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(共63張PPT)
第一章
§1.3　等式性質(zhì)與不等式
　　　性質(zhì)
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.掌握等式性質(zhì).
2.會比較兩個數(shù)的大小.
3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用.
課標要求
課時精練
內(nèi)容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.兩個實數(shù)比較大小的方法
作差法 (a，b∈R).
>
<
＝
2.等式的性質(zhì)
性質(zhì)1　對稱性：如果a＝b，那么 ；
性質(zhì)2　傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么 ；
性質(zhì)3　可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質(zhì)4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性質(zhì)5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么_______.
b＝a
a＝c
3.不等式的性質(zhì)
性質(zhì)1　對稱性：a>b ；
性質(zhì)2　傳遞性：a>b，b>c ；
性質(zhì)3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性質(zhì)4　可乘性：a>b，c>0 ；a>b，c<0 ；
性質(zhì)5　同向可加性：a>b，c>d ；
性質(zhì)6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ；
性質(zhì)7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2).
ba>c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，則b>a.(　　)
(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　)
(4)若>，則b×
√
×
×
2.(多選)下列命題為真命題的是
A.若ac2>bc2，則a>b B.若a>b>0，則a2>b2
C.若a
√
C中，若a＝－2，b＝－1，則a2>ab>b2，故C錯誤.
√
√
3.設(shè)M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6，則有
A.MC.M>N D.無法確定
√
因為M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6，
所以M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－3a＋6)＝a2－a＋1＝>0，所以M>N.
4.若實數(shù)a，b滿足0(－1，2)
∵01.a>b，ab>0 <.
2.若a>b>0，m>0，則：<；>.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(多選)下列不等式中正確的是
A.x2－2x>－3(x∈R) B.≥(a>0，b>0)
C.a2＋b2>2(a－b－1) D.<(b>a>0)
√
數(shù)(式)的大小比較
√
√
題型一
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，
∴x2－2x>－3，故A正確；
，又a，b均為正實數(shù)，∴a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0，∴≥，故B正確；
∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C錯誤；
用作差法比較，
∵b>a>0，∴>0，
∴<，故D正確.
(2)若a>0，b>0，則p＝與q＝abba的大小關(guān)系是
A.p≥q B.p≤q
C.p>q D.p√
由題知p>0且q>0，，
若a>b>0，則>1，a－b>0，
∴>1，即p>q；
若b>a>0，則0<<1，a－b<0，
∴>1，即p>q；
若a＝b，則＝1，∴p＝q，
綜上，p≥q.
比較大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論.
(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.
(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知c>1，且x＝，y＝，則x，y之間的大小關(guān)系是
A.x>y B.x＝y(tǒng)
C.x√
由題設(shè)，易知x>0，y>0，又<1，∴x(2)已知a，b∈(0，1)，記M＝ab，N＝a＋b－1，則M與N的大小關(guān)系是　　　　.
M>N
因為M－N＝ab－a－b＋1＝(b－1)(a－1)，且a，b∈(0，1)，所以b－1<0，a－1<0，
所以M－N>0，即M>N.
例2　(1)(多選)(2025·常州模擬)已知實數(shù)a，b，c，d滿足aA.a＋cC.a2d2>b2c2 D.>
√
不等式的基本性質(zhì)
題型二
√
√
由a當a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝2時，滿足a由ab2>0，d2>c2>0，
再利用不等式的同向同正可乘性得a2d2>b2c2，故C正確；
由a－b>0，d>c>0，
再利用不等式的同向同正可乘性得－ad>－bc，
兩邊同除以正數(shù)－bd得>，故D正確.
(2)(多選)(2025·常德模擬)已知a>b>0，則下列不等式正確的是
A.a2>ab B.>
C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－>b－
√
√
√
對于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正確；
對于B，∵a>b>0，∴<，∴1＋<1＋，即0<<，∴>，故B正確；
對于C，令a＝1，b＝，則a＋b＋ln(ab)＝1＋＋ln <2，故C錯誤；
對于D，易得y＝x－(x>0)為增函數(shù)，且a>b>0，故a－>b－，故D正確.
判斷不等式的常用方法
(1)利用不等式的性質(zhì)逐個驗證.
