，李大爺家有一塊平行四邊形的菜地，記作平行四邊形．測得米，米，．為了管理方便，李大爺沿著對角線開一條小路，過這條小路的正中間，開了另一條垂直于它的小路（小路面積忽略不計）．直接寫出新開出的小路的長度．
題型04 構造垂線
1．（2024湖州市模擬）如圖所示，在平面直角坐標系中，一次函數與坐標軸交于、兩點，若是等腰直角三角形，求點的坐標．

2．（2023武漢市模擬）（1）某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經過點A，直線l，直線l，垂足分別為點D，E．求證：．
（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結論是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長HA交EG于點I．若，則______．
3．（2023東營市模擬預測）如圖，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個120°角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點D、E．
（1）當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA垂直時（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數量關系，并說明理由；
（2）當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結論是否成立？并說明理由；
（3）當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA的反向延長線相交時，上述結論是否成立？請在圖3中畫出圖形，若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.
4．（2023太原市模擬）在中，，點在上，點在上，連接和交于點，．

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接，若平分，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，點在的延長線上，連接，時，若，，求的長．
命題點四 全等三角形的應用
根據實際問題的特點，建立全等三角形模型，將問題轉化為全等三角形的邊或角之間的關系，利用全等三角形的性質解決問題.
題型01 利用全等三角形的性質與判定解決高度測量問題
1．（2023·福建廈門·一模）如圖是重型卡車的立體圖，右圖是一個裝有貨物的長方體形狀的木箱沿著坡面從重型卡車車上卸載的平面示意圖．已知重型卡車車身高度，卡車卸貨時后面支架AB彎折落在地面，經過測量．現有木箱長，高，寬小于卡車車身的寬度，當木箱底部頂點G與坡面底部點重合時，則木箱上部頂點E到地面的距離為 ．
2．（2024·陜西西安·模擬預測）風力發電因其既可再生又不破壞生態環境的特點，深受各國歡迎，并被大規模推廣和實施．在一次旅途中，青青和依依想運用所學知識測量圖1中某風力發電機組塔架的高度，如圖2，青青站在地面上的點D處，眼睛位于點C處時，測得塔架頂端A的仰角的度數，依依從地面上的點G處豎直向上放飛一架無人機，當無人機位于點F處時，測得地面上點D的俯角的度數，恰好發現與互余，已知地面上三點在同一水平直線上，，，請你求出該風力發電機組塔架的高度．
3．（2024·陜西西安·模擬預測）在一次數學課后，小娟和小麗進行了一次數學實踐活動，如圖，在同一水平面從左往右依次是商業大廈、旗桿、小娟家所在的居民樓，她們的實踐內容為測量商業大廈的高度．家住頂樓的小娟在窗戶A處測得旗桿底部D的俯角的度數，小麗在商業大廈頂部的窗戶E處測得旗桿頂部C的俯角的度數，竟然發現與互余．她們又在居民樓底部的B處測得旗桿頂部C的仰角為，已知F、D、B在同一條直線上，，且米，測傾器的高度忽略不計，請根據以上信息求出商業大廈的高度．（結果精確到1米，參考數據：）
題型02 利用全等三角形的性質與判定解決河寬測量問題
1．（2023·河北保定·一模）為測量一池塘兩端A，B之間的距離，兩位同學分別設計了以下兩種不同的方案．
方案Ⅰ：如圖，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接并延長到點C，連接并延長到點D，并使，連接，最后測出的長即可； 方案Ⅱ：如圖，先確定直線，過點B作直線，在直線上找可以直接到達點A的一點D，連接，作，交直線于點C，最后測量的長即可．
A．Ⅰ，Ⅱ都不可行 B．Ⅰ，Ⅱ都可行 C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
2（2024·江蘇蘇州·模擬預測）問題情境：如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是，上的點，且，探究圖中線段，，之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是，延長到點G，使DG＝，連接，先證明，再證明，可得出，，之間的數量關系．
實際應用：如圖2，在新修的小區中，有塊四邊形綠化，四周修有步行小徑，且，，在小徑，上各修一涼亭E，F，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達，經測量得，米，米，試在小王同學研究的基礎上，求兩涼亭之間的距離 ．
3．（2024·河北石家莊·模擬預測）小亮想測量屋前池塘的寬度，他結合所學的數學知識，設計了如圖1的測量方案：先在池塘外的空地上任取一點O，連接，，并分別延長至點B，點D，使，，連接．
(1)如圖1，①求證：；②若，，則______°．
(2)如圖2，但在實際測量中，受地形條件的影響，于是小亮采取以下措施：延長至點D，使，過點D作的平行線，延長至點F，連接，測得，，，，請求出池塘寬度．
4．（2023·陜西咸陽·二模）如圖，某公園有一個人工湖，王平和李楠兩人想知道這個人工湖的長度，但無法直接度量，于是他們準備用所學知識，設計測量方案進行測量．已知為垂直于的一條小路，且小路兩側除人工湖所占區域外，其他區域均可隨意到達，他們兩人所帶的測量工具只有一根足夠長的皮卷尺，請你幫王平和李楠兩人設計一種測量方案：
(1)請在圖中畫出測量示意圖并寫出測量數據（線段長度可用、、……表示）；（不要求寫出測量過程）
(2)根據你的測量方案數據，計算出這個人工湖的長度．
題型03 利用全等三角形的性質與判定解決動點問題
1．（2023·內蒙古通遼·中考真題）如圖，等邊三角形的邊長為，動點P從點A出發以的速度沿向點B勻速運動，過點P作，交邊于點Q，以為邊作等邊三角形，使點A，D在異側，當點D落在邊上時，點P需移動 s．

2．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，等邊中，，點E為高上的一動點，以為邊作等邊，連接，，則 ，的最小值為 ．
3．（2024北京市模擬預測）已知：如圖，在長方形（長方形四個內角均為直角，并且兩組對邊分別相等）中，，．延長到點，使，連接，動點從點出發，以每秒2個單位的速度沿向終點運動，設點的運動時間為秒，當的值為 秒時，和全等．

4．（2024·江蘇揚州·三模）如圖，正方形邊長為4，以為圓心，為半徑畫弧，為弧上動點，連，取中點，連，則最小值為 ．
5．（2024·四川達州·模擬預測）如圖，點C是射線上一點，，E是上的動點，且，連接，過E作，連接，則的最小值為 ．第四章 三角形
第17講 全等三角形
（思維導圖+3考點+4命題點19種題型（含5種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 全等三角形的概念及性質
考點二 全等三角形的判定
04題型精研·考向洞悉
命題點一 全等三角形的性質與判定
題型01 利用全等三角形的性質求解
題型02 添加一個條件使兩個三角形全等
題型03 結合尺規作圖的全等問題
題型04 以注重過程性學習的形式考查全等三角形的證明過程
題型05 補全全等三角形的證明過程
題型06 全等三角形證明方法的合理選擇
題型07 利用相似三角形的性質與判定解決多結論問題
命題點二 與全等三角形有關的基礎模型
題型01 平移模型
題型02 對稱模型
題型03 旋轉模型
題型04 一線三等角
題型05 手拉手模型
命題點三 添加輔助線證明兩個三角形全等
題型01 倍長中線法
題型02 截長補短法
題型03 構造平行線
題型04 構造垂線
命題點四 全等三角形的應用
題型01 利用全等三角形的性質與判定解決高度測量問題
題型02 利用全等三角形的性質與判定解決河寬測量問題
題型03 利用全等三角形的性質與判定解決動點問題
01考情透視·目標導航
中考考點 考查頻率 新課標要求
全等三角形的判定 ★★★ 理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應邊、對應角;掌握全等三角形的判定定理； 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.
全等三角形的性質與證明 ★★
全等三角形的性質與計算 ★★
【考情分析】全等三角形的判定及性質經常與平移、旋轉等幾何變換相結合，綜合考查學生的邏輯推理能力和分析幾何圖形的能力. 此類題目通常是要利用全等三角形的性質得到線段(或角)相等. 解答時應結合已知條件找到兩個全等三角形，甚至需要添加輔助線構造兩個全等三角形，試題常以解答題的形式出現，有一定難度.
02知識導圖·思維引航
03考點突破·考法探究
考點一 全等三角形的概念及性質
一、全等三角形的概念及表示
全等圖形的概念：能完全重合的兩個圖形叫做全等圖形.
特征：①形狀相同.②大小相等.③對應邊相等、對應角相等.④周長、面積相等.
全等三角形的概念：能完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.
【補充】
1）全等三角形是特殊的全等圖形，同樣的，判斷兩個三角形是否為全等三角形，主要看這兩個三角形的形狀和大小是否完全相同，與它們所處的位置無關.
2）形狀相同的兩個圖形不一定是全等圖形，面積相同的兩個圖形也不一定是全等圖形.
全等三角形的表示：全等用符號“≌”，讀作“全等于”.
【補充】書寫三角形全等時，要注意對應頂點字母要寫在對應位置上. 如△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，讀作△ABC全等于△DEF.
全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換.
常見的全等變換：平移變換、翻折變換、旋轉變換，即過平移、翻折、旋轉后得到的圖形與原圖形是全等圖形.
二、全等三角形的性質
性質：1）全等三角形的對應邊相等，對應角相等.
2）全等三角形對應邊上的高線相等，對應邊上的中線相等，對應角的角平分線相等．
3）全等三角形的周長相等，面積相等（但周長或面積相等的三角形不一定是全等三角形）.
1．（2023·江蘇鎮江·模擬預測）已知如圖，，其中的：對應邊 與 ， 與 ， 與 ，對應角： 與 ， 與 ， 與 ．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的性質，根據全等三角形對應頂點的字母寫在對應位置上結合圖形解答．
【詳解】解：，
對應邊：與，與，與；
對應角：與，與，與．
故答案為：，；，；，；，；，；，．
2．（2024·江蘇南通·模擬預測）下面四個幾何體中，主視圖、左視圖、俯視圖是全等圖形的幾何圖形是（ ）
A．圓柱 B．正方體 C．三棱柱 D．圓錐
【答案】B
【分析】本題考查簡單幾何體的三視圖及全等圖形的概念，熟練掌握常見幾何體的三視圖是解題的關鍵．根據簡單幾何體的三視圖逐個判斷即可．
【詳解】解：A．圓柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是圓形，故此選項不符合題意；
B．正方體的三視圖都是正方形，且大小一樣，即全等，故此選項符合題意；
C．三棱柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是三角形，故此選項不符合題意；
D．圓錐的主視圖和左視圖是三角形，俯視圖是帶圓心的圓，故此選項不符合題意；
故選：B．
3．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，已知，則的度數為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質、三角形內角和定理等知識點，掌握全等三角形的對應角相等成為解題的關鍵．
先根據三角形內角和定理求得，然后根據全等三角形的對應角相等即可解答．
【詳解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
故選C．
4．（2020·山東淄博·中考真題）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結論中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【答案】B
【分析】根據全等三角形的性質即可得到結論．
【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
故A，C，D選項錯誤，B選項正確，
故選：B．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．
5．（2023·四川成都·中考真題）如圖，已知，點B，E，C，F依次在同一條直線上．若，則的長為 ．

