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第七章 圖形的變化
第30講 尺規(guī)作圖與定義，命題，定理
（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)18種題型）
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn)一 尺規(guī)作圖
考點(diǎn)二 定義、命題、定理
04題型精研·考向洞悉
命題點(diǎn)一 尺規(guī)作圖
題型01 作線段
題型02 作一個(gè)角等于已知角
題型03 尺規(guī)作角的和、差
題型04 過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線
題型05 作三角形
題型06 作角平分線
題型07 作垂線
題型08 作等腰三角形
題型09 畫(huà)圓
題型10 過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線
題型11 作正多邊形
題型12 格點(diǎn)作圖
題型13 無(wú)刻度直尺作圖
題型14 最短路徑問(wèn)題
命題點(diǎn)二 定義、命題、定理
題型01 判斷是否是命題
題型02 判定命題的真假
題型03 寫(xiě)成命題的逆命題
題型04 反證法
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
中考考點(diǎn) 考查頻率 新課標(biāo)要求
尺規(guī)作圖 ★★ 能用尺規(guī)作圖
定義、命題、定理 ★ 通過(guò)具體實(shí)例，了解定義、命題、定理、推論的意義. 結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念.會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.
【命題預(yù)測(cè)】本考點(diǎn)內(nèi)容以考查尺規(guī)作圖和真假命題為主，年年考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為6分左右．預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn). 中考對(duì)尺規(guī)作圖的考查涉及多種形式，不再是單一的對(duì)作圖技法操作進(jìn)行考查，而是把作圖與計(jì)算、證明、分析、判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)有效融合，既體現(xiàn)了動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，也考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思考解決問(wèn)題的能力，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握．
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn)一 尺規(guī)作圖
定義：最基本、最常用的尺規(guī)作圖，通常稱作基本作圖,
五種基本作圖：
1）作一條線段等于已知線段
已知 線段 a
求作 線段0A，使OA等于a
作法 1）任作一條射線OP； 2）以點(diǎn)0為圓心，a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交0P于點(diǎn)A，則線段OA 即為所求
依據(jù) 圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.
2）作一個(gè)角等于已知角
已知 ∠AOB
求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB
作法 1）作射線O'A'； 2）以點(diǎn)0為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交0A于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn) D； 3）以點(diǎn)0'為圓心，0C的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O'A'于點(diǎn)E； 4）以點(diǎn)E為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于點(diǎn)F； 5）經(jīng)過(guò)點(diǎn)F作射線O'B',ㄥA'0'B'即為所求.
依據(jù) 1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等； 2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等； 3）兩點(diǎn)確定一條直線.
3）作已知角的角平分線
已知 ∠AOB
求作 射線OP，使∠AOP=∠BOP
作法 1）以點(diǎn)0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交0A于點(diǎn)M，交0B于點(diǎn)N； 2）分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)P； 3）作射線OP，射線OP即為所求.
依據(jù) 1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等； 2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等； 3）兩點(diǎn)確定一條直線.
4）過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線
已知 直線AB和AB上的一點(diǎn)M
求作 AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)M
作法 作平角ㄥACB的平分線MF.直線MF就是所求作的垂線.
已知 直線AB和AB外一點(diǎn)M
求作 AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)M
作法 1）任意取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P和點(diǎn)M在AB的兩旁； 2）以點(diǎn)M為圓心，MP的長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)C和點(diǎn)D； 3）分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E； 4）作直線EM，直線EM就是所求作的垂線.
依據(jù) 1）等腰三角形“三線合一”；
2）兩點(diǎn)確定一條直線.
5）作線段的垂直平分線
已知 線段AB
求作 線段AB的垂直平分線
作法 1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N； 2）作直線MN，直線MN就是線段AB的垂直平分線.
依據(jù) 1）到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上； 2）兩點(diǎn)確定一條直線.
尺規(guī)作圖的關(guān)鍵:
1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；
2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問(wèn)題；
3)切記作圖中一定要保留作圖痕跡；
4）無(wú)刻度直尺作圖通常會(huì)與等腰三角形的判定，三角形中位線定理，矩形的性質(zhì)和勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
1．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)．按下列要求作圖：
①以點(diǎn)為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段于點(diǎn)，交于點(diǎn)；
②以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段于點(diǎn)；
③以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前一條弧于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)在直線同側(cè)；
④作直線，交于點(diǎn)．下列結(jié)論不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川·中考真題）如圖，在中，，，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)D，E；②分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)F，作射線交于點(diǎn)G．則的大小為 度．
3．（2024·山東德州·中考真題）已知，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，用尺規(guī)作圖，過(guò)點(diǎn)P作的平行線．下列作圖痕跡不正確的是（ ）
A．B．C． D．
4．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，．
(1)尺規(guī)作圖：作邊上的中線（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
(2)在（1）所作的圖中，將中線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求證：四邊形是矩形．
考點(diǎn)二 定義、命題、定理
1. 命題
定義：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題.
組成：命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．
表達(dá)形式：可以寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論．
2.真命題、假命題
內(nèi)容 舉例 注意
真命題 如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題，叫做真命題 對(duì)頂角不相等 說(shuō)明一個(gè)命題是真命題，需從已知出發(fā),經(jīng)過(guò)一步步推理，最后得出正確結(jié)論
假命題 命題中題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題 相等的角是對(duì)頂角 判定一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子(反例)，使它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論即可
3.逆命題
逆命題：把原命題的結(jié)論作為命題的題設(shè)，把原命題的題設(shè)作為命題的結(jié)論，所組成的命題叫做原命題的逆命題.
互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫做它的逆命題．
4.公理、定理
公理：如果一個(gè)命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理.如：兩點(diǎn)之間線段最短.
定理：如果一個(gè)命題可以從公理或其他命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做定理．
5.互逆定理
互逆定理：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理．
6.反證法
定義：先假設(shè)原命題的結(jié)論不正確，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推理論證，最后得出與學(xué)過(guò)的概念、基本事實(shí)、已證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果，這種證明的方法叫做反證法.
反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論的反面正確；②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，推出與公理、定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)論；③說(shuō)明假設(shè)不成立，從而得出原命題正確．
1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）請(qǐng)寫(xiě)出定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理 ．
2．（2024·山東濰坊·中考真題）下列命題是真命題的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．兩個(gè)有理數(shù)的積仍為有理數(shù)
D．兩個(gè)無(wú)理數(shù)的積仍為無(wú)理數(shù)
3．（2022·上海·中考真題）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題
4．（2022·黑龍江綏化·中考真題）下列命題中是假命題的是（ ）
A．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半
B．如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角一定相等
C．從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角
D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
04題型精研·考向洞悉
命題點(diǎn)一 尺規(guī)作圖
題型01 作線段
1．（2023·山西太原·模擬預(yù)測(cè)）已知線段、、．

