資源簡介

(共48張PPT)
第三節　單　擺
第二章　機械振動
1.理解單擺模型和單擺擺球做簡諧運動的條件，知道單擺擺球運動時回復力的來源。
2.知道影響單擺周期的因素，能熟練運用單擺的周期公式解決相關問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
知識點
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
知識點
1
知識點二　單擺的周期公式
知識點一　單擺及單擺擺球的回復力
知識點一　單擺及單擺擺球的回復力
　　　如圖所示，一根細線上端固定，下端連接一個金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個很小的夾角，然后釋放。
(1)小球的往復運動屬于機械振動，其平衡位置在哪里？
(2)將小球所受重力分解為切向的分力F和徑向的分力F′，哪個分力充當回復力？
提示　(1)O點　(2)F
1.單擺
(1)組成：由細繩和物體組成。
(2)條件
①懸掛物體的繩子的伸縮和質量可以__________。
②繩長比物體的尺寸大很多，物體可以看作______。
(3)若單擺的擺角__________，單擺擺球的擺動可近似看成簡諧運動。
忽略不計
質點
小于5°
2.擺球的回復力
如圖所示，在擺角小的情況下，可認為分力mgsin θ近似指向平衡位置，即它提供擺球的回復力，即F＝mgsin θ。
3.擺球做簡諧運動的推證
【思考】　小球通過平衡位置時回復力為零，合外力也為零嗎？若不為零，其合外力沿什么方向？加速度呢？
提示　合外力不為0，其合外力提供向心力，指向圓心。加速度不為0，向心加速度指向圓心。
D
例1 如圖中O點為單擺的固定旋點，現將擺球(可視為質點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，擺球將在豎直平面內的A、C之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程中(　　)
A.擺球在A點和C點處，速度為零，位移也為零
B.擺球在A點和C點處，速度為零，回復力也為零
C.擺球在B點處，重力勢能最小，加速度也為零
D.擺球在B點處，動能最大，細線拉力也最大
解析　擺球在擺動過程中，最高點C處是擺球的最大位移位置，速度為零，回復力最大，故A、B錯誤；最低點B是擺球的平衡位置，速度最大，動能最大，重力勢能最小，擺球做圓周運動，繩的拉力最大，加速度不為零，故C錯誤，D正確。
A
訓練1 關于單擺，下列說法中正確的是(　　)
A.擺球受到的回復力方向總是指向平衡位置
B.擺球受到的回復力是它的合力
C.擺球經過平衡位置時，所受的合力為零
D.擺角很小時，擺球受的合力的大小跟擺球對平衡位置的位移大小成正比
解析　根據回復力的定義知，擺球受到的回復力方向總是指向平衡位置，A正確；擺球的回復力除最高點外都不是擺球受力的合力，但不管在哪個位置均可認為是重力沿軌跡圓弧切線方向的分力，B錯誤；擺球經過平衡位置時，回復力為零，但合力不為零，因沿懸線方向上需要向心力，C、D錯誤。
回復力與合外力
回復力是使物體回到平衡位置的力，不一定是物體所受到的合外力。彈簧振子中小球的回復力是振動方向上的合外力，單擺擺球的回復力是擺球所受重力沿圓弧切線方向的分力，不是擺球的合外力。　　　　
知識點二　單擺的周期公式
　　　(1)1582年伽利略發現擺動的吊燈往返一次所需要的時間似乎都一樣。只改變物體質量，物體擺動周期不變，只改變繩子長度，物體擺動的周期將發生變化，據此我們可以判斷擺動周期與什么相關，與什么無關？
(2)將走時準確的擺鐘，由赤道拿到兩極，走時就不準了，據此猜測擺動周期可能與什么相關？
提示　(1)與繩長相關，與物體的質量無關
(2)當地的重力加速度。
1.在擺角很小的情況下，單擺的周期與小球質量和擺角______，與單擺擺長______。故單擺的簡諧運動周期也叫單擺的固有周期。
2.周期公式
(1)提出：周期公式是荷蘭物理學家________首先提出的。
無關
有關
惠更斯
正比
反比
無關
(2)重力加速度g
