資源簡介

第二節　簡諧運動的描述
(分值：100分)
選擇題1～9題，每小題10分，共90分。
基礎對點練
題組一　簡諧運動的函數描述
1.一彈簧振子的位移y隨時間t變化的關系式為y＝0.1sin(2.5πt) m。則(　　)
小球振動的振幅為0.2 m
小球振動的周期為1.25 s
t＝0.2 s時，小球運動的加速度最大
在任意0.2 s時間內，小球的位移均為0.1 m
2.三個物體的簡諧運動的函數表達式分別是xA＝4sincm，xB＝6sincm，xC＝8 sin cm，下列說法正確的是(　　)
A、B兩物體屬于同相振動
A、C兩物體屬于同相振動
B、C兩物體屬于同相振動
B、C兩物體屬于反相振動
3.(2024·廣州高二期中)做簡諧運動的物體的位移x與運動時間的關系是x＝Asin(ωt＋φ)，那么物體在運動一個周期內的平均速率是(　　)
題組二　簡諧運動的圖像描述
4.(多選)(2024·廣東深圳高二期中)如圖所示是一彈簧振子在水平面內做簡諧運動的x－t圖像，關于小球的運動，下列說法正確的是(　　)
t1時刻和t2時刻具有相同的動能
t2到1.0 s時間內加速度變小，速度減小
小球的振動方程是x＝0.10sin(πt) m
t2數值等于3倍的t1數值
5.(多選)(2024·福建廈門高二期中)如圖甲所示，彈簧振子中小球以O點為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動，取向右為正方向，小球的位移x隨時間t的變化如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)
t＝0.2 s時，小球在O點右側6 cm處
t＝0.8 s時，小球的速度方向向左
t＝0.4 s和t＝1.2 s時，小球的加速度完全相同
t＝0.4 s到t＝0.8 s的時間內，小球的速度逐漸增大
題組三　簡諧運動的周期性和對稱性
6.一質點做簡諧運動，它從最大位移處經0.3 s第一次到達某點M處，再經0.2 s第二次到達M點，則其振動頻率為(　　)
0.4 Hz 0.8 Hz
2.5 Hz 1.25 Hz
綜合提升練
7.如圖甲所示，彈簧振子中小球以O點為平衡位置，在A、B兩點間做簡諧運動，圖乙為該小球的振動圖像，由圖可知下列說法中正確的是(　　)
小球受重力、支持力、彈簧的彈力、回復力
t＝0.1 s時，小球的位移為2.5 cm
從t＝0到t＝0.2 s的時間內，小球的動能持續地增加
在t＝0.2 s與t＝0.6 s兩個時刻，小球的回復力不相同
8.一位游客在千島湖邊欲乘坐游船，當日風浪較大，游船上下浮動。可把游船浮動簡化成豎直方向的簡諧運動，振幅為20 cm，周期為3.0 s。當船上升到最高點時，甲板剛好與碼頭地面平齊。地面與甲板的高度差不超過10 cm時，游客能舒服地登船。在一個周期內，游客能舒服登船的時間是(　　)
0.5 s 0.75 s
1.0 s 1.5 s
9.(多選)(2024·湖北武漢高二期末)如圖為A、B兩個物體做簡諧運動的位移—時間圖像，由該圖像可知A、B兩個物體做簡諧運動的(　　)
振幅之比為2∶1
周期之比為2∶1
頻率之比為2∶1
0～8 s內通過的路程之比為2∶1
培優加強練
10.(10分)如圖，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊A，物塊沿豎直方向做簡諧運動，以豎直向上為正方向，物塊簡諧運動的表達式為y＝0.1sin(2.5πt)m，t＝0時刻，物塊A開始振動，t1＝0.8 s時一小球B從距物塊h高處開始自由落下；t2＝1.4 s時，小球B恰好與物塊A處于同一高度；取重力加速度的大小g＝10 m/s2。求：
(1)(3分)簡諧運動的周期T；
(2)(3分)t＝1.4 s內物塊A運動的路程s；
(3)(4分)h的大小。
第二節　簡諧運動的描述
1.C　[由簡諧運動的振動方程可知，小球振動的振幅為0.1 m，故A錯誤；由簡諧運動的振動方程可知ω＝＝2.5π，解得T＝0.8 s，故B錯誤；在t＝0.2 s時，y＝0.1 m，位于振動的最大位移處，此時加速度最大，故C正確；根據周期性，小球在一個周期內通過的路程為4A，但是在周期內通過的路程不一定是A，故D錯誤。]
2.C　[兩振動的函數表達式中初相位之差|Δφ|如果是2π的整數倍，則兩振動為同相振動，如果|Δφ|＝π，則屬反相振動，|φA－φB|＝|Δφ1|＝，|φA－φC|＝|Δφ2|＝，|φB－φC|＝|Δφ3|＝2π，故C正確，A、B、D錯誤。]