(1)用直尺和圓規(guī)作出一條線段，使它等于．（保留作圖痕跡，檢查無(wú)誤后用水筆描黑，包括痕跡）
(2)若，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線分別交于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等邊中，為邊上的高．
(1)實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)，以為邊在下方作等邊，延長(zhǎng)交于點(diǎn)；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡、不寫(xiě)作法，標(biāo)明字母）
(2)應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，證明．
題型02 作一個(gè)角等于已知角
1．（2024·北京·中考真題）下面是“作一個(gè)角使其等于”的尺規(guī)作圖方法.
（1）如圖，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，； （2）作射線，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)； （3）過(guò)點(diǎn)作射線，則.
上述方法通過(guò)判定得到，其中判定的依據(jù)是（ ）
A．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等B．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等
C．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
D．兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等
2．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作，使，且射線交于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．
(2)證明（1）中得到的四邊形是菱形
3（2021·山東青島·中考真題）已知：及其一邊上的兩點(diǎn)，．
求作：，使，且點(diǎn)在內(nèi)部，．
題型03 尺規(guī)作角的和、差
1．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知及邊上一點(diǎn)．
(1)用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在射線上求作點(diǎn)，使得；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
(2)在（1）的條件下，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓交射線于點(diǎn)，用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在射線上求作點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到射線的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
(3)在（1）、（2）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．
2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）操作探究題
(1)已知是半圓的直徑，（是正整數(shù)，且不是3的倍數(shù)）是半圓的一個(gè)圓心角．
操作：如圖1，分別將半圓的圓心角（取1、4、5、10）所對(duì)的弧三等分（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
交流：當(dāng)時(shí)，可以僅用圓規(guī)將半圓的圓心角所對(duì)的弧三等分嗎？
探究：你認(rèn)為當(dāng)滿足什么條件時(shí)，就可以僅用圓規(guī)將半圓的圓心角所對(duì)的弧三等分？說(shuō)說(shuō)你的理由．
(2)如圖2，的圓周角．為了將這個(gè)圓的圓周14等分，請(qǐng)作出它的一條14等分弧（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．
題型04 過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線
1．（2024·山東青島·中考真題）已知：如圖，四邊形，E為邊上一點(diǎn)．
求作：四邊形內(nèi)一點(diǎn)P，使，且點(diǎn)P到的距離相等．
2．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，兩點(diǎn)，且直線與坐標(biāo)軸分別交于P，Q兩點(diǎn)．
(1)求m和n的值；
(2)已知點(diǎn)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)M作直線的平行線（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
(3)若（2）中所作的平行線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)N，連接，求四邊形的面積．
題型05 作三角形
1．（2022·廣西貴港·中考真題）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法）：
如圖，已知線段m，n．求作，使．
2．（2023·江蘇南京·中考真題）在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先繞自身的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作，順，；若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作，逆，．
例如：如圖①，先將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)為位似中心縮小到原來(lái)的，得到，這個(gè)變換記作，逆，．
(1)如圖②，經(jīng)過(guò)，順，得到，用尺規(guī)作出．（保留作圖痕跡）
(2)如圖③，經(jīng)過(guò)，逆，得到，經(jīng)過(guò)，順，得到，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．
(3)如圖④， 在 中， 若 經(jīng)過(guò)（2） 中的變換得到的四邊形是正方形．
①用尺規(guī)作出點(diǎn)D（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）；
②直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
題型06 作角平分線
1．（2024·西藏·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)F．已知，，則的長(zhǎng)為 ．
2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，是高，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)E，再分別以B、E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在的內(nèi)部交于點(diǎn)F，作射線，則 ．
3．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，在中，．
(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，在角平分線上確定點(diǎn)，使得；（不寫(xiě)作法，保留痕跡）
(2)在（1）的條件下，若，，，則的長(zhǎng)是多少？（請(qǐng)直接寫(xiě)出的值）
題型07 作垂線
1．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，已知P是外一點(diǎn)．用兩種不同的方法過(guò)點(diǎn)P作的一條切線．要求：
（1）用直尺和圓規(guī)作圖；
（2）保留作圖的痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明．
題型08 作等腰三角形
1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若是等腰三角形．
(1)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)的位置（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．
(2)求的長(zhǎng)．
題型09 畫(huà)圓
1．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過(guò)程：
已知：如圖1，在中，． 求作：的外接圓． 作法：如圖2． （1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)； （2）作直線，交于點(diǎn)O； （3）以O(shè)為圓心，為半徑作，即為所求作的圓．
下列不屬于該尺規(guī)作圖依據(jù)的是（ ）
A．兩點(diǎn)確定一條直線
B．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
C．與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上
D．線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
2．（2024·甘肅·中考真題）馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅(jiān)固，器表細(xì)膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細(xì)致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術(shù)精品，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點(diǎn)定位的方法確定圓周的三等分點(diǎn)，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知和圓上一點(diǎn)M．作法如下：
①以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑，作弧交于A，B兩點(diǎn)；
②延長(zhǎng)交于點(diǎn)C；
即點(diǎn)A，B，C將的圓周三等分．
(1)請(qǐng)你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
(2)根據(jù)（1）畫(huà)出的圖形，連接，，，若的半徑為，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．
3．（2022·甘肅武威·中考真題）中國(guó)清朝末期的幾何作圖教科書(shū)《最新中學(xué)教科書(shū)用器畫(huà)》由國(guó)人自編（圖1），書(shū)中記載了大量幾何作圖題，所有內(nèi)容均用淺近的文言文表述，第一編記載了這樣一道幾何作圖題：
原文 釋義
甲乙丙為定直角． 以乙為圓心，以任何半徑作丁戊弧； 以丁為圓心，以乙丁為半徑畫(huà)弧得交點(diǎn)己； 再以戊為圓心，仍以原半徑畫(huà)弧得交點(diǎn)庚； 乙與己及庚相連作線． 如圖2，為直角． 以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線，分別于點(diǎn)，； 以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與交于點(diǎn)； 再以點(diǎn)為圓心，仍以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與交于點(diǎn)； 作射線，．

(1)根據(jù)以上信息，請(qǐng)你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖2中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
(2)根據(jù)（1）完成的圖，直接寫(xiě)出，，的大小關(guān)系．
題型10 過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線
1．（2023·黑龍江綏化·中考真題）已知：點(diǎn)是外一點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：如圖，過(guò)點(diǎn)作出的兩條切線，，切點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法和證明）
(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)在上（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），且．求的度數(shù)．
2．（2023·北京東城·模擬預(yù)測(cè)）下面是小明設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作這個(gè)圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：及圓上一點(diǎn)．
求作：直線，使得為的切線，為切點(diǎn)．
小明的作法如下：
①連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)；
②分別以點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)（點(diǎn)在直線上方）；
③以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作；
④連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，作直線．則直線就是所求作的直線．
根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，完成下列問(wèn)題：
(1)使用直尺和圓規(guī)，完成作圖；（保留作圖痕跡）；
(2)完成下面的證明．
證明：連接．
點(diǎn)在上，是的直徑．
．（___________）
________．
是的半徑，
是的切線．（___________）
題型11 作正多邊形
1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）根據(jù)背景素材，探索解決問(wèn)題．
平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正六邊形
背景素材 六等分圓原理，也稱為圓周六等分問(wèn)題，是一個(gè)古老而經(jīng)典的幾何問(wèn)題，旨在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個(gè)圓分成六等份的問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題由歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細(xì)闡述．
已知條件 點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸的正半軸上且坐標(biāo)為
操作步驟 ①分別以點(diǎn)，為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)； ②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓； ③以的長(zhǎng)為半徑，在上順次截取； ④順次連接，，，，，得到正六邊形．
問(wèn)題解決
任務(wù)一 根據(jù)以上信息，請(qǐng)你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
任務(wù)二 將正六邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)：______．
2．（2024·上海閔行·二模）滬教版九年級(jí)第二學(xué)期的教材給出了正多邊形的定義：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．同時(shí)還提到了一種用直尺和圓規(guī)作圓的內(nèi)接正六邊形和圓的內(nèi)接正五邊形的方法，但課本上并未證明．我們現(xiàn)開(kāi)展下列探究活動(dòng)．
活動(dòng)一：如圖1，展示了一種用尺規(guī)作的內(nèi)接正六邊形的方法．
①在上任取一點(diǎn)，以為圓心、為半徑作弧，在上截得一點(diǎn)； ②以為圓心，為半徑作弧，在上截得一點(diǎn)；再如此從點(diǎn)逐次截得點(diǎn)、、； ③順次連接、、、、、．
(1)根據(jù)正多邊形的定義，我們只需要證明__________，________
（請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言表示，不需要說(shuō)明理由），就可證明六邊形是正六邊形．
活動(dòng)二：如圖2，展示了一種用尺規(guī)作的內(nèi)接正五邊形的方法．
①作的兩條互相垂直的直徑和； ②取半徑的中點(diǎn)；再以為圓心、為半徑作弧，和半徑相交于點(diǎn)； ③以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧，與相截，得交點(diǎn)． 如此連續(xù)截取3次，依次得分點(diǎn)、、，順次連接、、、、，那么五邊形是正五邊形．
(2)已知的半徑為2，求邊的長(zhǎng)，并證明五邊形是正五邊形．
（參考數(shù)據(jù)：，，，，．）
題型12 格點(diǎn)作圖
1．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形，使其是軸對(duì)稱圖形且點(diǎn)、均在格點(diǎn)上．
(1)在圖①中，四邊形面積為2；
(2)在圖②中，四邊形面積為3；
(3)在圖③中，四邊形面積為4．
2．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為個(gè)單位長(zhǎng)度，線段和線段的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)在方格紙中畫(huà)出，且為鈍角（點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上）；
(2)在方格紙中將線段向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到線段（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)），連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．
3．（2021·湖北荊州·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格圖形中小正方形的邊長(zhǎng)都為1，線段與的端點(diǎn)都在網(wǎng)格小正方形的頂點(diǎn)（稱為格點(diǎn)）上．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖形中畫(huà)圖：
(1)以線段為一邊畫(huà)正方形，再以線段為斜邊畫(huà)等腰直角三角形，其中頂點(diǎn)在正方形外；
(2)在（1）中所畫(huà)圖形基礎(chǔ)上，以點(diǎn)為其中一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)新正方形，使新正方形的面積為正方形和面積之和，其它頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上．
題型13 無(wú)刻度直尺作圖
1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖是的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，半圓上的點(diǎn)均落在格點(diǎn)上．請(qǐng)按下列要求完成作圖：要求一：僅用無(wú)刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作圖痕跡．
(1)在圖中作出弧的中點(diǎn)D．
(2)連結(jié)，作出的角平分線．
(3)在上作出點(diǎn)P，使得．
2．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫(huà)圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫(huà)線不得超過(guò)三條．
(1)在圖（1）中，畫(huà)射線交于點(diǎn)D，使平分的面積；
(2)在（1）的基礎(chǔ)上，在射線上畫(huà)點(diǎn)E，使；
(3)在圖（2）中，先畫(huà)點(diǎn)F，使點(diǎn)A繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C，再畫(huà)射線交于點(diǎn)G；
(4)在（3）的基礎(chǔ)上，將線段繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，畫(huà)對(duì)應(yīng)線段（點(diǎn)A與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)N對(duì)應(yīng)）．
3．（2023·湖北·中考真題）已知正六邊形，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，用虛線表示作圖過(guò)程，實(shí)線表示作圖結(jié)果）．