①g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所處的空間位置決定。
②在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同。
D
角度1　單擺周期公式的理解
例2 (粵教版教材P50課后題4改編)擺長是1 m的單擺在某地區的周期是2 s，則在同一地區(　　)
A.擺長是0.5 m的單擺的周期是4 s
B.擺長是0.5 m的單擺的周期是1 s
C.周期是1 s的單擺的擺長為2 m
D.周期是4 s的單擺的擺長為4 m
BCD
角度2　單擺中的圖像問題
例3 (多選)(2024·廣東廣州期末)如圖甲，小明做擺角較小的單擺實驗，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達的左右最遠位置，小明通過實驗測出當地重力加速度g＝π2 m/s2，并且根據實驗情況繪制了單擺的振動圖像如圖乙，設圖中單擺向右振動為正方向，則下列選項正確的是(　　　)
A.此單擺的振動頻率是2 Hz
B.單擺的擺長約為1.0 m
C.僅改變擺球質量，單擺周期不變
D.t＝0時刻，擺球位于B點
B
角度3　單擺模型拓展
例4 (2024·重慶西南大學附中高二月考)如圖所示，光滑圓槽的半徑R遠大于小球運動的弧長。甲、乙、丙三個小球(均可視為質點)同時由靜止釋放，開始時，甲球比乙球離槽最低點O遠些，丙球在槽的圓心處。則以下關于它們第一次到達點O的先后順序的說法正確的是(　　)
A.乙先到，然后甲到，丙最后到
B.丙先到，然后甲、乙同時到
C.丙先到，然后乙到，甲最后到
D.甲、乙、丙同時到
訓練2 如圖所示，三根長度均為l0的繩l1、l2、l3共同系住一密度均勻的小球m，球的直徑為d(d l0)，繩l2、l3與天花板的夾角α＝30°。則：
(1)若小球在紙面內做小角度的左右擺動，周期T1為多少？
(2)若小球做垂直于紙面的小角度擺動，周期T2又為多少？
(2)小球做垂直于紙面的小角度擺動，相當于以O為懸點做簡諧運動，擺長為
隨堂對點自測
2
BCD
1.(單擺及單擺的回復力)(多選)關于單擺的運動有下列說法，其中正確的是(　 　)
A.單擺擺球的回復力是擺線的拉力與重力的合力
B.單擺擺球的回復力是重力沿擺球運動軌跡切向的分力
C.單擺的周期與擺球質量無關，與振幅無關，與擺長和當地的重力加速度有關
D.擺球做簡諧運動的條件是擺角很小，如小于5°
AB
2.(單擺的周期公式)(多選)(2024·浙江杭州高二月考)如圖甲所示，O是擺球的平衡位置，B、C是擺球所能達到的最遠位置，以向右擺動為正方向，此擺球的振動圖像如圖乙所示，則(　　)
A.擺球的振幅是8 cm
B.單擺的擺長約為1 m
C.P點時刻擺球正在OC間向正方向擺動
D.擺球經過O點時，速度最大，加速度為零
A
3.(單擺的周期公式)(2024·廣東梅州高二期末)李華家有一帶有鐘擺(可視為單擺)的機械時鐘，最近發現這個時鐘每天要快5分鐘。若要使其準確計時，可適當(　　)
A.加長鐘擺長度 B.減小鐘擺長度
C.增加擺球質量 D.減小擺球質量
課后鞏固訓練
3
ABC
基礎對點練
題組一　單擺及單擺的回復力
1.(多選)單擺是為研究振動而抽象出的理想化模型，其理想化條件是(　　　)
A.擺線質量不計
B.擺線不伸縮
C.擺球的直徑比擺線長度小得多
D.擺角小于5°
解析　單擺由擺線和擺球組成，擺線只計長度不計質量，擺球只計質量不計大小，且擺線不伸縮，A、B、C正確，D錯誤。
A
2.在如圖所示的裝置中，可視為單擺的是(　　)
解析　單擺的懸線要求無彈性且粗細、質量可忽略，擺球的直徑與懸線長度相比可忽略，懸點必須固定，故A正確。
CD
3.(多選)對單擺做簡諧運動過程中所受到的力(不計各種阻力)，下列說法正確的是(　　)
A.受三個力，重力、線的拉力、回復力
B.受四個力，重力、線的拉力、回復力、向心力
C.只受兩個力，重力、線的拉力
D.回復力是重力沿圓弧切線方向的分力
解析　單擺做簡諧運動過程中只受重力和線的拉力作用，回復力和向心力都是效果力，回復力是重力沿圓弧切線方向的分力，故C、D正確。