3.D　[物體在運動一個周期內的路程為4A，周期為T＝，故物體在運動一個周期內的平均速率是v＝＝，故D正確。]
4.AC　[t1時刻和t2時刻小球的位移相同，則速度大小相同，則具有相同的動能，A正確；t2到1.0 s時間內位移逐漸減小，則回復力減小，加速度變小，但是速度增加，B錯誤；因為ω＝＝π rad/s，則小球的振動方程是x＝0.10sin(πt) m，C正確；由數學知識可知，t2數值等于5倍的t1數值，D錯誤。]
5.BD　[由題圖乙可知，小球的振動方程為x＝12sin(1.25πt)cm，t＝0.2 s時，小球的位移為x＝12sin(1.25π×0.2)cm＝6 cm，即小球在O點右側6 cm處，故A錯誤；t＝0.8 s時，小球的速度方向向左，故B正確；t＝0.4 s和t＝1.2 s時，小球的加速度大小相等、方向相反，故C錯誤；t＝0.4 s到t＝0.8 s的時間內，小球的位移逐漸減小，速度逐漸增大，故D正確。]
6.D　[由題意知，從M位置沿著原路返回到起始最大位移處的時間也為0.3 s，故完成一個全振動的時間為T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故頻率為f＝＝1.25 Hz，D正確。]
7.D　[回復力是效果力，由彈簧彈力提供，A錯誤；小球位移隨時間不是均勻變化，B錯誤；t＝0到t＝0.2 s的時間內，小球遠離平衡位置，速度減小，動能減小，C錯誤；t＝0.2 s與t＝0.6 s兩個時刻，位移大小相等，方向相反，所以回復力的大小相等，方向相反，即回復力不相同，D正確。]
8.C　[由振動周期T＝3.0 s知ω＝＝ rad/s，振幅A＝20 cm知，游船做簡諧運動的振動方程為x＝Acos(ωt)＝20cos cm。在一個周期內，當x＝10 cm時，解得t1＝0.5 s，t2＝2.5 s。游客能舒服登船的時間Δt＝t1－0＋T－t2＝1 s，故選項C正確。]
9.AC　[由圖可知，A的振幅為2 m，B的振幅為1 m，則振幅之比為2∶1，故A正確；由圖可知，A的周期為4 s，B的周期為8 s，則周期之比為1∶2，故B錯誤；A的頻率為fA＝ Hz，B的頻率為fB＝ Hz，則頻率之比為2∶1，故C正確；A在0～8 s內即兩個周期內通過的路程為sA＝2×4A＝2×4×2 m＝16 m，B在0～8 s內即一個周期內通過的路程為sB＝4A＝4×1 m＝4 m，則0～8 s內物體通過的路程比為4∶1，故D錯誤。]
10.(1)0.8 s　(2)0.7 m　(3)1.7 m
解析　(1)根據物塊簡諧運動的表達式
y＝0.1sin(2.5πt)m，可知ω＝2.5π rad/s
則簡諧運動的振幅為A＝0.1 m
簡諧運動的周期T＝＝ s＝0.8 s。
(2)因n＝＝＝1.75
則t＝1.4 s內物塊A運動的路程
s＝n×4A＝1.75×4×0.1 m＝0.7 m。
(3)t2＝1.4 s時y＝0.1sin(2.5π×1.4) m＝－0.1 m
小球B做自由落體運動，有h＋|y|＝g(t2－t1)2
解得h＝1.7 m。第二節　簡諧運動的描述
學習目標　1.了解簡諧運動的函數表達式中各量的物理意義，能根據運動情況寫出簡諧運動的函數表達式。 2.了解初相位和相位差的概念，理解相位的物理意義，能依據簡諧運動的表達式描繪振動圖像。
知識點一　簡諧運動的函數描述
甲、乙兩同學合作模擬彈簧振子的x－t圖像。如圖所示，取一張白紙，在正中間畫一條直線OO′，將白紙平鋪在桌面上，甲同學用手使鉛筆尖從O點沿垂直于OO′方向振動畫線，乙同學沿O′O方向水平向右勻速拖動白紙。
(1)白紙不動時，甲同學畫出的軌跡是怎樣的？
(2)乙同學向右慢慢勻速拖動白紙時，甲同學畫出的軌跡又是怎樣的？
(3)該軌跡類似于哪種函數關系圖線？勻速拉動紙帶時，O′O能否當作時間軸？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.簡諧運動的表達式
(1)簡諧運動位移—時間圖像的函數表達式為x＝________________，式中A為簡諧運動的振幅，ω為簡諧運動的角頻率。
(2)ω與周期T或者頻率f的關系為ω＝______＝________。
2.對表達式x＝Acos (ωt＋φ)的理解
(1)表達式反映了做簡諧運動的物體的位移x隨時間t的變化規律。
(2)通過簡諧運動的函數描述可得出簡諧運動的振幅、周期、頻率等物理量。
