資源簡介

浙教版（2024）數學七年級下冊5.4 分式的加減 同步分層練習
一、夯實基礎
1．（2025·高州模擬）計算的結果為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】分式的加減法
【解析】【解答】解：，
故答案為：B．
【分析】根據同分母分式的加減法法則計算即可解答．
2．（2024八上·恩平期末）計算的結果等于（　　）
A． B．a C．1 D．
【答案】C
【知識點】同分母分式的加、減法
【解析】【解答】解：
，
故答案為：C.
【分析】利用分式的加法的定義及計算方法（①分母相同，分子相加；②分母不同，先通分，再將分子相加）分析求解即可.
3．（2024八上·石家莊期中）下列選項正確的是（　　）
A．分式的最簡公分母是
B．
C．
D．分式 中的a，b同時擴大2倍值不變
【答案】C
【知識點】分式的基本性質；最簡公分母
【解析】【解答】解：A．分式的最簡公分母是，原說法錯誤，不符合題意，A錯誤；
B．，原說法錯誤，不符合題意，B錯誤；
C．，原說法正確，符合題意，C正確；
D．分式中的a，b同時擴大2倍變為，即分式中的a，b同時擴大2倍值變為原來的2倍，原說法錯誤，不符合題意，D錯誤；
故選：C．
【分析】本題考查最簡公分母和分式的性質，根據5次方包含2次方可得：A中兩個分式的最簡公分母為，據此可判斷A選項；根據分式的基本性質：分式的分子和分母同乘以一個不為0的代數式，分式的值不變，可得：，據此可判斷B選項；據分式的基本性質：分式的分子和分母同時除以一個不為0的代數式，分式的值不變，可得：，據此可判斷C選項；利用分式的基本性質計算可得分式中的a，b同時擴大2倍值變為原來的2倍，據此可判斷D選項.
4．（2024八上·昌平期中）將公式（均不為零，且）變形成求的式子，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】分式的加減法
【解析】【解答】，所以．
故選：A．
【分析】本題考查等式的性質.先對等式右邊進行通分可得：，再利用等式的性質進行變形可得：，據此可選出答案.
5．（2023九下·趙縣模擬）嘉琪在分式化簡運算中每一步運算都在后面列出了依據，所列依據錯誤的是（　　）
化簡： 解：原式 ………………①通分 ……………………②合并同類項 ……………………③提公因式 ………………………………④約分
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知識點】分式的加減法
【解析】【解答】①不是通分，而是同分母分式的加減法，故說法錯誤．
故選：A．
【分析】運用分式的加減法判斷即可解題．
6．（2024八上·斗門期末）對分式和進行通分，它們的最簡公分母為　 　．
【答案】
【知識點】分式的通分；最簡公分母
【解析】【解答】 解：分式和進行通分，它們的最簡公分母為.
故答案為：6a2b.
【分析】最簡公分母含有數字和字母部分，數字部分取兩個分母的最小公倍數，字母部分含所有字母并取字母的最大指數，據此求解即可.
7．（2024九下·浙江模擬）某綠化隊原來用漫灌方式澆綠地，天用水噸，現改用噴灌方式，可使這些水所用的天數為天，現在比原來每天節約用水　 　噸．（用含，的代數式表示）
【答案】
【知識點】分式的加減法；用代數式表示實際問題中的數量關系
【解析】【解答】解：（噸，
現在比原來每天節約用水噸；
故答案為：．
【分析】根據題意分別寫出原來每天用水量減去現在每天用水量即可．
8．（2024八上·昌平期中）計算：．
【答案】解：
．
【知識點】分式的加減法
【解析】【分析】本題考查分式的減法.根據同分母分式相減，分母不變，分子相減可得：原式，再進括號展開可得：原式，再進行計算可求出答案.
二、能力提升
9．（2024八上·懷化期末）已知 ，那么的值為 （　　）
A．4 B． C．2 D．0
【答案】A
【知識點】分式的乘除法；分式的加減法
【解析】【解答】解：，，
∴，
故答案為：A．
【分析】先求出，，然后化為，再整體代入解題．
10．（2025八下·嘉興月考）實數滿足，則（　　）
A．186 B．188 C．190 D．192
【答案】D
【知識點】平方差公式及應用；分式的加減法
【解析】【解答】解：∵
∴，，
=
化簡：原式
∵a+b+c=57
∴原式=135+57=192，
故選：D．
【分析】通過等量代換，可得，同理可得，，將原式變形，分母利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解，化簡計算即可.