(1)在圖1中作出以為對(duì)角線的一個(gè)菱形；
(2)在圖2中作出以為邊的一個(gè)菱形．
題型14 最短路徑問(wèn)題
1．（2020·江蘇南京·中考真題）如圖①，要在一條筆直的路邊上建一個(gè)燃?xì)庹荆蛲瑐?cè)的A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)分別發(fā)鋪設(shè)管道輸送燃?xì)猓嚧_定燃?xì)庹镜奈恢茫逛佋O(shè)管道的路線最短．
（1）如圖②，作出點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，線與直線的交點(diǎn)C的位置即為所求， 即在點(diǎn)C處建氣站， 所得路線ACB是最短的，為了讓明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在直線上另外任取一點(diǎn)，連接，， 證明， 請(qǐng)完成這個(gè)證明．
（2）如果在A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^(guò)該區(qū)域請(qǐng)分別始出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說(shuō)明理由），
①生市保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示
②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示．
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐
【提出問(wèn)題】唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——將軍飲馬問(wèn)題．如圖，將軍從山腳下的點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)河岸點(diǎn)飲馬后再回到點(diǎn)宿營(yíng)，請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總路程最短？
【分析問(wèn)題】
如圖，取點(diǎn)關(guān)于河岸線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)為飲馬的地方，，此時(shí)所走的路程就是最短的．
【解決問(wèn)題】
（）當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)路程最短的依據(jù)是 ；
【遷移應(yīng)用】
（）如圖，兩個(gè)村莊在河岸 的同側(cè)，兩村到河岸的距離分別為千米，千米，(千米，現(xiàn)要在河岸上建一水廠，從處向鋪設(shè)管道以輸送自來(lái)水，使得鋪設(shè)所需的管道長(zhǎng)度和最少．
①請(qǐng)?jiān)诤影渡献鞒鏊畯S的位置，并寫(xiě)出作圖過(guò)程；
②若鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為元/千米，求出鋪設(shè)水管最節(jié)省的總費(fèi)用．
命題點(diǎn)二 定義、命題、定理
題型01 判斷是否是命題
1．（2020·四川雅安·中考真題）下列四個(gè)選項(xiàng)中不是命題的是（ ）
A．對(duì)頂角相等
B．過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的平行線
C．三角形任意兩邊之和大于第三邊
D．如果，那么
2．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）下列語(yǔ)句中，不是命題的是（ ）
A．如果，那么 B．對(duì)頂角相等
C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線
3．（2023·廣東揭陽(yáng)·二模）下列句子中哪一個(gè)是命題（ ）
A．你的作業(yè)完成了嗎？ B．美麗的天空．
C．猴子是動(dòng)物． D．過(guò)直線l外一點(diǎn)作l的平行線．
題型02 判定命題的真假
1．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）命題“若，則”是 命題．（填“真”或“假”）
2．（2024·湖南·中考真題）下列命題中，正確的是（ ）
A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．菱形的對(duì)角線相等
C．正五邊形的外角和為 D．直角三角形是軸對(duì)稱圖形
3．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）下列命題：
①；
②；
③圓周角等于圓心角的一半；
④將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲一次時(shí)，正面朝上是必然事件；
⑤在一組數(shù)據(jù)中，如果每個(gè)數(shù)據(jù)都增加4，那么方差也增加4．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
題型03 寫(xiě)成命題的逆命題
1．（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）請(qǐng)寫(xiě)出命題“如果，那么”的逆命題： ．
2．（2022·浙江湖州·中考真題）“如果，那么”的逆命題是 ．
3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）《原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的著作，它以公理和原名為基礎(chǔ)推演出更多的結(jié)論，是流傳最廣、影響最大的一部世界數(shù)學(xué)名著．請(qǐng)寫(xiě)出命題“如果，那么”的逆命題： ．
題型04 反證法
1．（2023·湖南·中考真題）我們可以用以下推理來(lái)證明“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于”．假設(shè)三角形沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于，即三個(gè)內(nèi)角都大于．則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個(gè)定理矛盾．所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于．上述推理使用的證明方法是（ ）
A．反證法 B．比較法 C．綜合法 D．分析法
2．（2024·山西長(zhǎng)治·三模）請(qǐng)閱讀以下關(guān)于“圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”的證明過(guò)程．
已知：直線與相切于點(diǎn)．
求證：與直線垂直．
證明：如圖，假設(shè)與直線不垂直，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)．
∴，即圓心到直線的距離小于的半徑．
∴直線與相交．
這與已知“直線與相切”相矛盾．
∴假設(shè)不成立．
∴與直線垂直．
這種證明方法為（　　）
A．綜合法 B．歸納法 C．枚舉法 D．反證法
3．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于”第一步應(yīng)假設(shè)直角三角形中 ．第七章 圖形的變化
第30講 尺規(guī)作圖與定義，命題，定理
（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)18種題型）
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn)一 尺規(guī)作圖
考點(diǎn)二 定義、命題、定理
04題型精研·考向洞悉
命題點(diǎn)一 尺規(guī)作圖
題型01 作線段
題型02 作一個(gè)角等于已知角
題型03 尺規(guī)作角的和、差
題型04 過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線
題型05 作三角形
題型06 作角平分線
題型07 作垂線
題型08 作等腰三角形
題型09 畫(huà)圓
題型10 過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線
題型11 作正多邊形
題型12 格點(diǎn)作圖
題型13 無(wú)刻度直尺作圖
題型14 最短路徑問(wèn)題
命題點(diǎn)二 定義、命題、定理
題型01 判斷是否是命題
題型02 判定命題的真假
題型03 寫(xiě)成命題的逆命題
題型04 反證法
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
中考考點(diǎn) 考查頻率 新課標(biāo)要求
尺規(guī)作圖 ★★ 能用尺規(guī)作圖
定義、命題、定理 ★ 通過(guò)具體實(shí)例，了解定義、命題、定理、推論的意義. 結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念.會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.
【命題預(yù)測(cè)】本考點(diǎn)內(nèi)容以考查尺規(guī)作圖和真假命題為主，年年考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為6分左右．預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn). 中考對(duì)尺規(guī)作圖的考查涉及多種形式，不再是單一的對(duì)作圖技法操作進(jìn)行考查，而是把作圖與計(jì)算、證明、分析、判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)有效融合，既體現(xiàn)了動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，也考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思考解決問(wèn)題的能力，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握．
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn)一 尺規(guī)作圖
定義：最基本、最常用的尺規(guī)作圖，通常稱作基本作圖,
五種基本作圖：
1）作一條線段等于已知線段
已知 線段 a
求作 線段0A，使OA等于a
作法 1）任作一條射線OP； 2）以點(diǎn)0為圓心，a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交0P于點(diǎn)A，則線段OA 即為所求
依據(jù) 圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.
2）作一個(gè)角等于已知角
已知 ∠AOB
求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB
作法 1）作射線O'A'； 2）以點(diǎn)0為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交0A于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn) D； 3）以點(diǎn)0'為圓心，0C的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O'A'于點(diǎn)E； 4）以點(diǎn)E為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于點(diǎn)F； 5）經(jīng)過(guò)點(diǎn)F作射線O'B',ㄥA'0'B'即為所求.
依據(jù) 1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等； 2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等； 3）兩點(diǎn)確定一條直線.
3）作已知角的角平分線
已知 ∠AOB
求作 射線OP，使∠AOP=∠BOP
作法 1）以點(diǎn)0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交0A于點(diǎn)M，交0B于點(diǎn)N； 2）分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)P； 3）作射線OP，射線OP即為所求.
依據(jù) 1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等； 2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等； 3）兩點(diǎn)確定一條直線.
4）過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線
已知 直線AB和AB上的一點(diǎn)M
求作 AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)M
作法 作平角ㄥACB的平分線MF.直線MF就是所求作的垂線.
已知 直線AB和AB外一點(diǎn)M
求作 AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)M
作法 1）任意取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P和點(diǎn)M在AB的兩旁； 2）以點(diǎn)M為圓心，MP的長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)C和點(diǎn)D； 3）分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E； 4）作直線EM，直線EM就是所求作的垂線.