D
題組二　單擺的周期公式
4.(2024·廣東廣州高二期中)擺鐘是一種較有年代的計時鐘表。其基本原理是利用了單擺的周期性，結合巧妙的擒縱器設計，實現計時的功能。圖乙為擺鐘內部的結構簡圖。設原先擺鐘走時準確，則(　　)
A.擺動過程中，金屬圓盤所受合力為其回復力
B.該擺鐘在太空實驗室可正常使用
C.該擺鐘從北京帶到廣州，為走時準確，需旋
轉微調螺母使金屬圓盤沿擺桿向下移動
D.該擺鐘在冬季走時準確，到夏季為了準時，考慮熱脹冷縮需旋轉微調螺母使金屬圓盤沿擺桿向上移動
D
5.如圖所示，一小球在光滑槽內做簡諧運動，下述方法中哪些可使小球的振動加快(　　)
A.減小小球的振幅 B.增大光滑圓槽的半徑
C.增大小球的振幅 D.減小光滑圓槽的半徑
D
D
7.把秋千看成單擺模型，圖為小明在蕩秋千時的振動圖像，已知小王的體重比小明的大，則下列說法正確的是(　　)
A.小王蕩此秋千時，其周期大于6.28 s
B.圖中a點對應蕩秋千時的最高點，此時回復力為零
C.小明蕩到圖中對應的b點時，動能最小
D.該秋千的繩子長度約為10 m
BD
綜合提升練
8.(多選)如圖為甲、乙兩單擺的振動圖像，則以下說法正確的是(　　)
A.若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，
則甲、乙兩單擺的擺長之比L甲∶L乙＝
2∶1
B.若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，
則甲、乙兩單擺的擺長之比L甲∶L乙＝
1∶4
C.若甲、乙兩單擺擺長相同，且在不同的星球上擺動，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶2
D.若甲、乙兩單擺擺長相同，且在不同的星球上擺動，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1
AB
9.(多選)如圖甲所示，一擺球做小角度擺動，從某次擺球由左向右通過平衡位置開始計時，相對平衡位置的位移x隨時間t變化的圖像如圖乙所示。不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2，對于這個單擺的振動過程，下列說法正確的是(　　)
A.單擺的擺長約為1.0 m
B.擺球的位移x隨時間t變化的關系式為x＝8sin(πt) cm
C.從t＝0.5 s到t＝1.0 s的過程中，擺球的重力勢能逐漸增大
D.從t＝1.0 s到t＝1.5 s的過程中，擺球所受回復力逐漸減小
BD
10.(多選)(2024·廣東佛山高二期末)小明用同一實驗器材(懸掛點高度、擺長、小球均相同)，進行了兩次單擺實驗(擺角均小于5°)，如圖所示，第一次實驗中，將小球從A處靜止釋放，第二次實驗中，將小球從B處靜止釋放，對此下列說法正確的是(　　)
A.第一次實驗中單擺的擺動周期比第二次長
B.若更換質量更大的小球，單擺周期不變
C.相比第二次實驗，第一次實驗中小球在最低點的重力勢能更大
D.相比第二次實驗，第一次實驗中小球在最低點時，細繩對小球的拉力更大
C
11.圖甲是用力傳感器對單擺做小角度擺動過程進行測量的裝置圖，圖乙是與力傳感器連接的計算機屏幕所顯示的F－t圖像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N，已知擺球質量m＝100 g，重力加速度取9.8 m/s2，π2取9.8，不計擺線質量及空氣阻力。下列說法正確的是(　　)
A.單擺周期為0.8 s
B.單擺擺長約為0.84 m
C.F的最小值Fmin＝0.96 N
D.若僅將擺球質量變為200 g，單擺周期變大
12.某實驗小組設計實驗研究碰撞及單擺特性，裝置如圖，在水平桌面邊緣用長細繩懸掛著質量為m0的小球。質量為m1的滑塊以速度v0滑上光滑的桌面，并在桌子邊緣與小球發生正碰，碰后小球向外擺動起來(擺動的角度小于5°)，物塊水平拋出桌面，當物塊落地時小球恰好第一次擺回到桌子邊緣。已知物塊落點與桌子邊緣的水平距離為x，桌子高度為h，重力加速度為g，物塊和小球均可視作質點，求：