11．（2024·巴東模擬）為了練習分式的化簡，張老師讓同學們在分式和中間加上“+”、“-”、“×”、“÷”四個運算符號中的任意一個后進行化簡，若化簡的結果為，則所加的運算符號為（　　）
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】A
【知識點】分式的加減法；分式的乘法；分式的除法
【解析】【解答】A、∵+==，∴A符合題意；
B、∵-=，∴B不符合題意；
C、∵×=，∴C不符合題意；
D、∵÷=，∴D不符合題意；
故答案為：A.
【分析】利用分式的加、減、乘、除的計算方法分別計算并判斷即可.
12．（2023八上·余杭開學考）已知分式，，其中，則與的關系是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】分式的加減法
【解析】【解答】解：，
，
∴ ，
故答案為：B.
【分析】根據平方差公式對A化簡，利用分式的通分對B化簡，即可比較與的關系.
13．（2024·內江）已知實數a，b滿足，那么的值為　 　.
【答案】1
【知識點】求代數式的值-整體代入求值；同分母分式的加、減法
【解析】【解答】解：∵ab=1，
∴原式=
故答案為：1.
【分析】將1=ab代入分式，然后進行化簡即可.
14．（2024·瑞安競賽）已知，則值等于　 　．
【答案】
【知識點】完全平方式；異分母分式的加、減法
【解析】【解答】解：
原式
故答案為：.
【分析】先利用分組分解法把原式表示成兩個非負數的和，由于這兩個非負數和為0，則可求出的值，又因為所求代數式的每一個分式都是連續兩個自然數積的倒數，其實質可表示成這兩個連續自然的倒數的差，從而可以簡化計算.
15．一項工作由甲單獨做，需a天完成；如果甲、乙兩人合做，則可提前2天完成。乙每天可完成這項工作的幾分之幾
【答案】解：.
答：乙每天可完成這項工作的.
【知識點】用代數式表示實際問題中的數量關系；異分母分式的加、減法
【解析】【分析】根據工作總量除以工作時間等于工作效率可得甲獨做的效率為“”，甲乙兩人和做的效率為“”，然后根據乙獨做的效率等于甲乙和做的效率減去甲獨做的效率列出式子，進而利用異分母分式減法法則計算即可得出答案.
16．臺風中心距A市s千米，正以6千米/時的速度向A市移動。救援車隊從B市出發前往A市，速度為臺風中心移動速度的4倍。已知A，B兩地的路程為3s千米，救援車隊能否在臺風中心到來前趕到A市
【答案】解：∵臺風中心到達A市需要的時間是小時，
救援車隊到達A市需要的時間是小時，
∴救援車隊到達A市比臺風中心到達A市需要的時間少，
∴救援車隊能在臺風中心到來前趕到A市。
【知識點】用代數式表示實際問題中的數量關系；異分母分式的加、減法
【解析】【分析】根據路程除以速度等于時間分別表示出臺風中心及救援車隊到達A市的時間，再利用作差法比較兩個時間的大小即可判斷得出答案.
三、拓展創新
17．（2024九上·重慶市開學考）給定一列數，我們把這列數中第一個數記為，第二個數記為，第三個數記為，以此類推，第個數記為（為正整數），已知．并規定：，，．則①；②；③對于任意正整數，成立，以上結論中正確的有（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】D
【知識點】分式的加減法
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，，，，
∴，故①正確
②∵
∴
∴
∵
故②正確
③ 由①②可得分別是以3和6為周期的數列
∵
當為奇數時：
上式
∵
∴
當為偶數時：
上式
∵
∴
∴ 對于任意正整數，都成立
故③正確.
故選：D．
【分析】
①按照規定，依次把代入求出a2，再代入求出a3，同理求出a4，a5即可
②根據，分別求出可以發現Tn是以6為周期的數列，且
，然后根據循環規律進行計算即可
③先根據①②得出：，再進行k是奇數還是偶數進行分類討論，代入①②計算的結果，進行計算即可.
