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人教版2024-2025學年八年級數(shù)學下冊期中模擬試卷
滿分：120分 測試范圍： 二次根式、勾股定理、平行四邊形
一、選擇題。（共10小題，每小題3分，共30分）
1．一直角三角形的兩直角邊長為12和5，則斜邊長為（　　）
A．17 B．16 C．13 D．20
2．下列二次根式是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．在直角坐標系中，點到原點的距離是（ ）
A． B． C． D．2
4．下列二次根式中，能與合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．有一個邊長為1的大正方形，經(jīng)過1次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過1次“生長”后，形成的圖形如圖1所示．如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”如圖2所示，若“生長”了2 024次后，形成的圖形中所有的正方形的面積和是（ ）
A．2025 B．2024 C．22023 D．
6．觀察下列等式：
①；
②；
③；
…
化簡：（ ）（n為正整數(shù)）．
A． B． C． D．
7．如圖，長方形 中，，，點是邊上一點，連接，把沿折疊，使點落在點處，若恰好為直角三角形，則的長為（ ）
A．1 B．3 C．1或 D．1或3
8．如圖，在平面直角坐標系中，已知正方形，，點D為x軸上一動點，以為邊在的右側(cè)作等腰，，連接，則的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．4
9．如圖，在中，，，．以和為邊向的外側(cè)作等邊和等邊，連接，則的長為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，在正方形中，，E為對角線上與點A，C不重合的一個動點，過點E作于點F，與點G，連接，，有下列結(jié)論：①．②．③．④的最小值為3，其中正確結(jié)論的序號為（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
二、填空題。（共6小題，每小題3分，共18分）
11．計算的結(jié)果是 ．
12．已知，則的值為 ．
13．如圖，平行四邊形中，P是四邊形內(nèi)任意一點，，，，的面積分別為，，，，則 (填“>”、“<”、“=”)
14．如圖，圓柱的底面周長為24厘米，高為5厘米，是底面直徑，一只螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面爬行到點的最短路程是 ．
15．觀察下列等式：
根據(jù)上述規(guī)律，解決下列問題：
（1） （填“”、“”或“”）；
（2）填空： ．
16．如圖，在矩形中，，的平分線交于點，，垂足為，連結(jié)并延長交于點，連結(jié)交于點下列結(jié)論：① ②③是的中點④；其中正確的是 ．
三、解答題（共8小題，共72分）
17．計算：
(1) (2)
18．如圖，在四邊形中，，，，．求的度數(shù)．
19．如圖，平行四邊形的對角線，相交于點O，E，F(xiàn)分別是，的中點．求證：．
20．如圖，在正方形中，E為的中點，F(xiàn)是上一點，且，求證：
(1)；
(2)．
21．已知滿足．
(1)求的值；
(2)以為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，請求出三角形的周長；若不能，請說明理由．
22．我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂直四邊形．
(1)如圖1，在四邊形中，，，問四邊形垂直四邊形嗎？請說明理由；
(2)如圖2，四邊形是垂直四邊形，求證：；
(3)如圖3，中，，分別以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求長．
23．【閱讀材料】
利用完全平方公式可將某些像的式子化為完全平方式，例如．根據(jù)上述方法，解決下列問題：
【問題解決】
(1)已知，為整數(shù)，求的值；
(2)已知，和均為整數(shù)，求的值；
【拓展延伸】
(3)化簡：．
24．已知在中，，，點D為直線上一動點（點D不與B，C重合），以為邊作正方形，連接．
(1)如圖1，當點D在線段上時，求證：
(2)如圖2，當點D在線段的延長線上時，請判斷三條線段之間的數(shù)量關系，并說明理由．
(3)如圖2，延長交于點G，連接，若已知，，求的長．中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版2024-2025學年八年級數(shù)學下冊期中模擬試卷
滿分：120分 測試范圍： 二次根式、勾股定理、平行四邊形
一、選擇題。（共10小題，每小題3分，共30分）
1．一直角三角形的兩直角邊長為12和5，則斜邊長為（　　）
A．17 B．16 C．13 D．20
【答案】C
【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形中兩直角邊的長的平方和等于斜邊的平方，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵一直角三角形的兩直角邊長為12和5，
∴該三角形的斜邊長為，
故選：C．
2．下列二次根式是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵．
滿足以下兩個條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，像這樣的二次根式叫做最簡二次根式，由此判斷即可．
【詳解】解：A、被開方數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)4，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；