(1)物塊從拋出到落地的時間t及懸掛小球的細繩長度L；
(2)碰撞后小球速度v2。
培優加強練第三節　單　擺
(分值：100分)
選擇題1～11題，每小題8分，共88分。
基礎對點練
題組一　單擺及單擺的回復力
1.(多選)單擺是為研究振動而抽象出的理想化模型，其理想化條件是(　　)
擺線質量不計
擺線不伸縮
擺球的直徑比擺線長度小得多
擺角小于5°
2.在如圖所示的裝置中，可視為單擺的是(　　)
A B C D
3.(多選)對單擺做簡諧運動過程中所受到的力(不計各種阻力)，下列說法正確的是(　　)
受三個力，重力、線的拉力、回復力
受四個力，重力、線的拉力、回復力、向心力
只受兩個力，重力、線的拉力
回復力是重力沿圓弧切線方向的分力
題組二　單擺的周期公式
4.(2024·廣東廣州高二期中)擺鐘是一種較有年代的計時鐘表。其基本原理是利用了單擺的周期性，結合巧妙的擒縱器設計，實現計時的功能。圖乙為擺鐘內部的結構簡圖。設原先擺鐘走時準確，則(　　)
擺動過程中，金屬圓盤所受合力為其回復力
該擺鐘在太空實驗室可正常使用
該擺鐘從北京帶到廣州，為走時準確，需旋轉微調螺母使金屬圓盤沿擺桿向下移動
該擺鐘在冬季走時準確，到夏季為了準時，考慮熱脹冷縮需旋轉微調螺母使金屬圓盤沿擺桿向上移動
5.如圖所示，一小球在光滑槽內做簡諧運動，下述方法中哪些可使小球的振動加快(　　)
減小小球的振幅 增大光滑圓槽的半徑
增大小球的振幅 減小光滑圓槽的半徑
6.如圖所示，在兩根等長的細線下懸掛一個小球(體積可忽略)，組成了雙線擺，若細線長均為L，兩線與天花板的夾角均為α，重力加速度為g，當小球垂直紙面做簡諧運動時，周期為(　　)
2π 2π
2π 2π
7.把秋千看成單擺模型，圖為小明在蕩秋千時的振動圖像，已知小王的體重比小明的大，則下列說法正確的是(　　)
小王蕩此秋千時，其周期大于6.28 s
圖中a點對應蕩秋千時的最高點，此時回復力為零
小明蕩到圖中對應的b點時，動能最小
該秋千的繩子長度約為10 m
綜合提升練
8.(多選)如圖為甲、乙兩單擺的振動圖像，則以下說法正確的是(　　)
若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，則甲、乙兩單擺的擺長之比L甲∶L乙＝2∶1
若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，則甲、乙兩單擺的擺長之比L甲∶L乙＝1∶4
若甲、乙兩單擺擺長相同，且在不同的星球上擺動，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比
g甲∶g乙＝1∶2
若甲、乙兩單擺擺長相同，且在不同的星球上擺動，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比
g甲∶g乙＝4∶1
9.(多選)如圖甲所示，一擺球做小角度擺動，從某次擺球由左向右通過平衡位置開始計時，相對平衡位置的位移x隨時間t變化的圖像如圖乙所示。不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2，對于這個單擺的振動過程，下列說法正確的是(　　)
單擺的擺長約為1.0 m
擺球的位移x隨時間t變化的關系式為x＝8sin(πt) cm
從t＝0.5 s到t＝1.0 s的過程中，擺球的重力勢能逐漸增大
從t＝1.0 s到t＝1.5 s的過程中，擺球所受回復力逐漸減小
10.(多選)(2024·廣東佛山高二期末)小明用同一實驗器材(懸掛點高度、擺長、小球均相同)，進行了兩次單擺實驗(擺角均小于5°)，如圖所示，第一次實驗中，將小球從A處靜止釋放，第二次實驗中，將小球從B處靜止釋放，對此下列說法正確的是(　　)
第一次實驗中單擺的擺動周期比第二次長
若更換質量更大的小球，單擺周期不變
相比第二次實驗，第一次實驗中小球在最低點的重力勢能更大
相比第二次實驗，第一次實驗中小球在最低點時，細繩對小球的拉力更大
11.圖甲是用力傳感器對單擺做小角度擺動過程進行測量的裝置圖，圖乙是與力傳感器連接的計算機屏幕所顯示的F－t圖像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N，已知擺球質量m＝100 g，重力加速度取