(2)利用特殊值法排除錯誤選項.
(3)作差法.
(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2024·西安模擬)已知a>b，c>d>0，則
A.< B.a－c>b－d
C.> D.<
√
對于A，，因為c>d>0，所以d－c<0，所以<0，即<，故選項A正確；
對于B，a>b，c>d>0，取a＝4，b＝3，c＝2，d＝1，則a－c＝b－d，故選項B錯誤；
對于C，a>b，c>d>0，取a＝2，b＝1，c＝6，d＝3，則，故選項C錯誤；
對于D，a>b，取a＝1，b＝－1，則>，故選項D錯誤.
(2)(多選)若a>b>0，c>d>0，則下列結(jié)論正確的是
A.ad>bc B.a(a＋c)>b(b＋d)
C.< D.ac＋bd>ad＋bc
√
√
√
對于A，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，則ad＝bc，故A錯誤；
對于B，由a>b>0，c>d>0，得a＋c>b＋d>0，則a(a＋c)>b(b＋d)，故B正確；
對于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，
且<<，
等價于>，等價于ac>bd，故C正確；
對于D，(ac＋bd)－(ad＋bc)＝(ac－ad)＋(bd－bc)＝a(c－d)＋b(d－c)＝(c－d)(a－b)>0，
則ac＋bd>ad＋bc，故D正確.
例3　(1)(多選)(2025·大慶模擬)已知實數(shù)x，y滿足1A.3C.2√
不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用
題型三
√
因為2因為2因為1因為2所以<<6，故D正確.
(2)(2024·遼寧縣域重點高中協(xié)作體模擬)公園的綠化率是指公園內(nèi)的綠化面積與公園的面積之比.已知某公園的面積為a m2，綠化面積為b m2
(0A.變大 B.變小
C.不變 D.不確定
√
原來公園的綠化率為，
則，
所以的大小與a，2b的大小有關(guān)，故擴建后公園的綠化率與原來公園的綠化率的變化情況不確定.
利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍的注意點
(1)必須嚴格運用不等式的性質(zhì).
(2)在多次運用不等式的性質(zhì)時有可能擴大變量的取值范圍，解決途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，然后通過“一次性”不等關(guān)系的運算求解范圍.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知2A.[6，7] B.(2，5)
C.[4，7] D.(5，8)
√
由題意可知4<2a<6，1<－b<2，所以5<2a－b<8.
(2)手機屏幕面積與整機面積的比值叫手機的“屏占比”，它是手機外觀設(shè)計中一個重要參數(shù)，其值通常在(0，1)之間.設(shè)計師將某手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數(shù)量，升級為一款新的手機外觀，則該手機“屏占比”和升級前比
A.不變 B.變小
C.變大 D.變化不確定
√
設(shè)原來手機屏幕面積為b，整機面積為a，
則屏占比為(a>b>0)，設(shè)手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數(shù)量為m(m>0)，升級后屏占比為，
∵a>b>0，∴>0，即該手機“屏占比”和升級前比變大.
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課時精練
對一對
答案
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 B B D A AB AC
題號 8 11 12 答案 ≥ C [－7，2] 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(1)∵y＝在定義域R上單調(diào)遞減，∴0<<1，
又∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx頂點的橫坐標x0＝－，∵0<<1，
∴－<－<0，即－∴－1<2x0<0，∴0<2x0＋1<1，
∴2x0＋1的取值范圍為(0，1).
9.
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(2)∵a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，
又∵0<<1，
∴a>b>0或ab>0時，
a3＋b3>a2b＋ab2；
②當aa3＋b39.
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(1)∵a>b>c>d，∴a>b，－d>－c，
∴a－d>b－c>0，則<.
(2)∵a>b>0，c－d>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
則＝＝>0，
∴>.
10.
11
12
一、單項選擇題
1.若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，則下列結(jié)論正確的是
A.a>b B.aC.a≥b D.a，b的大小關(guān)系不確定
√
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
知識過關(guān)
答案
因為b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0，所以a11
12
2.已知a>b，則下列不等式一定成立的是
A.< B.2a>2b
C.a2>b2 D.|a|>|b|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取a＝1，b＝－2，滿足a>b，顯然有>，a2指數(shù)函數(shù)y＝2x為增函數(shù)，若a>b，則必有2a>2b，B正確.
