資源簡介

(共65張PPT)
第一章
§1.6　一元二次方程、
不等式
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.會從實際情景中抽象出一元二次不等式.
2.結(jié)合二次函數(shù)圖象，會判斷一元二次方程的根的個數(shù)，以及解一元二次不等式.
3.了解簡單的分式、絕對值不等式的解法.
課標要求
課時精練
內(nèi)容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
方程的判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數(shù)的圖象
1.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的對應(yīng)關(guān)系
方程的根 有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1不等式的解集 _______________ _____________ _____
{x|xx2}
R
2.分式不等式與整式不等式
(1)>0(<0) ；
(2)≥0(≤0) .
3.簡單的絕對值不等式
|x|>a(a>0)的解集為 ，|x|0)的解集為 .
f(x)g(x)>0(<0)
f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－a，a)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0無實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.
(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(x1，x2)，則a<0.(　　)
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，則a>0且Δ<0.(　　)
(4)不等式≥0等價于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
×
×
√
×
2.(2024·保山模擬)已知不等式x2－3x＋2≤0的解集為A，不等式<0的解集為B，則“x∈A”是“x∈B”的
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
√
由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}，
由(x－2)(x－1)<0，解得1所以集合B是集合A的真子集，
所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件.
3.若關(guān)于x的不等式－x2＋ax－7≤0恒成立，則a的取值范圍為
A.(－)
B.
C.(－∞，－)∪(，＋∞)
D.(－∞，－]∪[，＋∞)
√
由題意得Δ＝a2－4××(－7)≤0，
解得－≤a≤.
因此，實數(shù)a的取值范圍是.
4.若關(guān)于x的不等式x2＋(2m－1)x＋m2－m>0的解集為{x|x<3或x>4}，則m的值為　　　.
－3
根據(jù)題意，方程x2＋(2m－1)x＋m2－m＝0的兩根為3和4，
故有解得m＝－3.
避免三種失誤
(1)含參不等式的求解，注意分類討論思想的運用，對參數(shù)分類時要做到不重不漏.
(2)當未說明不等式為一元二次不等式時應(yīng)分二次項系數(shù)等于零和不等于零兩種情況討論.
(3)當Δ<0時，注意區(qū)分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R還是 .
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微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(多選)下列選項中，正確的是
A.不等式－x2－x＋2>0的解集為{x|x<－2或x>1}
B.不等式≤1的解集為{x|－3≤x<2}
C.不等式|x－2|≥1的解集為{x|1≤x≤3}
D.設(shè)x∈R，則“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要條件
求解一元二次不等式
√
√
題型一
命題點1　不含參的不等式
由題知方程－x2－x＋2＝0的解為x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0的解集為{x|－2因為 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤
x<2，所以不等式的解集為{x|－3≤x<2}，故B正確；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集為{x|x≤1或x≥3}，故C錯誤；
由|x－1|<1，可得－1例2　解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋4)x＋4<0.
命題點2　含參的不等式
原不等式可化為(ax－4)(x－1)<0，
所以當a＝0時，解得x>1；
當0當a＝4時，不等式無解；
當a>4時，解得當a<0時，不等式等價于(x－1)>0，
解得x<或x>1，
綜上所述，當a＝0時，不等式的解集為{x|x>1}；
當0當a＝4時，不等式的解集為 ；
當a>4時，不等式的解集為；
當a<0時，不等式的解集為.
對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論，常見的分類有
(1)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類.
(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).
(3)有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　解關(guān)于x的不等式：
(1)>1；
因為>1 －1>0 >0 >0 <0
(3x－1)(2x＋1)<0 －所以原不等式的解集為.
(2)x2－ax－2a2>0.
不等式x2－ax－2a2>0可化為(x－2a)(x＋a)>0，
當2a<－a，即a<0時，解得x<2a或x>－a；
當2a＝－a，即a＝0時，解得x≠0，
當2a>－a，即a>0時，解得x<－a或x>2a.
綜上所述，當a<0時，
解集為(－∞，2a)∪(－a，＋∞)；
當a＝0時，解集為(－∞，0)∪(0，＋∞)；
當a>0時，解集為(－∞，－a)∪(2a，＋∞).