9.8 m/s2，π2取9.8，不計擺線質量及空氣阻力。下列說法正確的是(　　)
單擺周期為0.8 s
單擺擺長約為0.84 m
F的最小值Fmin＝0.96 N
若僅將擺球質量變為200 g，單擺周期變大
培優加強練
12.(12分)某實驗小組設計實驗研究碰撞及單擺特性，裝置如圖，在水平桌面邊緣用長細繩懸掛著質量為m0的小球。質量為m1的滑塊以速度v0滑上光滑的桌面，并在桌子邊緣與小球發生正碰，碰后小球向外擺動起來(擺動的角度小于5°)，物塊水平拋出桌面，當物塊落地時小球恰好第一次擺回到桌子邊緣。已知物塊落點與桌子邊緣的水平距離為x，桌子高度為h，重力加速度為g，物塊和小球均可視作質點，求：
(1)(6分)物塊從拋出到落地的時間t及懸掛小球的細繩長度L；
(2)(6分)碰撞后小球速度v2。
第三節　單　擺
1.ABC　[單擺由擺線和擺球組成，擺線只計長度不計質量，擺球只計質量不計大小，且擺線不伸縮，A、B、C正確，D錯誤。]
2.A　[單擺的懸線要求無彈性且粗細、質量可忽略，擺球的直徑與懸線長度相比可忽略，懸點必須固定，故A正確。]
3.CD　[單擺做簡諧運動過程中只受重力和線的拉力作用，回復力和向心力都是效果力，回復力是重力沿圓弧切線方向的分力，故C、D正確。]
4.D　[回復力是指向平衡位置的力，擺動過程中，金屬圓盤所受重力沿軌跡切線方向的分力提供回復力，金屬圓盤所受合力還有一部分提供向心力，A錯誤；該擺鐘在太空實驗室內處于失重狀態，因此不可正常使用，B錯誤；該擺鐘從北京帶到廣州，重力加速度減小，由單擺的周期公式T＝2π，可知周期變大，擺鐘變慢，為走時準確，需要擺鐘的擺長變短，需旋轉微調螺母使金屬圓盤沿擺桿向上移動，C錯誤；該擺鐘在冬季走時準確，到夏季溫度升高，由于熱脹冷縮，擺長變長，為了準時，需要擺長變短，因此考慮熱脹冷縮需旋轉微調螺母使金屬圓盤沿擺桿向上移動，D正確。]
5.D　[小球受重力和支持力，支持力與重力沿徑向分力的合力提供圓周運動向心力，重力的切向分力提供做簡諧運動的回復力，是類單擺模型，根據單擺的周期公式T＝2π，設光滑圓槽的半徑為R，可知類單擺擺長L與原槽半徑R相等，有T＝2π，周期與振幅無關，要加快振動，即減小周期，可以減小光滑圓槽的半徑R，故D正確。]
6.D　[這是一個變形的單擺，可以用單擺的周期公式T＝2π計算，但注意此處的L與題中的細線長不同，公式中的L是指質點到懸點(等效懸點)的距離，此題中單擺的等效擺長為Lsin α，代入周期公式，可得T＝2π，故D正確。]
7.D　[小王蕩秋千時，根據T＝2π可知做單擺運動的物體的周期與質量無關，其周期等于6.28 s，故A錯誤；圖中a點對應蕩秋千時的最高點，此時回復力最大，故B錯誤；小明蕩到圖中對應的b點時，b點為平衡位置，速度最大，動能最大，故C錯誤；根據T＝2π，計算得L≈10 m，故D正確。]
8.BD　[由圖像可得到T甲∶T乙＝1∶2，由單擺周期公式T＝2π得到L＝g，因此甲、乙兩單擺的擺長之比L甲∶L乙＝1∶4，A錯誤，B正確；由單擺的周期公式T＝2π得到g＝4π2，若擺長相同，則甲、乙兩單擺所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1，C錯誤，D正確。]
9.AB　[由題圖乙可知單擺的周期T＝2 s，振幅A＝8 cm，由單擺的周期公式T＝2π，代入數據可得L≈1 m，A正確；由ω＝，可得ω＝π rad/s，則擺球的位移x隨時間t變化的關系式為x＝Asin ωt＝8sin(πt) cm，B正確；從t＝0.5 s到t＝1 s的過程中，擺球從最高點運動到最低點，重力勢能減小，C錯誤；從t＝1 s到t＝1.5 s的過程中，擺球的位移增大，回復力增大，D錯誤。]
10.BD　[由單擺的周期公式T＝2π可知，單擺的周期與擺球的質量無關，兩次實驗中周期相同，故A錯誤，B正確；在最低點，兩球的高度相同，所以重力勢能相同，故C錯誤；由機械能守恒定律可得mgL(1－cos θ)＝mv2，由向心力公式可得F－mg＝，聯立可得F＝3mg－2mgcos θ，第一次實驗的擺角大于第二次實驗，所以，第一次實驗中小球在最低點時，細繩對小球的拉力更大，故D正確。]