依據(jù) 1）等腰三角形“三線合一”；
2）兩點(diǎn)確定一條直線.
5）作線段的垂直平分線
已知 線段AB
求作 線段AB的垂直平分線
作法 1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N； 2）作直線MN，直線MN就是線段AB的垂直平分線.
依據(jù) 1）到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上； 2）兩點(diǎn)確定一條直線.
尺規(guī)作圖的關(guān)鍵:
1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；
2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問(wèn)題；
3)切記作圖中一定要保留作圖痕跡；
4）無(wú)刻度直尺作圖通常會(huì)與等腰三角形的判定，三角形中位線定理，矩形的性質(zhì)和勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
1．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)．按下列要求作圖：
①以點(diǎn)為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段于點(diǎn)，交于點(diǎn)；
②以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段于點(diǎn)；
③以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前一條弧于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)在直線同側(cè)；
④作直線，交于點(diǎn)．下列結(jié)論不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了作一個(gè)角等于已知角，平行線的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，先根據(jù)作圖得出，根據(jù)平行線的判定得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線分線段成比例得出，即可得出．
【詳解】解：A．根據(jù)作圖可知：一定成立，故A不符合題意；
B．∵，
∴，
∴一定成立，故B不符合題意；
C．∵是邊的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴一定成立，故C不符合題意；
D．不一定成立，故D符合題意．
2．（2024·四川·中考真題）如圖，在中，，，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)D，E；②分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)F，作射線交于點(diǎn)G．則的大小為 度．
【答案】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的尺規(guī)作法，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的尺規(guī)作法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，，由等邊對(duì)等角，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可得，由尺規(guī)作圖過(guò)程可知為的角平分線，由此可得．
【詳解】解： ，，
，
根據(jù)尺規(guī)作圖過(guò)程，可知為的角平分線，
，
故，
故答案為：．
3．（2024·山東德州·中考真題）已知，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，用尺規(guī)作圖，過(guò)點(diǎn)P作的平行線．下列作圖痕跡不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖．作一個(gè)角等于已知角，作一個(gè)角的平分線，平分線的判定，菱形的判定和性質(zhì)，據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：A、由作圖知，是的平分線，且，
∴，，
∴，
∴，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、由作圖知，是的平分線，且，
∴，，不能說(shuō)明與相等，
∴與不平行，故本選項(xiàng)符合題意；
C、由作圖知，，
∴四邊形是菱形，
∴，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、由作圖知，，
∴，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
4．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，．
(1)尺規(guī)作圖：作邊上的中線（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
(2)在（1）所作的圖中，將中線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求證：四邊形是矩形．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；
（1）作出線段的垂直平分線EF，交于點(diǎn)O，連接，則線段即為所求；
（2）先證明四邊形為平行四邊形，再結(jié)合矩形的判定可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求；
（2）證明：如圖，
∵由作圖可得：，由旋轉(zhuǎn)可得：，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形．
考點(diǎn)二 定義、命題、定理
1. 命題
定義：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題.
組成：命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．
表達(dá)形式：可以寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論．
2.真命題、假命題
內(nèi)容 舉例 注意
真命題 如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題，叫做真命題 對(duì)頂角不相等 說(shuō)明一個(gè)命題是真命題，需從已知出發(fā),經(jīng)過(guò)一步步推理，最后得出正確結(jié)論
假命題 命題中題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題 相等的角是對(duì)頂角 判定一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子(反例)，使它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論即可
3.逆命題
逆命題：把原命題的結(jié)論作為命題的題設(shè)，把原命題的題設(shè)作為命題的結(jié)論，所組成的命題叫做原命題的逆命題.
互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫做它的逆命題．
4.公理、定理
公理：如果一個(gè)命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理.如：兩點(diǎn)之間線段最短.
定理：如果一個(gè)命題可以從公理或其他命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做定理．
5.互逆定理
互逆定理：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理．
6.反證法
定義：先假設(shè)原命題的結(jié)論不正確，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推理論證，最后得出與學(xué)過(guò)的概念、基本事實(shí)、已證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果，這種證明的方法叫做反證法.
反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論的反面正確；②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，推出與公理、定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)論；③說(shuō)明假設(shè)不成立，從而得出原命題正確．
1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）請(qǐng)寫(xiě)出定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理 ．
【答案】同位角相等，兩直線平行
【分析】本題考查了逆定理的改寫(xiě)，根據(jù)題意，將題設(shè)與結(jié)論交換位置即可．
【詳解】解：定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，兩直線平行，
故答案為：同位角相等，兩直線平行 ．
2．（2024·山東濰坊·中考真題）下列命題是真命題的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．兩個(gè)有理數(shù)的積仍為有理數(shù)
D．兩個(gè)無(wú)理數(shù)的積仍為無(wú)理數(shù)
【答案】AC
【分析】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了等式及不等式的性質(zhì)、無(wú)理數(shù)及有理數(shù)的積．利用等式及不等式的性質(zhì)、無(wú)理數(shù)及有理數(shù)的積分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【詳解】
解：A、由等式的性質(zhì)可得，若，則，原命題為真命題；
B、由不等式的性質(zhì)可得，若，且，則，原命題為假命題；
C、兩個(gè)有理數(shù)的積仍為有理數(shù)，原命題為真命題；
D、兩個(gè)無(wú)理數(shù)的積不一定為無(wú)理數(shù)，比如，原命題為假命題．
故選：AC．
3．（2022·上海·中考真題）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題
【答案】A
【分析】根據(jù)命題的定義和定理及其逆定理之間的關(guān)系，分別舉出反例，再進(jìn)行判斷，即可得出答案．
【詳解】解：A、命題一定有逆命題，故此選項(xiàng)符合題意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形對(duì)應(yīng)角相等沒(méi)有逆定理，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、真命題的逆命題不一定是真命題，如：對(duì)頂角相等的逆命題是：相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角，它是假命題而不是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、假命題的逆命題定不一定是假命題，如：相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角的逆命題是：對(duì)頂角相等，它是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理，掌握好命題的真假及互逆命題的概念是解題的關(guān)鍵．把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，所有的命題都有逆命題；正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題．
4．（2022·黑龍江綏化·中考真題）下列命題中是假命題的是（ ）
A．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半
B．如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角一定相等
C．從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角
D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
【答案】B
【分析】利用三角形的中位線定理、鄰補(bǔ)角性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【詳解】解：A. 三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；
B. 如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角不一定相等，故此選項(xiàng)是假命題，符合題意；
C. 從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角，是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；
D. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：B
【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解三角形的中位線定理、鄰補(bǔ)角性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．
04題型精研·考向洞悉
命題點(diǎn)一 尺規(guī)作圖
題型01 作線段
1．（2023·山西太原·模擬預(yù)測(cè)）已知線段、、．

