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湖北省武漢市2025年中考數學猜題卷02
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．寫方方正正中國字，做堂堂正正中國人．現實世界中，對稱現象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性，下列漢字不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
2． “經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈”這個事件是（ ）
A．確定性事件 B．隨機事件 C．不可能事件 D．必然事件
3．如圖，是由幾個相同的小正方體組成的幾何體，則它的主視圖是（ ）

A． B． C． D．
4．航空母艦是現代海軍不可或缺的利器，也是一個國家綜合國力的象征，我國三艘航空母艦滿載的總排水量約為217000噸．將數據217000用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
5．下列計算中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下圖是底部放有一個實心鐵球的長方體水槽截面示意圖，現將水槽勻速排水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度與排水時間關系的是（ ）

A． B． C． D．
7．如圖，四邊形中， ，則的長為（ ）
A．6 B． C． D．
8．在“陽光大課間”活動中，某校設計了籃球、足球、排球、羽毛球四種球類運動項目，且每名學生在一個大課間只能隨機選擇參加一種運動項目，則小明和小紅在一個大課間參加不同球類運動項目的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知是彼此互不相等的負數，且，，則與的大小關系是 ．
A. ＞ B. ＝ C. ＜ D. ≥
10．如圖，I 為的內心，線段的延長線交的外接四于D， 設 的外接圓半徑為5，內切圓半徑為2，則（ ）
A．20 B．21 C． D．
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
11．中國是世界上最早認識和使用負數的國家，早在公元前四世紀的《九章算術》中就已經明確提出了正負數的概念．如果夏天武漢氣溫高達，我們記作，那么冬天哈爾濱氣溫零下，我們可以記作
．
12．若點都在反比例函數的圖象上，則的大小關系是 （用“>”號連接起來）．
13．若分式方程的解為正整數，則整數m的值為 ．
14．“超速已成為馬路主要安全隱患之一”． 如圖，一條公路建成通車，在某筆直路段限速100千米/小時，為了檢測車輛是否超速，在公路 旁設立了觀測點，從觀測點 測得一小車從點行駛到點用了5秒鐘，已知 米， 則此車速度為 . (參考數據 )
15．如圖，在等腰中，，是邊上一點，，連結，點在線段上，若，則的值為 ．
16．已知拋物線（a，b，c為常數，）的對稱軸為直線，且經過點，與軸的兩個交點之間的距離大于4，有下列結論：
①；
②若拋物線經過點，則其解析式為；
③一元二次方程沒有實數根；
④．
其中正確的有 .
三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．解不等式組．
18．如圖，在中，，將沿方向平移得到，已知．
(1)求平移的距離的長；
(2)求四邊形的周長．
19．某校組織了一次環保知識競賽，九年級每班選相同數量同學參加比賽，成績記為A、B、C、D四個等級．小明幫助學校老師將901班和902班同學的成績進行整理并繪制成如下的統計圖表，但忘記繪制901班C等級同學成績，只記得901班B等級人數是902班D等級人數的3倍．
(1)求出902班D等級的人數為多少人？
(2)請你算出901班的總人數，并補全條形統計圖；
(3)若記A、B等級為優秀，請你計算說明哪個班級的成績更優秀？
20．（2023·江蘇無錫·二模）如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫作格點，的三個頂點都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖．
(1)在圖中，作出一個滿足條件的格點，使得射線平分；
(2)在圖中，畫一個與面積相等，且以為邊的，、均在格點上；
(3)在圖中，在邊上找一點，連接，使面積是面積的倍．
21．如圖，內接于，過點作射線，使得，與的延長線交于點P，D是的中點，與交于點E．
(1)判斷直線與的位置關系，并證明你的結論；
(2)若，求證：．
22．衣物清洗中也有數學問題，假設某堆衣服每次擰后都會殘留1斤含有污物的水，那么接下來用20斤清水來漂洗它們時，怎樣才能漂得更干凈呢？
如果把擰后的衣服一下子放到20斤清水中去漂洗，那么連同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此時，污物將均勻分布在這21斤水里，再次擰后，衣服上還會殘留一斤含有污物的水，但衣服上污物殘存量會變為原來的，污物去除量為原來的．
