資源簡介

2025年中考數學沖刺中考模擬真題速遞(浙江專用)
專項2 填空題1（浙江中考真題+中考模擬）
一、填空題
1．（2024·浙江）（1）若，，且，則的最小值為　 ?。?br/>（2）如圖，是的外接圓，點D是半圓弧的中點，交延長線于點E，連結，．若與的面積比為，則　 ?。?br/>2．（2024·浙江）已知實數a，b滿是，則的最大值為　 　．
3．（2024·浙江）一組數據的平均數為5，方差為16，n是正整數，則另一組數據的標準差是　 ?。?br/>4．（2025·杭州模擬）因式分解： 　 　.
5．（2025九下·錢塘模擬）已知二次函數，當時，函數值　 ?。?br/>6．（2025·新昌模擬）如圖，水暖管橫截面是圓，當半徑的水暖管有積水（陰影部分），水面的寬度為，則積水的最大深度是　 ?。?br/>7．（2025·杭州模擬）一個不透明的袋子中裝有四個小球，它們除了分別標有的數字1，2，3，4不同外，其它完全相同，任意從袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，則兩次摸出的球所標數字之和為5的概率是　 ?。?br/>8．（2025九下·浙江模擬）七巧板是中國古代人民創造的益智玩具，被譽為“東方魔板”．小明用一個邊長為4的正方形制作出如圖1的七巧板，再用這副七巧板拼出了如圖2的“靈蛇獻瑞”圖．過該圖形的三個頂點作圓，則這個圓的半徑長為　 ?。?br/>9．（2025九下·浙江模擬）如圖，在一張矩形紙片中，，分別是和的中點．現將紙片按如圖方式折疊，使點與上的點重合．若平分，則的長為　 　．
10．（2025九下·浙江模擬）有12張卡片，每張卡片上分別寫有不同的從1到12的一個自然數．從中任意抽出一張卡片，則這張卡片上的數既是3的倍數又是偶數的概率是　 ?。?br/>11．（2025九下·浙江模擬）如圖，是的直徑．點在上，是的切線，且為切點．已知，則　 　．
12．（2025九下·浙江模擬）當x　 　時，分式值為0．
13．（2025九下·浙江模擬）分解因式： －9=　 ?。?br/>14．（2025·浙江模擬）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，經過A，B兩點的⊙O與邊AC切于點A，與邊BC交于點D，AE為⊙O直徑，連結DE，若∠C=37°，則∠BDE的度數為　 　。
15．（2025九下·寧波模擬）如圖所示，已知一次函數與反比例函數交于點為一次函數上一點，作等腰直角三角形與使得在軸正半上，延長交于點，連結，若，為中點，，則　 　
16．（2025九下·寧波模擬）長和寬分別是19和15矩形內，如圖所示放置5個大小相同的正方形，且、、、四個頂點分別在矩形的四條邊上，則每個小正方形的邊長是　 　.
17．（2025九下·寧波模擬）如圖，四邊形和四邊形分別是邊長為3和2的正方形，連結，，，則五邊形的面積為　 　.
18．（2025·衢州模擬）已知關于x，y的二元一次方程組的解是，則的值是　 　.
19．（2025·衢州模擬）如圖，正方形ABCD由四個全等的直角三角形（，和中間一個小正方形EFGH組成，連接并延長DF，交于點.若，
（1）比較線段大小：DF　 　DC.（填寫“＞”“＝”“＜”）
（2）的值等于　 　.
20．（2025·溫州模擬）因式分解：　 　．
21．（2025九下·寧波模擬）如圖，已知圓錐的底面的直徑，高，則該圓錐的側面展開圖的面積為　 　.