(1)用直尺和圓規(guī)作出一條線段，使它等于．（保留作圖痕跡，檢查無(wú)誤后用水筆描黑，包括痕跡）
(2)若，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）作射線，在射線上順次截取，在線段上截取，則線段即為所求；
（2）由（1）中結(jié)論及已知條件，求得的長(zhǎng)，再利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)即可解得的長(zhǎng)．
【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求：

（2）如圖，
，，，
點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
即的長(zhǎng)．
【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖、線段的和差、線段的中點(diǎn)等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線分別交于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【分析】本題考查了，作圖等長(zhǎng)線段，作圖垂直平分線，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：由作圖方法得到等量關(guān)系式．根據(jù)取等長(zhǎng)線段的做法，垂直平分線的做法，得到，，即可求出，在中，由勾股定理即可求解．
【詳解】解：根據(jù)作圖可得：，為的垂直平分線，
，
，
，
，
，
故選：B．
3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等邊中，為邊上的高．
(1)實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)，以為邊在下方作等邊，延長(zhǎng)交于點(diǎn)；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡、不寫(xiě)作法，標(biāo)明字母）
(2)應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，證明．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】本題考查了作線段，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握作線段，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）如圖，分別以為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交點(diǎn)為，連接，則等邊即為所作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所作；
（2）證明，進(jìn)而可證．
【詳解】（1）解：如圖，分別以為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交點(diǎn)為，連接，則，等邊即為所作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所作；
（2）證明：∵為等邊三角形，為邊上的高，
∴，
∵等邊，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
題型02 作一個(gè)角等于已知角
1．（2024·北京·中考真題）下面是“作一個(gè)角使其等于”的尺規(guī)作圖方法.
（1）如圖，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，； （2）作射線，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)； （3）過(guò)點(diǎn)作射線，則.
上述方法通過(guò)判定得到，其中判定的依據(jù)是（ ）
A．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
B．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等
C．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
D．兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等
【答案】A
【分析】根據(jù)基本作圖中，判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，解答即可.
本題考查了作一個(gè)角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據(jù)是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解：根據(jù)上述基本作圖，可得，
故可得判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，
故選A.
2．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作，使，且射線交于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．
(2)證明（1）中得到的四邊形是菱形
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：
（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；
（2）先證明四邊形是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，最后根據(jù)菱形的判定即可得證．
【詳解】（1）解：如圖，
；
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵在中，是斜邊上的中線，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
3（2021·山東青島·中考真題）已知：及其一邊上的兩點(diǎn)，．
求作：，使，且點(diǎn)在內(nèi)部，．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】先在∠O的內(nèi)部作∠DAB=∠O，再過(guò)B點(diǎn)作AD的垂線，垂足為C點(diǎn)．
【詳解】解：如圖，Rt△ABC為所作．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
題型03 尺規(guī)作角的和、差
1．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知及邊上一點(diǎn)．
(1)用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在射線上求作點(diǎn)，使得；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
(2)在（1）的條件下，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓交射線于點(diǎn)，用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在射線上求作點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到射線的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
(3)在（1）、（2）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)作圖見(jiàn)詳解
(2)作圖見(jiàn)詳解
(3)
【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角等于已知角的方法即可求解；
（2）根據(jù)尺規(guī)作圓，作垂線的方法即可求解；
（3）根據(jù)作圖可得是直徑，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可得的值，根據(jù)勾股定理可求出的值，在直角中運(yùn)用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，
∴；
點(diǎn)O即為所求
（2）解：如圖所示，
連接，以點(diǎn)為圓心，以為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，以大于為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
∵是直徑，
∴，即，
根據(jù)作圖可得，
∴，即，是點(diǎn)到的距離，
∵，
∴，
∴，
點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置；
（3）解：如圖所示，
根據(jù)作圖可得，，連接，
∴在中，，
∴，
∴，
∵是直徑，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴在中，，
解得，（負(fù)值舍去），
∴，
在中，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作角等于已知角，尺規(guī)作垂線，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)的綜合，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）操作探究題
(1)已知是半圓的直徑，（是正整數(shù)，且不是3的倍數(shù)）是半圓的一個(gè)圓心角．
操作：如圖1，分別將半圓的圓心角（取1、4、5、10）所對(duì)的弧三等分（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
交流：當(dāng)時(shí)，可以僅用圓規(guī)將半圓的圓心角所對(duì)的弧三等分嗎？
探究：你認(rèn)為當(dāng)滿足什么條件時(shí)，就可以僅用圓規(guī)將半圓的圓心角所對(duì)的弧三等分？說(shuō)說(shuō)你的理由．
(2)如圖2，的圓周角．為了將這個(gè)圓的圓周14等分，請(qǐng)作出它的一條14等分弧（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；交流：，或；
探究：正整數(shù)（不是3的倍數(shù)），理由見(jiàn)解析
(2)作圖見(jiàn)解析
【分析】（1）由操作可知，如果可以用與的線性表示，那么該圓弧就可以被三等分
（2）將圓周14等分就是把所對(duì)的圓周角所對(duì)弧三等分即可,給出一種算法：
【詳解】（1）
操作：
交流：，或；
探究：設(shè)，解得（為非負(fù)整數(shù)）．
或設(shè)，解得（為正整數(shù)）．
所以對(duì)于正整數(shù)（不是3的倍數(shù)），都可以僅用圓規(guī)將半圓的圓心角所對(duì)的弧三等分；
（2）
【點(diǎn)睛】本題考查了用圓規(guī)作圖的基本技能，需要準(zhǔn)確理解題意，對(duì)于復(fù)雜圖形的作圖要學(xué)會(huì)將其轉(zhuǎn)化成基本圖形去作，本題第二問(wèn)利用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為第一問(wèn)的思路從而得以解決，這也是本題求解的關(guān)鍵．
題型04 過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線
1．（2024·山東青島·中考真題）已知：如圖，四邊形，E為邊上一點(diǎn)．
求作：四邊形內(nèi)一點(diǎn)P，使，且點(diǎn)P到的距離相等．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握作角平分線和作一個(gè)角等于已知角的尺規(guī)作圖方法．作的平分線，以E為頂點(diǎn)，為一邊作，交于P，點(diǎn)P即為所求．
【詳解】解：作的平分線，以E為頂點(diǎn)，為一邊作，交于P，如圖，點(diǎn)P即為所求．
2．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，兩點(diǎn)，且直線與坐標(biāo)軸分別交于P，Q兩點(diǎn)．
(1)求m和n的值；
(2)已知點(diǎn)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)M作直線的平行線（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
(3)若（2）中所作的平行線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)N，連接，求四邊形的面積．
【答案】(1)，
(2)見(jiàn)解析
(3)8
【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，尺規(guī)作圖：
（1）將代入可得n的值，將代入可得m的值；
（2）以M為頂點(diǎn)，y軸為角的一邊，作一個(gè)角等于即可；
（3）先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得為腰長(zhǎng)是2的等腰直角三角形，再根據(jù)即可求解．
【詳解】（1）解：一次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入解得，
∵在反比例函數(shù)的圖象上，
∴；
（2）解：所作平行線如圖所示：
（3）解：由（1）知反比例函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
則交坐標(biāo)軸于，，
∴，，
∴，
∴為腰長(zhǎng)是2的等腰直角三角形，
∴．
題型05 作三角形
1．（2022·廣西貴港·中考真題）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法）：
如圖，已知線段m，n．求作，使．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】作直線l及l(fā)上一點(diǎn)A；過(guò)點(diǎn)A作l的垂線；在l上截取；作；即可得到．
【詳解】解：如圖所示：為所求．
注：（1）作直線l及l(fā)上一點(diǎn)A；
（2）過(guò)點(diǎn)A作l的垂線；
（3）在l上截取；
（4）作．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．
2．（2023·江蘇南京·中考真題）在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先繞自身的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作，順，；若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作，逆，．
例如：如圖①，先將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)為位似中心縮小到原來(lái)的，得到，這個(gè)變換記作，逆，．
(1)如圖②，經(jīng)過(guò)，順，得到，用尺規(guī)作出．（保留作圖痕跡）
(2)如圖③，經(jīng)過(guò)，逆，得到，經(jīng)過(guò)，順，得到，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．
(3)如圖④， 在 中， 若 經(jīng)過(guò)（2） 中的變換得到的四邊形是正方形．
①用尺規(guī)作出點(diǎn)D（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）；
②直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)①見(jiàn)解析；②
【分析】（1）旋轉(zhuǎn)，可作等邊三角形，，從而得出點(diǎn)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，進(jìn)而作出圖形；
（2）根據(jù)和位似，與位似得出，，，進(jìn)而推出，從而，進(jìn)而得出，同理可得：，從而推出四邊形是平行四邊形；
（3）要使是正方形，應(yīng)使，，從而得出，從而得出，從而，于是作等邊，保證，作直徑，保證，這樣得出作法．
【詳解】（1）解：如圖1，
1．以為圓心，為半徑畫(huà)弧，以為圓心，為半徑畫(huà)弧，兩弧在的上方交于點(diǎn)，分別以，為圓心，以為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，
2．延長(zhǎng)至，使，延長(zhǎng)至，使，連接，
則就是求作的三角形；
（2）證明：和位似，與位似，
，，，
，
，
，
，
，
同理可得：，
四邊形是平行四邊形；
（3）解：如圖2，
1．以為邊在上方作等邊三角形，
2．作等邊三角形的外接圓，作直徑，連接，
3．作，，延長(zhǎng)，交于，連接，，
則四邊形是正方形，
證明：由上知：，，
，，，，
，
要使是正方形，應(yīng)使，，
，，
，
，
，
作等邊，保證，作直徑，保證，這樣得出作法；
，，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，確定圓的條件，尺規(guī)作圖等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是較強(qiáng)的分析能力．
題型06 作角平分線
1．（2024·西藏·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)F．已知，，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】本題考查了作圖基本作圖：作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．根據(jù)基本作圖可判斷平分，過(guò)F作于G，再利用角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出，證明，得出，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得出，求出，根據(jù)勾股定理求出．
【詳解】解：過(guò)F作于G，
由作圖得：平分，，，
∴，
在中根據(jù)勾股定理得：，
，，
，
，
設(shè)，則，，
在中，根據(jù)勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
在中根據(jù)勾股定理得：．
故答案為：．
2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，是高，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)E，再分別以B、E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在的內(nèi)部交于點(diǎn)F，作射線，則 ．
【答案】/10度
【分析】本題主要考查角平分線的作法及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得出平分，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以，
根據(jù)題意得：平分，
所以，
因?yàn)闉楦撸?br/>所以，
所以,
所以，
故答案為：．
3．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，在中，．
(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，在角平分線上確定點(diǎn)，使得；（不寫(xiě)作法，保留痕跡）
(2)在（1）的條件下，若，，，則的長(zhǎng)是多少？（請(qǐng)直接寫(xiě)出的值）
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)
【分析】（1）作的角平分線和線段的垂直平分線相交于點(diǎn)D，即為所求．
（2）過(guò)點(diǎn)D作交與點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作交與點(diǎn)F，先利用角平分線的性質(zhì)定理證明四邊形為正方形，設(shè)，則，，以為等量關(guān)系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出．
【詳解】（1）解：如下圖：即為所求．
（2）過(guò)點(diǎn)D作交與點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作交與點(diǎn)F，
則，
又∵
∴四邊形為矩形，
∵是的平分線，
∴，
∴四邊形為正方形，
∴，
設(shè)，
∴，，
在中，，
在中，，
∵
∴
∴
解得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了作角平分線以及垂直平分線，角平分線的性質(zhì)定理，正方形的判定以及勾股定理的應(yīng)用，作出圖形以及輔助線是解題的關(guān)鍵．
題型07 作垂線
1．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，已知P是外一點(diǎn)．用兩種不同的方法過(guò)點(diǎn)P作的一條切線．要求：
（1）用直尺和圓規(guī)作圖；
（2）保留作圖的痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明．
【答案】答案見(jiàn)解析．
【分析】方法一：作出OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)A，再以點(diǎn)A為圓心，PA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，PQ即為所求．
方法二：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一作的切線，作射線，交于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作,以為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，連接,交于點(diǎn)，則是等腰三角形，，則，即為所求．
【詳解】
解：
作法：連結(jié)PO，分別以P、O為圓心，大于PO的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交于兩點(diǎn)，連結(jié)兩點(diǎn)交PO于點(diǎn)A；以點(diǎn)A為圓心，PA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，PQ即為所求．
作法：作射線，交于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作,以為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，連接,交于點(diǎn)，則是等腰三角形，，則，即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖，涉及垂直平分線的作法，角平分線的作法，等腰三角形的作法，圓的作法等知識(shí)點(diǎn)．復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖．解題的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合基本幾何圖形的性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
題型08 作等腰三角形
1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若是等腰三角形．
(1)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)的位置（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．
(2)求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)或4或1或9
【分析】（1）分三種情形：，，，以頂角的點(diǎn)為圓心，腰長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，依次畫(huà)出圖形即可；
（2）分三種情形求出的長(zhǎng)即可．
本題考查作圖復(fù)雜作圖，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的射線解決問(wèn)題．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的位置如圖1所示；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的位置如圖2所示；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的位置如圖3所示；
（2）解：如圖2中，當(dāng)時(shí)，；
如圖1中，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則有，
解得，
；
如圖3中，當(dāng)時(shí)，，
或．
綜上所述，的長(zhǎng)為4或或1或9．
題型09 畫(huà)圓
1．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過(guò)程：
已知：如圖1，在中，． 求作：的外接圓． 作法：如圖2． （1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)； （2）作直線，交于點(diǎn)O； （3）以O(shè)為圓心，為半徑作，即為所求作的圓．
下列不屬于該尺規(guī)作圖依據(jù)的是（ ）
A．兩點(diǎn)確定一條直線
B．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
C．與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上
D．線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
【答案】D
【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明：即可．
【詳解】解：作直線（兩點(diǎn)確定一條直線），
連接，