答案
√
11
12
3.(2024·沈陽模擬)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，則下列結(jié)論一定正確的是
A.bc>c2 B.>0
C.ab2>cb2 D.<0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由題知a>b>c且a＋b＋c＝0，則有a>0，c<0，b>c，則bcb－c>0，因為b與0的大小關(guān)系未知，不能確定>0，B選項錯誤；
a>c，當b＝0時，ab2＝cb2，C選項錯誤；
a－b>0，c<0，<0，D選項正確.
答案
11
12
4.(2024·北京大興統(tǒng)考)在一次調(diào)查中，某班甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在社區(qū)服務(wù)的月總時長之間有如下關(guān)系：甲、丙服務(wù)時長之和等于乙、丁服務(wù)時長之和，甲、乙服務(wù)時長之和大于丙、丁服務(wù)時長之和，丁的服務(wù)時長大于乙、丙服務(wù)時長之和，則這四名同學(xué)按照服務(wù)時長從大到小的順序排列為
A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙
C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁
1
2
3
4
5
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7
8
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10
答案
√
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
設(shè)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的服務(wù)時長分別為a，b，c，d，a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
根據(jù)題意得
顯然d>b，d>c，②＋①可得a>d，
由②－①可得b>c，
故a>d>b>c，
即這四名同學(xué)按服務(wù)時長從大到小的順序排列為甲、丁、乙、丙.
11
12
二、多項選擇題
5.已知c>b>a，則下列結(jié)論正確的是
A.c＋b>2a B.>
C.> D.<
√
1
2
3
4
5
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9
10
答案
√
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
對于選項A，因為c>b>a，所以c＋b>2a，故選項A正確；
對于選項B，因為c>b>a，所以c－a>c－b>0，所以>>0，故選項B正確；
對于選項C，取a＝－3，b＝－2，c＝－1，滿足c>b>a，此時＝－2，＝－<，故選項C錯誤；
對于選項D，當c＝1，b＝－1，a＝－2時，＝2，＝－>，故選項D錯誤.
11
12
6.(2025·洛陽聯(lián)考)設(shè)實數(shù)a，b滿足1≤ab≤4，4≤≤9，則
A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3
C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4
√
1
2
3
4
5
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答案
√
11
12
1
2
3
4
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7
8
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10
答案
1≤ab≤4，4≤≤9，兩式相乘得4≤a2≤36，所以2≤|a|≤6，A正確；
由題意得≤≤，又1≤ab≤4，兩式相乘得≤b2≤1，所以≤|b|≤1，B錯誤；
因為1≤a2b2≤16，4≤≤9，所以兩式相乘得4≤a3b≤144，C正確；
因為1≤a2b2≤16，≤≤≤ab3≤4，D錯誤.
11
12
三、填空題
7.已知0<β<α<，則α－β的取值范圍是　　　　　.
1
2
3
4
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6
7
8
9
10
答案
∵0<β<，∴－<－β<0，
又0<α<，∴－<α－β<，
又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<.
11
12
8.已知a，b為實數(shù)，則2a2＋b2＋1　　　ab＋2a.(填 “>”“<”“≥”或“≤”)
1
2
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7
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答案
≥
由題知，
－(ab＋2a)＝a2－ab＋b2＋a2－2a＋1＝＋(a－1)2
≥0，當且僅當a＝1且b＝2時，取等號.
11
12
四、解答題
9.(2024·岳陽聯(lián)考)已知指數(shù)函數(shù)y＝在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象頂點的橫坐標為x0.
(1)求2x0＋1的取值范圍；
1
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答案
11
12
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答案
∵y＝在定義域R上單調(diào)遞減，
∴0<<1，
又∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx頂點的橫坐標x0＝－，∵0<<1，
∴－<－<0，即－∴－1<2x0<0，∴0<2x0＋1<1，
∴2x0＋1的取值范圍為(0，1).
11
12
(2)比較a3＋b3與ab2＋a2b的大小.