例3　(1)(多選)(2024·龍巖模擬)若關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－3，1)，則下列結(jié)論正確的是
A.b<0且c>0
B.9a－3b＋c<0
C.關(guān)于x的不等式ax－b<0的解集是(2，＋∞)
D.關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)
√
三個二次之間的關(guān)系
題型二
√
√
對于A項，由題意可知，a<0，－3和1是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，可得－3＋1＝－，－3×1＝，所以b＝2a<0，c＝－3a>0，故A項正確；
對于B項，因為－3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以9a－3b＋c＝0，故B項錯誤；
對于C項，由A項知ax－b<0，即ax－2a<0，即a(x－2)<0，因為a<0，解得x>2，故C項正確；
對于D項，不等式ax2－bx＋c<0即ax2－2ax－3a<0，化簡得x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，故D項正確.
(2)已知關(guān)于x的方程x2－kx＋k＋3＝0有兩正根x1，x2，則的最小值為　　　　.
18
依題意有
解得k≥6，
∴＝(x1＋x2)2－2x1x2＝k2－2(k＋3)＝(k－1)2－7，
∵k≥6，∴當k＝6時，()min＝18.
已知一元二次不等式的解集，就能夠得到相應(yīng)的一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，可以求出相應(yīng)的系數(shù).注意結(jié)合不等式解集的形式判斷二次項系數(shù)的正負.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(1)若不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，則不等式cx2－2x＋a≤0的解集是
A. B.
C.[－2，3] D.[－3，2]
√
因為不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，
所以－是方程ax2＋2x＋c＝0的兩個實數(shù)根，
由
故不等式cx2－2x＋a≤0，即2x2－2x－12≤0，
解不等式x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
所求不等式的解集是[－2，3].
(2)(2025·連云港模擬)已知方程x2－2ax＋a2－4＝0的一個實根小于2，另一個實根大于2，則實數(shù)a的取值范圍為　　　　.
(0，4)
設(shè)f(x)＝x2－2ax＋a2－4，
因為方程x2－2ax＋a2－4＝0的一個實根小于2，另一個實根大于2，
則滿足f(2)＝a2－4a<0，解得0即實數(shù)a的取值范圍為(0，4).
例4　(1)若對于一切實數(shù)x，不等式mx2－3mx－2<0恒成立，求m的取值范圍；
一元二次不等式恒成立問題
題型三
要使mx2－3mx－2<0恒成立，
若m＝0，顯然－2<0恒成立，滿足題意；
若m≠0，則解得－綜上，m的取值范圍是.
(2)當x∈(0，4)時，不等式x2＋mx＋4>0恒成立，求m的取值范圍.
當x∈(0，4)時，x2＋mx＋4>0恒成立，
即－m<恒成立，
又＝x＋≥2＝4，
當且僅當x＝，即x＝2時等號成立，
∴－m<4，即m>－4，
∴m的取值范圍是(－4，＋∞).
恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略
(1)弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù).
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若對于x∈[－1，1]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍；
由題意得，f(x)<－m＋5在[－1，1]上恒成立，
即m(x2－x＋1)<6在[－1，1]上恒成立，
∵x2－x＋1＝≥對一切實數(shù)恒成立，
∴m<在[－1，1]上恒成立，
∵函數(shù)y＝x2－x＋1在上單調(diào)遞增，∴ymax＝1＋1＋1＝3，
∴在[－1，1]上的最小值為2，
∴m<2.
故m的取值范圍為(－∞，2).
(2)若對于m∈[－2，2]，f(x)<－m＋5恒成立，求x的取值范圍.
∵mx2－mx－1<－m＋5對于m∈[－2，2]恒成立，
∴m(x2－x＋1)－6<0對于m∈[－2，2]恒成立，
∴
解得－1故x的取值范圍為(－1，2).
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課時精練
對一對
答案
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 D B B D BCD ABD (1，3]
題號 8 11 12 答案 (－2，3) AD 1
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答案
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12
(1)當a＝1時，f(x)＝x2－2x－3，f(x)≥0，即x2－2x－3≥0，
解得x≤－1或x≥3，
∴不等式的解集為{x|x≤－1或x≥3}.
(2)f(x)＝ax2－2ax－3＝a(x－1)2－a－3(a>0)，
則二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上，且對稱軸為直線x＝1，
∴f(x)在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，
∵f(3)＝3a－3，f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，轉(zhuǎn)化為f(3)≥0，
∴3a－3≥0，解得a≥1，
故實數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞).