∵由作圖，，
∴且（與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）．
∵，
∴（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），
∴，
∴A，B，C三點(diǎn)在以O(shè)為圓心，為直徑的圓上．
∴為的外接圓．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的定義，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
2．（2024·甘肅·中考真題）馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅(jiān)固，器表細(xì)膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細(xì)致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術(shù)精品，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點(diǎn)定位的方法確定圓周的三等分點(diǎn)，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知和圓上一點(diǎn)M．作法如下：
①以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑，作弧交于A，B兩點(diǎn)；
②延長(zhǎng)交于點(diǎn)C；
即點(diǎn)A，B，C將的圓周三等分．
(1)請(qǐng)你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
(2)根據(jù)（1）畫(huà)出的圖形，連接，，，若的半徑為，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的基本步驟解答即可；
（2）連接，設(shè)的交點(diǎn)為D，得到，根據(jù)的半徑為，是直徑，是等邊三角形，計(jì)算即可．
本題考查了尺規(guī)作圖，圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）根據(jù)基本作圖的步驟，作圖如下：
則點(diǎn)A，B，C是求作的的圓周三等分點(diǎn)．
（2）連接，設(shè)的交點(diǎn)為D，
根據(jù)垂徑定理得到，
∵的半徑為，是直徑，是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴的周長(zhǎng)為，
故答案為：．
3．（2022·甘肅武威·中考真題）中國(guó)清朝末期的幾何作圖教科書(shū)《最新中學(xué)教科書(shū)用器畫(huà)》由國(guó)人自編（圖1），書(shū)中記載了大量幾何作圖題，所有內(nèi)容均用淺近的文言文表述，第一編記載了這樣一道幾何作圖題：
原文 釋義
甲乙丙為定直角． 以乙為圓心，以任何半徑作丁戊弧； 以丁為圓心，以乙丁為半徑畫(huà)弧得交點(diǎn)己； 再以戊為圓心，仍以原半徑畫(huà)弧得交點(diǎn)庚； 乙與己及庚相連作線． 如圖2，為直角． 以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線，分別于點(diǎn)，； 以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與交于點(diǎn)； 再以點(diǎn)為圓心，仍以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與交于點(diǎn)； 作射線，．

(1)根據(jù)以上信息，請(qǐng)你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖2中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
(2)根據(jù)（1）完成的圖，直接寫(xiě)出，，的大小關(guān)系．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；
（2）連接DF，EG，可得 和均為等邊三角形，，進(jìn)而可得．
【詳解】（1）解：（1）如圖：

（2）．
理由：連接DF，EG如圖所示

則BD=BF=DF，BE=BG=EG
即和均為等邊三角形
∴
∵
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，根據(jù)題意正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．
題型10 過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線
1．（2023·黑龍江綏化·中考真題）已知：點(diǎn)是外一點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：如圖，過(guò)點(diǎn)作出的兩條切線，，切點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法和證明）
(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)在上（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），且．求的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)或
【分析】（1）①連接，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，兩圓交于點(diǎn)兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，②以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓，與交于兩點(diǎn)，作直線，
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，