18．（2024八下·揭陽月考）閱讀下列資料，解決問題：
定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”，如：，這樣的分式就是真分式；當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”，如：這樣的分式就是假分式，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．
如：．
（1）分式是　 　（填“真分式”或“假分式”）；
（2）將假分式分別化為帶分式；
（3）如果分式的值為整數，求所有符合條件的整數x的值．
【答案】解：（1）分式是假分式故答案為：假分式（2）＝3；＝x﹣2（3）＝2x﹣3當x＝﹣6、﹣4、﹣2、0時，分式的值為整數．
（1）假分式
（2）解：
＝3；
＝x﹣2
（3）解：
＝2x﹣3
當x＝﹣6、﹣4、﹣2、0時，分式的值為整數．
【知識點】分式的加減法
【解析】解：（1）分式是假分式
故答案為：假分式
【分析】（1）按“真分式”的定義直接判斷即可；
（2）仿照例題，利用分式的基本性質和分式的加減法則把假分式化為帶分式；
（3）先把分式化為帶分式，然后再找出滿足條件的整數x即可．
19．（2024八上·溫州期末）已知，求證：
（1）三個數中必有兩數之和為零；
（2）對于任意奇數，均有．
【答案】（1）證明：，..
.
，
∴，
或或，
∴三個數中必有兩數之和為0；
（2）證明：中必有一個為0，不妨設，則.
為奇數，
，
，
，
，
，
∴．
【知識點】分式的加減法
【解析】【分析】（1）去分母化為整式，分解因式可得，即可得到或或，解題即可；
（2）由（1）結論不妨設，然后代入可以得到，再利用解答即可．
（1）證明：，.
.
.
，
∴，
或或，
∴三個數中必有兩數之和為0；
（2）證明：中必有一個為0，
不妨設，則.
為奇數，
，
，
，
，
，
∴．
1 / 1浙教版（2024）數學七年級下冊5.4 分式的加減 同步分層練習
一、夯實基礎
1．（2025·高州模擬）計算的結果為（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·恩平期末）計算的結果等于（　　）
A． B．a C．1 D．
3．（2024八上·石家莊期中）下列選項正確的是（　　）
A．分式的最簡公分母是
B．
C．
D．分式 中的a，b同時擴大2倍值不變
4．（2024八上·昌平期中）將公式（均不為零，且）變形成求的式子，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023九下·趙縣模擬）嘉琪在分式化簡運算中每一步運算都在后面列出了依據，所列依據錯誤的是（　　）
化簡： 解：原式 ………………①通分 ……………………②合并同類項 ……………………③提公因式 ………………………………④約分
A．① B．② C．③ D．④
6．（2024八上·斗門期末）對分式和進行通分，它們的最簡公分母為　 　．
7．（2024九下·浙江模擬）某綠化隊原來用漫灌方式澆綠地，天用水噸，現改用噴灌方式，可使這些水所用的天數為天，現在比原來每天節約用水　 　噸．（用含，的代數式表示）
8．（2024八上·昌平期中）計算：．
二、能力提升
9．（2024八上·懷化期末）已知 ，那么的值為 （　　）
A．4 B． C．2 D．0
10．（2025八下·嘉興月考）實數滿足，則（　　）
A．186 B．188 C．190 D．192
11．（2024·巴東模擬）為了練習分式的化簡，張老師讓同學們在分式和中間加上“+”、“-”、“×”、“÷”四個運算符號中的任意一個后進行化簡，若化簡的結果為，則所加的運算符號為（　　）
A．+ B．- C．× D．÷
12．（2023八上·余杭開學考）已知分式，，其中，則與的關系是 （　　）
A． B． C． D．
13．（2024·內江）已知實數a，b滿足，那么的值為　 　.