9.
答案
1
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11
12
(1)因為不等式ax2－3x＋2>0的解集為{x|x<1或x>b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個根，
所以
解得
10.
答案
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12
(2)由(1)知原不等式為x2－(m＋2)x＋2m<0，
即(x－m)(x－2)<0，
當m>2時，不等式解集為{x|2當m＝2時，不等式解集為 ；
當m<2時，不等式解集為{x|m10.
一、單項選擇題
1.(2025·威海模擬)設(shè)集合A＝{x||x－1|≥1}，B＝{x|x2－x－2<0}，則A∩B等于
A.(－2，0) B.(－1，0)
C.(－2，0] D.(－1，0]
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知識過關(guān)
答案
由題意得A＝{x|x≥2或x≤0}，B＝{x|－1所以A∩B＝{x|－1√
2.若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集為R，則實數(shù)a的取值范圍是
A.{a|－1≤a<2} B.{a|－1C.{a|－11
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12
當a＝2時，原不等式為－12<0，滿足解集為R；
當a≠2時，根據(jù)題意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1綜上，－1故a的取值范圍為{a|－1答案
√
3.關(guān)于x的一元二次方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0有一個根小于－1，另一個根大于1，則a的取值范圍是
A.(－2，1) B.(－2，0)
C.(0，1) D.(－2，－1)
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答案
√
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12
答案
設(shè)f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，
由題意知
即
所以－24.當x∈(－1，1)時，不等式2kx2－kx－<0恒成立，則k的取值范圍是
A.(－3，0) B.[－3，0)
C. D.
√
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答案
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答案
當k＝0時，滿足不等式恒成立；
當k≠0時，令f(x)＝2kx2－kx－，則f(x)<0在(－1，1)上恒成立，
函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x＝，
當k>0時，f(x)在上單調(diào)遞增，
則有解得01
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答案
當k<0時，f(x)在上單調(diào)遞減，
則有f <0，解得－3綜上可知，k的取值范圍是.
二、多項選擇題
5.對于給定的實數(shù)a，關(guān)于x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能為
A.R B.(－1，a)
C.(a，－1) D.(－∞，－1)∪(a，＋∞)
√
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答案
√
√
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12
答案
根據(jù)題意，易知a≠0.
當a>0時，函數(shù)y＝a(x－a)(x＋1)的圖象開口向上，故不等式的解集為
(－∞，－1)∪(a，＋∞).
當a<0時，函數(shù)y＝a(x－a)(x＋1)的圖象開口向下，若a＝－1，則不等式的解集為 ；
若－1若a<－1，則不等式的解集為(a，－1).
6.已知關(guān)于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1A.x1＋x2＋2＝0 B.x1x2＋3<0
C.<4 D.x1<－3，x2>1
√
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答案
√
√
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答案
因為關(guān)于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1所以a<0，且x1，x2是方程ax2＋2ax＋2－3a＝0的兩根，
所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－3，
所以x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝<0，故A，B正確；
又因為＝2>4，故C錯誤；
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答案
作出y＝a(x－1)(x＋3)和y＝－2的圖象，則x1，x2為
兩函數(shù)圖象交點的橫坐標，
由圖象可知x1<－3，x2>1，故D正確.
三、填空題
7.不等式≥3的解集是　　　　.
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答案
(1，3]
由題設(shè)－3＝≥0，則解得x∈(1，3].
8.甲、乙兩人解關(guān)于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲寫錯了常數(shù)b，得到的解集為(－3，2)，乙寫錯了常數(shù)c，得到的解集為(－3，4).那么原不等式的解集為　　　　　　.
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答案
(－2，3)
依題意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1，因此不等式x2＋bx＋c<0，
即x2－x－6<0，解得－2所以原不等式的解集為(－2，3).
四、解答題
9.已知函數(shù)f(x)＝ax2－2ax－3.
(1)若a＝1，求不等式f(x)≥0的解集；
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答案
當a＝1時，f(x)＝x2－2x－3，
f(x)≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，
∴不等式的解集為{x|x≤－1或x≥3}.
(2)已知a>0，且f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍.
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答案
f(x)＝ax2－2ax－3＝a(x－1)2－a－3(a>0)，
則二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上，且對稱軸為直線x＝1，
∴f(x)在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，
∵f(3)＝3a－3，
f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，轉(zhuǎn)化為f(3)≥0，
∴3a－3≥0，解得a≥1，
故實數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞).
