資源簡介

浙江省杭州市蕭山區高橋初中教育集團2023-2024學年第二學期九年級3月份素養調研數學試卷
一、選擇題：本大題有10個小題, 每小題3分, 共30分. 在每小題給出的四個選項中, 只有一個選項是符合要求的.
1．（2024九下·蕭山月考） 2023年9月23日晚，杭州亞運會開幕式現場，超過1.05億名線上火炬手匯聚而成的“數字火炬手”與現場真實的火炬手一起，共同點燃亞運之火，創造了新的吉尼斯世界紀錄．其中數據1.05億用科學記數法可表示為（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九下·蕭山月考）下列運算結果正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·蕭山月考）某市身高不超過的兒童可以免費乘坐公共汽車，若可以免費乘坐公共汽車兒童的身高為，則（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·蕭山月考）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·蕭山月考）如圖，是一個正方體的展開圖，若相對面上的兩個數互為相反數，則代數式的值是（　　）
A．6 B． C．18 D．
6．（2024九下·蕭山月考）如圖，在中，平分，點P為上一動點，若，則的最小值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024九下·蕭山月考）如圖，用大小形狀完全相同的長方形紙片在直角坐標系中擺成如圖所示的圖案，已知，則點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·蕭山月考）黃金分割由于其美學性質，受到攝影愛好者和藝術家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構圖法．其原理是：如圖，將正方形的底邊取中點E，以E為圓心，線段為半徑作圓，其與底邊的延長線交于點F，這樣就把正方形延伸為矩形，稱其為黃金矩形．若，則（　　）．
A． B． C． D．
9．（2024九下·蕭山月考）已知二次函數，其中k，m為常數，下列說法正確的是（　　）
A．若，則二次函數y的最小值大于0
B．若，則二次函數y的最小值小于0
C．若，則二次函數y的最小值小于0
D．若，則二次函數y的最小值大于0
10．（2024九下·蕭山月考）如圖，邊長為的小正方形網格中，點在格點上，連接，點在上且滿足，則的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分.
11．（2024九下·蕭山月考）分解因式：　 　．
12．（2024九下·蕭山月考）一個不透明的袋中有若干個除顏色外完全相同的小球，其中黃球有6個，將袋中的球搖勻后，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回袋中，通過大量重復摸球試驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在0.4左右，則袋中小球的個數為　 　．
13．（2024九下·蕭山月考）如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點A，連接OB交⊙O于點C，過點A作AD∥OB交⊙O于點D，連接CD．若∠B=50°，則∠OCD的度數等于　 　．
14．（2024九下·蕭山月考）已知，是一次函數圖像上不同的兩點．若，則a的取值范圍是 　 　．
15．（2024九下·蕭山月考）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P是CB延長線上的一點，BP：BC=k，已知0≤k≤1，過點B作AB的垂線，過點P作AP的垂線，使兩條垂線相交于點Q，且AP=PQ，連接AQ，則△ABC與△APQ的面積比為（用k表示）　 　.
16．（2024九下·蕭山月考）某校積極推行“互動生成的學本課堂”，九年級某學習小組在操作實踐過程中發現了一個有趣的問題：將直尺和三角板（三角板足夠大，直尺足夠長）按如圖所示的方式擺放在平面直角坐標系中，直尺的左側邊CD在直線x＝4上，在保證直角三角板其中一條直角邊始終過點A（0，4），同時使得直角頂點E在直線CD上滑動，三角板的另一直角邊與x軸交于點B，則OB的最小值為　 　．
三、解答題：本大題有8個小題，共72分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（2024九下·蕭山月考）下面是小穎同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并解答問題．
解方程： 解：去分母，得……第一步 去括號，得……第二步 移項，得……第三步 合并同類項，得，……第四步 方程兩邊同除以－1，得．……第五步
（1）以上求解過程中，第三步的依據是____．
A．等式的基本性質 B．不等式的基本性質
C．分式的基本性質 D．乘法分配律
（2）從第　 　步開始出現錯誤；
（3）該方程正確的解為　 　.
18．（2024九下·蕭山月考）某校學生會為了了解全校2000名學生對地震災區的捐款情況，隨機調查了部分學生的捐款金額，并用得到的數據繪制了如圖統計圖．
請根據相關信息，解答下列問題：
（1）本次接受隨機抽樣調查的學生人數為 　 　，圖1中%的值是　 　%．
（2）求本次調查獲取的樣本數據的眾數和中位數．
（3）根據樣本數據，估算該校捐款金額為20元及以上的學生人數．
19．（2024九下·蕭山月考）已知反比例函數過點，，，且.