【答案】3
【分析】利用全等三角形的性質求解即可．
【詳解】解：由全等三角形的性質得：，
∴，
故答案為：3．
【點睛】本題考查全等三角形性質，熟練掌握全等三角形的性質是解答的關鍵．
考點二 全等三角形的判定
1）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；
2）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；
【易錯】
①只有兩邊及其夾角分別對應相等，才能判定兩個三角形全等，“邊邊角”不能判定三角形全等；
例:
②在書寫過程中，要按照邊角邊對應順序書寫，即對應頂點的字母寫在對應的位置上.
3）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；
4）角角邊定理：有兩角和它們所對的任意一邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）；
5）斜邊、直角邊：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．
【總結】從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素（其中至少有一個元素是邊）對應相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準確地確定要補充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路.
1．（2023·四川涼山·中考真題）如圖，點在上，，，添加一個條件，不能證明的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，全等三角形的判定定理有，兩直角三角形全等還有等．根據求出，再根據全等三角形的判定定理進行分析即可．
【詳解】解：∵，
∴，即，
，
∴當時，利用可得；
當時，利用可得；
當時，利用可得；
當時，無法證明；
故選：D．
2．（2023·四川甘孜·中考真題）如圖，與相交于點， ，只添加一個條件，能判定的是( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題目給出的條件結合全等三角形的判定定理分別分析即可．
【詳解】解：A、不能證明△，故此選項不合題意；
B、由 可得，，可利用證明，故此選項符合題意；
C、不能證明，故此選項不合題意；
D、不能證明，故此選項不合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，．
3．（2023·吉林長春·中考真題）如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑的卡鉗，卡鉗交叉點O為、的中點，只要量出的長度，就可以道該零件內徑的長度．依據的數學基本事實是（ ）
A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等
C．兩條直線被一組平行線所截，所的對應線段成比例 D．兩點之間線段最短
【答案】A
【分析】根據題意易證，根據證明方法即可求解．
【詳解】解：O為、的中點，
，，
（對頂角相等），
在與中，
，
，
，
故選：A．
【點睛】本題考查了全等三角形的證明，正確使用全等三角形的證明方法是解題的關鍵．
4．（2023·福建·中考真題）閱讀以下作圖步驟：
①在和上分別截取，使；
②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；
③作射線，連接，如圖所示．
根據以上作圖，一定可以推得的結論是（ ）

A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】由作圖過程可得：，再結合可得，由全等三角形的性質可得即可解答．
【詳解】解：由作圖過程可得：，
∵，
∴．
∴．
∴A選項符合題意；
不能確定,則不一定成立，故B選項不符合題意；
不能確定,故C選項不符合題意，
不一定成立，則不一定成立，故D選項不符合題意．
故選A．
【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規作圖、全等三角形的判定與性質等知識點，理解尺規作圖過程是解答本題的關鍵．
5．（2024·山東德州·中考真題）如圖，C是的中點，，請添加一個條件 ，使．
【答案】或
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定定理，是解決問題的關鍵．
要使，已知，，則可以添加一對邊，從而利用來判定其全等，或添加一對夾角，從而利用來判定其全等（填一個即可，答案不唯一）．
【詳解】解：∵C是的中點，
∴，
∵，
∴添加或，
可分別根據判定（填一個即可，答案不唯一）．
故答案為：或．
6．（2024·云南·中考真題）如圖，在和中，，，．
求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵．利用“”證明，即可解決問題．
【詳解】證明： ，
，即，
在和中，
，
．
04題型精研·考向洞悉
命題點一 全等三角形的性質與判定
題型01 利用全等三角形的性質求解
1．（2024·四川資陽·中考真題）第屆國際數學教育大會（）會標如圖所示，會標中心的圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（，，，）和一個小正方形拼成的大正方形．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，則，根據全等三角形，正方形的性質可得，再根據勾股定理可得，即可求出的值．
【詳解】解：根據題意，設，則，
∵，四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：．
【點睛】本題考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性質，三角函數值的知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在中，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點在第一象限（不與點重合），且與全等，點的坐標是 ．
【答案】
【分析】本題考查坐標與圖形，三角形全等的性質．利用數形結合的思想是解題的關鍵．根據點在第一象限（不與點重合），且與全等，畫出圖形，結合圖形的對稱性可直接得出．
【詳解】解：∵點在第一象限（不與點重合），且與全等，
∴，，
∴可畫圖形如下，
由圖可知點C、D關于線段的垂直平分線對稱，則．
故答案為：．
3．（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數為 ．
【答案】/100度
【分析】本題考查了三角形的內角和定理和全等三角形的性質，先利用全等三角形的性質，求出，再利用三角形內角和求出的度數即可．
【詳解】解：由，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：
4．（2024·寧夏銀川·模擬預測）如圖的正方形網格中，點A，B，C，D，E均為格點，，點B，C，D在同一直線上，則下列結論中正確的是 （選填序號）．
①；②；③；④．
【答案】①②③
【分析】本題考查的是全等三角形的性質，三角形的內角和定理的應用，由，可得，，，而，可得，可得，，從而可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，，，故①符合題意，④不符合題意；
∵，
∴，
∴，，故②符合題意；
∴，
∴，故③符合題意；
故答案為：①②③．
題型02 添加一個條件使兩個三角形全等
1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，中，D是上一點，，D、E、F三點共線，請添加一個條件 ，使得．（只添一種情況即可）
【答案】或（答案不唯一）
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答．根據題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案不唯一．
【詳解】解：∵
∴，，
∴添加條件，可以使得，
添加條件，也可以使得，
∴；
故答案為：或（答案不唯一）．
2．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，點，在線段上，且．
請從①；②；③中．選擇一個合適的選項作為已知條件，使得．
你添加的條件是：__________（只填寫一個序號）．
添加條件后，請證明．
【答案】①（或②）
【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質及平行線的判定，解答的關鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質并靈活運用．利用全等三角形的判定定理進行分析，選取合適的條件進行求解，再根據全等三角形的性質及平行線的判定證明即可．
【詳解】解：可選?、倩颌冢ㄖ贿x一個即可），
證明：當選取①時，
在與中，
，
，
，
，
，
，
在與中，
，
，
，
；
證明：當選取②時，
在與中，
，
，
，，
，
，
在與中，
，
，
，
；
故答案為：①（或②）
3．（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，，．
若________，則．
請從①；②；③這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結論成立，并說明理由．
【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析
【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質，①根據平行線的性質得出，再由全等三角形的判定和性質得出，結合圖形即可證明；②得不出相應的結論；③根據全等三角形的判定得出，結合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．
【詳解】解：選擇①；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
選擇②；
無法證明，
無法得出；
選擇③；
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，即；
故答案為：①或③（答案不唯一）
4．（2024·廣東陽江·一模）問題情境：在數學探究活動中，老師給出了如圖所示的圖形及下面三個等式：①，②，③，若以其中兩個等式作為已知條件，能否得到余下一個等式成立？
解決方案：探究與全等．
問題解決：
(1)當選擇①②作為已知條件時，與全等嗎？
_________（填“全等”或“不全等”），依據是_________；
(2)當選擇_________兩個等式作為已知條件時，不能說明，但補充一個條件例如_________也可以證明，請寫出過程．
【答案】(1)全等；
(2)當選擇②③作為已知條件時，不能說明，補充條件，證明見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定：
（1）利用即可證明；
（2）當選擇①③作為已知條件時，可以利用證明；當選擇②③作已知條件時，不能說明，據此根據全等三角形的判定定理補充條件證明即可．
【詳解】（1）解：當選擇①②作為已知條件時，
在和中，
，
∴，
故答案為：全等；；
（2）解；當選擇①③作為已知條件時，可以利用證明；當選擇②③作為已知條件時，不能說明，補充條件，證明如下：
在和中，
，
∴；
題型03 結合尺規作圖的全等問題
1．（2024·廣東深圳·中考真題）在如圖的三個圖形中，根據尺規作圖的痕跡，能判斷射線平分的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【答案】B
【分析】本題考查了尺規作圖，全等三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是理解作法、掌握角平分線的定義．利用基本作圖對三個圖形的作法進行判斷即可．在圖①中，利用基本作圖可判斷平分；在圖③中，利用作法得， 可證明，有，可得，進一步證明，得，繼而可證明，得，得到是的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到D點為的中點，則為邊上的中線．
【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷平分；
在圖③中，利用作法得，