10.已知不等式ax2－3x＋2>0的解集為{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；
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答案
因為不等式ax2－3x＋2>0的解集為{x|x<1或x>b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個根，
所以解得
(2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0.
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答案
由(1)知原不等式為x2－(m＋2)x＋2m<0，
即(x－m)(x－2)<0，
當m>2時，不等式解集為{x|2當m＝2時，不等式解集為 ；
當m<2時，不等式解集為{x|m11.(多選)已知k∈Z，若關(guān)于x的不等式x2－xA.－1 B.1 C.2 D.3
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答案
能力拓展
√
√
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答案
關(guān)于x的不等式x2－x即x2－(k＋1)x＋k<0，
即(x－1)(x－k)<0，
當k＝1時，(x－1)(x－k)<0即(x－1)2<0，
解集為空集，不符合題意；
當k>1時，(x－1)(x－k)<0的解滿足1要使得關(guān)于x的不等式x2－x由于k∈Z，故k＝3；
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答案
當k<1時，(x－1)(x－k)<0的解滿足k要使得關(guān)于x的不等式x2－x由于k∈Z，故k＝－1，
綜上，k的可能取值為－1，3.
12.若關(guān)于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一個負實根，則實數(shù)m的取值范圍是　　　　　.
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答案
　
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答案
當m＝0時，方程為2x＋2＝0，有一個負實根，滿足題意；
當m≠0時，mx2＋2x＋2＝0為一元二次方程，
關(guān)于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一個負實根，設(shè)根為x1，x2，
當Δ＝4－8m＝0，即m＝x2＋2x＋2＝0，解得x＝－2，滿足題意；
當Δ＝4－8m>0，即m<，且m≠0時，
1
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7
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11
12
答案
若有一個負實根，則x1x2＝<0，解得m<0，
若有兩個負實根，則
解得0綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是.
返回§1.6　一元二次方程、不等式
課標要求　1.會從實際情景中抽象出一元二次不等式.2.結(jié)合二次函數(shù)圖象，會判斷一元二次方程的根的個數(shù)，以及解一元二次不等式.3.了解簡單的分式、絕對值不等式的解法.
1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)與一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)，不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解的對應(yīng)關(guān)系
方程的判別式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函數(shù)的圖象
方程的根 有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1不等式的解集 {x|xx2} R
2.分式不等式與整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3.簡單的絕對值不等式
|x|>a(a>0)的解集為(-∞，-a)∪(a，+∞)，|x|0)的解集為(-a，a).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2+bx+c=0無實數(shù)根，則不等式ax2+bx+c>0的解集為R.(　×　)
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集為(x1，x2)，則a<0.(　√　)
(3)若ax2+bx+c>0恒成立，則a>0且Δ<0.(　×　)
(4)不等式≥0等價于(x-a)(x-b)≥0.(　×　)
2.(2024·保山模擬)已知不等式x2-3x+2≤0的解集為A，不等式<0的解集為B，則“x∈A”是“x∈B”的(　　)
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
答案　C
解析　由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0，解得1≤x≤2，所以A={x|1≤x≤2}，
由(x-2)(x-1)<0，解得1所以集合B是集合A的真子集，
所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件.
3.若關(guān)于x的不等式-x2+ax-7≤0恒成立，則a的取值范圍為(　　)
A.(-)
B.
C.(-∞，-)∪(，+∞)
D.(-∞，-]∪[，+∞)
答案　B
解析　由題意得Δ=a2-4××(-7)≤0，
解得-≤a≤.
因此，實數(shù)a的取值范圍是.
4.若關(guān)于x的不等式x2+(2m-1)x+m2-m>0的解集為{x|x<3或x>4}，則m的值為　　　　　　.
答案　-3
解析　根據(jù)題意，方程x2+(2m-1)x+m2-m=0的兩根為3和4，
故有解得m=-3.
避免三種失誤
(1)含參不等式的求解，注意分類討論思想的運用，對參數(shù)分類時要做到不重不漏.
(2)當未說明不等式為一元二次不等式時應(yīng)分二次項系數(shù)等于零和不等于零兩種情況討論.
(3)當Δ<0時，注意區(qū)分不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R還是 .