（1）當，時，求m的值：
（2）若，求n的值；
20．（2024九下·蕭山月考）已知：如圖，在中，于點是上一點，連結，已知．
（1）求證：．
（2）若的面積為15，求 的面積．
21．（2024九下·蕭山月考）圖1為放在水平地面上的落地式話筒架實物圖．圖2為其示意圖，支撐桿垂直于地面，，斜桿連接在支撐桿頂端處，，其中的長度可通過斜桿的滑動來進行調節，斜桿還可以繞著點旋轉，且與支撐桿的夾角為．
（1）當時，求話筒到地面的高度；
（2）落地式話筒可以根據使用者的身高需要調節的長度和夾角的度數，某運動員使用落地式話筒的適合高度是，請問該話筒的高度能否滿足這名運動員的需要，并說明理由．（參考數據：）
22．（2024九下·蕭山月考）如圖，在四邊形中，，，對角線，交于點，平分，過點作交的延長線于點，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求的長；
（3）在（2）的條件下，已知點M是線段上一點，且，則的長為　 　．
23．（2024九下·蕭山月考）某課外科技活動小組研制了一種航模飛機．通過實驗，收集了飛機相對于出發點的飛行水平距離（單位：）以、飛行高度（單位：）隨飛行時間（單位：）變化的數據如下表．
飛行時間 0 2 4 6 8 …
飛行水平距離 0 10 20 30 40 …
飛行高度 0 22 40 54 64 …
（1）【探究發現】與，與之間的數量關系可以用我們已學過的函數來描述．
任務一：直接寫出關于的函數解析式和關于的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）．
（2）【問題解決】如圖，活動小組在水平安全線上處設置一個高度可以變化的發射平臺試飛該航模飛機．根據上面的探究發現解決下列問題．
①任務二：若發射平臺相對于安全線的高度為0m，求飛機落到安全線時飛行的水平距離；
②任務三：在安全線上設置回收區域．若飛機落到內（不包括端點），求發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍．
24．（2024九下·蕭山月考）如圖，已知圓O是四邊形的外接圓，是直徑．連接交于點E．
（1）如圖1，D是弧的中點，當，求的度數；
（2）如圖2，，將繞點A順時針旋轉90°至，其中與重合，求證：；
（3）如圖3，，F是的中點，連接，過D點作交于點M，當時，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：1.05億=105000000=1.05×108.
故答案為：C.
【分析】根據用科學記數法表示絕對值較大的數，一般表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n等于原數的整數位數減去1，據此可得答案.
2．【答案】D
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；合并同類項法則及應用
【解析】【解答】A、x3+x3=2x3，故本選項錯誤；
B、y2÷y2=1，故本選項錯誤；
C、x5-x5=0，故本選項錯誤；
D、a2·a3=a2+3=a5，故本選項正確；
故答案選：D.
【分析】根據合并同類項法則；同底數冪相除，底數不變指數相減；同底數冪相乘，底數不變指數相加；對各選項分析判斷即可得解.
3．【答案】D
【知識點】列不等式
【解析】【解答】解：∵身高不超過1.2m的兒童可以免費乘坐公共汽車，若可以免費乘坐公共汽車兒童的身高為h(m)，
∴h≤1.2，
故答案選：D.
【分析】根據不等量關系，直接列出不等式即可.
4．【答案】D
【知識點】二次根式的性質與化簡；二次根式的加減法
5．【答案】A
【知識點】幾何體的展開圖；求有理數的相反數的方法；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【解答】正方體的展開圖的相對面上的兩個數互為相反數，
a=-3，c=-4，b=0，
故答案為：A.
【分析】先根據正方體的展開圖找到a，b，c的相對面求得a，b，c的值，再將代數式 進行化簡并代入數據計算即可求解.
6．【答案】B
【知識點】垂線段最短及其應用；角平分線的性質
【解析】【解答】解：由垂線段最短可知，當DP⊥AB時PD的值最小，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DP⊥AB
∴DP=CD=2，
即PD的最小值為2，
故答案選：B.
【分析】由垂線段最短可知，當DP⊥AB時PD的值最小，然后結合角平分線的性質分析求解.
7．【答案】B
【知識點】坐標與圖形性質；二元一次方程組的應用-幾何問題
8．【答案】D
【知識點】勾股定理；正方形的性質；黃金分割
【解析】【解答】解：設EC=x（x＞0）；
∵四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點
∴AB=CD=2x
∵ED和EF都是圓 的半徑
∴EF=ED=x+4a
∴在直角三角形DEC中，，解得x=a；
∴AB=2a
故答案為：D.
【分析】根據正方形的性質，可得AB=CD=2x；根據圓的半徑處處相等，可得EF=ED=x+4a；根據勾股定理，列一元二次方程，直接開平方即可求出AB的長.