22．（2025·鎮海區模擬）使得方程有實數根的最大的整數　 ?。?br/>23．（2025九下·寧波模擬）若二次根式有意義，則x的取值范圍是　 　 。
24．（2025·浙江模擬）如圖，矩形ABCD在第一象限內，對角線BD所在直線經過點O，AB//y軸，BC//x軸，反比例函數的圖象經過點A和點C，把矩形ABCD沿BD折疊，點A的對應點為點E。當點E落在x軸上，且點B的坐標為（2，1）時，k的值為　 　。
25．（2025·浙江模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△DEC，點D落在AB邊上，連結BE，若∠CBE=67.5°，則=　 　。
26．（2025·浙江模擬）在如圖所示的電路圖中，各電器均能正常工作，當隨機閉合開關中的兩個時，能夠讓燈泡發光的概率為　 　。
27．（2025·衢州模擬）不等式的解是　 　.
28．（2025·浙江模擬）已知是方程的一個解，則k的值是　 　。
29．（2025·溫州模擬）如圖，點E，F分別在的邊AB，CD上，連結DE，EF，點關于EF的對稱點恰好在AB的延長線上，連結FG交BC于點．若，則　 　，AE=　 　．
30．（2025·溫州模擬）如圖，將Rt沿斜邊AB向右平移得到與DF交于點，延長AC，EF交于點，連結GH．若，則AE的長為　 　．
31．（2025·溫州模擬）一個布袋里只有紅色、黃色、黑色三種球，它們除顏色外其余都相同，紅球、黃球、黑球的個數之比為5：6：7．從布袋里任意摸出1個球，該球為黑球的概率是　 　．
32．（2025·溫州模擬）如圖，AB是半圓的直徑，為AB延長線上一點，CD切半圓于點，連結OD，BD．若，則等于　 　度．
33．（2025·溫州模擬）方程組的解為　 ?。?br/>34．（2025·衢州模擬）如圖，直線BC與相切于點C，點A在上，AB⊥BC于點B.若AB=3，BC=6，則的半徑為　 　cm.
35．（2025·衢州模擬）如圖，轉盤的白色扇形和灰色扇形的圓心角分別為和.讓轉盤自由轉動一次，指針落在白色區域的概率是　 　.
36．（2025·衢州模擬）二次根式 中，a的取值范圍是　 ?。?br/>37．（2025·鹿城模擬）小周要在一塊三角形鋼板中裁出一個矩形，裁剪方案如圖所示，頂點、在邊上，頂點，分別在邊、上，已知，，，則當矩形的面積最大時，　 ?。?br/>38．（2025·鹿城模擬）如圖，，是的切線，切點分別是，，如果，那么的度數等于 　 　 ．
39．（2025·鎮海區模擬）如圖，四邊形是平行四邊形，已知，，則　 ?。?br/>40．（2025·鹿城模擬）如圖，點D、E分別為的中點，平分交于點F，若，則　 ?。?br/>41．（2025·錢塘模擬）如圖，已知四邊形內接于，延長，交于點．若，，則圓的半徑為　 　．
42．（2025·錢塘模擬）如圖，在扇形中，過的中點作，垂足分別為．已知，則圖中陰影部分的面積為　 ?。ńY果保留）．
43．（2025·衢江模擬）如圖，在中，將沿弦翻折，連結并延長交翻折后的弧于點，連結，若，，則的長為　 　．
44．（2025·衢江模擬）如圖，在中，，點是邊上的一點，滿足．若，則的度數為　 　°．（請用含的代數式表示）
45．（2025·衢江模擬）已知圓錐的母線長為，底面半徑為，則這個圓錐的側面積為　 ?。?br/>46．（2025·衢江模擬）一只不透明的袋中裝有8個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后每次隨機從袋中摸出一個球，記下顏色后放回袋中．通過大量重復摸球試驗后發現，摸到白球的頻率是，則袋中約有紅球　 　個．
47．（2025·鎮海區模擬）已知正方形中，射線與邊交于點，過點分別作射線的垂線，垂足分別為．設，若，則的最小值為　 ?。?br/>48．（2025·鎮海區模擬）已知是鏡子，球在兩鏡子之間的地面上．球在鏡子中的像為，在中的像為．若鏡子，之間的距離為66，則　 　．
49．（2025·鎮海區模擬）已知如下的兩組數據：
第一組：20，21，22，25，24，23；
第二組：20，21，23，25，，26．
若兩組數據的中位數相等，實數　 ?。?br/>50．（2025·鎮海區模擬）方程的解是　 ?。?br/>答案解析部分
1．；
2．55
3．12
4．a(a-4)
a2﹣4a=a（a﹣4）.