①連接，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，
②以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓，與交于兩點(diǎn)，作直線，
則直線即為所求；
（2）如圖所示，點(diǎn)在上（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），且，
∵是的切線，
∴，
∴，
當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)，，
∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·北京東城·模擬預(yù)測(cè)）下面是小明設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作這個(gè)圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：及圓上一點(diǎn)．
求作：直線，使得為的切線，為切點(diǎn)．
小明的作法如下：
①連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)；
②分別以點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)（點(diǎn)在直線上方）；
③以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作；
④連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，作直線．則直線就是所求作的直線．
根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，完成下列問(wèn)題：
(1)使用直尺和圓規(guī)，完成作圖；（保留作圖痕跡）；
(2)完成下面的證明．
證明：連接．
點(diǎn)在上，是的直徑．
．（___________）
________．
是的半徑，
是的切線．（___________）
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)，，直徑所對(duì)的圓周角是，，過(guò)半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線
【分析】本題考查了作圖的證明，掌握?qǐng)A的切線的判定是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)上述描述的過(guò)程作圖，即可作答．
（2）根據(jù)題中的過(guò)程，結(jié)合圖形進(jìn)行合情推理．
【詳解】（1）解：如圖所示：
（2）證明：如圖：連接，
點(diǎn)在上，是的直徑．
（直徑所對(duì)的圓周角是，
，
是的半徑，
是的切線，（過(guò)半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線），
故答案為：，，直徑所對(duì)的圓周角是，，過(guò)半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線．
題型11 作正多邊形
1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）根據(jù)背景素材，探索解決問(wèn)題．
平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正六邊形
背景素材 六等分圓原理，也稱為圓周六等分問(wèn)題，是一個(gè)古老而經(jīng)典的幾何問(wèn)題，旨在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個(gè)圓分成六等份的問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題由歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細(xì)闡述．
已知條件 點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸的正半軸上且坐標(biāo)為
操作步驟 ①分別以點(diǎn)，為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)； ②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓； ③以的長(zhǎng)為半徑，在上順次截取； ④順次連接，，，，，得到正六邊形．
問(wèn)題解決
任務(wù)一 根據(jù)以上信息，請(qǐng)你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
任務(wù)二 將正六邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)：______．
【答案】任務(wù)一：見(jiàn)解析；任務(wù)二：
【分析】本題考查尺規(guī)作圖，弧、弦、圓心角的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
任務(wù)一：根據(jù)操作步驟作出，再根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系，分別作出，即得出，最后順次連接即可；
任務(wù)二：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，即得出，即此時(shí)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)為．
【詳解】解：任務(wù)一：如圖，正六邊形即為所作；
任務(wù)二：如圖，
由旋轉(zhuǎn)可知，
∴，
∴．
故答案為：．
2．（2024·上海閔行·二模）滬教版九年級(jí)第二學(xué)期的教材給出了正多邊形的定義：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．同時(shí)還提到了一種用直尺和圓規(guī)作圓的內(nèi)接正六邊形和圓的內(nèi)接正五邊形的方法，但課本上并未證明．我們現(xiàn)開(kāi)展下列探究活動(dòng)．
活動(dòng)一：如圖1，展示了一種用尺規(guī)作的內(nèi)接正六邊形的方法．
①在上任取一點(diǎn)，以為圓心、為半徑作弧，在上截得一點(diǎn)； ②以為圓心，為半徑作弧，在上截得一點(diǎn)；再如此從點(diǎn)逐次截得點(diǎn)、、； ③順次連接、、、、、．
(1)根據(jù)正多邊形的定義，我們只需要證明__________，________
（請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言表示，不需要說(shuō)明理由），就可證明六邊形是正六邊形．
活動(dòng)二：如圖2，展示了一種用尺規(guī)作的內(nèi)接正五邊形的方法．
①作的兩條互相垂直的直徑和； ②取半徑的中點(diǎn)；再以為圓心、為半徑作弧，和半徑相交于點(diǎn)； ③以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧，與相截，得交點(diǎn)． 如此連續(xù)截取3次，依次得分點(diǎn)、、，順次連接、、、、，那么五邊形是正五邊形．
(2)已知的半徑為2，求邊的長(zhǎng)，并證明五邊形是正五邊形．
（參考數(shù)據(jù)：，，，，．）
【答案】(1)，
(2)，證明五邊形是正五邊形見(jiàn)詳解
【分析】（1）各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形，據(jù)此即可獲得答案；
（2）首先結(jié)合題意并根據(jù)勾股定理解得，進(jìn)而可得，易得，再在中，由勾股定理解得，即可確定的值；連接，，，，，結(jié)合為直徑易得，利用三角函數(shù)可得，由圓周角定理可得，進(jìn)而可得，然后利用全等三角形的性質(zhì)可證明，，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：根據(jù)正多邊形的定義，我們只需要證明，，就可證明六邊形是正六邊形．
故答案為：，；
（2）解：根據(jù)題意，可得，，
∵點(diǎn)為半徑的中點(diǎn)，
∴，
∴在中，，
∵以為圓心、為半徑作弧，和半徑相交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴在中，，
∵以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧，與相截，得交點(diǎn)，
∴；
如下圖，連接，，，，，
∵為直徑，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴五邊形是正五邊形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖、多邊形的定義和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形等知識(shí)，正確理解題意，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
題型12 格點(diǎn)作圖
1．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形，使其是軸對(duì)稱圖形且點(diǎn)、均在格點(diǎn)上．
(1)在圖①中，四邊形面積為2；
(2)在圖②中，四邊形面積為3；
(3)在圖③中，四邊形面積為4．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【分析】本題考查網(wǎng)格作圖、設(shè)計(jì)圖案、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作圖是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作出面積為2四邊形即可．
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作出面積為3四邊形即可．
（3）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作出面積為4四邊形即可．
【詳解】（1）解：如圖①：四邊形即為所求；
（不唯一）．
（2）解：如圖②：四邊形即為所求；
（不唯一）．
（3）解：如圖③：四邊形即為所求；
（不唯一）．
2．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為個(gè)單位長(zhǎng)度，線段和線段的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)在方格紙中畫(huà)出，且為鈍角（點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上）；
(2)在方格紙中將線段向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到線段（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)），連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析
(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析，
【分析】（1）找到的格點(diǎn)的，使得 ，且，連接，則即為所求；
（2）根據(jù)平移畫(huà)出，連接，勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：如圖所示，，即為所求；
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移作圖，勾股定理與網(wǎng)格，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·湖北荊州·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格圖形中小正方形的邊長(zhǎng)都為1，線段與的端點(diǎn)都在網(wǎng)格小正方形的頂點(diǎn)（稱為格點(diǎn)）上．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖形中畫(huà)圖：
(1)以線段為一邊畫(huà)正方形，再以線段為斜邊畫(huà)等腰直角三角形，其中頂點(diǎn)在正方形外；
(2)在（1）中所畫(huà)圖形基礎(chǔ)上，以點(diǎn)為其中一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)新正方形，使新正方形的面積為正方形和面積之和，其它頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解如何根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形并利用勾股定理．
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和網(wǎng)格的特點(diǎn)畫(huà)出圖形即可；
（2）先計(jì)算出新正方形的面積，從而得出邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理和網(wǎng)格的特點(diǎn)畫(huà)出圖形即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：
（2）解：∵新正方形的面積為正方形和面積之和，其它頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上．
∴新正方形的面積為：，
∴新正方形的邊長(zhǎng)為：，
如圖：正方形的邊長(zhǎng)為：，
∴正方形即為所求．
題型13 無(wú)刻度直尺作圖
1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖是的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，半圓上的點(diǎn)均落在格點(diǎn)上．請(qǐng)按下列要求完成作圖：要求一：僅用無(wú)刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作圖痕跡．
(1)在圖中作出弧的中點(diǎn)D．
(2)連結(jié)，作出的角平分線．
(3)在上作出點(diǎn)P，使得．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）連與網(wǎng)格線交于一格點(diǎn)，以O(shè)為端點(diǎn)，作射線與圓弧交于點(diǎn)D，
（2）作射線，則即是的角平分線，
（3）連結(jié)并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)與交于點(diǎn)F，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，則．
本題考查了無(wú)刻度直尺作圖，垂徑定理，圓周角定理，角平分線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握無(wú)刻度直尺作圖，與相關(guān)定理的結(jié)合．
【詳解】（1）解：由格點(diǎn)可知為中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可得，點(diǎn)D為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D即為所求，
（2）解：∵點(diǎn)D為弧的中點(diǎn)，
根據(jù)圓周角定理，可得，即為所求，
（3）解：∵為直徑，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴是的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，作圖如下：
．
2．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫(huà)圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫(huà)線不得超過(guò)三條．
(1)在圖（1）中，畫(huà)射線交于點(diǎn)D，使平分的面積；
(2)在（1）的基礎(chǔ)上，在射線上畫(huà)點(diǎn)E，使；
(3)在圖（2）中，先畫(huà)點(diǎn)F，使點(diǎn)A繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C，再畫(huà)射線交于點(diǎn)G；
(4)在（3）的基礎(chǔ)上，將線段繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，畫(huà)對(duì)應(yīng)線段（點(diǎn)A與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)N對(duì)應(yīng)）．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)作圖見(jiàn)解析
(3)作圖見(jiàn)解析
(4)作圖見(jiàn)解析
【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖．熟練掌握全等三角形性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
（1）作矩形，對(duì)角線交于點(diǎn)D，做射線，即可；
（2）作,射線于點(diǎn)Q，連接交于點(diǎn)E，即可；
（3）在下方取點(diǎn)F，使，是等腰直角三角形，連接， ，交于點(diǎn)G，即可；
（4）作，交于點(diǎn)M，作，交于點(diǎn)N，連接，即可．
【詳解】（1）如圖，作線段，使四邊形是矩形，交于點(diǎn)D，做射線，點(diǎn)D即為所求作；
（2）如圖，作,作于點(diǎn)Q，連接交于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為作求作；
（3）如圖，在下方取點(diǎn)F，使，連接，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，點(diǎn)F，G即為所求作；
（4）如圖，作，交射線于點(diǎn)M，作，交于點(diǎn)N，連接，線段即為所求作．
3．（2023·湖北·中考真題）已知正六邊形，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，用虛線表示作圖過(guò)程，實(shí)線表示作圖結(jié)果）．

(1)在圖1中作出以為對(duì)角線的一個(gè)菱形；
(2)在圖2中作出以為邊的一個(gè)菱形．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)對(duì)角線互相垂直平分即可作出圖形．
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)四條邊平行且相等即可作出圖形．
【詳解】（1）解：如圖，菱形即為所求（點(diǎn)，可以對(duì)調(diào)位置）：