9．【答案】B
【知識點】二次函數的最值；二次函數y=ax²+bx+c與二次函數y=a（x-h）²+k的轉化
【解析】【解答】解：∵y=(x+k-8)(x-k)+m=(x-4)2-(k-4)2+m，且a=1>0，
∴當x=4時，函數最小值為y=-(k-4)2+m，
則當m<0時，則二次函數y的最小值小于0.
故答案選：B.
【分析】將二次函數解析式化為頂點式，求出拋物線頂點縱坐標，進而即可求解.
10．【答案】D
【知識點】圓周角定理；求正切值
【解析】【解答】解：以O為圓心，1為半徑作☉O，連接OD，
∵A，B，C，E在格點上，
∴AC=OA=OE=OB=1，
∴A，B，E在☉O上，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
又∵☉O的直徑是AB，
∴AB=2，
∵OA=OB，
∴，
∴D在☉O上，
∴∠AED=∠ABD，
∴，
故答案選：D.
【分析】確定點的位置和線段長度，然后利用直角三角形的性質計算相關線段長度，接著通過構造圓證明四點共圓，最后計算tan∠ABD的值.
11．【答案】
【知識點】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案為：.
【分析】根據平方差公式進行分解因式即可得出答案.
12．【答案】15
【知識點】利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：設袋中小球的個數為x個，
根據題意得：，
解得：x=15，
經檢驗：x=15是原方程的解，
故答案為：15.
【分析】根據題意，設袋中小球的個數為x個，根據摸到黃球的頻率穩定在0.4左右，列出方程求解即可.
13．【答案】20°
【知識點】平行線的性質；圓周角定理
【解析】【解答】解：連接OA，如圖，
∵AB切⊙O于點A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°-50°=40°，
∴∠ADC=∠AOB=20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°．
故答案為：20°．
【分析】連接OA，先求出∠AOB的度數，再利用圓周角的性質求出∠ADC的度數，最后利用平行線的性質求出∠OCD=∠ADC=20°即可。
14．【答案】
【知識點】一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵(x1-x2)(y1-y2)>0，
∴x1-x2與y1-y2同號，
∴a+2>0，
解得：a>-2，
故答案為：a>-2.
【分析】根據(x1-x2)(y1-y2)>0可得出x1-x2與y1-y2同號，進而得出a+2>0，解之即可得出結論.
15．【答案】
【知識點】三角形的面積；勾股定理
【解析】【解答】解：∵BP：BC=k，0≤k≤1，
∴BP=k·BC，
設BC=a，則BP=ak，
∴AC=BC=a，CP=BC+BP=a+ak，
在Rt△ACP中，AC=a，CP=a+ak，
由勾股定理得：AP2=AC2+CP2，
即AP2=a2+(a+ak)2=a2(k2+2k+2)，
∴，，
∴，
故答案為：.
【分析】根據BP：BC=k，0≤k≤1可設BC=a，則BP=ak，則AC=BC=a，CP=BC+BP=a+ak，在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2=a2(k2+2k+2)，再分別求出，，然后可求出△ABC與△APQ的面積比.
16．【答案】3
【知識點】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：過點A作CD的垂線，垂足為M，
∵∠AEM+∠MAE=∠AEM+∠BED=90°，
∴∠EAM=∠BED，
又∵∠AME=∠BDE=90°，
∴△AEM∽△EBD，
∴，
令DE=x，則ME=4-x，
∴，
即，
∴當x=2時，BC取得最大值為1.
又∵OB+BD=4，
∴OB的最小值為3.
故答案為：3.
【分析】由OB+BD=4可知，BC取得最大值時，OB取得最小值，過點A作CD的垂線，構造出相似三角形，表示出BC長即可解決問題.
17．【答案】（1）A
（2）一
（3）
【知識點】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：(1)移項的依據是等式的基本性質，
故答案選：A.
(2)從第一步開始出現錯誤，方程右邊的1沒有乘以6，
故答案為：一.
(3)，
解：去分母，得2(2x+1)-(5x-1)=6.....第一步
去括號，得4x+2-5x+1=6......第二步
移項，得4x-5x=6-1-2......第三步
合并同類項，得-x=3，......第四步
方程兩邊同除以-1，得x=-3......第五步
故答案為：x=-3.
【分析】(1)根據移項的變形依據回答即可；
(2)根據去分母漏乘沒有分母的項回答即可；
(3)寫出正確的解題過程，即可得到答案.
18．【答案】（1）50；32
（2）解：本次調查獲取的樣本數據中10元出現的次數最多，出現了16次，則本次調查獲取的樣本數據的眾數是10元，
因為共有 50人，處于中間位置的是第25、26個數的平均數，則本次調查獲取的樣本數據的中位數是：
（3）解：估計該校本次活動捐款金額為20元及以上的學生人數為（人）．
答：估計該校本次活動捐款金額為20元以上的學生人數為720人
【知識點】中位數；眾數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：(1)本次接受隨機抽樣調查的學生人數為4÷8%=50人，
∵，
∴m=32，
故答案為：50，32.