在和中，
，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分線；
在圖②中，利用基本作圖得到D點為的中點，則為邊上的中線．
則①③可得出射線平分．
故選：B．
2．（2024·貴州·模擬預測）如圖，在中，，根據尺規作圖的痕跡，判斷以下結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了作角平分線和角平分線的性質，全等三角形的判定及性質，熟練掌握角平分線的性質是解決問題的關鍵．根據尺規作圖的痕跡，是的角平分線，，依據角平分線的性質，全等三角形的判定及性質逐項判斷即可．
【詳解】解：根據尺規作圖的痕跡，是的角平分線，，
∴， ，故項正確，不符合題意，
∵是直角三角形，，
∴，
∴，故項正確，不符合題意，
在和中，
∴
∴，故項正確，不符合題意，
根據已知條件無法得得出，故項錯誤，符合題意，
故選：
3．（2024·四川達州·中考真題）如圖，線段、相交于點．且，于點．
(1)尺規作圖：過點作的垂線，垂足為點、連接、；（不寫作法，保留作圖痕跡，并標明相應的字母）
(2)若，請判斷四邊形的形狀，并說明理由．（若前問未完成，可畫草圖完成此問）
【答案】(1)見解析
(2)四邊形是平行四邊形，理由見解析
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，垂線的尺規作圖，全等三角形的性質與判定：
（1）先根據垂線的尺規作圖方法作出點F，再連接、即可；
（2）先證明，得到，再證明，進而證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：四邊形是平行四邊形，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
4．（2023·河南·中考真題）如圖，中，點D在邊上，且．

(1)請用無刻度的直尺和圓規作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．
(2)若（1）中所作的角平分線與邊交于點E，連接．求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）利用角平分線的作圖步驟作圖即可；
（2）證明，即可得到結論．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，

（2）證明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【點睛】此題考查了角平分線的作圖、全等三角形的判定和性質等知識，熟練掌握角平分線的作圖和全等三角形的判定是解題的關鍵．
題型04 以注重過程性學習的形式考查全等三角形的證明過程
1．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，點，分別在，上，，，相交于點，．
求證：．
小虎同學的證明過程如下：
證明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步

(1)小虎同學的證明過程中，第___________步出現錯誤；
(2)請寫出正確的證明過程．
【答案】(1)二
(2)見解析
【分析】（1）根據證明過程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性質即可求證結論．
【詳解】（1）解：則小虎同學的證明過程中，第二步出現錯誤，
故答案為：二．
（2）證明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質，熟練掌握其判定及性質是解題的關鍵．
2．（2024·貴州遵義·三模）如圖，點D，E分別在上，，，相交于點O．
求證：．
小剛同學的證明過程如下：
證明：在和中， ，…第一步 ∴…第二步 ∴…第三步
(1)小剛同學的證明過程中，第______步出現錯誤；
(2)請寫出正確的證明過程．
【答案】(1)一；
(2)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解此題的關鍵．
（1）根據全等三角形的判定定理即可得出答案；
（2）先證明，再由證明，即可得證．
【詳解】（1）解：由題意得：小剛同學的證明過程中，第一步出現錯誤；
（2）證明：∵，，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴．
3．（2024·山西陽泉·三模）如圖，，點在上，．求證：．
小虎同學的證明過程如下：
證明：
，
， 第一步
在和中，
， 第二步
． 第三步
任務一：
①以上證明過程中，第一步依據的定理是：______；
②從第______步出現錯誤；具體錯誤是______；
任務二：請寫出正確的證明過程．
【答案】任務一：①兩直線平行內錯角相等；②二，對應邊相等應為；任務二：見解析
【分析】本題考查了平行線的性質，全等三角形的性質與判定；根據兩直線平行內錯角相等，證明兩三角形全等即可求解．
【詳解】任務一：①以上證明過程中，第一步依據的定理是：兩直線平行內錯角相等；
②從第二步出現錯誤；具體錯誤是對應邊相等應為
任務二：
，
，
，
在和中，
，
．
4．（2024·江蘇南通·二模）如圖，點P是內一射線上一點，點M、N分別是邊、上的點，連接，且，．
求證：是的平分線．
小星的解答如下：
證明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分線．……第三步
(1)小星的解答從第 步開始出現錯誤；
(2)請寫出你認為正確的證明過程．
【答案】(1)一
(2)見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，角平分線的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．
過點P作，于點D，E，根據證明，即可得到，然后根據角平分線的判定定理即可得到結論．
【詳解】（1）小星的解答從第一步開始出現錯誤，
故答案為：一；
（2）證明：過點P作，于點D，E，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是的平分線．
題型05 補全全等三角形的證明過程
1．（2024·河北·中考真題）下面是嘉嘉作業本上的一道習題及解答過程：
已知：如圖，中，，平分的外角，點是的中點，連接并延長交于點，連接． 求證：四邊形是平行四邊形． 證明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四邊形是平行四邊形．
若以上解答過程正確，①，②應分別為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質，根據等邊對等角得，根據三角形外角的性質及角平分線的定義可得，證明，得到，再結合中點的定義得出，即可得證．解題的關鍵是掌握：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
【詳解】證明：∵，∴．
∵，，，
∴①．
又∵，，
∴（②）．
∴．∴四邊形是平行四邊形．
故選：D．
2．（2021·廣西柳州·中考真題）如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個點C，從點C不經過池塘可以直接到達點A和B，連接并延長到點D，使，連接并延長到點E，使，連接，那么量出的長就是A、B的距離，為什么？請結合解題過程，完成本題的證明．
證明：在和中，
∴
∴____________
【答案】，，，
【分析】根據證明步驟填寫缺少的部分，從證明三角形全等的過程分析，利用了“邊角邊”，缺少角相等，填上一對對頂角，最后證明結論，依題意是要證明．
【詳解】證明：在和
∴
∴
【點睛】本題考查了三角形全等的證明過程，“邊角邊”兩邊夾角證明三角形全等，熟悉三角形全等的證明方法是解題的關鍵．
3．（2023·重慶潼南·模擬預測）如圖，已知正方形，點在邊上，連接．
(1)尺規作圖：在正方形內部作，使，邊交線段于點，交邊于點（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)要探究，的位置關系和數量關系，請將下列過程補充完整．
解：，，理由如下．
四邊形是正方形，
　　①，，
在和中
，
　?、?br/>，，
　?、?br/>　?、荩?br/>，．
【答案】(1)圖見解析；
(2)見解析
【分析】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，尺規作圖等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
（1）根據作一個角等于已知角即可畫出圖形；
（2）根據正方形的性質和全等三角形的判定與性質進行填空即可．
【詳解】（1）解：圖形如圖所示：
（2），，理由如下．
四邊形是正方形，
，，
在和中
，
，
，
，，
，
即，
，
，．
故答案為：．
4．（2024·重慶九龍坡·模擬預測）學習了圖形的旋轉等相關知識后，小李同學進行了一次拓展性研究．他發現，若一個四邊形有一組對角均為且這組對角中有一個直角的兩邊相等，則連接這組對角的頂點，此對角線平分另一個直角．他的解決思路是通過作一個角等于已知角等知識證明兩個三角形全等得出的結論．請根據他的思路完成以下作圖與填空：
(1)用直尺和圓規作圖：如圖，以為邊在四邊形外部作，，連接．（保留作圖痕跡）
(2)已知：如圖，是四邊形的對角線，，，，．
求證：．
證明：∵
∴ ，
∵，，，
∴
∴，
∴
∴點C，D，E三點共線．
又，
∴．
即．
小李再進一步研究發現，線段，，存在一定的數量關系，請你根據以上信息，直接寫出，，三者之間的數量關系 ．
【答案】(1)見解析
(2)，，；
【分析】本題考查了作圖復雜作圖，等腰直角三角形，勾股定理，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．
（1）根據作圖方法作圖即可；
（2）結合（1）即可完成填空；然后證明是等腰直角三角形，即可得結論．
【詳解】（1）解：如圖，，即為所求；
（2）證明：，
，
，，，
，
，，
，
點，，三點共線，
又，
，
即．
故答案為：，，；
研究發現：，理由如下：
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故答案為：．
題型06 全等三角形證明方法的合理選擇
全等三角形的判定法方法：
【易錯點】
1）若△ABC≌ΔDEF，則前后對應關系確定；若△ABC與△DEF全等，則前后對應關系不確定.
2）在全等三角形判定中，有兩種不能判定三角形全等的方法：SSA和AAA.
1．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，在中，點，分別在邊，上，．
(1)求證：；
(2)連接．請添加一個與線段相關的條件，使四邊形是平行四邊形．（不需要說明理由）
【答案】(1)見解析
(2)添加（答案不唯一）
【分析】本題考查了平行四邊形的性質與判定，全等三角形的判定；
（1）根據平行四邊形的性質得出，，結合已知條件可得，即可證明；
（2）添加，依據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵，
∴即，
在與中，
，
∴；
（2）添加（答案不唯一）
如圖所示，連接．
∵四邊形是平行四邊形，
∴，即，
當時，四邊形是平行四邊形．
2．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，在中，點M，N分別在邊，上，且，對角線分別交，于點E，F．求證．
【答案】見解析
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，正確地找出輔助線是解題的關鍵．
連接交于O，根據平行四邊形的性質得到，，根據全等三角形的性質得到，于是得到結論．
【詳解】證明：連接交于O，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2022·貴州遵義·中考真題）將正方形和菱形按照如圖所示擺放，頂點與頂點重合，菱形的對角線經過點，點，分別在，上．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據正方形和菱形的性質可得，根據即可得證；
（2）連接交于點，勾股定理求得，，根據菱形的性質可得，進而求得正方形和菱形的對角線的長度，根據即可求解．
【詳解】（1）證明：正方形和菱形，
，
在與中
（）
（2）如圖，連接交于點，
，即AB=4，
，
在中，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
．
【點睛】本題考查了菱形的性質，正方形的性質，勾股定理，，掌握以上知識是解題的關鍵．
4．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在中，的平分線交于點E，的平分線交于點F，點G，H分別是和的中點．

