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-------2025高考物理數(shù)學(xué)法突破
《基本不等式（均值不等式）分析法》
基本不等式：若a、b∈R，則≥，即≤
均值不等式：若a、b∈R ，則≥（a＝b時取“＝”號）
若a、b∈R ，則≤（a＝b時取“＝”號）
幾個正數(shù)之積為定值，則它們相等時和最?。ǚe定和最?。?br/>幾個正數(shù)之和為定值，則它們相等時積最大（和定積最大）
極值條件：一正二定三相等
常用結(jié)論： （1）若x＞0，則≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”）
（2）若x＜0，則≤－2（當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時取“＝”）
（3）若ab＞0，則≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”）
（4）若a、b∈R，則≤≤（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”）
（5）若a、b∈R ，則≤≤≤（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”）
1．積定和最小類型（幾個正數(shù)之積為定值，則它們相等時和最?。?br/>(
h
53°
v
0
P
Q
)【例1】如圖，跳臺高度為h，在跳臺上，某跑酷運動員（視為質(zhì)點）以不同的初速
度v0從斜坡最低點的正上方水平跳向?qū)γ娴男逼拢逼碌膬A角為53°，不計空氣阻力，
重力加速度為g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，則該運動員落到斜坡上的最小速度為（ ）
A． B．
C． D．
【例2】如圖（a）所示電路，當(dāng)變阻器的滑動片從一端滑到另一端的過程中兩電壓表的讀數(shù)隨電流表讀數(shù)的變化情況如圖（b）中的AC、BC兩直線所示，不考慮電表對電路的影響。
（1）定值電阻R0的阻值為多大？
（2）電源的電動勢和內(nèi)阻分別為多少？
（3）變阻器滑動片從一端滑到另一端的過程中，變阻器消耗的最大電功率為多少？
2．和定積最大類型（幾個正數(shù)之和為定值，則它們相等時積最大）
【例3】質(zhì)量相同的甲、乙兩光滑小球（均視為質(zhì)點）用輕直桿連接，乙球處于光滑水平地面上，
甲、乙兩球均與豎直墻壁接觸而處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示。由于微小的擾動，乙球開始沿水平地面向
右滑動。以水平地面為參考平面，當(dāng)甲球的機械能最小時，桿與豎直方向夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【例4】如圖所示，足夠長光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的粗糙半圓形軌道在B點平滑相接，軌道半徑為R。一個質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮縮至A點后由靜止釋放，在弾力作用下物體獲得一定速度后脫離彈簧，它經(jīng)經(jīng)過B點的速度為v1，之后沿半圓形軌道運運動，到達(dá)C點的速度為v2。C點為半圓形軌道最高點，重力加速度為g。
（1）求彈簧壓縮至A點時的弾性勢能。
（2）求物體沿半圓形軌道運動過程中阻力所做的功。
(
A
B
O
C
R
m
)（3）如果半圓形導(dǎo)軌為光滑軌道，改變圓弧弧半徑，使物體通過最高點C后做平拋運運動，落到AB所在的水平面上，求落點與B點的的最遠(yuǎn)距離。
《基本不等式（均值不等式）分析法》解析
基本不等式：若a、b∈R，則≥，即≤
均值不等式：若a、b∈R ，則≥（a＝b時取“＝”號）
若a、b∈R ，則≤（a＝b時取“＝”號）
幾個正數(shù)之積為定值，則它們相等時和最?。ǚe定和最小）
幾個正數(shù)之和為定值，則它們相等時積最大（和定積最大）
極值條件：一正二定三相等
常用結(jié)論： （1）若x＞0，則≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”）
（2）若x＜0，則≤－2（當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時取“＝”）
（3）若ab＞0，則≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”）
（4）若a、b∈R，則≤≤（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”）