【分析】(1)由5元的人數及其所占百分比可得總人數，用10元人數除以總人數可得m的值；
(2)根據統計圖可以分別得到本次調查獲取的樣本數據的眾數和中位數；
(3)根據統計圖中的數據可以估計該校本次活動捐款金額為20元以上的學生人數.
19．【答案】（1）解：反比例函數過點，，，
∴，

（2）解：反比例函數過點，，，，
，，
化簡，得，
，
【知識點】反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】(1)根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可求解；
(2)根據反比例函數圖象上點的坐標特征得出，，代入m-n=5，即可求得n的值.
20．【答案】（1）證明：，．
，．
，
（2）解：由（1）
∴∴
∴，的面積為15，
【知識點】三角形的面積；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由CD⊥AB，可得出∠1+∠ADE=90°，結合∠1+∠B = 90°，利用等角的余角相等，進而可得出結論；
(2)由(1)可知△ADE~△ABC，再利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求出△ADE的面積.
21．【答案】（1）解：過點C作CE垂直地面于點E，過點A作AF⊥CE，如圖：
∵AF⊥CE，CE⊥BE，AB⊥BE，
∴四邊形ABEF是矩形，
∴EF=AB=115cm，
∵AC=50cm，∠BAC=120°，
∴∠CAF=30°，
∴CF=25cm，
∴CE=CF+EF=25+115=140cm
（2）解：∵某運動員使用落地式話筒的適合高度是183cm，
∴CE=183cm，
∴CF=183-115=68(cm)，
當∠BAC=150°時，∠CAF=60°，
∴(cm)，
∵CD=80cm>78.43cm，
∴該話筒的高度能滿足這名運動員的需要
【知識點】矩形的判定與性質；解直角三角形—邊角關系
【解析】【分析】(1)過點C作CE垂直地面于點E，過點A作AF⊥CE，則CE=CF+EF，根據銳角三角函數求出CF即可解答；
(2)求出當∠BAC=150°時，若話筒到地面的距離為183，求出此時AC的長，比較是否符合題意即可.
22．【答案】（1）證明：∵，，
為的平分線，，，，
∵，四邊形是平行四邊形，
，平行四邊形是菱形
（2）解：四邊形是菱形，，，
，，
，，
在中，，，，
（3）或
【知識點】菱形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：(3)如圖，
在(2)的條件下，，OA=OC=2，
∵，
∴，
∴CM=OA+OM=2+1=3，
CM=OA-OM=2-1=1，
故答案為：3或1.
【分析】(1)根據題意先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再由AB=AD可得平行四邊形ABCD是菱形；
(2)根據菱形的性質得出OB的長以及∠AOB=90°，利用勾股定理求出OA的長，再根據直角三角形斜邊中線定理得出OE=AC，即可解答；
(3)根據，利用勾股定理求出OM的長度，根據圖形，CM的長度分兩種情況討論.
23．【答案】（1）
（2）解：任務二：依題意，得．解得，（舍），，
當時，．答：飛機落到安全線時飛行的水平距離為．
任務三：設發射平臺相對于安全線的高度為，飛機相對于安全線的飛行高度．，，，
在中，
當時，；當時，．
．
答：發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍是大于且小于
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數的其他應用
【解析】【解答】解：(1)由題意得x與t是一次函數關系，y與t是二次函數關系，
∴設x=kt，y=ax2+bx，則10=2k，
，解得k=5，，b=12，
∴x=5t，.
故答案為：
【分析】(1)通過觀察數據表，求出x和y關于t的函數解析式；
(2)由(1)中的解析式，解決飛機飛行的水平距離和發射平臺高度的變化范圍問題.
24．【答案】（1）解：∵D是弧的中點，∴，∴，
∴，∴
（2）解：∵是直徑，∴，
∴．
∵，∴．
∵將繞點A順時針旋轉至，∴．
∵，∴．∵，
∴．
∴
．
∴
（3）解：∵F是的中點，∴，
設，則
∵是直徑，∴，∴．
∵，∴，
∵，∴．
在和中，
，
∴，∴．
∴．
∵，∴，∴，
∴，
∴，∴
【知識點】圓周角定理；旋轉的性質；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)利用等弧對等弦，等腰三角形的性質和圓周角定理解答即可；
(2)利用圓周角定理和勾股定理求得AB2+AD2=BD2，BC2+CD2=BD2，利用等腰直角三角形的性質得到，利用旋轉的性質，勾股定理和等腰直角三角形的性質求得；利用等式的性質和等量代換，通過計算AC2-AB2即可得出結論；
(3)設AF=FD=a，則AB=AD=2a，利用全等三角形的判定與性質求得AF=DM=a，利用勾股定理求得AD，BD，再利用相似三角形的判定與性質求得，，，計算即可得出結論.