B、是最簡二次根式，故此選項符合題意；
C、被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；
D、被開方數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)4，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；
故選：B．
3．在直角坐標系中，點到原點的距離是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本題考查了兩點間距離公式，掌握已知，則是解題的關鍵．
根據(jù)兩點間距離公式直接求解即可．
【詳解】解：點到原點的距離是，
故選：B．
4．下列二次根式中，能與合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了同類二次根式，熟練掌握二次根式的化簡是解題的關鍵．先化簡二次根式，然后同類二次根式的定義，進行判斷即可．
【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，故不符合題意；
B、，與是同類二次根式，故符合題意；
C、與不是同類二次根式，故不符合題意；
D、，與不是同類二次根式，故不符合題意；
故選：B．
5．有一個邊長為1的大正方形，經(jīng)過1次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過1次“生長”后，形成的圖形如圖1所示．如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”如圖2所示，若“生長”了2 024次后，形成的圖形中所有的正方形的面積和是（ ）
A．2025 B．2024 C．22023 D．
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理，能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關系是解答本題的關鍵．根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．
【詳解】解：如圖，由題意得，正方形A的面積為1，
由勾股定理得，正方形B的面積正方形C的面積正方形A的面積，
∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，
同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，
∴“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，
……
∴“生長”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2025，
故選：A．
6．觀察下列等式：
①；
②；
③；
…
化簡：（ ）（n為正整數(shù)）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了分母有理化，掌握二次根式的混合運算法則成為解題的關鍵．
根據(jù)條件所給的例子，將二次根式分母有理化即可．
【詳解】解：．
故選：D．
7．如圖，長方形 中，，，點是邊上一點，連接，把沿折疊，使點落在點處，若恰好為直角三角形，則的長為（ ）
A．1 B．3 C．1或 D．1或3
【答案】C
【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識點．分為兩種情況，當和時，將圖形畫出，利用折疊性質(zhì)和勾股定理求解即可．
【詳解】解：如圖，當時，

∵在矩形中，，，，
∴，
由折疊性質(zhì)可得：，，，則點在上，
∴，
設，則：，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴，則，
如圖，當時，

∴，
由折疊性質(zhì)可得：，
∴四邊形為正方形，
∴，則，
綜上，或1，
故選．C．
8．如圖，在平面直角坐標系中，已知正方形，，點D為x軸上一動點，以為邊在的右側(cè)作等腰，，連接，則的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，作軸于H，連接．證明，得出，即，推出點在的角平分線所在直線上運動，作，則是等腰直角三角形，由正方形的性質(zhì)可得，求出，即可得解．
【詳解】解：如圖，作軸于H，連接．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點在的角平分線所在直線上運動，
作于M，則是等腰直角三角形，
∵正方形，，
∴，
∴，即的最小值為，
故選：B．
9．如圖，在中，，，．以和為邊向的外側(cè)作等邊和等邊，連接，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，過點C作于F，先求出的長，再由等邊三角形的性質(zhì)得到的長，進而求出的長，再證明D、C、F三點共線，可求出，據(jù)此利用勾股定理可得答案．
【詳解】解：如圖所示，過點C作于F，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵和都是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴D、C、F三點共線，
∴，
∴，
故選：A．
10．如圖，在正方形中，，E為對角線上與點A，C不重合的一個動點，過點E作于點F，與點G，連接，，有下列結(jié)論：①．②．③．④的最小值為3，其中正確結(jié)論的序號為（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【分析】①連接，易知四邊形為矩形，可得；由可得，所以；②延長，交于M，交于點H，由矩形可得，則；由，則；由四邊形為正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的結(jié)論可得；④由于點E為上一動點，當時，根據(jù)垂線段最短可得此時最小，最小值為，由①知，所以的最小值為．