故答案為a（a﹣4）.
直接把公因式a提出來即可.
5．0
6．
7．
解：列出摸出的2球的樹從圖如下所示：
總共有12種情況，兩球數字之和為5的情況有4種，故概率為P=
故答案為：.
利用樹眾圖將可能所有情況列出，即可求出和為5的概率.
8．
解：如圖2，設圓心為O，延長AF交PH于點E，交⊙O于點D， 連接EI，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，且平行四邊形 平行四邊形BILK，
且
∴四邊形EILH是平行四邊形，
∵大正方形的邊長為4，
且
∴EI垂直平分BC，
∴圓心O在EI上，
∴EI垂直平分AD，
，
連接OD、OB， 則
解得
∴這個圓的半徑長為
故答案為：
在圖2中標出相應的字母，設圓心為O，延長AF交PH于點E，交⊙O于點D，連接EI，則四邊形EFGH是平行四邊形，且 可證明四邊形EILH是平行四邊形，由大正方形的邊長為4， 可知 則 得. 則EI垂直平分BC，所以圓心O在EI上，則EI垂直平分AD，連接OD、OB，由 根據勾股定理求得即可求出OD長于是得到問題的答案.
9．
解：過點G作 于M，
∵E， F分別是AD和BC的中點，
∵AG平分 ，
由折疊可知，
故答案為：
過點G作于M，則 由AG平分 可得 由折疊可知， ，再由勾股定理得到長，則 進而求得AB長.
10．
解：從1到12的自然數中，既是3的倍數又是偶數的6，12， 共2種結果，
故答案為：
從1到12的自然數中，既是3的倍數又是偶數的6，12，共2種結果，據此計算即可.
11．67
解：∵AD是⊙O的直徑， 點B在⊙O上， AC是⊙O的切線， A為切點.
在中，
故答案為：67.
根據切線的性質得到 由此得到 根據AD是直徑可得 由直角三角形兩銳角互余即可求解.
12．=-1
解：∵分式 值為0，
且
解得
故答案為：=-1.
若分式的值為零，需同時具備兩個條件：①分子的值為0，②分母的值不為0，這兩個條件缺一不可.
13．
－9= ．
14．16
解：∵AB=AC，∠C=37°，
∴ ∠B=∠C=37°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=106°.
∵⊙O與邊AC切于點A，
∴∠CAE=90°，
∴∠BDE=∠BAE=∠BAC-∠CAE=16°.
故答案為：16.
先根據等邊對等角，求得∠B，再利用三角形內角和定理求得∠BAC，然后利用切線的性質證得∠CAE=90°，再用兩角之差求得∠BDE.