11.C　[根據單擺振動的規律可知，在一個周期內擺球會兩次經過最低點，即擺線會出現兩次拉力最大的時刻，則由題圖乙可知單擺周期為1.6 s，故A錯誤；根據單擺周期公式T＝2π，可得單擺擺長為L＝＝0.64 m，故B錯誤；設單擺的擺角為θ，當擺球擺到最高點時擺線拉力最小，為Fmin＝mgcos θ，設擺球運動至最低點時的速度大小為v，則根據機械能守恒定律有mv2＝mgL(1－cos θ)，在最低點時，根據牛頓第二定律有Fmax－mg＝m，聯立解得Fmin＝0.96 N，故C正確；根據單擺周期公式可知周期與擺球質量無關，所以若僅將擺球質量變為200 g，單擺周期不變，故D錯誤。]
12.(1)　　(2)
解析　(1)由于物塊做平拋運動，所以h＝gt2
所以t＝
對小球，有T＝2π，T＝2t
聯立可得L＝。
(2)物塊與小球碰撞過程動量守恒，有
m1v0＝m1v1＋m0v2，x＝v1t
所以v2＝。第三節　單　擺
學習目標　1.理解單擺模型和單擺擺球做簡諧運動的條件，知道單擺擺球運動時回復力的來源。 2.知道影響單擺周期的因素，能熟練運用單擺的周期公式解決相關問題。
知識點一　單擺及單擺擺球的回復力
如圖所示，一根細線上端固定，下端連接一個金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個很小的夾角，然后釋放。
(1)小球的往復運動屬于機械振動，其平衡位置在哪里？
(2)將小球所受重力分解為切向的分力F和徑向的分力F′，哪個分力充當回復力？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.單擺
(1)組成：由細繩和物體組成。
(2)條件
①懸掛物體的繩子的伸縮和質量可以________。
②繩長比物體的尺寸大很多，物體可以看作________。
(3)若單擺的擺角____________，單擺擺球的擺動可近似看成簡諧運動。
2.擺球的回復力
如圖所示，在擺角小的情況下，可認為分力mgsin θ近似指向平衡位置，即它提供擺球的回復力，即F＝mgsin θ。
3.擺球做簡諧運動的推證
在偏角較小時(θ<5°)，sin θ≈，可得單擺的回復力為F＝－mg(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，L為擺長，負號表示回復力F與位移x的方向相反)，由此知回復力符合F＝－kx，擺球做簡諧運動。
【思考】　小球通過平衡位置時回復力為零，合外力也為零嗎？若不為零，其合外力沿什么方向？加速度呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 如圖中O點為單擺的固定旋點，現將擺球(可視為質點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，擺球將在豎直平面內的A、C之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程中(　　)
A.擺球在A點和C點處，速度為零，位移也為零
B.擺球在A點和C點處，速度為零，回復力也為零
C.擺球在B點處，重力勢能最小，加速度也為零
D.擺球在B點處，動能最大，細線拉力也最大
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練1 關于單擺，下列說法中正確的是(　　)
A.擺球受到的回復力方向總是指向平衡位置
B.擺球受到的回復力是它的合力
C.擺球經過平衡位置時，所受的合力為零
D.擺角很小時，擺球受的合力的大小跟擺球對平衡位置的位移大小成正比
回復力與合外力
回復力是使物體回到平衡位置的力，不一定是物體所受到的合外力。彈簧振子中小球的回復力是振動方向上的合外力，單擺擺球的回復力是擺球所受重力沿圓弧切線方向的分力，不是擺球的合外力。　　　　
知識點二　單擺的周期公式