(1)求證：；
(2)連接．若，請判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．
【答案】(1)見解析
(2)矩形，證明見解析
【分析】（1）由平行四邊形的性質得出，，，，證出，，由證明，即可得出結論；
（2）由全等三角形的性質得出，，證出，由已知得出，，即可證出四邊形是平行四邊形．
【詳解】（1）解：證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，，
∴，，
∵和的平分線、分別交、于點E、F，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）證明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵點G、H分別為、的中點，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形
∵，G為的中點，
∴，
∴四邊形是矩形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行線的判定與性質；熟練掌握平行四邊形的性質與判定，證明三角形全等是解決問題的關鍵．
5．（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，點在的邊上，，，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定與性質，等邊對等角，三角形內角和定理等知識，熟練掌握平行線的性質全等三角形的判定與性質，等邊對等角，三角形內角和定理是解題的關鍵．
(1)由，可得，進而可證；
(2)由(1)知，則，，，根據，求解作答即可．
【詳解】（1）證明：，
，
在和中 ，
；
（2）解：由(1)得，
，，
，
．
題型07 利用相似三角形的性質與判定解決多結論問題
1．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，以的邊、為腰分別向外作等腰直角、，連結、、，過點的直線分別交線段、于點、，以下說法：①當時，；②；③若，，，則；④當直線時，點為線段的中點．正確的有 ．(填序號)

【答案】①②④
【分析】①當時，是等邊三角形，根據等角對等邊，以及三角形的內角和定理即可得出，進而判斷①；證明，根據全等三角形的性質判斷②；作直線于點， 過點作于點，過點作于點，證明，，，即可得是的中點，故④正確，證明，可得，在中，，在中，，得出 ，在中，勾股定理即可求解．
【詳解】解：①當時，是等邊三角形，
∴
∴
∵等腰直角、，
∴
∴
∴；故①正確；
②∵等腰直角、，
∴，
∴
∴
∴；故②正確；
④如圖所示，作直線于點， 過點作于點，過點作于點，

∵，
∴，
又，
∴
又∵，
∴
同理得，，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，即是的中點，故④正確，
∴，
設，則
在中，
在中，
∴
∴
解得：
∴，
∴，
∴
∴
在中，
∴,故③錯誤
故答案為：①②④．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
2．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在中，，M是的中點，點D在上，，，垂足分別為E，F，連接．則下列結論中：①；②；③；④；⑤若平分，則；⑥，正確的有 ．（只填序號）
【答案】①②③④⑤⑥
【分析】證明△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判斷①；再證明△BFM≌△CEM，從而判斷△EMF為等腰直角三角形，得到EF=EM，可判斷③，同時得到∠MEF=∠MFE=45°，可判斷②；再證明△DFM≌△NEM，得到△DMN為等腰直角三角形，得到DN=DM，可判斷④；根據角平分線的定義可逐步推斷出DE=EM，再證明△ADE≌△ACE，得到DE=CE，則有，從而判斷⑤；最后證明△CDM∽ADE，得到，結合BM=CM，AE=CF，可判斷⑥.
【詳解】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC，
∴△BCF≌△CAE（AAS），
∴BF=CE，故①正確；
由全等可得：AE=CF，BF=CE，
∴AE-CE=CF=CE=EF，連接FM，CM，
∵點M是AB中點，
∴CM=AB=BM=AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM，
∴∠DBF=∠DCM，又BM=CM，BF=CE，
∴△BFM≌△CEM，
∴FM=EM，∠BMF=∠CME，
∵∠BMC=90°，
∴∠EMF=90°，即△EMF為等腰直角三角形，
∴EF=EM=，故③正確，
∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°，
∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正確，
設AE與CM交于點N，連接DN，
∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°，
∴△DFM≌△NEM，
∴DF=EN，DM=MN，
∴△DMN為等腰直角三角形，
∴DN=DM，而∠DEA=90°，
∴，故④正確；
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°，
∵∠DEM=45°，
∴∠EMD=67.5°，即DE=EM，
∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE，
∴△ADE≌△ACE，
∴DE=CE，
∵△MEF為等腰直角三角形，
∴EF=，
∴，故⑤正確；
∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°，
∴△CDM∽ADE，
∴，
∵BM=CM，AE=CF，
∴，
∴，故⑥正確；
故答案為：①②③④⑤⑥.
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，等量代換，難度較大，解題的關鍵是添加輔助線，找到全等三角形說明角相等和線段相等.
3．（2024·吉林長春·二模）如圖，點為線段上一點，、都是等邊三角形，、交于點，、交于點，、交于點，連結，給出下面四個結論：；；；．上述結論中，一定正確的是 （填所有正確結論的序號）．
【答案】①②④
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，關鍵是由等邊三角形的性質推出，，判定是等邊三角形。
由判定，推出，由對頂角的性質得到，由三角形內角和定理得到，由判定，推出，而，得到是等邊三角形，因此，得到，推出，在變化，不一定是．
【詳解】解：、都是等邊三角形，
，，，
，
，
，
，
，
故符合題意；
，，，
，
故符合題意；
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
故符合題意；
在上的位置在變化，
在變化，不一定是，
故不符合題意．
正確的是．
故答案為：．
4．（2023·山東濟南·三模）如圖，現有邊長為4的正方形紙片，點P為邊上的一點(不與點A點重合）將正方形紙片沿折疊，使點B落在P處，點落在G處，交于，連結、，下列結論：
①；②當P為中點時，三邊之比為；③；④周長等于8．其中正確的是 （寫出所有正確結論的序號）
【答案】①②③④
【分析】過點F作于點M，易得，由折疊可知，于是利用同角的余角相等可得，以此可通過證明，即可判斷①；由折疊可知，設，則，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可判斷②；利用等角的余角相等即可判斷③；過點B作于點N，易通過證明，得到，，以此再通過證明，得到，則，即可判斷④．
【詳解】如圖，過點F作于點M，
四邊形為正方形，
，，
，
四邊形為矩形，，，
由折疊可知， ，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，故①正確；
由折疊可知，，
設，則，
為中點，
，
在中，，
，
解得 ，
，，
，
即三邊之比為，故②正確；
由折疊可知，， ，
，，
，
，故③正確；
如圖，過點B作于點N，
，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故④正確．
綜上，正確的結論有①②③④．
故答案為：①②③④．
【點睛】本題主要考查正方形的性質、折疊的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，正確作出輔助線，構建合適的全等三角形是解題關鍵．
5．（2023·湖北·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點在內，，連接交于點交于點，連接．給出下面四個結論：①；②；③；④．其中所有正確結論的序號是 ．
【答案】①③④
【分析】由題意易得，，，，則可證，然后根據全等三角形的性質及平行四邊形的性質與判定可進行求解．
【詳解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，，
∴，故①正確；
∴，
∴，，故③正確；
∵，，，
∴，；故②錯誤；
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，故④正確；
故答案為①③④．
【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定、等腰直角三角形的性質及平行四邊形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定、等腰直角三角形的性質及平行四邊形的性質與判定是解題的關鍵．
命題點二 與全等三角形有關的基礎模型
題型01 平移模型
1．（2024·四川內江·中考真題）如圖，點、、、在同一條直線上，，，
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練地掌握全等三角形的判定和性質是解決本題的關鍵.
（1）先證明，再結合已知條件可得結論；
（2）證明，再結合三角形的內角和定理可得結論.
【詳解】（1）證明：∵
∴，即
∵，
∴
（2）∵，，
∴，
∵，
∴
2．（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，點A，D，C，F在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．