15．20
解：過點P作PH⊥x軸于點H，延長HP，過點M作MG⊥PH交PH于點G，
令y=0.則x-1=0，解得x=1，
∴點B的坐標為(1，0)，∴OB=1，
∵BC=6，
∴OC=OB+BC=1+6=7，∴點C的坐標為(7，0)，
把x=7代入得y=7-1=6，∴點A的坐標為(7，6)，
又∵D是AC的中點，∴點D的坐標為(7，3)，
又∵AC=6=BC，∴∠ABC=∠CAB=45°，
∵PH⊥x軸，
∴∠PHB=90°，
∴△PBH為等要直角三角形，
∴BH=PH，
設OH=m，則BH=OH-OB=m-1，
∴PH=BH=m-1，即點P的坐標為(m，m-1)，
∵△PMN是等腰直角三角形，
∴MP=PN，
∵MG⊥PH，PH⊥x軸，
∴∠G=∠MPN=∠PHB=90°，
∴∠GMP+∠GPM=∠NPH=∠GPM=90°，
∴∠GMP=∠NPH，
∴△MPG≌△PNH，
∴MG=PH=m-1，PG=NH=CH=OC-OH=7-m，
∴NH=CH=PG，
∵，，
∴點M的坐標為(1，6)，
設直線MD的解析式為y=kx+b，代入得：
，解得，
∴直線MD的解析式為，
把P(m，m-1)代入得到，解得m=5，
∴點P的坐標為(5，4)，
把點P(5，4)代入得到k=5×4=20，
故答案為，20.
過點P作PH⊥x軸于點H，延長HP，過點M作MG⊥PH交PH于點G，設OH=m，即可得到△MPG≌△PNH，求出點M的坐標，然后求出直線MD的解析式，再求出點P的坐標，代入反比例函數解析式即可解題.
16．
解：
設正方形邊長為x，假設AC在矩形里與其它線段分別交于點T和點P，過T做平行于點C所在的矩形邊，交矩形另外兩邊于點E和點F；過點P做平行于點B所在的矩形邊，交矩形另外兩邊于點J和點H；EF和JH相交于點O， EF垂直于JH， 設EF與DT邊成的角為θ，則PJ與PC邊成的角也為θ，
在 中，
可得 ①
解得
兩邊平方相加得
所以正方形的邊長
故答案為：.
如圖，設正方形邊長為x，設EF與DT邊成的角為θ，則PJ與PC邊成的角也為θ，利用三角函數值表示出EF和JH的值求出然后根據一個角的正弦與余弦的平方和為1求出x值即可.
17．4.5
解：如圖， 過點A作. 于T，連接AE，過點E作 于P，
設
∵四邊形ABCD和四邊形BEFG為正方形，
，
.
故答案為： 4.5.
如圖，過點A作. 于T， 連接AE，過點E作 于P， 設. 由勾股定理得 利用余弦列式為 可表示BN的長，證明 利用余弦的定義可得AT的長，最后由面積和即可解答.
18．5
解：∵ 關于x，y的二元一次方程組的解是，
∴，解得：.
故答案為：5.
根據方程組解的意義，將解代入方程組，轉化為關于字母參數的方程求解.
19．（1）=
（2）
解：（1）∵FM=MB，
∴∠MFB=∠MBF=∠EFN，
∵∠MBF+∠FBC=90°，
∠EFN+∠DFC=90°，
∴∠FBC=∠DFC.
∵△ABC≌△CDG，
∴∠FBC=∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC.
故答案為：=.
（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=x，MB=y，
∵DM2=AD2+AM2，
∴（x+y）2=x2+(x-y)2.解得：x2=4xy.
∵x>0，
∴x=4y，
∴.
故答案為：.
（1）先根據等腰三角形的性質以及對頂角相等，證明∠FBC=∠DFC，再結合等角的余角相等，證得∠FBC=∠DFC，然后利用全等三角形的性質證得∠FBC=∠DFC=∠DCF，再利用等角對等邊可得DF=DC；
（2）先用x、y表示出AM，DM，再利用勾股定理求得x與y的關系，然后求得．
20．
解：
故答案為：.
分解因式的一般策略是“一提二套”，即當多項式的各項都有公因式時，先提公因式，再考慮對另一個因式套用乘法公式繼續分解因式，直到每一個因式不能再分解為止.
21．
解：在 中，
所以這個圓錐的側面展開圖的面積
故答案為：.
先利用勾股定理計算出AB，然后利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式求解即可.