問題一：我們現在來改進上述過程，將20斤水分為2次用，比如第一次用5斤，使污物變為原來的________，再用15斤，污物減少為原來的________，分2次洗，效果好多了．
問題二：將20斤水分為兩次漂洗，該如何分配兩次的用水量使得污物殘存量最少，效果最好？請證明你的結論．
問題三：假設每次漂洗所需的時間相等，我們希望單位時間的漂洗效果更好，請問漂洗這堆衣物時，無論所用的總水量為多少，以最優方案分配兩次漂洗的用水量，兩次漂洗的單位時間污物去除量是否會多于一次漂洗，并證明你的結論．
23．【基本模型】（1）如圖1，矩形中，，，交于點E，則的值是__________．
【類比探究】（2）如圖2，中，，，，D為邊上一點，連接，，交于點E，若，求的長．
【拓展應用】（3）如圖3，矩形中，E是的中點，于點F，連接交于點G，若點G把線段分成的兩部分，請直接寫出的值．

24．如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸負半軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，點D是拋物線上第三象限內的一點，連接，若為銳角，且，求點D的橫坐標的取值范圍；
(3)如圖2，經過點的一次函數圖象與拋物線交于M，N兩點，試探究是否為定值？請說明理由．中小學教育資源及組卷應用平臺
湖北省武漢市2025年中考數學猜題卷02
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．寫方方正正中國字，做堂堂正正中國人．現實世界中，對稱現象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性，下列漢字不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據軸對稱圖形的定義，分析即可．
【詳解】A.選項中，“大”字是軸對稱圖形，不符合題意；
B.選項中，“美”字是軸對稱圖形，不符合題意；
C.選項中，“中”字是軸對稱圖形，不符合題意；
D.選項中，“國”字不是軸對稱圖形，符合題意；
故選D．
【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，掌握軸對稱圖形的概念是解題的關鍵．
2． “經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈”這個事件是（ ）
A．確定性事件 B．隨機事件 C．不可能事件 D．必然事件
【答案】B
【分析】本題主要考查基本事件，熟練掌握基本事件的分類是解題的關鍵．根據經過有交通信號燈的路口，可能遇到紅燈進行判斷即可．
【詳解】解：經過有交通信號燈的路口，可能遇到紅燈，可能遇到綠燈，
故這個事件是隨機事件，
故選B．
3．如圖，是由幾個相同的小正方體組成的幾何體，則它的主視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在主視圖中．
【詳解】解：從正面看，底層有三個正方形，上層靠左是一個小正方形．
故選：A．
【點睛】本題考查了三視圖的定義，理解主視圖是從物體的正面看得到的視圖是解題的關鍵．
4．航空母艦是現代海軍不可或缺的利器，也是一個國家綜合國力的象征，我國三艘航空母艦滿載的總排水量約為217000噸．將數據217000用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了科學記數法：把一個絕對值大于1的數表示成的形式，其中，n是正整數且n的值比原數的整數位少1；根據科學記數法的定義求解即可．
【詳解】解：，
故選：B
5．下列計算中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了冪的運算，熟練掌握冪的運算性質是解題的關鍵．利用冪的乘方，同底數冪乘法，同底數冪除法逐項計算判斷即可．
【詳解】A．，故該選項不正確，不符合題意；
B．，故該選項不正確，不符合題意；
C．，故該選項不正確，不符合題意；
D．，故該選項正確，符合題意；
故選：D．
6．下圖是底部放有一個實心鐵球的長方體水槽截面示意圖，現將水槽勻速排水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度與排水時間關系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查函數的圖象，利用分類討論思想，根據不同時間段能裝水部分的寬度的變化情況分析水的深度變化情況是解題關鍵．根據題意可分兩段進行分析：當水的深度在球頂上方時；當水的深度在球頂以下時，分別分析出水槽中裝水部分的寬度變化情況，進而判斷出水的深度變化快慢，以此得出答案．
【詳解】解：開始當水的深度在球頂上方時，
水槽中能裝水的部分寬度沒有變化，
所以在勻速排水過程中，水的深度的下降速度不會發生變化；
當水的深度在球頂以下時，
水槽中能裝水的部分的寬度由上到下由寬逐漸變窄，再變寬，
所以在勻速排水過程中，水的深度變化先從下降較慢變為較快，再變為較慢；
綜上，水的深度先勻速下降，再下降較慢，再變快，然后變慢．
故選： A．
7．如圖，四邊形中， ，則的長為（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了解直角三角形，矩形的判定與性質，掌握銳角三角函數是解題的關鍵．作，垂足為點，交的延長線于點，則，求出，再證明四邊形是矩形，得到，則．