(1)請在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號）______（只需選一個條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的結論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．
【答案】(1)①，SSS
(2)見解析
【分析】(1)根據SSS即可證明△ABC≌ DEF，即可解決問題；
(2)根據全等三角形的性質可得可得∠A=∠EDF，再根據平行線的判定即可解決問題．
【詳解】（1）解：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF，
選取的條件為①，判定△ABC≌△DEF的依據是SSS．（注意：只需選一個條件，多選不得分）
故答案為：①，SSS；
（2）證明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
【點睛】本題考查了平行線的性質和全等三角形的性質，和判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵．
題型02 對稱模型
1．（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，，．

(1)求證：；
(2)若，則__________°．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
（1）利用即可證得；
（2）先根據三角形內角和定理求出的度數，再根據全等三角形的性質即可得出的度數．
【詳解】（1）證明：在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案為：20．
2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，中，，分別以B，C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接，，，與交于點E．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是：
（1）直接利用證明即可；
（2）利用全等三角形的性質可求出，利用三線合一性質得出，，在中，利用正弦定義求出，即可求解．
【詳解】（1）證明：由作圖知：．
在和中，
．
（2）解：，，
．
又，
，．
，
，
．
3．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）感悟
如圖1，在中，點，在邊上，，．求證：．
應用
（1）如圖2，用直尺和圓規在直線上取點，點（點在點的左側），使得，且（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）如圖3，用直尺和圓規在直線上取一點，在直線上取一點，使得，且（不寫作法，保留作圖痕跡）．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質、尺規作圖：
證明，即可求得；
應用（1）：以點為圓心，以長度為半徑作弧，交直線于一點，該點即為點，以點為圓心，以長度為半徑作弧，交直線于一點，該點即為點，連接，；
應用（2）：以點為圓心，以長為半徑作弧，交的延長線于一點，該點即為點，以點為圓心，以長為半徑作弧，交直線于一點，該點即為點，連接．
【詳解】感悟：
∵，
∴．
在和中
∴．
∴．
應用：
（1）：以點為圓心，以長度為半徑作弧，交直線于一點，該點即為點，以點為圓心，以長度為半徑作弧，交直線于一點，該點即為點，連接，，圖形如圖所示．
（2）：以點為圓心，以長為半徑作弧，交的延長線于一點，該點即為點，以點為圓心，以長為半徑作弧，交直線于一點，該點即為點，連接，圖形如圖所示．
根據作圖可得：，
又，
∴，
∴.
4．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，和，點E，F在直線BC上，，，．如圖①，易證：．請解答下列問題：
(1)如圖②，如圖③，請猜想BC，BE，BF之間的數量關系，并直接寫出猜想結論；
(2)請選擇（1）中任意一種結論進行證明；
(3)若，，，，則______，______．
【答案】(1)圖②：；圖③：
(2)證明見解析
(3)8，14或18
【分析】（1）先判斷兩個三角形全等，再結合線段的和差求解即可；
（2）先證兩個三角形全等，再結合線段的和差求解即可；
（3）過點A作△ABC的高AG，求出AG的長，再根據三角形的面積求出BC的長，進而求出BF即可．
【詳解】（1）解：圖②：．
圖③：．
（2）解：圖②中
在和中，
∵，
∴≌，
∴BC=FE，
∴BF=BC+CE+EF=BC+CE+BC，
即．
或圖③中，
在和中，
∵，
∴≌，
∴BC=FE，
，
即．
（3）解：過點A作AG⊥BC于G，
∵≌，
∴∠B=∠F=60°，
在Rt△ABG中，
∵AB=6，∠B =60°，
∴AG=AB·sin B=6×sin 60°=，
又
∴
∴BC=8，
又∵，
∴BF=BC+BE=8+8-2=14，或BF=BC+BE=8+8+2=18，
故答案為：8，14或18．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，線段的和差，三角形的面積，解直角三角形，解題關鍵是結合圖形找到線段之間的關系是解題關鍵．
題型03 旋轉模型
1．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，點O是對角線的交點，過點O的直線分別交，于點E，F．
(1)求證：；
(2)當時，，分別連接，，求此時四邊形的周長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了平行四邊形和菱形．熟練掌握平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，全等三角形的判定和性質，是解決問題的關鍵．
（1）由題目中的中，O為對角線的中點，可以得出，，結合，可以證得兩個三角形全等，進而得出結論；
（2）由（1）中得到的結論可以得到，結合得出四邊形是平行四邊形，進而利用證明出四邊形為菱形，根據即可求出菱形的周長．
【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵點O是對角線的交點，
∴，
在△和中，，
∴．
（2）由（1）知，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴是菱形，
∴，
∴，
∴四邊形的周長為．
2．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在和中，延長交于， ，．求證：．