（2）解：如圖，菱形即為所求．
是菱形，且要求為邊，
①當(dāng)為上底邊的時(shí)候，作，且，向右下偏移，如圖所示，

②當(dāng)為上底邊的時(shí)候，作，且，向左下偏移如圖所示，

③當(dāng)為下底邊的時(shí)候，作，且，向左上偏移如圖所示，

④當(dāng)為下底邊的時(shí)候，作，且，向右上偏移如圖所示，

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，復(fù)雜作圖是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有菱形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于熟悉菱形的幾何性質(zhì)和正六邊形的幾何性質(zhì)，將復(fù)雜作圖拆解成基本作圖．
題型14 最短路徑問(wèn)題
1．（2020·江蘇南京·中考真題）如圖①，要在一條筆直的路邊上建一個(gè)燃?xì)庹荆蛲瑐?cè)的A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)分別發(fā)鋪設(shè)管道輸送燃?xì)猓嚧_定燃?xì)庹镜奈恢茫逛佋O(shè)管道的路線最短．
（1）如圖②，作出點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，線與直線的交點(diǎn)C的位置即為所求， 即在點(diǎn)C處建氣站， 所得路線ACB是最短的，為了讓明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在直線上另外任取一點(diǎn)，連接，， 證明， 請(qǐng)完成這個(gè)證明．
（2）如果在A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^(guò)該區(qū)域請(qǐng)分別始出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說(shuō)明理由），
①生市保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示
②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析
【分析】（1）連接，利用垂直平分線的性質(zhì)，得到，利用三角形的三邊關(guān)系，即可得到答案；
（2）由（1）可知，在點(diǎn)C處建燃?xì)庹荆佋O(shè)管道的路線最短．分別對(duì)①、②的道路進(jìn)行設(shè)計(jì)分析，即可求出最短的路線圖．
【詳解】（1）證明：如圖，連接
∵點(diǎn)A、關(guān)于l對(duì)稱，點(diǎn)C在l上
∴，
∴，
同理，
在中，有
∴；
（2）解：①在點(diǎn)C處建燃?xì)庹荆佋O(shè)管道的最短路線是AC+CD+DB（如圖，其中D是正方形的頂點(diǎn)）．
②在點(diǎn)C處建燃?xì)庹荆佋O(shè)管道的最短路線是（如圖，其中CD、BE都與圓相切）．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的應(yīng)用，最短路徑問(wèn)題，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確確定點(diǎn)C的位置，從而確定鋪設(shè)管道的最短路線．
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐
【提出問(wèn)題】唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——將軍飲馬問(wèn)題．如圖，將軍從山腳下的點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)河岸點(diǎn)飲馬后再回到點(diǎn)宿營(yíng)，請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總路程最短？
【分析問(wèn)題】
如圖，取點(diǎn)關(guān)于河岸線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)為飲馬的地方，，此時(shí)所走的路程就是最短的．
【解決問(wèn)題】
（）當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)路程最短的依據(jù)是 ；
【遷移應(yīng)用】
（）如圖，兩個(gè)村莊在河岸 的同側(cè)，兩村到河岸的距離分別為千米，千米，(千米，現(xiàn)要在河岸上建一水廠，從處向鋪設(shè)管道以輸送自來(lái)水，使得鋪設(shè)所需的管道長(zhǎng)度和最少．
①請(qǐng)?jiān)诤影渡献鞒鏊畯S的位置，并寫(xiě)出作圖過(guò)程；
②若鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為元/千米，求出鋪設(shè)水管最節(jié)省的總費(fèi)用．
【答案】（）兩點(diǎn)之間線段最短；（）①作圖見(jiàn)解析；②元．
【分析】本題考查了軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求解；
（）①如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；②過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，千米，千米，即得千米，利用勾股定理求出，即得到最短路線的長(zhǎng)度，進(jìn)而即可求解；
【詳解】解：（）當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)路程最短的依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短，
故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短；
（）①如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；
②過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，千米，千米，
∴千米，
∴千米，
∴最短路線千米，
∴鋪設(shè)水管最節(jié)省的總費(fèi)用為元．
命題點(diǎn)二 定義、命題、定理
題型01 判斷是否是命題
1．（2020·四川雅安·中考真題）下列四個(gè)選項(xiàng)中不是命題的是（ ）
A．對(duì)頂角相等
B．過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的平行線
C．三角形任意兩邊之和大于第三邊
D．如果，那么
【答案】B
【分析】判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．根據(jù)定義判斷即可．
【詳解】解：由題意可知，
A、對(duì)頂角相等，故選項(xiàng)是命題；
B、過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的平行線，是一個(gè)動(dòng)作，故選項(xiàng)不是命題；
C、三角形任意兩邊之和大于第三邊，故選項(xiàng)是命題；
D、如果，那么，故選項(xiàng)是命題；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過(guò)推理論證的真命題稱為定理．注意：疑問(wèn)句與作圖語(yǔ)句都不是命題．
2．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）下列語(yǔ)句中，不是命題的是（ ）
A．如果，那么 B．對(duì)頂角相等
C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線
【答案】D
【分析】本題考查了命題，根據(jù)命題的概念逐項(xiàng)判斷即可得出答案，熟練掌握判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、如果，那么，是命題，不符合題意；
B、對(duì)頂角相等，是命題，不符合題意；
C、兩點(diǎn)之間，線段最短，是命題，不符合題意；
D、過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線，不是命題，符合題意；
故選：D．
3．（2023·廣東揭陽(yáng)·二模）下列句子中哪一個(gè)是命題（ ）
A．你的作業(yè)完成了嗎？ B．美麗的天空．
C．猴子是動(dòng)物． D．過(guò)直線l外一點(diǎn)作l的平行線．
【答案】C
【分析】需判定每個(gè)句子是否判斷一件事情，若進(jìn)行了判斷，則為命題，反之，則不是命題；根據(jù)上述方法判斷．
【詳解】解：A、你的作業(yè)做完了嗎？它是疑問(wèn)句，不是命題，本選項(xiàng)不符合題意；
B、美麗的天空，它是描述性語(yǔ)言，不是命題，本選項(xiàng)不符合題意；
C、猴子是動(dòng)物，是命題，本選項(xiàng)不符合題意；
D、過(guò)直線l外一點(diǎn)作l的平行線，它是描述性語(yǔ)言，不是命題，本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查命題．正確記憶命題的定義是解題關(guān)鍵．
題型02 判定命題的真假
1．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）命題“若，則”是 命題．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本題主要考查了真假命題的判斷以及不等式的性質(zhì)，根據(jù)，可得出，進(jìn)而可判斷出若，則是假命題．
【詳解】解：∵
∴，
∴若，則是假命題，
故答案為：假．
2．（2024·湖南·中考真題）下列命題中，正確的是（ ）
A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．菱形的對(duì)角線相等
C．正五邊形的外角和為 D．直角三角形是軸對(duì)稱圖形
【答案】A
【分析】本題考查了命題與定理的知識(shí)，多邊形外角性質(zhì)，菱形性質(zhì)及軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)．
【詳解】解：A、兩點(diǎn)之間，線段最短，正確，是真命題，符合題意；
B、菱形的對(duì)角線互相垂直，不一定相等，選項(xiàng)錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
C、正五邊形的外角和為，選項(xiàng)錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
D、直角三角形不一定是軸對(duì)稱圖形，只有等腰直角三角形是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
故選：A．
3．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）下列命題：
①；
②；
③圓周角等于圓心角的一半；
④將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲一次時(shí)，正面朝上是必然事件；
⑤在一組數(shù)據(jù)中，如果每個(gè)數(shù)據(jù)都增加4，那么方差也增加4．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】運(yùn)用同底數(shù)冪相乘法則可判定①；根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值越大，自身越小可判定②；根據(jù)圓周角定理可判定③；根據(jù)隨機(jī)事件和方差的意義可判定④⑤．
【詳解】解：①，故①是真命題；
②，故②是假命題；
③在同圓或等圓值，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半，故③是假命題；
④將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲一次時(shí)，正面朝上是隨機(jī)事件，故④是假命題；
⑤在一組數(shù)據(jù)中，如果每個(gè)數(shù)據(jù)都增加4，那么方差不變，故⑤是假命題．
綜上，正確的只有①．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪相乘、無(wú)理數(shù)大小比較、圓周角定理、隨機(jī)事件、方差等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．
題型03 寫(xiě)成命題的逆命題
1．（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）請(qǐng)寫(xiě)出命題“如果，那么”的逆命題： ．
【答案】如果，那么
【分析】根據(jù)逆命題的概念解答即可．
【詳解】解：命題“如果，那么”的逆命題是“如果，那么”，
故答案為：如果，那么．
【點(diǎn)睛】此題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．
2．（2022·浙江湖州·中考真題）“如果，那么”的逆命題是 ．
【答案】如果，那么
【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，從而得出答案．
【詳解】解：“如果，那么”的逆命題是：
“如果，那么”，
故答案為：如果，那么．
【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握逆命題的定義．
3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）《原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的著作，它以公理和原名為基礎(chǔ)推演出更多的結(jié)論，是流傳最廣、影響最大的一部世界數(shù)學(xué)名著．請(qǐng)寫(xiě)出命題“如果，那么”的逆命題： ．
【答案】如果，那么
【分析】本題考查了命題的逆命題，掌握逆命題的定義是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)逆命題的定義，將原命題的題設(shè)和結(jié)論互換即可．互逆命題的定義：如果一個(gè)命題的條件與結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論與條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，如把其中一個(gè)稱為原命題，那么另一個(gè)稱為它的逆命題．
【詳解】“如果，那么”的逆命題是：如果，那么．
故答案為：如果，那么．
題型04 反證法
1．（2023·湖南·中考真題）我們可以用以下推理來(lái)證明“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于”．假設(shè)三角形沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于，即三個(gè)內(nèi)角都大于．則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個(gè)定理矛盾．所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于．上述推理使用的證明方法是（ ）
A．反證法 B．比較法 C．綜合法 D．分析法
【答案】A
【分析】根據(jù)反證法的步驟分析判斷，即可解答．
【詳解】解：假設(shè)三角形沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于，即三個(gè)內(nèi)角都大于．
則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于，
這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個(gè)定理矛盾．
所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于．
以上步驟符合反證法的步驟．
故推理使用的證明方法是反證法．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了反證法，解答此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．
2．（2024·山西長(zhǎng)治·三模）請(qǐng)閱讀以下關(guān)于“圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”的證明過(guò)程．
已知：直線與相切于點(diǎn)．
求證：與直線垂直．
證明：如圖，假設(shè)與直線不垂直，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)．
∴，即圓心到直線的距離小于的半徑．
∴直線與相交．
這與已知“直線與相切”相矛盾．
∴假設(shè)不成立．
∴與直線垂直．
這種證明方法為（　　）
A．綜合法 B．歸納法 C．枚舉法 D．反證法
【答案】D
【分析】根據(jù)反證法的定義：先提出與命題結(jié)論相反的假設(shè)，然后通過(guò)推理得出矛盾從而證明原命題成立判斷即可．本題考查了反證法的定義，掌握反證法的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵證明過(guò)程先做了假設(shè)“與直線不垂直”，最后得到一個(gè)與題目已知條件相矛盾的結(jié)論，即“假設(shè)不成立”，
∴本題運(yùn)用的證明方法是反證法；
故選．
3．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于”第一步應(yīng)假設(shè)直角三角形中 ．
【答案】每個(gè)銳角都大于
【分析】此題考查了反證法，根據(jù)反證法的第一步是否定結(jié)論進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于”，
第一步假設(shè)直角三角形中每個(gè)銳角都大于，
故答案為：每個(gè)銳角都大于45°．

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