【詳解】解：如圖，作，垂足為點，交的延長線于點，則，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
故選：D．
8．在“陽光大課間”活動中，某校設計了籃球、足球、排球、羽毛球四種球類運動項目，且每名學生在一個大課間只能隨機選擇參加一種運動項目，則小明和小紅在一個大課間參加不同球類運動項目的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，分別用表示籃球、足球、排球、羽毛球，根據題意畫樹狀圖求解即可，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：分別用表示籃球、足球、排球、羽毛球，
列樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有種等可能情況，其中小明和小紅在一個大課間參加不同球類運動項目的情況有種，
∴小明和小紅在一個大課間參加不同球類運動項目的概率是，
故選：．
9．已知是彼此互不相等的負數，且，，則與的大小關系是 ．
A. ＞ B. ＝ C. ＜ D. ≥
【答案】A
【分析】本題考查了整式的乘法與整式的減法，運用整體思想并正確計算是解題的關鍵；
利用與0大小的比較來比較M、N的大?。?br/>【詳解】解：
，
∴．
故答案為：A．
10．如圖，I 為的內心，線段的延長線交的外接四于D， 設 的外接圓半徑為5，內切圓半徑為2，則（ ）
A．20 B．21 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的內心和三角形的外接圓，相似三角形的判定與性質等知識，連接，作于E，記外接圓圓心為，連接交圓O于F，連接，先證明，再證明，得到，即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】解：連接，作于E，記外接圓圓心為，連接交圓O于F，連接，如圖：
∵I為的內心，
∵平分，
∴，
又∵I為的內心，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵為直徑，
∴．
∵，
∴，
，
∴，即，
故選：A．
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
11．中國是世界上最早認識和使用負數的國家，早在公元前四世紀的《九章算術》中就已經明確提出了正負數的概念．如果夏天武漢氣溫高達，我們記作，那么冬天哈爾濱氣溫零下，我們可以記作 ．
【答案】
【分析】本題考查了正負數的意義，熟練掌握正負數的意義是解題的關鍵．根據氣溫，記作，則用負數表示零下溫度即可求解．
【詳解】解：如果夏天武漢氣溫高達，我們記作，那么冬天哈爾濱氣溫零下，我們可以記作，
故答案為：．
12．若點都在反比例函數的圖象上，則的大小關系是 （用“>”號連接起來）．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征．依據反比例函數，可得此函數在每個象限內，y隨x的增大而減小，根據反比例函數的性質可以判斷的大小關系．
【詳解】解：∵反比例函數中，，
∴此函數在每個象限內，y隨x的增大而減小，
∵點反比例函數上，且，，
∴，
故答案為：．
13．若分式方程的解為正整數，則整數m的值為 ．
【答案】
【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．
先解關于的方程，表示出方程的解，由解是正整數，確定出整數的值即可．
【詳解】解：，
去分母得：，
移項合并得：，
解得：，
由方程的解是正整數，得到為正整數，即或，
解得：或
當時，．
當時，，原方程分母為0，原方程無解．
∴．
故答案為：．
14． “超速已成為馬路主要安全隱患之一”． 如圖，一條公路建成通車，在某筆直路段限速100千米/小時，為了檢測車輛是否超速，在公路 旁設立了觀測點，從觀測點 測得一小車從點行駛到點用了5秒鐘，已知 米， 則此車速度為 . (參考數據∶ )
【答案】此車超速，理由見解析
【分析】本題主要考查了解直角三角形的相關計算，過C作，通過解直角三角形先分別計算出和，再根據速度等于路程除以時間即可求出小車的速速，最后比較即可得出答案，但需要注意單位的換算．
【詳解】解：此車超速．
理由如下：過C作，
，米，
（米），
（米），
，
（米），
（米），
小車的速度為：（米/秒），
15．如圖，在等腰中，，是邊上一點，，連結，點在線段上，若，則的值為 ．
【答案】
【分析】過點E作交于點P，交于點Q，則，，所以，而，則，推導出，然后可證明，再證明，得，進而根據相似三角形的性質可進行求解．
此題重點考查等腰直角三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，正確地作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．
【詳解】解：過點E作交于點P，交于點Q，則，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
16．已知拋物線（a，b，c為常數，）的對稱軸為直線，且經過點，與軸的兩個交點之間的距離大于4，有下列結論：
①；
②若拋物線經過點，則其解析式為；
③一元二次方程沒有實數根；
④．
其中正確的有 .
