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(共17張PPT)
專題十　與圓周角相關的計算
類型一 90°的圓周角
　　如圖，“直徑”或“半圓”→90°圓周角→直角三角形→關聯
計算.
1. 如圖，AB為☉O的直徑，M，N為☉O上兩點，AN與BM相交于點
P. 若∠MAN＝30°，則 的值為 　 　.
　
2. 如圖，四邊形ABCD內接于☉O，AC為☉O的直徑，∠ADB＝
∠CDB. 若AB＝ ，AD＝1，則CD的長為 　 　.
　
3. 如圖，在邊長為1的正方形網格中，☉O是△ABC的外接圓，點A，
B，O在格點上，則 cos ∠ACB的值是 .
　
4. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的☉O分別交BC，AC
于點D，E，連接DE. 若DE＝ ，AB＝10，則AE的長為 .
8　
5. 如圖，△ABC內接于☉O，AB為☉O的直徑，將△ABC繞點C旋轉
到△EDC，點E在☉O上.若AE＝2，tanD＝3，求AB的長.
解：∵AB為☉O的直徑，∴∠AEB＝∠ACB＝∠ECD＝90°.
∵tanD＝ ＝3，∴設CD＝x，CE＝3x，則AB＝DE＝ x.
∵ ＝ ，∠ACE＝∠BCD，∴△ACE∽△BCD，
∴ ＝ ＝3，∴ ＝3，BD＝ ，∴BE＝DE－BD＝ x－ .
∵AE2＋BE2＝AB2，∴22＋ ＝ ，解得x＝
，∴AB＝ x＝ .
類型二 45°的圓周角
　　如圖，“半圓中點”或“45°圓周角”→90°圓心角→等腰直角
三角形→關聯計算.
1. 如圖，正方形ABCD內接于☉O，在 上取一點E，連接AE，作
AG⊥AE，交☉O于點G，連接DG. 若AB＝2，∠BAE＝30°，求AG
的長.
解：如圖，連接OA，OD，OG，過點D作DM⊥AG于點M.∵四邊形ABCD為☉O的內接正方形，
∴∠AOD＝90°，∠AGD＝ ∠AOD＝45°，∴OD＝ AD＝ ×2
＝ .
∵∠EAG＝∠BAD＝90°，∴∠GAD＝∠BAE＝30°，∴∠GOD＝
2∠GAD＝60°，
∴△ODG是等邊三角形，∴DG＝OD＝ ，∴DM＝GM＝ DG＝
× ＝1，
∴AM＝ ＝ ＝ ，∴AG＝AM＋GM＝ ＋1.
2. 如圖，在☉O中，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點E在
上，CF⊥AE于點F. 若F是弦AE的三等分點，☉O 的直徑為12，求
CF的長.
解：如圖，連接AC，CE. ∵CD⊥AB，∴∠AEC＝∠AOC＝45°，
∴△FCE是等腰直角三角形.設CF＝EF＝a，則AF＝2a.
∵☉O 的直徑為12，∴AC＝ OA＝6 .
∵AC2＝AF2＋CF2，∴ ＝（2a）2＋a2，
解得a1＝ ，a2＝－ （舍去），∴CF＝ .
3. 如圖，AB為半圓O的直徑，C為 的中點，點D在半圓上，BD＝
6，AB＝10，求CD的長.
解：如圖，連接AD，OC，過點C作CE⊥AD于點E.
∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ADB＝90°，∴AD＝ ＝ ＝8.
∵C為 的中點，∴∠AOC＝90°，∴AC＝ OA＝5 ，
∴∠ADC＝ ∠AOC＝45°，∴CE＝DE.
設CE＝DE＝a，則AE＝8－a.∵AC2＝AE2＋CE2，
∴ ＝（8－a）2＋a2，解得a1＝1，a2＝7（舍去），
∴CE＝DE＝1，∴CD＝ CE＝ .
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