(3)從表達式x＝Acos (ωt＋φ)體會簡諧運動的周期性，每經過一個周期T物體完成一次全振動，當Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ時，Δt＝nT，物體位移相同。
【思考】　物體的位移遵循x＝5sin cm的規律，那么這是簡諧運動嗎？振幅和周期為多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (多選)(2024·廣東廣州高二月考)如圖所示，水平彈簧振子沿x軸在M、N間做簡諧運動，坐標原點O為小球的平衡位置，其振動方程為x＝5cos(10πt) cm。下列說法正確的是(　　)
A.M、N間距離為5 cm
B.小球的振動周期是0.2 s
C.t＝0時，小球位于N點
D.t＝0.05 s，小球具有最大加速度
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練1 彈簧振子做簡諧運動，振幅為0.4 cm，周期為0.5 s，計時開始時具有正向最大加速度，則它的位移公式是(　　)
A.x＝8×10－3cos(4πt＋π) m
B.x＝4×10－3cos(4πt＋π) m
C.x＝8×10－3cos(2πt＋π) m
D.x＝4×10－3cos(2πt－π) m
(1)首先明確表達式x＝Acos (ωt＋φ)中各物理量的物理意義。
(2)其次明確振幅、周期、頻率的對應關系，其中T＝，f＝。
(3)最后把確定的物理量與所需要解決的問題相對應，找到物理量之間的關系。　　　　
知識點二　簡諧運動的圖像描述
簡諧運動的表達式為余弦函數，下面我們把某物體的振動表達式用函數圖像描述如下，思考以下問題：
圖像反映了物體的________隨________變化的規律，________(選填“代表”或者“不代表”)物體運動的軌跡。該物體的振幅為________cm，周期為________s，頻率為________Hz。
1.簡諧運動函數的相位和相位差
(1)x＝cos (ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位，而對應t＝0時的相位________叫作初相位，簡稱初相。
(2)對于頻率相同、相位不同的物體，我們通過對比它們的相位差來比較它們的振動________關系。
(3)若相位差用Δφ表示，則Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝________。
2.由簡諧運動的圖像獲取的信息
(1)簡諧運動的周期、頻率、相位、振幅。
(2)某一時刻物體的位移的大小和方向。
【思考】　P、Q兩小球做簡諧運動的x－t函數表達式x1＝A1cos t，x2＝A2cos，如圖所示為二者的振動曲線，試思考以下問題：
(1)P、Q兩小球的初相位和相位差分別為多少？
(2)P在T時刻達到正的最大位移處，而Q在T時刻即達到正的最大位移處，代表P比Q振動超前還是滯后，相差多長時間(用周期表示)。
(3)P、Q兩小球振動的相位差隨時間變化嗎？相位差有何意義？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 如圖甲所示為以O點為平衡位置，在A、B兩點間做簡諧運動的彈簧振子，圖乙為小球的振動圖像，以向右為正方向，由圖可知下列說法中正確的是 (　　)
A.在t＝0.2 s時刻，小球運動到O位置
B.在t＝0.1 s與t＝0.3 s兩個時刻，小球的速度相同
C.從t＝0到t＝0.2 s的時間內，小球的動能持續地減小
D.在t＝0.2 s與t＝0.6 s兩個時刻，小球的加速度相同
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練2 一小球以O點為平衡位置，在A、B間做簡諧運動，如圖甲所示，它的振動圖像如圖乙所示，設向右為正方向，下列說法正確的是(　　)
A.該小球的振動方程為x＝0.05sin(2.5πt)m
B.0.2 s末小球的速度方向向右
C.0.2～0.3 s小球做加速運動
D.0.7 s時小球的位置在O與B之間
知識點三　簡諧運動的周期性與對稱性
簡諧運動是一種周期性的運動，簡諧運動的物理量隨時間周期性變化，如圖所示，物體在A、B兩點間做簡諧運動，O點為平衡位置，OC＝OD。
(1)時間的對稱
①物體來回通過相同兩點間的時間相等，即tDB＝tBD。