1
2
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10
答案
∵a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，
又∵0<<1，∴a>b>0或a①當a>b>0時，a3＋b3>a2b＋ab2；
②當a11
12
10.證明下列不等式：
(1)已知a>b>c>d，求證：<；
1
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10
答案
∵a>b>c>d，∴a>b，－d>－c，
∴a－d>b－c>0，則<.
11
12
(2)已知a>b>0，c.
1
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10
答案
∵a>b>0，c∴－c>－d>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
則＝>0，
∴>.
11
12
11.已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足b＋c≤3a，則的取值范圍為
A.(1，＋∞) B.(1，3)
C.(0，2) D.(0，3)
1
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9
10
答案
能力拓展
11
√
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
答案
11
由已知及三角形三邊關(guān)系得
所以
兩式相加得0<<4，
所以0<<2.
12.已知實數(shù)x，y滿足－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0，則3x－4y的取值范圍為　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
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12
答案
11
[－7，2]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
答案
設(shè)3x－4y＝m(x＋2y)＋n(2x－y)，m，n∈R，則
解得
所以3x－4y＝－(x＋2y)＋2(2x－y)，
因為－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0，
所以－3≤－(x＋2y)≤2，－4≤2(2x－y)≤0，
所以－7≤3x－4y≤2.
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11§1.3　等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
課標要求　1.掌握等式性質(zhì).2.會比較兩個數(shù)的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.兩個實數(shù)比較大小的方法
作差法 (a，b∈R).
2.等式的性質(zhì)
性質(zhì)1　對稱性：如果a=b，那么b=a；
性質(zhì)2　傳遞性：如果a=b，b=c，那么a=c；
性質(zhì)3　可加(減)性：如果a=b，那么a±c=b±c；
性質(zhì)4　可乘性：如果a=b，那么ac=bc；
性質(zhì)5　可除性：如果a=b，c≠0，那么=.
3.不等式的性質(zhì)
性質(zhì)1　對稱性：a>b b性質(zhì)2　傳遞性：a>b，b>c a>c；
性質(zhì)3　可加性：a>b a+c>b+c；
性質(zhì)4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性質(zhì)5　同向可加性：a>b，c>d a+c>b+d；
性質(zhì)6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性質(zhì)7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a=b，a(2)若>1，則b>a.(　×　)
(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　×　)
(4)若>，則b2.(多選)下列命題為真命題的是(　　)
A.若ac2>bc2，則a>b
B.若a>b>0，則a2>b2
C.若aD.若a
答案　ABD
解析　C中，若a=-2，b=-1，則a2>ab>b2，故C錯誤.
3.設(shè)M=2a2-4a+7，N=a2-3a+6，則有(　　)
A.MC.M>N D.無法確定
答案　C
解析　因為M=2a2-4a+7，N=a2-3a+6，
所以M-N=(2a2-4a+7)-(a2-3a+6)=a2-a+1=+>0，所以M>N.
4.若實數(shù)a，b滿足0答案　(-1，2)
解析　∵01.a>b，ab>0 <.
2.若a>b>0，m>0，則：<；>.
題型一　數(shù)(式)的大小比較
例1　(1)(多選)下列不等式中正確的是(　　)
A.x2-2x>-3(x∈R)
B.+≥+(a>0，b>0)
C.a2+b2>2(a-b-1)
D.<(b>a>0)
答案　ABD
解析　∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0，
∴x2-2x>-3，故A正確；
+-=+=，又a，b均為正實數(shù)，∴a+b>0，(a-b)2≥0，∴≥0，∴+≥+，故B正確；
∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0，
∴a2+b2≥2(a-b-1)，故C錯誤；
用作差法比較-=，
∵b>a>0，∴>0，
∴<，故D正確.
(2)若a>0，b>0，則p=與q=abba的大小關(guān)系是(　　)
A.p≥q B.p≤q
C.p>q D.p答案　A
解析　由題知p>0且q>0，
===，
若a>b>0，則>1，a-b>0，
∴>1，即p>q；
若b>a>0，則0<<1，a-b<0，
∴>1，即p>q；
若a=b，則=1，∴p=q，
綜上，p≥q.
思維升華　比較大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論.
(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.