【答案】
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，二次函數圖象與系數的關系，二次函數與一元二次方程的關系等．根據“，對稱軸為直線，拋物線經過點”可得拋物線開口向下，，；結合“與軸的兩個交點之間的距離大于4”可得當時，，可判斷①正確；將代入解析式，可判斷②正確；根據拋物線與直線有兩個交點，可判斷③錯誤；根據拋物線與軸的兩個交點之間的距離大于4，可得，可判斷④正確．
【詳解】解：，對稱軸為直線，
拋物線開口向下，，
，
拋物線經過點，
，
拋物線開口向下，對稱軸為直線，與軸的兩個交點之間的距離大于4，
當時，拋物線上的點在x軸上方，
即當時，，
；故①正確；
，，
，
將代入，得：，
解得，
；故②正確；
拋物線開口向下，與軸有兩個交點，
拋物線與直線有兩個交點，
一元二次方程有兩個不相等的實數根，
即有兩個不相等的實數根；故③錯誤；
設拋物線與軸的兩個交點的橫坐標為，，
則，，
拋物線與軸的兩個交點之間的距離大于4，
，
，
解得；故④正確；
綜上可知，正確的有，共3個．
三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．解不等式組
【答案】（1）－2≤x＜0；（2）1
【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可；
【詳解】解：（1）
由不等式①，得x≥－2，
由不等式②，得x＜0，
所以不等式組的解集為－2≤x＜0.
【點睛】本題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組．
18．如圖，在中，，將沿方向平移得到，已知．
(1)求平移的距離的長；
(2)求四邊形的周長．
【答案】(1)
(2)20
【分析】本題考查了平移的性質，熟練掌握平移前后的兩個圖形形狀、大小、方向不變是解題關鍵．
（1）根據平移的性質求解即可；
（2）根據平移的性質求解即可．
【詳解】（1）解：由平移的性質可知，，
，
，
即平移的距離的長為4；
（2）解：由平移的性質可知，，，
即四邊形的周長為．
19．某校組織了一次環保知識競賽，九年級每班選相同數量同學參加比賽，成績記為A、B、C、D四個等級．小明幫助學校老師將901班和902班同學的成績進行整理并繪制成如下的統計圖表，但忘記繪制901班C等級同學成績，只記得901班B等級人數是902班D等級人數的3倍．
(1)求出902班D等級的人數為多少人？
(2)請你算出901班的總人數，并補全條形統計圖；
(3)若記A、B等級為優秀，請你計算說明哪個班級的成績更優秀？
【答案】(1)4人
(2)25人，圖見解析
(3)901班更優秀
【分析】（1）根據“901班B等級人數是902班D等級人數的3倍”以及901班B等級人數是12人，可得902班D等級的人數；
（2）用902班D級的人數除以相應的百分比得到902班的人數，然后根據兩班人數相同即可求得901班的學生數；然后再求出901班C級的學生數，然后再補全條形統計圖即可；
（3）比較兩個班級A、B兩個等級的所占百分比的多少即可解答.
【詳解】（1）解：人
答：902班D等級的人數為4人.
（2）解：∵902班的總人數為
∴901班的總人數為25人
901班C級學生數有25-6-12-5=2人.
補全條形統計圖如下：
.
（3）解： 901班：6+12=18人；18÷25=72％
902班：44％+4％=48％
48％＜72％.
故901班更優秀.
【點睛】本題主要考查了扇形統計圖、條形統計圖的意義和制作方法，掌握相關統計圖的意義是解答本題的關鍵.