②物體經過關于平衡位置對稱的等長的兩線段的時間相等，圖中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的對稱
①物體連續兩次經過同一點(如D點)的速度大小相等，方向相反。
②物體經過關于O點對稱的兩點(如C點與D點)時，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的對稱
①物體經過同一點(如C點)時，位移相同。
②物體經過關于O點對稱的兩點(如C點與D點)時，位移大小相等、方向相反。
角度1　簡諧運動的對稱性
例3 (多選)某彈簧振子做簡諧運動，小球的位移隨時間變化的關系式為x＝Asin t，單位為cm，則小球(　　)
A.第1 s末與第3 s末的位移相同
B.第1 s末與第3 s末的速度相同
C.第3 s末至第5 s末的位移方向都相同
D.第3 s末至第5 s末的速度方向都相同
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　簡諧運動的周期性
例4 (多選)(2024·廣東廣州高二期中)一質點在平衡位置O附近做簡諧運動，從它經過平衡位置向右運動開始計時，經0.13 s質點第一次通過M點，再經0.1 s第二次通過M點，則質點振動周期的可能值為(　　)
A.0.72 s B.0.36 s
C.0.24 s D.0.18 s
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練3 一小球以O點為平衡位置，在B、C兩點間做簡諧運動，在t＝0時刻，小球從O、B間的P點以速度v向B點運動；在t＝0.2 s時，小球速度第一次變為－v；在t＝0.5 s時，小球速度第二次變為－v。
(1)從t＝0開始需多長時間小球速度第三次變為－v。
(2)若小球在4 s內通過的路程為200 cm，求B、C之間的距離。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
隨堂對點自測
1.(簡諧運動的函數描述)某質點做簡諧運動，其位移隨時間變化的關系式為x＝3sin cm，則(　　)
A.質點的振幅為3 m
B.質點的振動周期為 s
C.t＝0.75 s時，質點到達距平衡位置最遠處
D.質點前2 s內的位移為－4.5 cm
2.(簡諧運動的兩種描述)(2024·廣東汕頭高二期末)如圖所示為兒童玩具彈簧木馬，某同學坐上彈簧木馬后，由同伴配合啟動，若只進行上下運動，忽略能量損失，可將木馬和該同學組成的整體的運動看作簡諧運動，此時做簡諧運動的振動圖像如圖，下列判斷正確的是(　　)
A.t＝0.4 s時，該整體做簡諧運動的位移最大，且處于超重狀態
B.t＝0.4 s到t＝1.2 s的時間內，該整體的速度先變小后變大
C.t＝0.2 s和t＝1.4 s時，該整體的加速度相同
D.該整體做簡諧運動的表達式為x＝12sin(1.25πt)cm
3.(簡諧運動的周期性和對稱性)彈簧振子做簡諧運動，若從平衡位置O開始計時，如圖，經過0.2 s(0.2 s小于小球的四分之一振動周期)時，小球第一次經過P點，又經過了0.2 s，小球第二次經過P點，則小球的振動周期為(　　)
A.0.4 s B.0.8 s
C.1.0 s D.1.2 s
第二節　簡諧運動的描述
知識點一
導學　提示　(1)是一條垂直于OO′的直線。
(2)軌跡如圖所示。
(3)正弦函數　能，因為水平運動的距離與時間成正比。
知識梳理
1.(1)Acos (ωt＋φ)　(2)　2πf
[思考] 提示　是　5 cm　0.25 s。
例1 BC　[M、N間距離為2A＝10 cm，選項A錯誤；因為ω＝10π rad/s，可知小球的振動周期T＝＝ s＝0.2 s，選項B正確；由x＝5cos(10πt) cm可知t＝0時x＝5 cm，即小球位于N點，選項C正確；t＝0.05 s時x＝0，此時小球在O點，加速度為零，選項D錯誤。]
訓練1 B　[t＝0時刻小球具有正向最大加速度，說明此時小球的位移是負向最大，則在位移公式x＝Acos (ωt＋φ)中，φ＝±π，角頻率ω＝＝ rad/s＝4π rad/s，振幅A＝0.4 cm＝4×10－3 m，故位移公式為x＝0.4cos(4πt±π) cm＝4×10－3cos(4πt±π) m，故選項B正確。]
知識點二
導學　提示　位移　時間　不代表　4　4　0.25
知識梳理
1.(1)φ　(2)先后　(3)φ1－φ2