(1)1582年伽利略發現擺動的吊燈往返一次所需要的時間似乎都一樣。只改變物體質量，物體擺動周期不變，只改變繩子長度，物體擺動的周期將發生變化，據此我們可以判斷擺動周期與什么相關，與什么無關？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)將走時準確的擺鐘，由赤道拿到兩極，走時就不準了，據此猜測擺動周期可能與什么相關？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.在擺角很小的情況下，單擺的周期與小球質量和擺角________，與單擺擺長________。故單擺的簡諧運動周期也叫單擺的固有周期。
2.周期公式
(1)提出：周期公式是荷蘭物理學家________首先提出的。
(2)公式：T＝2π，即周期T跟擺長L的二次方根成________，跟重力加速度g的二次方根成________，而與振幅、擺球質量________。
3.對L、g的理解
(1)擺長L
①普通單擺擺長L＝L0＋，L0為擺線長，d為擺球直徑。
②等效擺長：圖(a)中甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長為Lsin α，這就是等效擺長。其周期T＝2π。圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動時，與甲擺等效；乙在紙面內小角度擺動時，與丙等效。
(2)重力加速度g
①g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所處的空間位置決定。
②在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同。
角度1　單擺周期公式的理解
例2 (粵教版教材P50課后題4改編)擺長是1 m的單擺在某地區的周期是2 s，則在同一地區(　　)
A.擺長是0.5 m的單擺的周期是4 s
B.擺長是0.5 m的單擺的周期是1 s
C.周期是1 s的單擺的擺長為2 m
D.周期是4 s的單擺的擺長為4 m
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角度2　單擺中的圖像問題
例3 (多選)(2024·廣東廣州期末)如圖甲，小明做擺角較小的單擺實驗，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達的左右最遠位置，小明通過實驗測出當地重力加速度g＝π2 m/s2，并且根據實驗情況繪制了單擺的振動圖像如圖乙，設圖中單擺向右振動為正方向，則下列選項正確的是(　　)
A.此單擺的振動頻率是2 Hz
B.單擺的擺長約為1.0 m
C.僅改變擺球質量，單擺周期不變
D.t＝0時刻，擺球位于B點
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角度3　單擺模型拓展
例4 (2024·重慶西南大學附中高二月考)如圖所示，光滑圓槽的半徑R遠大于小球運動的弧長。甲、乙、丙三個小球(均可視為質點)同時由靜止釋放，開始時，甲球比乙球離槽最低點O遠些，丙球在槽的圓心處。則以下關于它們第一次到達點O的先后順序的說法正確的是(　　)
A.乙先到，然后甲到，丙最后到
B.丙先到，然后甲、乙同時到
C.丙先到，然后乙到，甲最后到
D.甲、乙、丙同時到
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練2 如圖所示，三根長度均為l0的繩l1、l2、l3共同系住一密度均勻的小球m，球的直徑為d(d l0)，繩l2、l3與天花板的夾角α＝30°。則：
(1)若小球在紙面內做小角度的左右擺動，周期T1為多少？
(2)若小球做垂直于紙面的小角度擺動，周期T2又為多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
隨堂對點自測
1.(單擺及單擺的回復力)(多選)關于單擺的運動有下列說法，其中正確的是(　　)
A.單擺擺球的回復力是擺線的拉力與重力的合力
B.單擺擺球的回復力是重力沿擺球運動軌跡切向的分力