【詳解】解：①連接，交于點O，如圖，
∵，
∴．
∵在正方形中，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故①正確；
②延長，交于M，交于點，
∵，
∴，
由①知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∴．故②正確；
③由②知：．
即：．故③正確；
④∵點E為上一動點，
∴根據(jù)垂線段最短，當時，最小．
∵，
∴．
∴．
由①知：，
∴的最小值為，故④錯誤．
綜上，正確的結(jié)論為：①②③．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，垂線段最短，三角形全等的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，垂直的定義．根據(jù)圖形位置的特點通過添加輔助線構(gòu)造全等是解題的關鍵，也是解決此類問題常用的方法．
二、填空題。（共6小題，每小題3分，共18分）
11．計算的結(jié)果是 ．
【答案】2
【分析】本題考查了二次根式的乘法運算，掌握二次根式的乘法法則是解題的關鍵．根據(jù)二次根式的乘法運算計算即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
12．已知，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了代數(shù)式的求值，關鍵是根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值．根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)，列不等式組求出x的值，再根據(jù)根據(jù)x的值求出y的值，即可代入求解．
【詳解】解：由題意可得，
解得，
∴，
∴
故答案為：．
13．如圖，平行四邊形中，P是四邊形內(nèi)任意一點，，，，的面積分別為，，，，則 (填“>”、“<”、“=”)
【答案】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出為平行四邊形面積的一半，也為平行四邊形面積的一半，即可得解，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴為平行四邊形面積的一半，也為平行四邊形面積的一半，
∴，
故答案為：．
14．如圖，圓柱的底面周長為24厘米，高為5厘米，是底面直徑，一只螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面爬行到點的最短路程是 ．
【答案】厘米
【分析】本題考查了平面展開，最短路徑問題，將圖形展開和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力．
先將圖形展開，再根據(jù)兩點之間線段最短可知長即螞蟻爬行的最短路程，再利用勾股定理求解，即可求得答案．
【詳解】解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為，
則弧，
又因為，
所以，
故答案為：厘米．
15．觀察下列等式：
根據(jù)上述規(guī)律，解決下列問題：
（1） （填“”、“”或“”）；
（2）填空： ．
【答案】 2025
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理化及平方差公式：
（1）根據(jù)題意得，即可比較；
（2）根據(jù)題意將原式變形為，再利用平方差公式計算即可
【詳解】解：（1）根據(jù)題意：，
∵，
∴，
故答案為：；
（2）原式
，
故答案為：．
16．如圖，在矩形中，，的平分線交于點，，垂足為，連結(jié)并延長交于點，連結(jié)交于點下列結(jié)論：① ②③是的中點④；其中正確的是 ．
【答案】①②③④
【分析】由“”可證，由“”可證，由全等三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)依次判斷可求解．
【詳解】解：在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故①正確，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，故②正確；
，，
，
，
，，
，
，
，
又，，
在和中，
，
，
，，
點是的中點，故③正確；
，，
，
，所以④正確；
故答案為：①②③④．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并仔細分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．
三、解答題（共8小題，共72分）
17．計算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
（1）先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可；
（2）先根據(jù)平方差公式計算，再根據(jù)完全平方公式計算，然后算加減即可．
【詳解】（1）解：原式
（2）解：原式．
18．如圖，在四邊形中，，，，．求的度數(shù)．
【答案】
【分析】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理的應用，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷，計算即可
【詳解】解：如圖，連接．
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
在中，，，
∴．
∴是直角三角形，且，
∴．
∴的度數(shù)為．
19．如圖，平行四邊形的對角線，相交于點O，E，F(xiàn)分別是，的中點．求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，得出，證明，得出，求出，即可得證．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