[思考] 提示　(1)φP＝0　φQ＝　Δφ＝φP－φQ＝－
(2)P比Q振動滯后T
(3)相位差是絕對的，不隨時間的變化而變化。相位差表示兩個頻率相同的簡諧運動的振動先后關系。
例2 C　[由題圖知，t＝0時，小球位于平衡位置，在t＝0.2 s時刻，小球運動到B位置，故A錯誤；在t＝0.1 s與t＝0.3 s 兩個時刻，小球的速度大小相等，方向相反，故B錯誤；從t＝0到t＝0.2 s的時間內，小球的位移越來越大，彈簧的彈性勢能越來越大，小球的動能越來越小，故C正確；在t＝0.2 s與t＝0.6 s兩個時刻，小球的加速度大小相等，方向相反，故D錯誤。]
訓練2 D　[由圖乙得小球振動的振幅為0.05 m，周期T＝0.8 s，角頻率ω＝＝ rad/s＝
2.5π rad/s，該小球的振動方程為x＝0.05sin(2.5πt＋φ)m，當t＝0時，x＝0.05 m，代入可得φ＝，故該小球的振動方程為x＝0.05sinm，故A錯誤；根據振動圖像得0.2 s末小球經過平衡位置向負的最大位移振動，所以此時速度方向從O指向A，方向向左，故B錯誤；0.2～0.3 s小球由平衡位置向負的最大位移振動，此過程速度的方向與所受力的方向相反，故小球在做減速運動，故C錯誤；0.7 s小球在平衡位置和正的最大位移處之間，所以在O與B之間，故D正確。]
知識點三
例3 AD　[根據位移關系式畫出x－t圖像，根據對稱性可知第1 s末與第3 s末位移相同，A正確；
第1 s末小球向正方向運動，遠離平衡位置，而第3 s末小球向負方向運動，衡位置，兩個時刻的速度方向相反，B錯誤；第3 s末至第5 s末小球的速度方向一直為負，D正確；從圖像還可看出，第3 s末至第4 s末的位移方向為正，第4 s末至第5 s末的位移方向為負，C錯誤。]
例4 AC　[質點的振動周期共存在兩種可能性，設質點在AA′范圍內運動，若如圖甲所示
甲
由O→M→A歷時0.13 s＋0.05 s＝0.18 s，則周期為T＝4×0.18 s＝0.72 s，若如圖乙所示
乙
由O→A′→M歷時t1＝0.13 s，由M→A→M歷時t2＝0.1 s，設由O→M或由M→O歷時為t，則0.13 s－t＝2t＋0.1 s，故t＝0.01 s；所以周期為T＝t1＋t2＋t＝0.13 s＋0.1 s＋0.01 s＝0.24 s，故A、C正確，B、D錯誤。]
訓練3 (1)1.2 s　(2)25 cm
解析　(1)小球做簡諧運動，由對稱性可得小球運動的周期
T＝0.5×2 s＝1 s
所需時間t0＝T＋0.2 s＝1.2 s
由題意知在4 s內小球通過200 cm的路程，即通過16個振幅的路程，振幅A＝ cm＝12.5 cm
故B、C之間的距離為xBC＝2A＝25 cm。
隨堂對點自測
1.D　[從關系式可知A＝3 cm，ω＝ rad/s，故周期為T＝＝3 s，故A、B錯誤；t＝0.75 s時，質點的位移為x＝3sin cm＝0，質點在平衡位置處，故C錯誤；在t＝0時刻質點的位移x＝3 cm，2 s時質點的位移x′＝3sin cm＝－1.5 cm，故前2 s內質點的位移為－4.5 cm，故D正確。]
2.D　[t＝0.4 s時，該整體做簡諧運動的位移最大，此時加速度向下，處于失重狀態，故A錯誤；t＝0.4 s到t＝1.2 s的時間內，該整體由最高點到平衡位置，再到最低點，則整體的速度先變大后變小，故B錯誤；t＝0.2 s和t＝1.4 s時，該整體的加速度大小相同，但是方向相反，故C錯誤；角頻率ω＝＝ rad/s＝1.25π rad/s，該整體做簡諧運動的表達式為x＝12sin(1.25πt)cm，故D正確。]
3.D　[由題意可知，小球從O開始向右運動，設小球向右運動的最遠點為Q，根據對稱性可知小球從P向右運動到Q的時間為0.1 s，則小球從O向右運動到Q的時間為0.3 s，所以小球的周期為1.2 s，故D正確。](共49張PPT)
第二節　簡諧運動的描述
第二章　機械振動
1.了解簡諧運動的函數表達式中各量的物理意義，能根據運動情況寫出簡諧運動的函數表達式。
2.了解初相位和相位差的概念，理解相位的物理意義，能依據簡諧運動的表達式描繪振動圖像。
學習目標
目 錄
CONTENTS
知識點
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
知識點
1
知識點二　簡諧運動的圖像描述
知識點一　簡諧運動的函數描述
知識點三　簡諧運動的周期性與對稱性
知識點一　簡諧運動的函數描述