1 / 1浙江省杭州市蕭山區高橋初中教育集團2023-2024學年第二學期九年級3月份素養調研數學試卷
一、選擇題：本大題有10個小題, 每小題3分, 共30分. 在每小題給出的四個選項中, 只有一個選項是符合要求的.
1．（2024九下·蕭山月考） 2023年9月23日晚，杭州亞運會開幕式現場，超過1.05億名線上火炬手匯聚而成的“數字火炬手”與現場真實的火炬手一起，共同點燃亞運之火，創造了新的吉尼斯世界紀錄．其中數據1.05億用科學記數法可表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：1.05億=105000000=1.05×108.
故答案為：C.
【分析】根據用科學記數法表示絕對值較大的數，一般表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n等于原數的整數位數減去1，據此可得答案.
2．（2024九下·蕭山月考）下列運算結果正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；合并同類項法則及應用
【解析】【解答】A、x3+x3=2x3，故本選項錯誤；
B、y2÷y2=1，故本選項錯誤；
C、x5-x5=0，故本選項錯誤；
D、a2·a3=a2+3=a5，故本選項正確；
故答案選：D.
【分析】根據合并同類項法則；同底數冪相除，底數不變指數相減；同底數冪相乘，底數不變指數相加；對各選項分析判斷即可得解.
3．（2024九下·蕭山月考）某市身高不超過的兒童可以免費乘坐公共汽車，若可以免費乘坐公共汽車兒童的身高為，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】列不等式
【解析】【解答】解：∵身高不超過1.2m的兒童可以免費乘坐公共汽車，若可以免費乘坐公共汽車兒童的身高為h(m)，
∴h≤1.2，
故答案選：D.
【分析】根據不等量關系，直接列出不等式即可.
4．（2024九下·蕭山月考）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】二次根式的性質與化簡；二次根式的加減法
5．（2024九下·蕭山月考）如圖，是一個正方體的展開圖，若相對面上的兩個數互為相反數，則代數式的值是（　　）
A．6 B． C．18 D．
【答案】A
【知識點】幾何體的展開圖；求有理數的相反數的方法；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【解答】正方體的展開圖的相對面上的兩個數互為相反數，
a=-3，c=-4，b=0，
故答案為：A.
【分析】先根據正方體的展開圖找到a，b，c的相對面求得a，b，c的值，再將代數式 進行化簡并代入數據計算即可求解.
6．（2024九下·蕭山月考）如圖，在中，平分，點P為上一動點，若，則的最小值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知識點】垂線段最短及其應用；角平分線的性質
【解析】【解答】解：由垂線段最短可知，當DP⊥AB時PD的值最小，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DP⊥AB
∴DP=CD=2，
即PD的最小值為2，
故答案選：B.
【分析】由垂線段最短可知，當DP⊥AB時PD的值最小，然后結合角平分線的性質分析求解.
7．（2024九下·蕭山月考）如圖，用大小形狀完全相同的長方形紙片在直角坐標系中擺成如圖所示的圖案，已知，則點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】坐標與圖形性質；二元一次方程組的應用-幾何問題
8．（2024九下·蕭山月考）黃金分割由于其美學性質，受到攝影愛好者和藝術家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構圖法．其原理是：如圖，將正方形的底邊取中點E，以E為圓心，線段為半徑作圓，其與底邊的延長線交于點F，這樣就把正方形延伸為矩形，稱其為黃金矩形．若，則（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】勾股定理；正方形的性質；黃金分割
【解析】【解答】解：設EC=x（x＞0）；
∵四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點
∴AB=CD=2x
∵ED和EF都是圓 的半徑
∴EF=ED=x+4a
∴在直角三角形DEC中，，解得x=a；
∴AB=2a
故答案為：D.
【分析】根據正方形的性質，可得AB=CD=2x；根據圓的半徑處處相等，可得EF=ED=x+4a；根據勾股定理，列一元二次方程，直接開平方即可求出AB的長.
9．（2024九下·蕭山月考）已知二次函數，其中k，m為常數，下列說法正確的是（　　）
A．若，則二次函數y的最小值大于0
B．若，則二次函數y的最小值小于0
C．若，則二次函數y的最小值小于0
D．若，則二次函數y的最小值大于0
【答案】B
【知識點】二次函數的最值；二次函數y=ax²+bx+c與二次函數y=a（x-h）²+k的轉化
【解析】【解答】解：∵y=(x+k-8)(x-k)+m=(x-4)2-(k-4)2+m，且a=1>0，
∴當x=4時，函數最小值為y=-(k-4)2+m，
則當m<0時，則二次函數y的最小值小于0.
故答案選：B.