【答案】證明見解析
【分析】由，，可得，證明，進而結論得證．
【詳解】證明：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
3．（2022·貴州安順·中考真題）如圖，在中，，，是邊上的一點，以為直角邊作等腰，其中，連接．
(1)求證：；
(2)若時，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質可得，進而證明，即可根據證明；
（2）勾股定理求得根據已知條件證明是等腰三角形可得，進而根據即可求解．
【詳解】（1）證明： 是等腰直角三角形，
，
，
，
在與中
；
，
（2）在中，，，
,
,
,
,
,
∴∠ADC=∠ACD，
,
．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質與判定，勾股定理，全等三角形的性質與判定，掌握等腰三角形的性質與判定是解題的關鍵．
4．（2024·江西·模擬預測）如圖，四邊形是正方形，，分別在、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法，點與點重合，得到，連接、、．
(1)求證： ．
(2)如圖，已知旋轉得到，如果正方形的邊長是4，求的周長．
【答案】(1)見解析
(2)8
【分析】本題主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，利用旋轉構造全等三角形是解題的關鍵．
（1）根據旋轉得到，，，即可得到；
（2）根據旋轉得到，，，，即可得到，然后依據，代入數據解答即可．
【詳解】（1）證明：由旋轉的性質，可知：，，，
在和中，
，
；
（2）解：由旋轉的性質，可知：，，，，
點、、共線，
，
在和 中，
，
．
，
，
；
，
正方形的邊長為4，
．
題型04 一線三等角
1．（2024·河南周口·三模）如圖，在中，，，，，將向右上方平移，使得點C與原點重合，則點A平移后的坐標為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了坐標與圖形，三角形全等的判定和性質，平移的性質，解題的關鍵是先求出點A的坐標，根據將向右上方平移，使得點C與原點重合，得出應該使向右平移4個單位，再向上平移1個單位，然后求出點A平移后的坐標即可．
【詳解】解：如圖，過點C作軸，過點A作于點M，過點B作于點N，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵將平移，使點C與原點O重合，
∴應該使向右平移4個單位，再向上平移1個單位，
∴點A平移后的對應點為：，即．
故選：C．
2．（2023昆明模擬預測）如圖，在中，．
(1)如圖1，直線過點B，于點M，于點N，且，求證：．
(2)如圖2，直線過點B，交于點M，交于點N，且，則是否成立？請說明理由！
【答案】(1)見解析
(2)成立，理由見解析
【分析】（1）本題主要考查全等三角形的判定和性質綜合，利用題目中的已知條件導角，可推導，最后證明，直接可證．
（2）利用及是的外角，可以推出，再利用可以判定，再利用全等的性質導邊即可證明．
【詳解】（1）證明：∵于點M，于點N；
∴；
∴；
∵，
∴；
∴；
在和中，
∴；
∴，；
∴．
（2）成立．理由如下：
設；
∴；
∴；
在和中；
∴；
∴，；
∴；
故成立．
3．（2024·山東煙臺·中考真題）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點，連接．將線段繞點D按順時針方向旋轉得線段，連接．
【嘗試發現】
（1）如圖1，當點D在線段上時，線段與的數量關系為________；
【類比探究】
（2）當點D在線段的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段與的數量關系并證明；
【聯系拓廣】
（3）若，，請直接寫出的值．
【答案】（1）；（2），補圖及證明見解析；（3）或
【分析】本題考查三角形全等的判定與性質，三角函數，掌握一線三垂直全等模型是解題的關鍵．
（1）過點作延長線于點，利用一線三垂直全等模型證明，再證明即可；
（2）同（1）中方法證明，再證明即可；
（3）分兩種情況討論：過點作延長線于點，求出，即可．
【詳解】解：（1）如圖，過點作延長線于點，
由旋轉得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：；
（2）補全圖形如圖：
，理由如下：
過點作交于點，
由旋轉得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如圖，當在的延長線上時，過點作于點，連接，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴．
當在的延長線上時，過點作于點，如圖，連接，
同理可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴；
綜上：或
4．（2024石家莊模擬預測）閱讀理解，自主探究：
“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角角度為，于是有三組邊相互垂直．所以稱為“一線三垂直模型”．當模型中有一組對應邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形．
(1)問題解決：如圖1，在等腰直角中，，，過點作直線，于，于，則與的數量關系是______．
(2)問題探究：如圖2，在等腰直角中，，，過點作直線，于，于，，，求的長；
(3)拓展延伸：如圖3，在平面直角坐標系中，，，為等腰直角三角形，，，求點坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1），根據，，，可得，，，可得，結合，即可得到，即可得到答案；
（2）根據，，可得，，，可得，結合可得，結合，，即可的得到答案；
（3）過B作軸，過A作軸，過C作軸，、、分別交于點E、D，根據（1）可得，易得，根據，，可得，，即可得到答案．
【詳解】（1）解：，理由如下，
∵，，，
∴，，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴；
（3）過B作軸，過A作軸，過C作軸，、、分別交于點E、D，
∵軸，軸，軸，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，
在與中，
，
∴，
∵，，
∴，，
∴點坐標為
【點睛】本題考查直角三角形兩銳角互余，全等三角形性質及判定，解題的關鍵是根據互同角的余角相等等到三角形全等的條件及作輔助線．
題型05 手拉手模型
1．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形.
(1)問題發現：
如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；
圖1
(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數及線段CM，AE，BE之間的數量關系并說明理由.
圖2
【答案】(1)見解析
(2)；
【分析】（1）先判斷出∠BAD=∠CAE，進而利用SAS判斷出△BAD≌△CAE，即可得出結論；
（2）同（1）的方法判斷出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出結論．
【詳解】（1）證明：∵和是頂角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形的性質，判斷出△ACD≌△BCE是解本題的關鍵．
2．（2022·山東濟南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．
(1)判斷線段BD與CE的數量關系并給出證明；
(2)延長ED交直線BC于點F．
①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數量關系為_______；
②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數，并說明理由．
【答案】(1)，理由見解析
(2)①；②，理由見解析
【分析】（1）利用等邊三角形的性質和旋轉的性質易得到，再由全等三角形的性質求解；
（2）①根據線段繞點A按逆時針方向旋轉得到得到是等邊三角形，
由等邊三角形的性質和（1）的結論來求解；②過點A作于點G，連接AF，根據等邊三角形的性質和銳角三角函數求值得到，，進而得到，進而求出，結合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性質求解．
【詳解】（1）解：．
證明：∵是等邊三角形，
∴，．
∵線段繞點A按逆時針方向旋轉得到，
∴，，
∴，
∴，
即．
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：①
理由：∵線段繞點A按逆時針方向旋轉得到，
∴是等邊三角形，
∴，
由（1）得，
∴；
②過點A作于點G，連接AF，如下圖．
∵是等邊三角形，，
∴，
∴．
∵是等邊三角形，點F為線段BC中點，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，理解相關知識是解答關鍵．
3．（2022·山東煙臺·中考真題）
(1)【問題呈現】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．
(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．
①求的值；
②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結論；
（2）證明△BAD∽△CAE，進而得出結果；
（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進而得出結果；
②在①的基礎上得出∠ACE＝∠ABD，進而∠BFC＝∠BAC，進一步得出結果．
【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．
4．（2020·廣東深圳·中考真題）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按背景圖位置擺放（點E，A，D在同一條直線上），發現BE=DG且BE⊥DG．小組討論后，提出了三個問題，請你幫助解答：
（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉，（如圖1）還能得到BE=DG嗎？如果能，請給出證明．如若不能，請說明理由：
（2）把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，（如圖2）試問當∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關系時，背景中的結論BE=DG仍成立？請說明理由；
（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉（如圖3），連接DE，BG．小組發現：在旋轉過程中， BG2+DE2是定值，請求出這個定值．
【答案】（1）見解析；（2）當∠EAG=∠BAD時，BE=DG成立；理由見解析；（3）．
【分析】（1）根據四邊形ABCD和AEFG是正方形的性質證明△EAB≌△GAD即可；
（2）根據菱形AEFG和菱形ABCD的性質以及角的和差證明△EAB≌△GAD即可說明當∠EAG=∠BAD時，BE=DG成立；
（3）如圖：連接EB，BD,設BE和GD相交于點H，先根據四邊形AEFG和ABCD為矩形的性質說明△EAB∽△GAD，再根據相似的性質得到，最后運用勾股定理解答即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形
∴AB=AD，
∵四邊形AEFG為正方形
∴AE=AG，
∴
在△EAB和△GAD中有：
∴△EAB≌△GAD
∴BE=DG；
(2)當∠EAG=∠BAD時，BE=DG成立。
證明：∵四邊形ABCD菱形
∴AB=AD
∵四邊形AEFG為正方形
∴AE=AG
∵∠EAG=∠BAD
∴
∴
在△EAB和△GAD中有：
∴△EAB≌△GAD
∴BE=DG；
(3)連接EB，BD,設BE和GD相交于點H
∵四邊形AEFG和ABCD為矩形
∴
∴
∵
∴△EAB∽△GAD
∴
∴
∴
∴
，
∴．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質、菱形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識點，靈活運用所學知識是解答本題的關鍵．
命題點三 添加輔助線證明兩個三角形全等
添加輔助線的基本作圖方法：
方法 內容 圖示
連接兩點 連接AD
作延長線 延長AB交CD的延長線于點E
作平行線 過點D，作BC的平行線，與AC交于點E
作垂線 過點A，作BC的垂線，垂足為點D
題型01 倍長中線法
模型介紹：當遇見中線或者中點的時候，可以嘗試倍長中線（或類中線），使得延長后的線段是原中線的二倍，從而構造一對全等三角形(SAS)，并將已知條件中的線段和角進行轉移.
題目特征：有中點，有中線.
1．（2024·廣西·一模）為了進一步探究三角形中線的作用，數學興趣小組合作交流時，小麗在組內做了如下嘗試：如圖1，在中，是邊上的中線，延長到，使，連接．
(1)【探究發現】圖1中與的數量關系是___________，位置關系是___________；
(2)【初步應用】如圖2，在中，是邊上的中線，若，，，判斷的形狀；
(3)【探究提升】如圖3，在中，若，，D為邊上的點，且，求的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)是直角三角形；
(3)．
【分析】（1）證，得，，再由平行線的判定即可得出；
（2）延長到，使，連接，由（1）可知，，得，利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，據此計算即可得出結論；
（3）延長到，使得，連接，證明，推出，再利用三角形的三邊關系，即可得出結論．
【詳解】（1）解：延長到，使，連接．
是的中線，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案為：，；
（2）解：如圖2，延長到，使，連接，
由（1）可知，，
，，，
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：延長到，使得，連接，則，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定和性質、倍長中線法、三角形的三邊關系、平行線的判定與性質以及三角形的外角性質，添加輔助線．
2．（2024山東省模擬預測）為了進一步探究三角形中線的作用，數學興趣小組合作交流時，小麗在組內做了如下嘗試：如圖1，在中，是邊上的中線，延長到，使，連接．
(1)【探究發現】圖1中中與的數量關系是 ，位置關系是 ；
(2)【初步應用】如圖2，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍；
(3)【探究提升】如圖3，是的中線，過點分別向外作、，使得，，延長交于點，判斷線段與的數量關系和位置關系，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)，，理由見解析
【分析】（1）證，得，，再由平行線的判定即可得出；
（2）延長到，使，連接，由（1）可知，，得，再由三角形的三邊關系即可得出結論；
（3）延長到，使得，連接，由（1）可知，，得，再證，得，，則，然后由三角形的外角性質證出，即可得出結論．
【詳解】（1）解：是的中線，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案為：，；
（2）如圖2，延長到，使，連接，
由（1）可知，，
，
在中，，
，
即，
，
即邊上的中線的取值范圍為；
（3），，理由如下：
如圖3，延長到，使得，連接，
由（1）可知，，
，
，
，
由（2）可知，，
，
、，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、倍長中線法、三角形的三邊關系、平行線的判定與性質以及三角形的外角性質，添加輔助線．
3．（2020·江蘇徐州·模擬預測）（1）閱讀理解：
如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點D逆時針旋轉得到，在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線的取值范圍是_______；
（2）問題解決：
如圖②，在中，D是邊上的中點，于點D，交于點E，DF交于點F，連接，求證：；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點作一個的角，角的兩邊分別交于E、F兩點，連接EF，探索線段之間的數量關系，并說明理由．
【答案】（1）；（2）見解析；（3），理由見解析
【分析】（1）如圖①：將繞著點D逆時針旋轉得到可得，得出 ，然后根據三角形的三邊關系求出的取值范圍，進而求得的取值范圍；
（2）如圖②：繞著點D旋轉 得到可得，得出 ，由線段垂直平分線的性質得出，在中，由三角形的三邊關系得出 即可得出結論；
（3）將繞著點C按逆時針方向旋轉得到可得，得出，證出 ，再由證明，得出，進而證明結論．
【詳解】解：（1）如圖①：將繞著點D逆時針旋轉得到
∴（），
∴，,即
∵是邊上的中線，
∴，
在中，由三角形的三邊關系得：，
∴ ，即，
∴；
故答案為；
（2）證明：如圖②：繞著點D旋轉 得到
∴（），
∴，
∵
∴，
在中，由三角形的三邊關系得： ，
∴；
（3），理由如下：
如圖③，將繞著點C按逆時針方向旋轉
∴△DCF≌△BCH，
∴
∴
∵
∴，
∴點A、B、H三點共線
∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴（）
∴，
∵
∴．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查對全等三角形的性質和判定、三角形的三邊關系定理、旋轉的性質等知識點，通過旋轉得到構造全等三角形是解答本題的關鍵.
4．（2024·山西·模擬預測）綜合與實踐
【問題情境】
如圖1，在中，，點D，E分別在邊，上，，連接，，，為的中點，連接．
【數學思考】
（1）線段與的數量關系，說明理由．
【猜想證明】
（2）若把繞點逆時針方向旋轉到圖2的位置，猜想（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出新的結論并說明理由．
【深入探究】
（3）若把繞點A逆時針方向旋轉到圖3的位置，若是的中點，連接AN，若，直接寫出的長．
【答案】（1），理由見解析；（2）結論成立，證明見解析；（3）的長為2．
【分析】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質、直角三角形斜邊中線性質、三角形的中位線定理，直角三角形的性質的綜合運用；
（1）先證明，進而判斷出，在由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得出結論；
（2）延長到點F，使，連接，由，可得，，進而可得，再由，證明即可得出，由此得出，繼而得出結論；
（3）延長到點M，使得，連接．先證明可得，由中位線性質定理得．由此即可得出．
【詳解】解：（1）．
理由：，
．
，
，
為CD的中點，
．
（2）結論成立．
證明：如圖1，延長到點F，使，連接．
，，，
，，
，
，
，
又，，
，
．
，
（3）的長為2．
解：如圖2，延長到點M，使得，連接．
，
．
，
．
，
，
．
為的中點，，
，
．
題型02 截長補短法
模型概述：該模型適用于求證線段的“和、差、倍、分”關系，該類題目中常出現等腰三角形、角平分線等關鍵詞，可以采用截長補短法構造全等三角形來完成證明.
解題方法：用截長補短的方法，將邊長轉化，構造全等.
1．（2024孝感市模擬）如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；
(2)若，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）在上截取，連接，證明，根據全等三角形的性質得出，，進而證明，根據全等三角形的性質得出，進而即可求解；
（2）根據全等三角形的性質，結合圖形可得，即可求解．
【詳解】（1）解：在上截取，連接．
∵平分，
∴．
在和中，
∴
∴，．
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
2．（2024長春市模擬）如圖，已知：在中，，、是的角平分線，交于點O求證：．
【答案】見解析
【分析】在AC上取一點H，使AH＝AE，根據角平分線的定義可得∠EAO＝∠HAO，然后利用“邊角邊”證明△AEO和△AHO全等，根據全等三角形對應角相等可得∠AE0＝∠AHO，根據角平分線的定義可得∠1＝∠2，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠3＝60°，再根據角平分線的定義和三角形的內角和定理求出∠4＝60°，從而得到∠3＝∠4，然后利用“邊角邊”證明△CFO和△CHO全等，根據全等三角形對應邊相等可得CF＝CH，再根據AC＝AH＋CH代換即可得證．
【詳解】證明：如圖，在上取一點H，使，連接．
∵是的角平分線，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∵、是的角平分線，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義，三角形內角和定理，利用“截長補短”法作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．
3．（2020·湖南湘西·中考真題）問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，，，繞B點旋轉，它的兩邊分別交、于E、F．探究圖中線段，，之間的數量關系．小李同學探究此問題的方法是：延長到G，使，連接，先證明，再證明，可得出結論，他的結論就是_______________；
探究延伸1：如圖2，在四邊形中，，，，，繞B點旋轉，它的兩邊分別交、于E、F．上述結論是否仍然成立？請直接寫出結論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由．
探究延伸2：如圖3，在四邊形中，，，，繞B點旋轉，它的兩邊分別交、于E、F．上述結論是否仍然成立？并說明理由．
實際應用：如圖4，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西的A處艦艇乙在指揮中心南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為，試求此時兩艦艇之間的距離．
【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：結論EF=AE+CF成立．探究延伸2：結論EF=AE+CF仍然成立．實際應用：210海里．
【分析】延長到G，使，連接，先證明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再證明，可得GF=EF，即可解題；
探究延伸1：延長到G，使，連接，先證明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再證明，可得GF=EF，即可解題；
探究延伸2：延長到G，使，連接，先證明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再證明，可得GF=EF，即可解題；
實際應用：連接EF，延長AE，BF相交于點C，然后與探究延伸2同理可得EF=AE+CF，將AE和CF的長代入即可．
【詳解】解：EF=AE+CF
理由：延長到G，使，連接，
在△BCG和△BAE中，
，
∴（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠CBG+∠CBF=60°，
即∠GBF=60°，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
探究延伸1：結論EF=AE+CF成立．
理由：延長到G，使，連接，
在△BCG和△BAE中，
，
∴（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，
即∠GBF=∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
探究延伸2：結論EF=AE+CF仍然成立．
理由：延長到G，使，連接，
∵，∠BCG+∠BCD=180°，
∴∠BCG=∠BAD
在△BCG和△BAE中，
，
∴（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，
即∠GBF=∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
實際應用：連接EF，延長AE，BF相交于點C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF=∠AOB
∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的條件
∴結論EF= AE+CF仍然成立
即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）
答：此時兩艦艇之間的距離為210海里．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質．作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
題型03 構造平行線
1．（2023貴州黔西模擬）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點P在AB上，過點P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC至點Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點D，則DE的長為（　?。?br/>A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】過作的平行線交于，通過證明≌，得，再由是等邊三角形，即可得出．
【詳解】解：過作的平行線交于，
，
是等邊三角形，
，，
是等邊三角形，
，
∵CQ＝PA，
∴
在中和中，
，
≌，
，
于，是等邊三角形，
，
，
，
，
，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
2．（2024齊齊哈爾模擬）如圖，在等邊中，點為邊上任意一點，點在邊的延長線上，且．