　　　甲、乙兩同學合作模擬彈簧振子的x－t圖像。如圖所示，取一張白紙，在正中間畫一條直線OO′，將白紙平鋪在桌面上，甲同學用手使鉛筆尖從O點沿垂直于OO′方向振動畫線，乙同學沿O′O方向水平向右勻速拖動白紙。
(1)白紙不動時，甲同學畫出的軌跡是怎樣的？
(2)乙同學向右慢慢勻速拖動白紙時，甲同學畫出的軌跡又是怎樣的？
(3)該軌跡類似于哪種函數關系圖線？勻速拉動紙帶時，O′O能否當作時間軸？
提示　(1)是一條垂直于OO′的直線。
(2)軌跡如圖所示。
(3)正弦函數　能，因為水平運動的距離與時間成正比。
1.簡諧運動的表達式
(1)簡諧運動位移—時間圖像的函數表達式為x＝____________，式中A為簡諧運動的振幅，ω為簡諧運動的角頻率。
Acos (ωt＋φ)
(2)ω與周期T或者頻率f的關系為ω＝______＝________。
2πf
2.對表達式x＝Acos (ωt＋φ)的理解
(1)表達式反映了做簡諧運動的物體的位移x隨時間t的變化規律。
(2)通過簡諧運動的函數描述可得出簡諧運動的振幅、周期、頻率等物理量。
(3)從表達式x＝Acos (ωt＋φ)體會簡諧運動的周期性，每經過一個周期T物體完成一次全振動，當Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ時，Δt＝nT，物體位移相同。
BC
例1 (多選)(2024·廣東廣州高二月考)如圖所示，水平彈簧振子沿x軸在M、N間做簡諧運動，坐標原點O為小球的平衡位置，其振動方程為x＝5cos(10πt) cm。下列說法正確的是(　　)
A.M、N間距離為5 cm
B.小球的振動周期是0.2 s
C.t＝0時，小球位于N點
D.t＝0.05 s，小球具有最大加速度
B
訓練1 彈簧振子做簡諧運動，振幅為0.4 cm，周期為0.5 s，計時開始時具有正向最大加速度，則它的位移公式是(　　)
A.x＝8×10－3cos(4πt＋π) m B.x＝4×10－3cos(4πt＋π) m
C.x＝8×10－3cos(2πt＋π) m D.x＝4×10－3cos(2πt－π) m
知識點二　簡諧運動的圖像描述
　　　簡諧運動的表達式為余弦函數，下面我們把某物體的振動表達式用函數圖像描述如下，思考以下問題：
圖像反映了物體的________隨________變化的規律，________(選填“代表”或者“不代表”)物體運動的軌跡。該物體的振幅為________cm，周期為________s，頻率為________Hz。
提示　位移　時間　不代表　4　4　0.25
1.簡諧運動函數的相位和相位差
(1)x＝cos (ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位，而對應t＝0時的相位____叫作初相位，簡稱初相。
(2)對于頻率相同、相位不同的物體，我們通過對比它們的相位差來比較它們的振動______關系。
(3)若相位差用Δφ表示，則Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝____________。
2.由簡諧運動的圖像獲取的信息
(1)簡諧運動的周期、頻率、相位、振幅。
(2)某一時刻物體的位移的大小和方向。
φ
先后
φ1－φ2
(3)相位差是絕對的，不隨時間的變化而變化。相位差表示兩個頻率相同的簡諧運動的振動先后關系。
C
例2 如圖甲所示為以O點為平衡位置，在A、B兩點間做簡諧運動的彈簧振子，圖乙為小球的振動圖像，以向右為正方向，由圖可知下列說法中正確的是 (　　)
A.在t＝0.2 s時刻，小球運動到O位置
B.在t＝0.1 s與t＝0.3 s兩個時刻，小球的速度相同
C.從t＝0到t＝0.2 s的時間內，小球的動能持續地減小
D.在t＝0.2 s與t＝0.6 s兩個時刻，小球的加速度相同
解析　由題圖知，t＝0時，小球位于平衡位置，在t＝0.2 s時刻，小球運動到B位置，故A錯誤；在t＝0.1 s與t＝0.3 s 兩個時刻，小球的速度大小相等，方向相反，故B錯誤；從t＝0到t＝0.2 s的時間內，小球的位移越來越大，彈簧的彈性勢能越來越大，小球的動能越來越小，故C正確；在t＝0.2 s與t＝0.6 s兩個時刻，小球的加速度大小相等，方向相反，故D錯誤。
D
訓練2 一小球以O點為平衡位置，在A、B間做簡諧運動，如圖甲所示，它的振動圖像如圖乙所示，設向右為正方向，下列說法正確的是(　　)