20．如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫作格點，的三個頂點都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖．
(1)在圖中，作出一個滿足條件的格點，使得射線平分；
(2)在圖中，畫一個與面積相等，且以為邊的，、均在格點上；
(3)在圖中，在邊上找一點，連接，使面積是面積的倍．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）以、為邊作菱形，連接，由菱形性質即可；
（2）在點右側兩個單位格點處取點，在點右側兩個單位格點處取點，由平行四邊形的性質即可；
（3）在點右側個單位格點取點，在點左側個單位格點取點，連接交于點，連接，由相似三角形的性質即可．
【詳解】（1）解：如圖，在點右側個單位格點處取點，則點為所求，
由題得，
以、為邊作菱形，連接，
由菱形性質可得，平分角．
（2）解：由圖得，如圖，
在點右側兩個單位格點處取點，在點右側兩個單位格點處取點，
，，
四邊形為平行四邊形，
且，
故四邊形為所求．
（3）解：如圖，在點右側個單位格點取點，在點左側個單位格點取點，
連接交于點，連接，則點為所求，
，
，
，
．
【點睛】此題考查全了菱形的性質和判定、平行線邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、利用網格作圖等知識與方法，本題的關鍵是靈活應用以上知識解題，此題綜合性強，難度較大．
21．如圖，內接于，過點作射線，使得，與的延長線交于點P，D是的中點，與交于點E．
(1)判斷直線與的位置關系，并證明你的結論；
(2)若，求證：．
【答案】(1)直線與相切，見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了切線的判定、圓周角、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握相關知識并靈活運用是解題關鍵．
（1）連接并延長，交于點F，連接，結合“直徑所對的圓周角為直角”以及“同弧或等弧所對的圓周角相等”可證明，進而可得，即，即可證明結論；
（2）首先證明，由相似三角形的性質以及，可得；延長至點H，使，連接，證明，由全等三角形的性質可得，易知，進而可得，結合相似三角形的性質，即可證明結論．
【詳解】（1）解：直線與相切．
證明：連接并延長，交于點F，連接，如圖，
則為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∵為的直徑，
∴直線與相切；
（2）證明：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
延長至點H，使，連接，如圖，
∵D是的中點
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．衣物清洗中也有數學問題，假設某堆衣服每次擰后都會殘留1斤含有污物的水，那么接下來用20斤清水來漂洗它們時，怎樣才能漂得更干凈呢？
如果把擰后的衣服一下子放到20斤清水中去漂洗，那么連同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此時，污物將均勻分布在這21斤水里，再次擰后，衣服上還會殘留一斤含有污物的水，但衣服上污物殘存量會變為原來的，污物去除量為原來的．
問題一：我們現在來改進上述過程，將20斤水分為2次用，比如第一次用5斤，使污物變為原來的________，再用15斤，污物減少為原來的________，分2次洗，效果好多了．
問題二：將20斤水分為兩次漂洗，該如何分配兩次的用水量使得污物殘存量最少，效果最好？請證明你的結論．
問題三：假設每次漂洗所需的時間相等，我們希望單位時間的漂洗效果更好，請問漂洗這堆衣物時，無論所用的總水量為多少，以最優方案分配兩次漂洗的用水量，兩次漂洗的單位時間污物去除量是否會多于一次漂洗，并證明你的結論．
【答案】問題一：，；問題二：將20斤水分為兩次漂洗，且兩次用水量相同，每次用10斤清水使得污物殘存量最少．證明見解析；問題三：漂洗這堆衣物時，無論所用的總水量為多少，以最優方案分配兩次漂洗的用水量，兩次漂洗的單位時間污物去除量少于一次漂洗．證明見解析
【分析】本題考查了二次函數的應用、分式減法的應用等知識，熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵．
問題一：根據題意可求出第一次用5斤，使污物變為原來的，再用15斤，污物減少為原來的，由此即可得；
問題二：將20斤水分為兩次漂洗，且兩次用水量相同，每次用10斤清水使得污物殘存量最少．證明：設第一次用水量為斤，則第二次用水量為斤，從而可求出兩次漂洗后，污物減少為原來的，利用二次函數的性質求解即可得；
問題三：漂洗這堆衣物時，無論所用的總水量為多少，以最優方案分配兩次漂洗的用水量，兩次漂洗的單位時間污物去除量少于一次漂洗．證明：設每次漂洗所需的時間為分鐘，所用的總水量為斤，第一次用水量為斤，則第二次用水量為斤，分別求出一次漂洗的單位時間污物去除量和兩次漂洗的單位時間污物去除量，再計算分式的減法，利用二次函數的性質判斷差的符號，由此即可得．
【詳解】解：問題一：第一次用5斤，使污物變為原來的，
再用15斤，污物減少為原來的，
故答案為：，．