(1)當點為的中點時（如圖1），則有______（填“”“”或“”）；
(2)猜想如圖2，與的數量關系，并證明你的猜想．
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【分析】（1）由是等邊三角形，得到，，由三線合一得到， ，由，得，由外角的性質得到，得到，則，證得；
（2）過作交于，先證明是等邊三角形，得到，再用證明，得到，進而證得猜想
【詳解】（1）∵是等邊三角形，
∴，．
∵E為的中點，
∴， ，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
（2）解：．理由如下：
過E作交于F，

∵是等邊三角形，
∴，．
∴，，即．
∴是等邊三角形．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，即．
【點睛】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、全等三角形的判定與性質等知識，在等邊三角形中通過作平行線構造全等三角形是解題的關鍵．
3．（2024·山西·模擬預測）綜合與實踐
【問題探究】（1）如圖①，在正方形中，，點E為上的點，，連接，點O為上的點，過點O作交于點M，交于點N，求的長度．
【類比遷移】（2）如圖②，在矩形中，，，連接，過的中點O作交于點M，交于點N，求的長度．
【拓展應用】（3）如圖③，李大爺家有一塊平行四邊形的菜地，記作平行四邊形．測得米，米，．為了管理方便，李大爺沿著對角線開一條小路，過這條小路的正中間，開了另一條垂直于它的小路（小路面積忽略不計）．直接寫出新開出的小路的長度．
【答案】【問題探究】；【類比遷移】；【拓展應用】
【分析】（1）過點作于，交于，證明，根據全等三角形的性質得，再利用勾股定理求解即可；
（2）過點M作于，交于，證明，根據相似三角形的性質得，再利用勾股定理求解即可；
（3）過點作于點，過點作交的延長線于點，解直角三角形求得，，進而求得，再根據勾股定理求得，再證明，根據相似三角形的性質求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，過點作于，交于，
，
，
，
， ，，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在中，，
；
（2）如圖，過點M作于，交于，
，
，
，
，，，
，
四邊形是矩形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
；
（3）如圖，過點作于點，過點作交的延長線于點，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
即，
解得：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，矩形的性質，平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，正確構造輔助線是解題的關鍵．
題型04 構造垂線
1．（2024湖州市模擬）如圖所示，在平面直角坐標系中，一次函數與坐標軸交于、兩點，若是等腰直角三角形，求點的坐標．

【答案】點的坐標是．
【分析】通過一次函數解析式能求出、兩點的坐標，也就是，的長，由等腰直角可以得出，作垂直于軸，構造，從而求出、的長，得到點的坐標，本題考查了一次函數求交點坐標，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是作輔助線構造全等三角形．
【詳解】解：當時，，解得，即點坐標為，
當時，，則點坐標為，
作垂直于軸，

∴，
∵是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
∴，
，，
，
，
∴點的坐標是．
2．（2023武漢市模擬）（1）某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經過點A，直線l，直線l，垂足分別為點D，E．求證：．
（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結論是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長HA交EG于點I．若，則______．
【答案】（1）見解析；（2）結論成立，理由見解析；（3）3.5
【分析】（1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由條件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，結合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結論；
（3）由條件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，結合條件可證明△EMI≌△GNI，可得出結論I是EG的中點．
【詳解】解：（1）證明：如圖1中，∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（2）解：成立．
理由：如圖2中，
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）如圖3，過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N．
∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的結論可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI=GI，
∴I是EG的中點．
∴S△AEI=S△AEG=3.5．
故答案為：3.5．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，正方形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
3．（2023東營市模擬預測）如圖，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個120°角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點D、E．
（1）當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA垂直時（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數量關系，并說明理由；
（2）當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結論是否成立？并說明理由；
（3）當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA的反向延長線相交時，上述結論是否成立？請在圖3中畫出圖形，若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.
【答案】（1）；（2）（1）中結論仍然成立，見解析；（3）（1）中結論不成立， ，見解析.
【分析】（1）先判斷出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函數得出ODOC，同OEOC，即可得出結論；
（2）同（1）的方法得OF+OGOC，再判斷出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代換即可得出結論；
（3）同（2）的方法即可得出結論．
【詳解】（1）∵OM是∠AOB的角平分線，
∴∠AOC=∠BOC∠AOB=30°．
∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，
∴∠OCD=60°，
∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°．
在Rt△OCD中，OD=OC cos30°OC，
同理：OEOC，
∴OD+OEOC；
（2）（1）中結論仍然成立，理由如下：
過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°．
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同（1）的方法得：OFOC，OGOC，
∴OF+OGOC．
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，
∴CF=CG．
∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，
∴OD+OEOC；
（3）（1）中結論不成立，結論為：OE﹣ODOC，理由如下：
過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°．
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同（1）的方法得：OFOC，OGOC，
∴OF+OGOC．
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，
∴CF=CG．
∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，
∴OE﹣ODOC．
【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了角平分線的定義和定理，全等三角形的判定和性質，特殊角的三角函數值，直角三角形的性質，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．
4．（2023太原市模擬）在中，，點在上，點在上，連接和交于點，．