C.單擺的周期與擺球質量無關，與振幅無關，與擺長和當地的重力加速度有關
D.擺球做簡諧運動的條件是擺角很小，如小于5°
2.(單擺的周期公式)(多選)(2024·浙江杭州高二月考)如圖甲所示，O是擺球的平衡位置，B、C是擺球所能達到的最遠位置，以向右擺動為正方向，此擺球的振動圖像如圖乙所示，則(　　)
A.擺球的振幅是8 cm
B.單擺的擺長約為1 m
C.P點時刻擺球正在OC間向正方向擺動
D.擺球經過O點時，速度最大，加速度為零
3.(單擺的周期公式)(2024·廣東梅州高二期末)李華家有一帶有鐘擺(可視為單擺)的機械時鐘，最近發現這個時鐘每天要快5分鐘。若要使其準確計時，可適當(　　)
A.加長鐘擺長度 B.減小鐘擺長度
C.增加擺球質量 D.減小擺球質量
第三節　單　擺
知識點一
導學　提示　(1)O點　(2)F
知識梳理
1.(2)①忽略不計　②質點　(3)小于5°
[思考] 提示　合外力不為0，其合外力提供向心力，指向圓心。加速度不為0，向心加速度指向圓心。
例1 D　[擺球在擺動過程中，最高點C處是擺球的最大位移位置，速度為零，回復力最大，故A、B錯誤；最低點B是擺球的平衡位置，速度最大，動能最大，重力勢能最小，擺球做圓周運動，繩的拉力最大，加速度不為零，故C錯誤，D正確。]
訓練1 A　[根據回復力的定義知，擺球受到的回復力方向總是指向平衡位置，A正確；擺球的回復力除最高點外都不是擺球受力的合力，但不管在哪個位置均可認為是重力沿軌跡圓弧切線方向的分力，B錯誤；擺球經過平衡位置時，回復力為零，但合力不為零，因沿懸線方向上需要向心力，C、D錯誤。]
知識點二
導學　提示　(1)與繩長相關，與物體的質量無關
(2)當地的重力加速度。
知識梳理
1.無關　有關　2.(1)惠更斯　(2)正比　反比　無關
例2 D　[擺長是1 m的單擺的周期是2 s，根據單擺的周期公式T＝2π可知，當地的重力加速度g＝＝π2 m/s2。擺長是0.5 m 的單擺的周期T1＝2π＝2π× s＝1.414 s，故A、B錯誤；周期是1 s的單擺的擺長L2＝＝ m＝0.25 m，周期是4 s的單擺的擺長L3＝＝ m＝4 m，故C錯誤，D正確。]
例3 BCD　[由圖乙可知，此單擺的周期為T＝2.0 s，則此單擺的振動頻率為f＝＝0.5 Hz，故A錯誤；根據單擺周期公式T＝2π，可得單擺的擺長為L＝＝1.0 m，僅改變擺球質量，單擺周期不變，故B、C正確；由圖乙可知，t＝0時刻，擺球位于負向最大位移處，圖中單擺向右振動為正方向，則擺球位于B點，故D正確。]
例4 B　[對于丙球，根據自由落體運動規律有R＝gt，解得t3＝，對于甲、乙兩球，做簡諧運動，其運動周期為T＝2π，甲、乙兩球第一次到達點O時運動周期，則t1＝t2＝＝，故丙先到，然后甲、乙同時到，故B正確。]
訓練2 (1)2π　(2)2π
解析　(1)小球在紙面內做小角度的左右擺動，相當于以O′為懸點做簡諧運動，擺長為l＝l0＋
振動的周期為T1＝2π＝2π。
(2)小球做垂直于紙面的小角度擺動，相當于以O為懸點做簡諧運動，擺長為
l′＝l0＋l0sin α＋＝l0＋
振動周期為T2＝2π＝2π。
隨堂對點自測
1.BCD　[單擺擺球的回復力是重力沿擺球運動軌跡切向的分力，A錯誤，B正確；根據單擺的周期公式T＝2π可知，單擺的周期與擺球質量無關，與振幅無關，與擺長和當地的重力加速度有關，C正確；在擺角很小時，小于5°，擺球近似做簡諧運動，D正確。]
2.AB　[由乙圖可知，擺球的幅度為8 cm，故A正確；由乙圖可知，此單擺的周期T＝2 s，根據單擺周期公式T＝2π，代入數據可得單擺的擺長L≈1 m，故B正確；P點時刻擺球是從右向左擺動的過程，且尚未到達最低點，因此擺球正在OC間向負方向擺動，故C錯誤；擺球經過O點時，此時位于最低點，所以動能最大，且擺球的切向加速度為零，但它的徑向加速度不為零，故D錯誤。]
3.A　[由T＝2π，可知，擺鐘周期與擺球質量無關，這個時鐘每天要快5分鐘，說明擺鐘周期偏小，若要使其準確計時，應加長鐘擺長度。故A正確。]

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