A.該小球的振動方程為x＝0.05sin(2.5πt)m
B.0.2 s末小球的速度方向向右
C.0.2～0.3 s小球做加速運動
D.0.7 s時小球的位置在O與B之間
知識點三　簡諧運動的周期性與對稱性
簡諧運動是一種周期性的運動，簡諧運動的物理量隨時間周期性變化，如圖所示，物體在A、B兩點間做簡諧運動，O點為平衡位置，OC＝OD。
(1)時間的對稱
①物體來回通過相同兩點間的時間相等，即tDB＝tBD。
②物體經過關于平衡位置對稱的等長的兩線段的時間相等，圖中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的對稱
①物體連續兩次經過同一點(如D點)的速度大小相等，方向相反。
②物體經過關于O點對稱的兩點(如C點與D點)時，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的對稱
①物體經過同一點(如C點)時，位移相同。
②物體經過關于O點對稱的兩點(如C點與D點)時，位移大小相等、方向相反。
A.第1 s末與第3 s末的位移相同
B.第1 s末與第3 s末的速度相同
C.第3 s末至第5 s末的位移方向都相同
D.第3 s末至第5 s末的速度方向都相同
AD
解析　根據位移關系式畫出x－t圖像，根據對稱性可知第1 s末與第3 s末位移相同，A正確；
第1 s末小球向正方向運動，遠離平衡位置，而第3 s末小球向負方向運動，衡位置，兩個時刻的速度方向相反，B錯誤；第3 s末至第5 s末小球的速度方向一直為負，D正確；從圖像還可看出，第3 s末至第4 s末的位移方向為正，第4 s末至第5 s末的位移方向為負，C錯誤。
AC
角度2　簡諧運動的周期性
例4 (多選)(2024·廣東廣州高二期中)一質點在平衡位置O附近做簡諧運動，從它經過平衡位置向右運動開始計時，經0.13 s質點第一次通過M點，再經0.1 s第二次通過M點，則質點振動周期的可能值為(　　)
A.0.72 s B.0.36 s C.0.24 s D.0.18 s
解析　質點的振動周期共存在兩種可能性，設質點在AA′范圍內運動，若如圖甲所示
甲
由O→M→A歷時0.13 s＋0.05 s＝0.18 s，則周期為T＝4×0.18 s＝0.72 s，若如圖乙所示
乙
由O→A′→M歷時t1＝0.13 s，由M→A→M歷時t2＝0.1 s，設由O→M或由M→O歷時為t，則0.13 s－t＝2t＋0.1 s，故t＝0.01 s；所以周期為T＝t1＋t2＋t＝0.13 s＋0.1 s＋0.01 s＝0.24 s，故A、C正確，B、D錯誤。
訓練3 小球以O點為平衡位置，在B、C兩點間做簡諧運動，在t＝0時刻，小球從O、B間的P點以速度v向B點運動；在t＝0.2 s時，小球速度第一次變為－v；在t＝0.5 s時，小球速度第二次變為－v。
(1)從t＝0開始需多長時間小球速度第三次變為－v。
(2)若小球在4 s內通過的路程為200 cm，求B、C之間的距離。
答案　(1)1.2 s　(2)25 cm
解析　(1)小球做簡諧運動，由對稱性可得小球運動的周期T＝0.5×2 s＝1 s
所需時間t0＝T＋0.2 s＝1.2 s。
(2)由題意知在4 s內小球通過200 cm的路程，即通過16個振幅的路程，振幅
故B、C之間的距離為xBC＝2A＝25 cm。
隨堂對點自測
2
D
D
2.(簡諧運動的兩種描述)(2024·廣東汕頭高二期末)如圖所示為兒童玩具彈簧木馬，某同學坐上彈簧木馬后，由同伴配合啟動，若只進行上下運動，忽略能量損失，可將木馬和該同學組成的整體的運動看作簡諧運動，此時做簡諧運動的振動圖像如圖，下列判斷正確的是(　　)
A.t＝0.4 s時，該整體做簡諧運動的位移最大，且處于超重狀態
B.t＝0.4 s到t＝1.2 s的時間內，該整體的速度先變小后變大
C.t＝0.2 s和t＝1.4 s時，該整體的加速度相同
D.該整體做簡諧運動的表達式為x＝12sin(1.25πt)cm
D
3.(簡諧運動的周期性和對稱性)彈簧振子做簡諧運動，若從平衡位置O開始計時，如圖，經過0.2 s(0.2 s小于小球的四分之一振動周期)時，小球第一次經過P點，又經過了0.2 s，小球第二次經過P點，則小球的振動周期為(　　)
A.0.4 s B.0.8 s
C.1.0 s D.1.2 s
解析　由題意可知，小球從O開始向右運動，設小球向右運動的最遠點為Q，根據對稱性可知小球從P向右運動到Q的時間為0.1 s，則小球從O向右運動到Q的時間為0.3 s，所以小球的周期為1.2 s，故D正確。