22．2
23．x≥1
根據二次根式有意義的條件，x﹣1≥0，∴x≥1．故答案為：x≥1．
根據二次根式的性質可知，被開方數大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范圍．
24．
解：設E（x，0)，
∵AB//y軸，BC//x軸，點B的坐標為（2，1）， 反比例函數的圖象經過點A和點C，
∴A（2，），C（k，1），
∴AB=-1，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴D（k，），
∴AD=BC=k-2.
∵把矩形ABCD沿BD折疊，點A的對應點為點E，
∴BE=AB=-1，DE=ADk-2.
∴BE2=（x-2)2+12=(-1)2，
DE2=（x-k)2+()2=(k-2)2，
解得：x1=2，x2=.
∵ 反比例函數，，
∴k=4x-8>0，解得：x>2.
∴x=，
∴k=4x-8=.
故答案為：.
先根據矩形的性質，用k表示出A，C，D，再計算BE2與DE2，求得x，根據x的范圍確定x的值，再求出k.
25．
解：設BD=x，
∵ 將△ABC繞點C順時針旋轉得到△DEC，
∴CE=BC，AC=CD，∠ACB=∠DCE=90 ° ，∠ABC=∠CED.
∵ ∠CBE=67.5°，
∴∠BEC=∠CBE=67.5°，
∴∠BCE=180°-∠BEC-∠CBE=45°.
∴∠BCD=∠DCE-∠BCE=45°.
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=45°.
∴∠A=∠ADC=(180°-∠ACD)=67.5°.
∴∠ABC=∠CED=90°-∠A=22.5°.
∴∠DBE=∠CBE+∠ABC=90°，∠DEB=∠CEB-∠CED=45°.
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=BE，
∴DE=AB=.
∴AD=AB-BD=.
∵∠A=∠ADC=∠CBE=∠CEB=67.5°，
∴△CBE∽△CAD.
∴.
故答案為：.
先利用旋轉的性質，證得CE=BC，AC=CD，∠ACB=∠DCE=90 ° ，∠ABC=∠CED.再利用等邊對等角求得∠BEC，然后證明△BDE是等腰直角三角形，用x表示出DE和AD，再利用△CBE∽△CAD，列出比例式，求得.
26．
解：畫樹狀圖.
共有12種等可能的結果，其中能夠讓燈泡發光的結果有8種，
∴能夠讓燈泡發光的概率.
故答案為：.
先畫樹狀圖，求出所有等可能結果數與符合條件的結果數，再利用概率公式求解.
27．
解：，
去分母，得2x+3>4，
移項，得2x>4-3，
合并同類項，得2x>1，
即x>.
故答案為：.
先去分母，再移項，合并同類項，系數化為1求解.
28．4
解：∵是方程的一個解，
∴1+2k=9，解得：k=4.
故答案為：4.
根據方程解的意義，轉化為k的方程求解.
29．；
解：如圖所示，連接DG交EF于點O.
關于直線EF對稱
四邊形ABCD是平行四邊形
四邊形DEGF是菱形
設，則
四邊形ABCD和四邊形DEGF都是平行四邊形
故答案分別為：和.
第一空：由軸對稱的性質知EF垂直平分DG，則FD等于FG，再等腰三角形三線合一知FE平分，由于平行四邊形的對邊平行，由平行線的性質結合等量代換得等于，則GE等于GF，可將線段GH與EG的比轉化為GH與FG的比，從而利用比例的基本性質得到FH與GH的比值；第二空：由第一空的推理可得四邊形DEGF是菱形，則可設FH等于3a，則GH等于5a，則DE、EG、FG都是8a，此時利用平行四邊形的對邊平行，可借助內錯角相等證明與相似，再借助同位角相等證明與相似，由于CF已知，兩組三角形的相似比可以計算出來，則可先求出BG的值，進而求出AE的值.
30．8
解：如圖，連接CF.
、
四邊形CHFG是平行四邊形
是矩形
四邊形ADFC是平行四邊形
故答案為：8.