（5）若a、b∈R ，則≤≤≤（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”）
1．積定和最小類型（幾個正數(shù)之積為定值，則它們相等時和最?。?br/>(
h
53°
v
0
P
Q
)【例1】如圖，跳臺高度為h，在跳臺上，某跑酷運動員（視為質(zhì)點）以不同的初速
度v0從斜坡最低點的正上方水平跳向?qū)γ娴男逼?，斜坡的傾角為53°，不計空氣阻力，
重力加速度為g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，則該運動員落到斜坡上的最小速度為（ ）
A． B．
C． D．
(
h
53°
v
0
P
Q
x
y
h-y
)【答案】B
【解析】設(shè)跳起后經(jīng)時間t落到斜坡上，則
落到斜坡上的速度設(shè)為v，則
，B正確。
【感悟】本題主要在于數(shù)學(xué)處理能力。
本極值問題，只好用函數(shù)分析法；而本題的函數(shù)分析法，關(guān)鍵在于選取好自變量（選參量）。
實際推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，本題選取初速度v0，或水平位移x，或豎直位移y為參量，推導(dǎo)過程都非常麻煩，得到的落點速度v的函數(shù)關(guān)系都非常復(fù)雜，不便于求極值。只有以運動時間t為參量比較簡單，且注意只能保留一個可變的參量。
【例2】如圖（a）所示電路，當(dāng)變阻器的滑動片從一端滑到另一端的過程中兩電壓表的讀數(shù)隨電流表讀數(shù)的變化情況如圖（b）中的AC、BC兩直線所示，不考慮電表對電路的影響。
（1）定值電阻R0的阻值為多大？
（2）電源的電動勢和內(nèi)阻分別為多少？
（3）變阻器滑動片從一端滑到另一端的過程中，變阻器消耗的最大電功率為多少？
【答案】（1）3Ω；（2）8V，1Ω；（3）4W
【解析】
（1）當(dāng)變阻器阻值為0時，兩電壓表讀數(shù)相等，則有
（2）U I圖像中BC直線的斜率絕對值等于電源的內(nèi)阻，則有
將B點坐標(biāo)代入可得
解得電源電動勢為
（3）方法1：函數(shù)極值法
變阻器的總電阻為
變阻器消耗的功率為
（積定和最小）可知當(dāng)R＝R0+r＝4Ω時變阻器消耗的電功率最大，則有
或用配方法：
當(dāng)R＝R0+r＝4Ω時P最大，最大值
方法2：等效電源法
將R0視為電源內(nèi)阻（如圖中虛線框所示），等效電源
電動勢E′＝E＝8V，內(nèi)電阻r′＝r +R0＝4Ω
由已知結(jié)論可得R＝r′＝4Ω時R消耗的功率最大，最大值
2．和定積最大類型（幾個正數(shù)之和為定值，則它們相等時積最大）
【例3】質(zhì)量相同的甲、乙兩光滑小球（均視為質(zhì)點）用輕直桿連接，乙球處于光滑水平地面上，
甲、乙兩球均與豎直墻壁接觸而處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示。由于微小的擾動，乙球開始沿水平地面向
右滑動。以水平地面為參考平面，當(dāng)甲球的機械能最小時，桿與豎直方向夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當(dāng)桿與豎直方向夾角為θ時，設(shè)甲的速度大小為v1，乙的速度大小為v2，則
對整體用動能定理，得
因甲、乙整體機械能守恒，則乙的動能最大時，甲的機械能最小
因為定值
則時最大，甲的機械能最小，D正確
【例4】如圖所示，足夠長光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的粗糙半圓形軌道在B點平滑相接，軌道半徑為R。一個質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮縮至A點后由靜止釋放，在弾力作用下物體獲得一定速度后脫離彈簧，它經(jīng)經(jīng)過B點的速度為v1，之后沿半圓形軌道運運動，到達(dá)C點的速度為v2。C點為半圓形軌道最高點，重力加速度為g。
（1）求彈簧壓縮至A點時的弾性勢能。
（2）求物體沿半圓形軌道運動過程中阻力所做的功。
(
A
B
O
C
R
m
)（3）如果半圓形導(dǎo)軌為光滑軌道，改變圓弧弧半徑，使物體通過最高點C后做平拋運運動，落到AB所在的水平面上，求落點與B點的的最遠(yuǎn)距離。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）從A點釋放后，彈性勢能轉(zhuǎn)化為物體的動動，則所求彈性勢能
（2）從B到C設(shè)阻力所做的功為Wf，由動能定理得：
（3）設(shè)半圓軌道光滑時物體從最高點平拋的速度為v2，則動能定理得
平拋下落時間
則平拋的水平位移
即落點與B點的最遠(yuǎn)距離為

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