14．（2024·瑞安競賽）已知，則值等于　 　．
15．一項工作由甲單獨做，需a天完成；如果甲、乙兩人合做，則可提前2天完成。乙每天可完成這項工作的幾分之幾
16．臺風中心距A市s千米，正以6千米/時的速度向A市移動。救援車隊從B市出發前往A市，速度為臺風中心移動速度的4倍。已知A，B兩地的路程為3s千米，救援車隊能否在臺風中心到來前趕到A市
三、拓展創新
17．（2024九上·重慶市開學考）給定一列數，我們把這列數中第一個數記為，第二個數記為，第三個數記為，以此類推，第個數記為（為正整數），已知．并規定：，，．則①；②；③對于任意正整數，成立，以上結論中正確的有（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
18．（2024八下·揭陽月考）閱讀下列資料，解決問題：
定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”，如：，這樣的分式就是真分式；當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”，如：這樣的分式就是假分式，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．
如：．
（1）分式是　 　（填“真分式”或“假分式”）；
（2）將假分式分別化為帶分式；
（3）如果分式的值為整數，求所有符合條件的整數x的值．
19．（2024八上·溫州期末）已知，求證：
（1）三個數中必有兩數之和為零；
（2）對于任意奇數，均有．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】分式的加減法
【解析】【解答】解：，
故答案為：B．
【分析】根據同分母分式的加減法法則計算即可解答．
2．【答案】C
【知識點】同分母分式的加、減法
【解析】【解答】解：
，
故答案為：C.
【分析】利用分式的加法的定義及計算方法（①分母相同，分子相加；②分母不同，先通分，再將分子相加）分析求解即可.
3．【答案】C
【知識點】分式的基本性質；最簡公分母
【解析】【解答】解：A．分式的最簡公分母是，原說法錯誤，不符合題意，A錯誤；
B．，原說法錯誤，不符合題意，B錯誤；
C．，原說法正確，符合題意，C正確；
D．分式中的a，b同時擴大2倍變為，即分式中的a，b同時擴大2倍值變為原來的2倍，原說法錯誤，不符合題意，D錯誤；
故選：C．
【分析】本題考查最簡公分母和分式的性質，根據5次方包含2次方可得：A中兩個分式的最簡公分母為，據此可判斷A選項；根據分式的基本性質：分式的分子和分母同乘以一個不為0的代數式，分式的值不變，可得：，據此可判斷B選項；據分式的基本性質：分式的分子和分母同時除以一個不為0的代數式，分式的值不變，可得：，據此可判斷C選項；利用分式的基本性質計算可得分式中的a，b同時擴大2倍值變為原來的2倍，據此可判斷D選項.
4．【答案】A
【知識點】分式的加減法
【解析】【解答】，所以．
故選：A．
【分析】本題考查等式的性質.先對等式右邊進行通分可得：，再利用等式的性質進行變形可得：，據此可選出答案.
5．【答案】A
【知識點】分式的加減法
【解析】【解答】①不是通分，而是同分母分式的加減法，故說法錯誤．
故選：A．
【分析】運用分式的加減法判斷即可解題．
6．【答案】
【知識點】分式的通分；最簡公分母
【解析】【解答】 解：分式和進行通分，它們的最簡公分母為.
故答案為：6a2b.
【分析】最簡公分母含有數字和字母部分，數字部分取兩個分母的最小公倍數，字母部分含所有字母并取字母的最大指數，據此求解即可.
7．【答案】
【知識點】分式的加減法；用代數式表示實際問題中的數量關系
【解析】【解答】解：（噸，
現在比原來每天節約用水噸；
故答案為：．
【分析】根據題意分別寫出原來每天用水量減去現在每天用水量即可．
8．【答案】解：
．
【知識點】分式的加減法
【解析】【分析】本題考查分式的減法.根據同分母分式相減，分母不變，分子相減可得：原式，再進括號展開可得：原式，再進行計算可求出答案.
9．【答案】A
【知識點】分式的乘除法；分式的加減法
【解析】【解答】解：，，
∴，
故答案為：A．
【分析】先求出，，然后化為，再整體代入解題．
10．【答案】D
【知識點】平方差公式及應用；分式的加減法
【解析】【解答】解：∵
∴，，
=
化簡：原式
∵a+b+c=57
∴原式=135+57=192，
故選：D．
【分析】通過等量代換，可得，同理可得，，將原式變形，分母利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解，化簡計算即可.