【分析】將二次函數解析式化為頂點式，求出拋物線頂點縱坐標，進而即可求解.
10．（2024九下·蕭山月考）如圖，邊長為的小正方形網格中，點在格點上，連接，點在上且滿足，則的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】圓周角定理；求正切值
【解析】【解答】解：以O為圓心，1為半徑作☉O，連接OD，
∵A，B，C，E在格點上，
∴AC=OA=OE=OB=1，
∴A，B，E在☉O上，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
又∵☉O的直徑是AB，
∴AB=2，
∵OA=OB，
∴，
∴D在☉O上，
∴∠AED=∠ABD，
∴，
故答案選：D.
【分析】確定點的位置和線段長度，然后利用直角三角形的性質計算相關線段長度，接著通過構造圓證明四點共圓，最后計算tan∠ABD的值.
二、填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分.
11．（2024九下·蕭山月考）分解因式：　 　．
【答案】
【知識點】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案為：.
【分析】根據平方差公式進行分解因式即可得出答案.
12．（2024九下·蕭山月考）一個不透明的袋中有若干個除顏色外完全相同的小球，其中黃球有6個，將袋中的球搖勻后，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回袋中，通過大量重復摸球試驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在0.4左右，則袋中小球的個數為　 　．
【答案】15
【知識點】利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：設袋中小球的個數為x個，
根據題意得：，
解得：x=15，
經檢驗：x=15是原方程的解，
故答案為：15.
【分析】根據題意，設袋中小球的個數為x個，根據摸到黃球的頻率穩定在0.4左右，列出方程求解即可.
13．（2024九下·蕭山月考）如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點A，連接OB交⊙O于點C，過點A作AD∥OB交⊙O于點D，連接CD．若∠B=50°，則∠OCD的度數等于　 　．
【答案】20°
【知識點】平行線的性質；圓周角定理
【解析】【解答】解：連接OA，如圖，
∵AB切⊙O于點A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°-50°=40°，
∴∠ADC=∠AOB=20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°．
故答案為：20°．
【分析】連接OA，先求出∠AOB的度數，再利用圓周角的性質求出∠ADC的度數，最后利用平行線的性質求出∠OCD=∠ADC=20°即可。
14．（2024九下·蕭山月考）已知，是一次函數圖像上不同的兩點．若，則a的取值范圍是 　 　．
【答案】
【知識點】一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵(x1-x2)(y1-y2)>0，
∴x1-x2與y1-y2同號，
∴a+2>0，
解得：a>-2，
故答案為：a>-2.
【分析】根據(x1-x2)(y1-y2)>0可得出x1-x2與y1-y2同號，進而得出a+2>0，解之即可得出結論.
15．（2024九下·蕭山月考）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P是CB延長線上的一點，BP：BC=k，已知0≤k≤1，過點B作AB的垂線，過點P作AP的垂線，使兩條垂線相交于點Q，且AP=PQ，連接AQ，則△ABC與△APQ的面積比為（用k表示）　 　.
【答案】
【知識點】三角形的面積；勾股定理
【解析】【解答】解：∵BP：BC=k，0≤k≤1，
∴BP=k·BC，
設BC=a，則BP=ak，
∴AC=BC=a，CP=BC+BP=a+ak，
在Rt△ACP中，AC=a，CP=a+ak，
由勾股定理得：AP2=AC2+CP2，
即AP2=a2+(a+ak)2=a2(k2+2k+2)，
∴，，
∴，
故答案為：.
【分析】根據BP：BC=k，0≤k≤1可設BC=a，則BP=ak，則AC=BC=a，CP=BC+BP=a+ak，在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2=a2(k2+2k+2)，再分別求出，，然后可求出△ABC與△APQ的面積比.
16．（2024九下·蕭山月考）某校積極推行“互動生成的學本課堂”，九年級某學習小組在操作實踐過程中發現了一個有趣的問題：將直尺和三角板（三角板足夠大，直尺足夠長）按如圖所示的方式擺放在平面直角坐標系中，直尺的左側邊CD在直線x＝4上，在保證直角三角板其中一條直角邊始終過點A（0，4），同時使得直角頂點E在直線CD上滑動，三角板的另一直角邊與x軸交于點B，則OB的最小值為　 　．
【答案】3
【知識點】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：過點A作CD的垂線，垂足為M，
∵∠AEM+∠MAE=∠AEM+∠BED=90°，
∴∠EAM=∠BED，
又∵∠AME=∠BDE=90°，
∴△AEM∽△EBD，
∴，
令DE=x，則ME=4-x，
∴，
即，
∴當x=2時，BC取得最大值為1.
又∵OB+BD=4，
∴OB的最小值為3.
故答案為：3.
【分析】由OB+BD=4可知，BC取得最大值時，OB取得最小值，過點A作CD的垂線，構造出相似三角形，表示出BC長即可解決問題.