題型一　求解一元二次不等式
命題點1　不含參的不等式
例1　(多選)下列選項中，正確的是(　　)
A.不等式-x2-x+2>0的解集為{x|x<-2或x>1}
B.不等式≤1的解集為{x|-3≤x<2}
C.不等式|x-2|≥1的解集為{x|1≤x≤3}
D.設(shè)x∈R，則“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要條件
答案　BD
解析　由題知方程-x2-x+2=0的解為x1=1，x2=-2，所以不等式-x2-x+2>0的解集為{x|-2因為 -1≤0，即≤0，即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0)，解得-3≤x<2，所以不等式的解集為{x|-3≤x<2}，故B正確；
由|x-2|≥1，可得x-2≤-1或x-2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集為{x|x≤1或x≥3}，故C錯誤；
由|x-1|<1，可得-1命題點2　含參的不等式
例2　解關(guān)于x的不等式ax2-(a+4)x+4<0.
解　原不等式可化為(ax-4)(x-1)<0，
所以當a=0時，解得x>1；
當0當a=4時，不等式無解；
當a>4時，解得當a<0時，不等式等價于(x-1)>0，
解得x<或x>1，
綜上所述，當a=0時，不等式的解集為{x|x>1}；
當0當a=4時，不等式的解集為 ；
當a>4時，不等式的解集為；
當a<0時，不等式的解集為.
思維升華　對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論，常見的分類有
(1)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類.
(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).
(3)有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論.
跟蹤訓(xùn)練1　解關(guān)于x的不等式：
(1)>1；
(2)x2-ax-2a2>0.
解　(1)因為>1 -1>0 >0 >0
<0 (3x-1)(2x+1)<0 -(2)不等式x2-ax-2a2>0可化為
(x-2a)(x+a)>0，
當2a<-a，即a<0時，解得x<2a或x>-a；
當2a=-a，即a=0時，解得x≠0，
當2a>-a，即a>0時，解得x<-a或x>2a.
綜上所述，當a<0時，
解集為(-∞，2a)∪(-a，+∞)；
當a=0時，解集為(-∞，0)∪(0，+∞)；
當a>0時，解集為(-∞，-a)∪(2a，+∞).
題型二　三個二次之間的關(guān)系
例3　(1)(多選)(2024·龍巖模擬)若關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-3，1)，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.b<0且c>0
B.9a-3b+c<0
C.關(guān)于x的不等式ax-b<0的解集是(2，+∞)
D.關(guān)于x的不等式ax2-bx+c<0的解集是(-∞，-1)∪(3，+∞)
答案　ACD
解析　對于A項，由題意可知，a<0，-3和1是方程ax2+bx+c=0的兩根，可得-3+1=-，-3×1=，所以b=2a<0，c=-3a>0，故A項正確；
對于B項，因為-3是方程ax2+bx+c=0的根，所以9a-3b+c=0，故B項錯誤；
對于C項，由A項知ax-b<0，即ax-2a<0，即a(x-2)<0，因為a<0，解得x>2，故C項正確；對于D項，不等式ax2-bx+c<0即ax2-2ax-3a<0，化簡得x2-2x-3>0，解得x<-1或x>3，故D項正確.
(2)已知關(guān)于x的方程x2-kx+k+3=0有兩正根x1，x2，則+的最小值為　　　　　　.
答案　18
解析　依題意有
解得k≥6，
∴+=(x1+x2)2-2x1x2=k2-2(k+3)=(k-1)2-7，
∵k≥6，∴當k=6時，(+)min=18.
思維升華　已知一元二次不等式的解集，就能夠得到相應(yīng)的一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，可以求出相應(yīng)的系數(shù).注意結(jié)合不等式解集的形式判斷二次項系數(shù)的正負.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)若不等式ax2+2x+c<0的解集是∪，則不等式cx2-2x+a≤0的解集是(　　)
A. B.
C.[-2，3] D.[-3，2]
答案　C
解析　因為不等式ax2+2x+c<0的解集是∪，
所以-和是方程ax2+2x+c=0的兩個實數(shù)根，
由解得
故不等式cx2-2x+a≤0，即2x2-2x-12≤0，
解不等式x2-x-6≤0，得-2≤x≤3，
所求不等式的解集是[-2，3].
(2)(2025·連云港模擬)已知方程x2-2ax+a2-4=0的一個實根小于2，另一個實根大于2，則實數(shù)a的取值范圍為　　　　　　　.