由于平移不改變圖形的形狀與大小，且平移前后對應線段平行且相等，或在同一條直線上，因此可連接CF，則四邊形ADFC是平行四邊形；同理四邊形CHFG也是平行四邊形，由于已知是直角，則平行四邊形CHFG還是矩形，則對角線CF等于GH，則AD等于3，結合已知得AB等于5；由于DE等于AB等于5，則AE可求.
31．
解：
故答案為：.
直接利用簡單隨機事件概率的求解方法計算即可.
32．130
解：是的切線
，即
故答案為：130.
由于切線垂直于過切點的半徑，因此可知等于90度；由于已知，則可求；由于半徑處處相等，因此等于；最后利用外角的性質可直接求出度數.
33．
解：
得：
把代入得：
原方程組的解為
故答案為：.
解二元一次方程組時，當兩個方程中某一個未知數的系數相等或互為相反數時，可直接利用加減消元法求解.
34．
解：如圖，連結OA，OC，過點A作AD⊥OC于點D，設的半徑為r，
∵直線BC與相切于點C，
∴BC⊥OC，
∵AB⊥BC于點B ，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，AD=BC=6，
∴OD=r-3，
∵OA2=DA2+OD2，
∴r2=62+(r-3)2，解得：r=.
故答案為：.
先證明四邊形ABCD是矩形，再利用勾股定理，得到關于r的方程求解.
35．
解：∵ 轉盤的白色扇形和灰色扇形的圓心角分別為和，
∴轉動一次，指針落在白色區域的概率為.
故答案為：.
利用概率公式求解.
36．a≥1
解：由題意得，a﹣1≥0，
解得，a≥1，
故答案為：a≥1．
根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式即可．
37．
解：過點作于點，交于點，
，
，
即，
解得，
四邊形為矩形，
，
，
，
四邊形為矩形，
，
，
，
，
，即，
，
，
故當時，矩形面積最大，
，
此時，
故答案為：．
過點作于點，交于點，根據三角形ABC的面積等于40看求出的值，由“平行與三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”可得，由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式，根據比例式可將DE用含DG的代數式表示出來，于是，將S矩形DEFG與DG之間的函數關系式配成頂點式，然后根據二次函數的性質可求解．
38．
解：連接，，
、是的切線，切點分別是、，
，
，
，
．
故答案為：．
由切線的性質“圓的切線垂直于經過切點的半徑”可得，根據圓周角定理“同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”可得∠AOB=2∠C，然后根據四邊形內角和定理可求解.
39．
40．1
解：∵點D、E分別為的中點，，
∴是的中位線，，
∴，，
∴，
∵平分交于點F，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：1．
利用三角形中位線性質得到，，利用中點定義得到，再利用平行線的性質和角平分線得到，則，即可得到的長度．
41．7
42．
43．
解：延長交于點D，過點B作于點H，連接，
∵和是圓周角所對的弧，
∴，
∴，
∴，
設，
∴，，
∵，
∴，
∵是直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴，，
在，，
故答案為：．
延長交于點D，過點B作于點H，連接，先根據“在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等”，得到，即，根據等腰三角形三線合一性質，得到，設，則，結合已知根據“有兩個角對應相等的兩個三角形相似”可得，由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式，整理可得，在中，利用勾股定理得到，即，解方程求出a的值，在Rt△ABH中，用勾股定理計算即可求解.
44．
解：設，
∵，
∴，
∵，
∴，
由三角形內角和定理得，
即，
∴，
故答案為：．
設，由等邊對等角得∠B=，在△ABC中，根據三角形內角和定理可得關于x的方程，解方程即可求解．
45．
解：由題意，得：圓錐的側面積為；
故答案為：．
根據圓錐的側面積公式計算即可求解．
46．12
解：設紅球有x個，由題意可得，
，
解得：，
經檢驗：是方程的解，
故答案為：12．
設紅球有x個，根據頻率=紅球個數÷總數可得關于x的方程，解方程即可求解．
47．
48．132
49．22
50．

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