三、解答題：本大題有8個小題，共72分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（2024九下·蕭山月考）下面是小穎同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并解答問題．
解方程： 解：去分母，得……第一步 去括號，得……第二步 移項，得……第三步 合并同類項，得，……第四步 方程兩邊同除以－1，得．……第五步
（1）以上求解過程中，第三步的依據是____．
A．等式的基本性質 B．不等式的基本性質
C．分式的基本性質 D．乘法分配律
（2）從第　 　步開始出現錯誤；
（3）該方程正確的解為　 　.
【答案】（1）A
（2）一
（3）
【知識點】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：(1)移項的依據是等式的基本性質，
故答案選：A.
(2)從第一步開始出現錯誤，方程右邊的1沒有乘以6，
故答案為：一.
(3)，
解：去分母，得2(2x+1)-(5x-1)=6.....第一步
去括號，得4x+2-5x+1=6......第二步
移項，得4x-5x=6-1-2......第三步
合并同類項，得-x=3，......第四步
方程兩邊同除以-1，得x=-3......第五步
故答案為：x=-3.
【分析】(1)根據移項的變形依據回答即可；
(2)根據去分母漏乘沒有分母的項回答即可；
(3)寫出正確的解題過程，即可得到答案.
18．（2024九下·蕭山月考）某校學生會為了了解全校2000名學生對地震災區的捐款情況，隨機調查了部分學生的捐款金額，并用得到的數據繪制了如圖統計圖．
請根據相關信息，解答下列問題：
（1）本次接受隨機抽樣調查的學生人數為 　 　，圖1中%的值是　 　%．
（2）求本次調查獲取的樣本數據的眾數和中位數．
（3）根據樣本數據，估算該校捐款金額為20元及以上的學生人數．
【答案】（1）50；32
（2）解：本次調查獲取的樣本數據中10元出現的次數最多，出現了16次，則本次調查獲取的樣本數據的眾數是10元，
因為共有 50人，處于中間位置的是第25、26個數的平均數，則本次調查獲取的樣本數據的中位數是：
（3）解：估計該校本次活動捐款金額為20元及以上的學生人數為（人）．
答：估計該校本次活動捐款金額為20元以上的學生人數為720人
【知識點】中位數；眾數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：(1)本次接受隨機抽樣調查的學生人數為4÷8%=50人，
∵，
∴m=32，
故答案為：50，32.
【分析】(1)由5元的人數及其所占百分比可得總人數，用10元人數除以總人數可得m的值；
(2)根據統計圖可以分別得到本次調查獲取的樣本數據的眾數和中位數；
(3)根據統計圖中的數據可以估計該校本次活動捐款金額為20元以上的學生人數.
19．（2024九下·蕭山月考）已知反比例函數過點，，，且.
（1）當，時，求m的值：
（2）若，求n的值；
【答案】（1）解：反比例函數過點，，，
∴，

（2）解：反比例函數過點，，，，
，，
化簡，得，
，
【知識點】反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】(1)根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可求解；
(2)根據反比例函數圖象上點的坐標特征得出，，代入m-n=5，即可求得n的值.
20．（2024九下·蕭山月考）已知：如圖，在中，于點是上一點，連結，已知．
（1）求證：．
（2）若的面積為15，求 的面積．
【答案】（1）證明：，．
，．
，
（2）解：由（1）
∴∴
∴，的面積為15，
【知識點】三角形的面積；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由CD⊥AB，可得出∠1+∠ADE=90°，結合∠1+∠B = 90°，利用等角的余角相等，進而可得出結論；
(2)由(1)可知△ADE~△ABC，再利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求出△ADE的面積.
21．（2024九下·蕭山月考）圖1為放在水平地面上的落地式話筒架實物圖．圖2為其示意圖，支撐桿垂直于地面，，斜桿連接在支撐桿頂端處，，其中的長度可通過斜桿的滑動來進行調節，斜桿還可以繞著點旋轉，且與支撐桿的夾角為．
（1）當時，求話筒到地面的高度；
（2）落地式話筒可以根據使用者的身高需要調節的長度和夾角的度數，某運動員使用落地式話筒的適合高度是，請問該話筒的高度能否滿足這名運動員的需要，并說明理由．（參考數據：）
【答案】（1）解：過點C作CE垂直地面于點E，過點A作AF⊥CE，如圖：
∵AF⊥CE，CE⊥BE，AB⊥BE，
∴四邊形ABEF是矩形，
∴EF=AB=115cm，
∵AC=50cm，∠BAC=120°，
∴∠CAF=30°，
∴CF=25cm，
∴CE=CF+EF=25+115=140cm
（2）解：∵某運動員使用落地式話筒的適合高度是183cm，
∴CE=183cm，
∴CF=183-115=68(cm)，
當∠BAC=150°時，∠CAF=60°，
∴(cm)，
∵CD=80cm>78.43cm，
∴該話筒的高度能滿足這名運動員的需要
【知識點】矩形的判定與性質；解直角三角形—邊角關系
【解析】【分析】(1)過點C作CE垂直地面于點E，過點A作AF⊥CE，則CE=CF+EF，根據銳角三角函數求出CF即可解答；
(2)求出當∠BAC=150°時，若話筒到地面的距離為183，求出此時AC的長，比較是否符合題意即可.