答案　(0，4)
解析　設(shè)f(x)=x2-2ax+a2-4，
因為方程x2-2ax+a2-4=0的一個實根小于2，另一個實根大于2，
則滿足f(2)=a2-4a<0，解得0即實數(shù)a的取值范圍為(0，4).
題型三　一元二次不等式恒成立問題
例4　(1)若對于一切實數(shù)x，不等式mx2-3mx-2<0恒成立，求m的取值范圍；
(2)當x∈(0，4)時，不等式x2+mx+4>0恒成立，求m的取值范圍.
解　(1)要使mx2-3mx-2<0恒成立，
若m=0，顯然-2<0恒成立，滿足題意；
若m≠0，則
解得-綜上，m的取值范圍是.
(2)當x∈(0，4)時，x2+mx+4>0恒成立，
即-m<恒成立，
又=x+≥2=4，
當且僅當x=，即x=2時等號成立，
∴-m<4，即m>-4，
∴m的取值范圍是(-4，+∞).
思維升華 恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略
(1)弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù).
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論.
跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1.
(1)若對于x∈[-1，1]，f(x)<-m+5恒成立，求m的取值范圍；
(2)若對于m∈[-2，2]，f(x)<-m+5恒成立，求x的取值范圍.
解　(1)由題意得，f(x)<-m+5在[-1，1]上恒成立，
即m(x2-x+1)<6在[-1，1]上恒成立，
∵x2-x+1=+≥對一切實數(shù)恒成立，
∴m<在[-1，1]上恒成立，
∵函數(shù)y=x2-x+1在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴ymax=1+1+1=3，
∴在[-1，1]上的最小值為2，
∴m<2.
故m的取值范圍為(-∞，2).
(2)∵mx2-mx-1<-m+5對于m∈[-2，2]恒成立，
∴m(x2-x+1)-6<0對于m∈[-2，2]恒成立，
∴
解得-1故x的取值范圍為(-1，2).
課時精練
(分值：80分)
一、單項選擇題(每小題5分，共20分)
1.(2025·威海模擬)設(shè)集合A={x||x-1|≥1}，B={x|x2-x-2<0}，則A∩B等于(　　)
A.(-2，0) B.(-1，0)
C.(-2，0] D.(-1，0]
答案　D
解析　由題意得A={x|x≥2或x≤0}，B={x|-1所以A∩B={x|-12.若不等式(a-2)x2+4(a-2)x-12<0的解集為R，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.{a|-1≤a<2} B.{a|-1C.{a|-1答案　B
解析　當a=2時，原不等式為-12<0，滿足解集為R；
當a≠2時，根據(jù)題意得a-2<0，且Δ=16(a-2)2-4(a-2)×(-12)<0，解得-1綜上，-1故a的取值范圍為{a|-13.關(guān)于x的一元二次方程x2+(a2-1)x+a-2=0有一個根小于-1，另一個根大于1，則a的取值范圍是(　　)
A.(-2，1) B.(-2，0)
C.(0，1) D.(-2，-1)
答案　B
解析　設(shè)f(x)=x2+(a2-1)x+a-2，
由題意知
即解得
所以-24.當x∈(-1，1)時，不等式2kx2-kx-<0恒成立，則k的取值范圍是(　　)
A.(-3，0) B.[-3，0)
C. D.
答案　D
解析　當k=0時，滿足不等式恒成立；
當k≠0時，令f(x)=2kx2-kx-，則f(x)<0在(-1，1)上恒成立，
函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x=，
當k>0時，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則有解得0當k<0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有f =--<0，解得-3綜上可知，k的取值范圍是.
二、多項選擇題(每小題6分，共12分)
5.對于給定的實數(shù)a，關(guān)于x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能為(　　)
A.R
B.(-1，a)
C.(a，-1)
D.(-∞，-1)∪(a，+∞)
答案　BCD
解析　根據(jù)題意，易知a≠0.
當a>0時，函數(shù)y=a(x-a)(x+1)的圖象開口向上，故不等式的解集為(-∞，-1)∪(a，+∞).
當a<0時，函數(shù)y=a(x-a)(x+1)的圖象開口向下，若a=-1，則不等式的解集為 ；
若-1若a<-1，則不等式的解集為(a，-1).