課后鞏固訓練
3
C
基礎對點練
題組一　簡諧運動的函數描述
1.一彈簧振子的位移y隨時間t變化的關系式為y＝0.1sin(2.5πt) m。則(　　)
A.小球振動的振幅為0.2 m
B.小球振動的周期為1.25 s
C.t＝0.2 s時，小球運動的加速度最大
D.在任意0.2 s時間內，小球的位移均為0.1 m
C
D
AC
題組二　簡諧運動的圖像描述
4.(多選)(2024·廣東深圳高二期中)如圖所示是一彈簧振子在水平面內做簡諧運動的x－t圖像，關于小球的運動，下列說法正確的是(　　)
A.t1時刻和t2時刻具有相同的動能
B.t2到1.0 s時間內加速度變小，速度減小
C.小球的振動方程是x＝0.10sin(πt) m
D.t2數值等于3倍的t1數值
BD
5.(多選)(2024·福建廈門高二期中)如圖甲所示，彈簧振子中小球以O點為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動，取向右為正方向，小球的位移x隨時間t的變化如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)
A.t＝0.2 s時，小球在O點右側6 cm處
B.t＝0.8 s時，小球的速度方向向左
C.t＝0.4 s和t＝1.2 s時，小球的加速度完全相同
D.t＝0.4 s到t＝0.8 s的時間內，小球的速度逐漸增大
D
題組三　簡諧運動的周期性和對稱性
6.一質點做簡諧運動，它從最大位移處經0.3 s第一次到達某點M處，再經0.2 s第二次到達M點，則其振動頻率為(　　)
A.0.4 Hz B.0.8 Hz C.2.5 Hz D.1.25 Hz
D
綜合提升練
7.如圖甲所示，彈簧振子中小球以O點為平衡位置，在A、B兩點間做簡諧運動，圖乙為該小球的振動圖像，由圖可知下列說法中正確的是(　　)
A.小球受重力、支持力、彈簧的彈
力、回復力
B.t＝0.1 s時，小球的位移為2.5 cm
C.從t＝0到t＝0.2 s的時間內，小球的動能持續地增加
D.在t＝0.2 s與t＝0.6 s兩個時刻，小球的回復力不相同
解析　回復力是效果力，由彈簧彈力提供，A錯誤；小球位移隨時間不是均勻變化，B錯誤；t＝0到t＝0.2 s的時間內，小球遠離平衡位置，速度減小，動能減小，C錯誤；t＝0.2 s與t＝0.6 s兩個時刻，位移大小相等，方向相反，所以回復力的大小相等，方向相反，即回復力不相同，D正確。
C
8.一位游客在千島湖邊欲乘坐游船，當日風浪較大，游船上下浮動。可把游船浮動簡化成豎直方向的簡諧運動，振幅為20 cm，周期為3.0 s。當船上升到最高點時，甲板剛好與碼頭地面平齊。地面與甲板的高度差不超過10 cm時，游客能舒服地登船。在一個周期內，游客能舒服登船的時間是(　　)
A.0.5 s B.0.75 s C.1.0 s D.1.5 s
AC
9.(多選)(2024·湖北武漢高二期末)如圖為A、B兩個物體做簡諧運動的位移—時間圖像，由該圖像可知A、B兩個物體做簡諧運動的(　　)
A.振幅之比為2∶1
B.周期之比為2∶1
C.頻率之比為2∶1
D.0～8 s內通過的路程之比為2∶1
培優加強練
10.如圖，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊A，物塊沿豎直方向做簡諧運動，以豎直向上為正方向，物塊簡諧運動的表達式為y＝0.1sin(2.5πt)m，t＝0時刻，物塊A開始振動，t1＝0.8 s時一小球B從距物塊h高處開始自由落下；t2＝1.4 s時，小球B恰好與物塊A處于同一高度；取重力加速度的大小g＝10 m/s2。求：
(1)簡諧運動的周期T；
(2)t＝1.4 s內物塊A運動的路程s；
(3)h的大小。
答案　(1)0.8 s　(2)0.7 m　(3)1.7 m
解析　(1)根據物塊簡諧運動的表達式
y＝0.1sin(2.5πt)m，可知ω＝2.5π rad/s
則簡諧運動的振幅為A＝0.1 m
則t＝1.4 s內物塊A運動的路程s＝n×4A＝1.75×4×0.1 m＝0.7 m。
(3)t2＝1.4 s時y＝0.1sin(2.5π×1.4) m＝－0.1 m
解得h＝1.7 m。

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