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接，若平分，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，點在的延長線上，連接，時，若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)．
【分析】本題主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性質，
（1）利用三角形外角的性質可得，再結合已知可得，根據等邊對等角可得，即可得出結論；
（2）過點C作、垂足分別為M、N，過點A作垂足為Q，構造，得，由角平分線性質可得，進而證明，即可得出結論；
（3）過點C作交于P，作交延長線于G，由角平分線+平行線可得：，利用中點加平行模型可得，，進而可得，，結合已知可得，，由此即可得出．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）過點C作、垂足分別為M、N，過點A作垂足為Q，

在和中，
∴，
∴，
又∵，，平分，
∴，
在和中，
，
∴
∴．
（3）過點C作交于P，作交延長線于G，

∴，，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
同理可得：，，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴
【點睛】本題涉及了等腰三角形的性質和判定、全等三角形的判定和性質、三角形外角的性質、角平分線的定義和性質、平行線的性質等知識；解題關鍵是作輔助線構造三角形全等轉化線段關系，（2）利用了垂直全等模型和角平分線性質，（3）利用中點+平行線構造三角形全等．
命題點四 全等三角形的應用
根據實際問題的特點，建立全等三角形模型，將問題轉化為全等三角形的邊或角之間的關系，利用全等三角形的性質解決問題.
題型01 利用全等三角形的性質與判定解決高度測量問題
1．（2023·福建廈門·一模）如圖是重型卡車的立體圖，右圖是一個裝有貨物的長方體形狀的木箱沿著坡面從重型卡車車上卸載的平面示意圖．已知重型卡車車身高度，卡車卸貨時后面支架AB彎折落在地面，經過測量．現有木箱長，高，寬小于卡車車身的寬度，當木箱底部頂點G與坡面底部點重合時，則木箱上部頂點E到地面的距離為 ．
【答案】4.5/
【分析】作于點，于點，于點，根據“兩條平行線之間的距離處處相等”可知，，設，根據勾股定理得，則，于是，，再證明，得，，則，再證明，得，所以，于是得到問題的答案．
【詳解】解：如圖2，作于點，于點，于點，
，，
，，
，，，，
設，
，且，，
，
解得，
，，
四邊形是長方形，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
木箱上部頂點到地面的距離為，
故答案為：4.5．
【點睛】此題重點考查同角的余角相等、勾股定理、全等三角形的判定與性質、運用勾股定理和全等三角形的性質解決實際問題等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．
2．（2024·陜西西安·模擬預測）風力發電因其既可再生又不破壞生態環境的特點，深受各國歡迎，并被大規模推廣和實施．在一次旅途中，青青和依依想運用所學知識測量圖1中某風力發電機組塔架的高度，如圖2，青青站在地面上的點D處，眼睛位于點C處時，測得塔架頂端A的仰角的度數，依依從地面上的點G處豎直向上放飛一架無人機，當無人機位于點F處時，測得地面上點D的俯角的度數，恰好發現與互余，已知地面上三點在同一水平直線上，，，請你求出該風力發電機組塔架的高度．
【答案】該風力發電機組塔架的高度為
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，過點作，交于點，，即可得到，即可解答，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，過點作，交于點，
與互余，與互余，
，
，
四邊形為矩形，
，，
，
，
，
，
答：該風力發電機組塔架的高度為．
3．（2024·陜西西安·模擬預測）在一次數學課后，小娟和小麗進行了一次數學實踐活動，如圖，在同一水平面從左往右依次是商業大廈、旗桿、小娟家所在的居民樓，她們的實踐內容為測量商業大廈的高度．家住頂樓的小娟在窗戶A處測得旗桿底部D的俯角的度數，小麗在商業大廈頂部的窗戶E處測得旗桿頂部C的俯角的度數，竟然發現與互余．她們又在居民樓底部的B處測得旗桿頂部C的仰角為，已知F、D、B在同一條直線上，，且米，測傾器的高度忽略不計，請根據以上信息求出商業大廈的高度．（結果精確到1米，參考數據：）
【答案】商業大廈的高度約為88米．
【分析】延長交于點H，根據題意可得：，，，從而可得，再根據同角的余角相等可得，然后利用等量代換可得，從而利用可證，進而可得米，最后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．
【詳解】解：如圖：延長交于點H，
由題意得：，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，，
∴（米），
∴（米），
∴商業大廈的高度約為88米．
【點睛】本題考查解直角三角形的應用 仰角俯角問題，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題．
題型02 利用全等三角形的性質與判定解決河寬測量問題
1．（2023·河北保定·一模）為測量一池塘兩端A，B之間的距離，兩位同學分別設計了以下兩種不同的方案．
方案Ⅰ：如圖，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接并延長到點C，連接并延長到點D，并使，連接，最后測出的長即可； 方案Ⅱ：如圖，先確定直線，過點B作直線，在直線上找可以直接到達點A的一點D，連接，作，交直線于點C，最后測量的長即可．
A．Ⅰ，Ⅱ都不可行 B．Ⅰ，Ⅱ都可行 C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
【答案】B
【分析】根據全等三角形的判定方法和等腰三角形三線合一性質求解即可．
【詳解】方案Ⅰ：∵，，
∴，
∴，
∴Ⅰ可行；
方案Ⅱ：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴Ⅱ可行，
綜上所述，Ⅰ，Ⅱ都可行．
故選：B．
【點睛】此題考查了全等三角形的判定方法和等腰三角形三線合一性質，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
2（2024·江蘇蘇州·模擬預測）問題情境：如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是，上的點，且，探究圖中線段，，之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是，延長到點G，使DG＝，連接，先證明，再證明，可得出，，之間的數量關系．
實際應用：如圖2，在新修的小區中，有塊四邊形綠化，四周修有步行小徑，且，，在小徑，上各修一涼亭E，F，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達，經測量得，米，米，試在小王同學研究的基礎上，求兩涼亭之間的距離 ．
【答案】25米/
【分析】本題主要考查的是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質等知識，作輔助線構造全等三角形并兩次證全等是解題的關鍵．延長至，使，連接，可證得進而證得，進一步求得，即可得出最后結果．
【詳解】如圖，延長至，使，連接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
米，米，
米．
故答案為：25米．
3．（2024·河北石家莊·模擬預測）小亮想測量屋前池塘的寬度，他結合所學的數學知識，設計了如圖1的測量方案：先在池塘外的空地上任取一點O，連接，，并分別延長至點B，點D，使，，連接．
(1)如圖1，①求證：；②若，，則______°．
(2)如圖2，但在實際測量中，受地形條件的影響，于是小亮采取以下措施：延長至點D，使，過點D作的平行線，延長至點F，連接，測得，，，，請求出池塘寬度．
【答案】(1)①求證：；②．
(2)
【分析】（1）①根據證明可得證；②根據得到，結合，，得，解答即可．
（2）延長，，二線交于點M，證明，結合已知，解直角三角形即可．
本題考查了三角形全等的判定和性質，解直角三角形的相關計算，熟練掌握三角形全等的判定，靈活解直角三角形是解題的關鍵．
【詳解】（1）①∵，
∴
∴；
②根據，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案為：55．
（2）延長，，二線交于點M，
∵，
∴，
∵，
∴
∴；
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．（2023·陜西咸陽·二模）如圖，某公園有一個人工湖，王平和李楠兩人想知道這個人工湖的長度，但無法直接度量，于是他們準備用所學知識，設計測量方案進行測量．已知為垂直于的一條小路，且小路兩側除人工湖所占區域外，其他區域均可隨意到達，他們兩人所帶的測量工具只有一根足夠長的皮卷尺，請你幫王平和李楠兩人設計一種測量方案：
(1)請在圖中畫出測量示意圖并寫出測量數據（線段長度可用、、……表示）；（不要求寫出測量過程）
(2)根據你的測量方案數據，計算出這個人工湖的長度．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）在上選一點C，測量，，延長至D使，延長至E使，測量；
（2）利用證明，則．
【詳解】（1）解：測量示意圖如下所示：
（2）解：在和中，
，
，
．
即這個人工湖的長度為c．
【點睛】本題考查全等三角形的實際應用，解題的關鍵是構造．
題型03 利用全等三角形的性質與判定解決動點問題
1．（2023·內蒙古通遼·

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