6.已知關(guān)于x的不等式a(x-1)(x+3)+2>0的解集是(x1，x2)，則下列結(jié)論正確的有(　　)
A.x1+x2+2=0 B.x1x2+3<0
C.<4 D.x1<-3，x2>1
答案　ABD
解析　因為關(guān)于x的不等式a(x-1)(x+3)+2>0的解集是(x1，x2)，其中x1所以a<0，且x1，x2是方程ax2+2ax+2-3a=0的兩根，
所以x1+x2=-2，x1x2==-3，
所以x1+x2+2=0，x1x2+3=<0，故A，B正確；
又因為==2>4，故C錯誤；
作出y=a(x-1)(x+3)和y=-2的圖象，則x1，x2為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標，
由圖象可知x1<-3，x2>1，故D正確.
三、填空題(每小題5分，共10分)
7.不等式≥3的解集是　　　　　　.
答案　(1，3]
解析　由題設(shè)-3=≥0，則解得x∈(1，3].
8.甲、乙兩人解關(guān)于x的不等式x2+bx+c<0，甲寫錯了常數(shù)b，得到的解集為(-3，2)，乙寫錯了常數(shù)c，得到的解集為(-3，4).那么原不等式的解集為　　　　.
答案　(-2，3)
解析　依題意知，c=-3×2=-6，-b=-3+4=1，即b=-1，因此不等式x2+bx+c<0，
即x2-x-6<0，解得-2所以原不等式的解集為(-2，3).
四、解答題(共27分)
9.(13分)已知函數(shù)f(x)=ax2-2ax-3.
(1)若a=1，求不等式f(x)≥0的解集；(6分)
(2)已知a>0，且f(x)≥0在[3，+∞)上恒成立，求a的取值范圍.(7分)
解　(1)當a=1時，f(x)=x2-2x-3，
f(x)≥0，即x2-2x-3≥0，解得x≤-1或x≥3，
∴不等式的解集為{x|x≤-1或x≥3}.
(2)f(x)=ax2-2ax-3=a(x-1)2-a-3(a>0)，
則二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上，且對稱軸為直線x=1，
∴f(x)在[3，+∞)上單調(diào)遞增，
∵f(3)=3a-3，
f(x)≥0在[3，+∞)上恒成立，
轉(zhuǎn)化為f(3)≥0，
∴3a-3≥0，解得a≥1，
故實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞).
10.(14分)已知不等式ax2-3x+2>0的解集為{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；(7分)
(2)解不等式ax2-(am+b)x+bm<0.(7分)
解　(1)因為不等式ax2-3x+2>0的解集為{x|x<1或x>b}，
所以x1=1，x2=b是方程ax2-3x+2=0的兩個根，
所以
解得
(2)由(1)知原不等式為x2-(m+2)x+2m<0，
即(x-m)(x-2)<0，
當m>2時，不等式解集為{x|2當m=2時，不等式解集為 ；
當m<2時，不等式解集為{x|m11題6分，12題5分，共11分
11.(多選)已知k∈Z，若關(guān)于x的不等式x2-xA.-1 B.1 C.2 D.3
答案　AD
解析　關(guān)于x的不等式x2-x即x2-(k+1)x+k<0，
即(x-1)(x-k)<0，
當k=1時，(x-1)(x-k)<0即(x-1)2<0，
解集為空集，不符合題意；
當k>1時，(x-1)(x-k)<0的解滿足1要使得關(guān)于x的不等式x2-x由于k∈Z，故k=3；
當k<1時，(x-1)(x-k)<0的解滿足k要使得關(guān)于x的不等式x2-x由于k∈Z，故k=-1，
綜上，k的可能取值為-1，3.
12.若關(guān)于x的方程mx2+2x+2=0至少有一個負實根，則實數(shù)m的取值范圍是　　　　.
答案　
解析　當m=0時，方程為2x+2=0，有一個負實根，滿足題意；
當m≠0時，mx2+2x+2=0為一元二次方程，
關(guān)于x的方程mx2+2x+2=0至少有一個負實根，設(shè)根為x1，x2，
當Δ=4-8m=0，即m=時，方程為x2+2x+2=0，解得x=-2，滿足題意；
當Δ=4-8m>0，即m<，且m≠0時，
若有一個負實根，則x1x2=<0，解得m<0，
若有兩個負實根，則
解得0綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是.

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