11．【答案】A
【知識點】分式的加減法；分式的乘法；分式的除法
【解析】【解答】A、∵+==，∴A符合題意；
B、∵-=，∴B不符合題意；
C、∵×=，∴C不符合題意；
D、∵÷=，∴D不符合題意；
故答案為：A.
【分析】利用分式的加、減、乘、除的計算方法分別計算并判斷即可.
12．【答案】B
【知識點】分式的加減法
【解析】【解答】解：，
，
∴ ，
故答案為：B.
【分析】根據平方差公式對A化簡，利用分式的通分對B化簡，即可比較與的關系.
13．【答案】1
【知識點】求代數式的值-整體代入求值；同分母分式的加、減法
【解析】【解答】解：∵ab=1，
∴原式=
故答案為：1.
【分析】將1=ab代入分式，然后進行化簡即可.
14．【答案】
【知識點】完全平方式；異分母分式的加、減法
【解析】【解答】解：
原式
故答案為：.
【分析】先利用分組分解法把原式表示成兩個非負數的和，由于這兩個非負數和為0，則可求出的值，又因為所求代數式的每一個分式都是連續兩個自然數積的倒數，其實質可表示成這兩個連續自然的倒數的差，從而可以簡化計算.
15．【答案】解：.
答：乙每天可完成這項工作的.
【知識點】用代數式表示實際問題中的數量關系；異分母分式的加、減法
【解析】【分析】根據工作總量除以工作時間等于工作效率可得甲獨做的效率為“”，甲乙兩人和做的效率為“”，然后根據乙獨做的效率等于甲乙和做的效率減去甲獨做的效率列出式子，進而利用異分母分式減法法則計算即可得出答案.
16．【答案】解：∵臺風中心到達A市需要的時間是小時，
救援車隊到達A市需要的時間是小時，
∴救援車隊到達A市比臺風中心到達A市需要的時間少，
∴救援車隊能在臺風中心到來前趕到A市。
【知識點】用代數式表示實際問題中的數量關系；異分母分式的加、減法
【解析】【分析】根據路程除以速度等于時間分別表示出臺風中心及救援車隊到達A市的時間，再利用作差法比較兩個時間的大小即可判斷得出答案.
17．【答案】D
【知識點】分式的加減法
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，，，，
∴，故①正確
②∵
∴
∴
∵
故②正確
③ 由①②可得分別是以3和6為周期的數列
∵
當為奇數時：
上式
∵
∴
當為偶數時：
上式
∵
∴
∴ 對于任意正整數，都成立
故③正確.
故選：D．
【分析】
①按照規定，依次把代入求出a2，再代入求出a3，同理求出a4，a5即可
②根據，分別求出可以發現Tn是以6為周期的數列，且
，然后根據循環規律進行計算即可
③先根據①②得出：，再進行k是奇數還是偶數進行分類討論，代入①②計算的結果，進行計算即可.
18．【答案】解：（1）分式是假分式故答案為：假分式（2）＝3；＝x﹣2（3）＝2x﹣3當x＝﹣6、﹣4、﹣2、0時，分式的值為整數．
（1）假分式
（2）解：
＝3；
＝x﹣2
（3）解：
＝2x﹣3
當x＝﹣6、﹣4、﹣2、0時，分式的值為整數．
【知識點】分式的加減法
【解析】解：（1）分式是假分式
故答案為：假分式
【分析】（1）按“真分式”的定義直接判斷即可；
（2）仿照例題，利用分式的基本性質和分式的加減法則把假分式化為帶分式；
（3）先把分式化為帶分式，然后再找出滿足條件的整數x即可．
19．【答案】（1）證明：，..
.
，
∴，
或或，
∴三個數中必有兩數之和為0；
（2）證明：中必有一個為0，不妨設，則.
為奇數，
，
，
，
，
，
∴．
【知識點】分式的加減法
【解析】【分析】（1）去分母化為整式，分解因式可得，即可得到或或，解題即可；
（2）由（1）結論不妨設，然后代入可以得到，再利用解答即可．
（1）證明：，.
.
.
，
∴，
或或，
∴三個數中必有兩數之和為0；
（2）證明：中必有一個為0，
不妨設，則.
為奇數，
，
，
，
，
，
∴．
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