∵E，F(xiàn)分別是，的中點，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
20．如圖，在正方形中，E為的中點，F(xiàn)是上一點，且，求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理逆定理、角平分線的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵．
（1）設，則，，，由勾股定理得出，，，再由勾股定理逆定理判斷即可得證；
（2）過點E作于G，由等面積法得出，求出點在的角平分線上，即可得證．
【詳解】（1）證明：設，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵E為的中點，
∴，
∵，
∴，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴；
（2）證明：過點E作于G，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴點在的角平分線上，
∴．
21．已知滿足．
(1)求的值；
(2)以為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，請求出三角形的周長；若不能，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題考查的是三角形的三邊關系、非負數(shù)的性質(zhì)．
（1）根據(jù)絕對值、算術平方根、偶次方的非負性列出方程，解方程求出x、y、z；
（2）根據(jù)三角形的三邊關系判斷，再根據(jù)周長公式計算即可．
【詳解】（1）解：解：∵，
∴，，，
解得：，，；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴以為邊能構(gòu)成三角形，
三角形的周長為：．
22．我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂直四邊形．
(1)如圖1，在四邊形中，，，問四邊形垂直四邊形嗎？請說明理由；
(2)如圖2，四邊形是垂直四邊形，求證：；
(3)如圖3，中，，分別以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求長．
【答案】(1)四邊形是垂直四邊形，見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）由題意得出直線是線段的垂直平分線，再結(jié)合垂直四邊形的定義判斷即可得解；
（2）設、交于點E，由勾股定理得出，，即可得證；
（3）連接、，由正方形的性質(zhì)可得，，，，，證明，得出，證明四邊形是垂直四邊形，由（2）得，，求出，代入計算即可得解．
【詳解】（1）解：四邊形是垂直四邊形；理由如下：
∵，
∴點A在線段的垂直平分線上，
∵，
∴點C在線段的垂直平分線上，
∴直線是線段的垂直平分線，
∴，即四邊形是垂直四邊形；
（2）證明：設、交于點E，如圖2所示：
∵，
∴，
由勾股定理得：，，
∴；
（3）解：連接、，如圖3所示：
∵正方形和正方形，
∴，，，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴四邊形是垂直四邊形，由（2）得，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的判定定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
23．【閱讀材料】
利用完全平方公式可將某些像的式子化為完全平方式，例如．根據(jù)上述方法，解決下列問題：
【問題解決】
(1)已知，為整數(shù)，求的值；
(2)已知，和均為整數(shù)，求的值；
【拓展延伸】
(3)化簡：．
【答案】(1)1
(2)
(3)1
【分析】本題考查了完全平方公式的運用及二次根式的混合運算，能根據(jù)完全平方公式展開是解此題的關鍵．
（1）將右邊根據(jù)完全平方公式展開合并后與左邊進行比較，可得的值；
（2）將右邊根據(jù)完全平方公式展開合并后與左邊進行比較，進行比較可得、的值，最后進行計算即可；
（3）將化為完全平方式，然后再開方，最后進行二次根式的加減運算即可．
【詳解】（1）解：，
，，
；
（2）解：，
，，
；
（3）解：．
24．已知在中，，，點D為直線上一動點（點D不與B，C重合），以為邊作正方形，連接．
(1)如圖1，當點D在線段上時，求證：
(2)如圖2，當點D在線段的延長線上時，請判斷三條線段之間的數(shù)量關系，并說明理由．
(3)如圖2，延長交于點G，連接，若已知，，求的長．
【答案】(1)見解析；
(2)，理由見解析；
(3)
【分析】（1）證明是等腰直角三角形，利用即可證明，從而證得，據(jù)此即可證得結(jié)論；
（2）同（1）相同，利用即可證得，從而證得，即可得到；
（3）過點作，過點作，勾股定理求出的長，三線合一求出的長，進而求出的長，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，求出的長，證明為等腰三角形，求出的長，進而求出的長，證明，求出的長，勾股定理求出的長即可．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
則在和中，
，
∴
∴，
∵，
∴；
（2）；
理由：∵，，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵在和中，
∴
∴，
∴，
∴；
（3）過點作，過點作，如圖：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關知識點，添加輔助線構(gòu)造全等三角形，是解題的關鍵．

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