(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知c>1，且x=-，y=-，則x，y之間的大小關(guān)系是(　　)
A.x>y
B.x=y
C.xD.x，y的關(guān)系隨c而定
答案　C
解析　由題設(shè)，易知x>0，y>0，又==<1，∴x(2)已知a，b∈(0，1)，記M=ab，N=a+b-1，則M與N的大小關(guān)系是　　　　.
答案　M>N
解析　因為M-N=ab-a-b+1=(b-1)(a-1)，且a，b∈(0，1)，所以b-1<0，a-1<0，
所以M-N>0，即M>N.
題型二　不等式的基本性質(zhì)
例2　(1)(多選)(2025·常州模擬)已知實數(shù)a，b，c，d滿足aA.a+cC.a2d2>b2c2 D.>
答案　ACD
解析　由a由ab2>0，d2>c2>0，
再利用不等式的同向同正可乘性得a2d2>b2c2，故C正確；
由a-b>0，d>c>0，
再利用不等式的同向同正可乘性得-ad>-bc，
兩邊同除以正數(shù)-bd得>，故D正確.
(2)(多選)(2025·常德模擬)已知a>b>0，則下列不等式正確的是(　　)
A.a2>ab B.>
C.a+b+ln(ab)>2 D.a->b-
答案　ABD
解析　對于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正確；
對于B，∵a>b>0，∴<，∴1+<1+，即0<<，∴>，故B正確；
對于C，令a=1，b=，則a+b+ln(ab)=1++ln =<2，故C錯誤；
對于D，易得y=x-(x>0)為增函數(shù)，且a>b>0，故a->b-，故D正確.
思維升華　判斷不等式的常用方法
(1)利用不等式的性質(zhì)逐個驗證.
(2)利用特殊值法排除錯誤選項.
(3)作差法.
(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2024·西安模擬)已知a>b，c>d>0，則(　　)
A.< B.a-c>b-d
C.> D.<
答案　A
解析　對于A，-=，因為c>d>0，所以d-c<0，所以-=<0，即<，故選項A正確；
對于B，a>b，c>d>0，取a=4，b=3，c=2，d=1，則a-c=b-d，故選項B錯誤；
對于C，a>b，c>d>0，取a=2，b=1，c=6，d=3，則=，故選項C錯誤；
對于D，a>b，取a=1，b=-1，則>，故選項D錯誤.
(2)(多選)若a>b>0，c>d>0，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.ad>bc
B.a(a+c)>b(b+d)
C.<
D.ac+bd>ad+bc
答案　BCD
解析　對于A，取a=2，b=1，c=2，d=1，則ad=bc，故A錯誤；
對于B，由a>b>0，c>d>0，得a+c>b+d>0，則a(a+c)>b(b+d)，故B正確；
對于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，
且<等價于<，
等價于>，等價于ac>bd，故C正確；
對于D，(ac+bd)-(ad+bc)=(ac-ad)+(bd-bc)=a(c-d)+b(d-c)=(c-d)(a-b)>0，
則ac+bd>ad+bc，故D正確.
題型三　不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例3　(1)(多選)(2025·大慶模擬)已知實數(shù)x，y滿足1A.3B.-1C.2D.<<6
答案　CD
解析　因為2因為2因為1因為2所以<<6，故D正確.
(2)(2024·遼寧縣域重點高中協(xié)作體模擬)公園的綠化率是指公園內(nèi)的綠化面積與公園的面積之比.已知某公園的面積為a m2，綠化面積為b m2(0A.變大 B.變小
C.不變 D.不確定
答案　D
解析　原來公園的綠化率為，擴建后公園的綠化率為，
則-==，
所以與的大小與a，2b的大小有關(guān)，故擴建后公園的綠化率與原來公園的綠化率的變化情況不確定.
思維升華　利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍的注意點
(1)必須嚴格運用不等式的性質(zhì).
(2)在多次運用不等式的性質(zhì)時有可能擴大變量的取值范圍，解決途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，然后通過“一次性”不等關(guān)系的運算求解范圍.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知2A.[6，7] B.(2，5) C.[4，7] D.(5，8)
答案　D
解析　由題意可知4<2a<6，1<-b<2，所以5<2a-b<8.