問題二：將20斤水分為兩次漂洗，且兩次用水量相同，每次用10斤清水使得污物殘存量最少．證明如下：
設第一次用水量為斤，則第二次用水量為斤，
由題意得：第一次用水斤，使污物變為原來的，
第二次用水斤，污物減少為原來的，
由二次函數的性質可知，在內，當時，的值最大，即的值最小，
所以將20斤水分為兩次漂洗，且兩次用水量相同，每次用10斤清水使得污物殘存量最少．
問題三：漂洗這堆衣物時，無論所用的總水量為多少，以最優方案分配兩次漂洗的用水量，兩次漂洗的單位時間污物去除量少于一次漂洗．證明如下：
設每次漂洗所需的時間為分鐘，所用的總水量為斤，第一次用水量為斤，則第二次用水量為斤，
由題意得：采用一次漂洗時，單位時間污物去除量為原來的，
采用兩次漂洗時，第一次用水斤，使污物變為原來的，
第二次用水斤，污物減少為原來的，
由二次函數的性質可知，在內，當時，的值最大，即的值最小，最小值為，
所以采用兩次漂洗，以最優方案分配兩次漂洗的用水量，兩次漂洗的單位時間污物去除量為原來的，
，
∵，
∴，，
令，
由二次函數的性質可知，當時，隨的增大而增大，
∴，即，
∴，
即，
所以漂洗這堆衣物時，無論所用的總水量為多少，以最優方案分配兩次漂洗的用水量，兩次漂洗的單位時間污物去除量少于一次漂洗．
23．【基本模型】（1）如圖1，矩形中，，，交于點E，則的值是__________．
【類比探究】（2）如圖2，中，，，，D為邊上一點，連接，，交于點E，若，求的長．
【拓展應用】（3）如圖3，矩形中，E是的中點，于點F，連接交于點G，若點G把線段分成的兩部分，請直接寫出的值．

【答案】（1）（2）5（3）或
【分析】（1）由矩形的性質結合，證明，由相似三角形的性質解求解；
（2）過點A，D作的垂線，垂足分別為，證明，解直角三角形，求出，得到，進而得到，設，則 ， 解直角三角形即可求解；
（3）分兩種情況：或，先畫出圖形，根據菱形的判定和性質，相似三角形的判定和性質求解即可．
【詳解】解：（1） 四邊形是矩形，，，，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（2）過點A，D作的垂線，垂足分別為，
，，，
則，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
設，則 ，
，
，
，
，
，
，
，
∴；
（3）分兩種情況：
①當時，延長交的延長線于，連接，如圖所示：
四邊形是矩形，
，，，
，
，
，
是的中點，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形，
，，
，
即，
，
∴，
∴；
②當時，延長、交于點，延長、交于點，如圖所示，

∵E是的中點，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
設，，
則，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴（負根舍去），
∴；
綜上可得，的值為或．
【點睛】本題考查了矩形的性質與判定，全等三角形的判定和性質，三角形相似的判定和性質，三角函數，菱形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握三角形的相似，三角函數是解題的關鍵．
24．如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸負半軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，點D是拋物線上第三象限內的一點，連接，若為銳角，且，求點D的橫坐標的取值范圍；
(3)如圖2，經過點的一次函數圖象與拋物線交于M，N兩點，試探究是否為定值？請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是4，是定值，見解析
【分析】（1）利用待定系數法求拋物線的解析式即可；
（2）以點C為頂點在的下方作，交拋物線于點D，過點A作于點A，交的延長線于點E，過點E作于點F，利用特殊角的三角函數值，待定系數法，解方程組解答即可；
（3）設經過點的一次函數的解析式為，，，得到，利用根與系數關系定理，公式變形計算即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線解析式為與x軸交于，兩點，與y軸負半軸交于點C．
∴，
解得，
故拋物線的解析式為．
（2）解：如圖，以點C為頂點在的下方作，交拋物線于點D，過點A作于點A，交的延長線于點E，過點E作于點F，
∵，令，得，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
根據題意，得
解得，
∴直線的解析式為，
∴，
解得（舍去），，
∵，且點D是第三象限內拋物線上的點，
∴．
（3）解：是定值．理由如下：
設經過點的一次函數的解析式為，
∴，
∴，
故一次函數的解析式為，
設，，
根據題意，得，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵
，
同理可證，，
∴
，
∴，是定值．
【點睛】本題考查了待定系數法，勾股定理，特殊角的三角函數值，根與系數關系定理，等腰直角三角形的性質，熟練掌握待定系數法，勾股定理，特殊角的三角函數值，根與系數關系定理是解題的關鍵．

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