22．（2024九下·蕭山月考）如圖，在四邊形中，，，對角線，交于點，平分，過點作交的延長線于點，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求的長；
（3）在（2）的條件下，已知點M是線段上一點，且，則的長為　 　．
【答案】（1）證明：∵，，
為的平分線，，，，
∵，四邊形是平行四邊形，
，平行四邊形是菱形
（2）解：四邊形是菱形，，，
，，
，，
在中，，，，
（3）或
【知識點】菱形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：(3)如圖，
在(2)的條件下，，OA=OC=2，
∵，
∴，
∴CM=OA+OM=2+1=3，
CM=OA-OM=2-1=1，
故答案為：3或1.
【分析】(1)根據題意先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再由AB=AD可得平行四邊形ABCD是菱形；
(2)根據菱形的性質得出OB的長以及∠AOB=90°，利用勾股定理求出OA的長，再根據直角三角形斜邊中線定理得出OE=AC，即可解答；
(3)根據，利用勾股定理求出OM的長度，根據圖形，CM的長度分兩種情況討論.
23．（2024九下·蕭山月考）某課外科技活動小組研制了一種航模飛機．通過實驗，收集了飛機相對于出發點的飛行水平距離（單位：）以、飛行高度（單位：）隨飛行時間（單位：）變化的數據如下表．
飛行時間 0 2 4 6 8 …
飛行水平距離 0 10 20 30 40 …
飛行高度 0 22 40 54 64 …
（1）【探究發現】與，與之間的數量關系可以用我們已學過的函數來描述．
任務一：直接寫出關于的函數解析式和關于的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）．
（2）【問題解決】如圖，活動小組在水平安全線上處設置一個高度可以變化的發射平臺試飛該航模飛機．根據上面的探究發現解決下列問題．
①任務二：若發射平臺相對于安全線的高度為0m，求飛機落到安全線時飛行的水平距離；
②任務三：在安全線上設置回收區域．若飛機落到內（不包括端點），求發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍．
【答案】（1）
（2）解：任務二：依題意，得．解得，（舍），，
當時，．答：飛機落到安全線時飛行的水平距離為．
任務三：設發射平臺相對于安全線的高度為，飛機相對于安全線的飛行高度．，，，
在中，
當時，；當時，．
．
答：發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍是大于且小于
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數的其他應用
【解析】【解答】解：(1)由題意得x與t是一次函數關系，y與t是二次函數關系，
∴設x=kt，y=ax2+bx，則10=2k，
，解得k=5，，b=12，
∴x=5t，.
故答案為：
【分析】(1)通過觀察數據表，求出x和y關于t的函數解析式；
(2)由(1)中的解析式，解決飛機飛行的水平距離和發射平臺高度的變化范圍問題.
24．（2024九下·蕭山月考）如圖，已知圓O是四邊形的外接圓，是直徑．連接交于點E．
（1）如圖1，D是弧的中點，當，求的度數；
（2）如圖2，，將繞點A順時針旋轉90°至，其中與重合，求證：；
（3）如圖3，，F是的中點，連接，過D點作交于點M，當時，求的值．
【答案】（1）解：∵D是弧的中點，∴，∴，
∴，∴
（2）解：∵是直徑，∴，
∴．
∵，∴．
∵將繞點A順時針旋轉至，∴．
∵，∴．∵，
∴．
∴
．
∴
（3）解：∵F是的中點，∴，
設，則
∵是直徑，∴，∴．
∵，∴，
∵，∴．
在和中，
，
∴，∴．
∴．
∵，∴，∴，
∴，
∴，∴
【知識點】圓周角定理；旋轉的性質；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)利用等弧對等弦，等腰三角形的性質和圓周角定理解答即可；
(2)利用圓周角定理和勾股定理求得AB2+AD2=BD2，BC2+CD2=BD2，利用等腰直角三角形的性質得到，利用旋轉的性質，勾股定理和等腰直角三角形的性質求得；利用等式的性質和等量代換，通過計算AC2-AB2即可得出結論；
(3)設AF=FD=a，則AB=AD=2a，利用全等三角形的判定與性質求得AF=DM=a，利用勾股定理求得AD，BD，再利用相似三角形的判定與性質求得，，，計算即可得出結論.
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