(2)手機屏幕面積與整機面積的比值叫手機的“屏占比”，它是手機外觀設(shè)計中一個重要參數(shù)，其值通常在(0，1)之間.設(shè)計師將某手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數(shù)量，升級為一款新的手機外觀，則該手機“屏占比”和升級前比(　　)
A.不變 B.變小
C.變大 D.變化不確定
答案　C
解析　設(shè)原來手機屏幕面積為b，整機面積為a，
則屏占比為(a>b>0)，設(shè)手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數(shù)量為m(m>0)，升級后屏占比為，
∵a>b>0，∴-==>0，即該手機“屏占比”和升級前比變大.
課時精練
(分值：80分)
一、單項選擇題(每小題5分，共20分)
1.若a=(x+1)(x+3)，b=2(x+2)2，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.a>b
B.aC.a≥b
D.a，b的大小關(guān)系不確定
答案　B
解析　因為b-a=2(x+2)2-(x+1)(x+3)=2x2+8x+8-(x2+4x+3)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0，所以a2.已知a>b，則下列不等式一定成立的是(　　)
A.< B.2a>2b
C.a2>b2 D.|a|>|b|
答案　B
解析　取a=1，b=-2，滿足a>b，顯然有>，a2指數(shù)函數(shù)y=2x為增函數(shù)，若a>b，則必有2a>2b，B正確.
3.(2024·沈陽模擬)已知a>b>c，且a+b+c=0，則下列結(jié)論一定正確的是(　　)
A.bc>c2 B.>0
C.ab2>cb2 D.<0
答案　D
解析　由題知a>b>c且a+b+c=0，則有a>0，c<0，b>c，則bcb-c>0，因為b與0的大小關(guān)系未知，不能確定>0，B選項錯誤；
a>c，當b=0時，ab2=cb2，C選項錯誤；
a-b>0，c<0，<0，D選項正確.
4.(2024·北京大興統(tǒng)考)在一次調(diào)查中，某班甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在社區(qū)服務(wù)的月總時長之間有如下關(guān)系：甲、丙服務(wù)時長之和等于乙、丁服務(wù)時長之和，甲、乙服務(wù)時長之和大于丙、丁服務(wù)時長之和，丁的服務(wù)時長大于乙、丙服務(wù)時長之和，則這四名同學(xué)按照服務(wù)時長從大到小的順序排列為(　　)
A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙
C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁
答案　A
解析　設(shè)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的服務(wù)時長分別為a，b，c，d，a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
根據(jù)題意得
顯然d>b，d>c，②+①可得a>d，
由②-①可得b>c，
故a>d>b>c，
即這四名同學(xué)按服務(wù)時長從大到小的順序排列為甲、丁、乙、丙.
二、多項選擇題(每小題6分，共12分)
5.已知c>b>a，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.c+b>2a B.>
C.> D.<
答案　AB
解析　對于選項A，因為c>b>a，所以c+b>2a，故選項A正確；
對于選項B，因為c>b>a，所以c-a>c-b>0，所以>>0，故選項B正確；
對于選項C，取a=-3，b=-2，c=-1，滿足c>b>a，此時==-2，==-<，故選項C錯誤；
對于選項D，當c=1，b=-1，a=-2時，=2，==-，此時>，故選項D錯誤.
6.(2025·洛陽聯(lián)考)設(shè)實數(shù)a，b滿足1≤ab≤4，4≤≤9，則(　　)
A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3
C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4
答案　AC
解析　1≤ab≤4，4≤≤9，兩式相乘得4≤a2≤36，所以2≤|a|≤6，A正確；
由題意得≤≤，又1≤ab≤4，兩式相乘得≤b2≤1，所以≤|b|≤1，B錯誤；
因為1≤a2b2≤16，4≤≤9，所以兩式相乘得4≤a3b≤144，C正確；
因為1≤a2b2≤16，≤≤，所以兩式相乘得≤ab3≤4，D錯誤.
三、填空題(每小題5分，共10分)
7.已知0<β<α<，則α-β的取值范圍是　　　　　　.
答案　
解析　∵0<β<，∴-<-β<0，
又0<α<，∴-<α-β<，
又β<α，∴α-β>0，即0<α-β<.
8.已知a，b為實數(shù)，則2a2+b2+1　　　　　ab+2a.(填 “>”“<”“≥”或“≤”)
答案　≥
解析　由題知，
-(ab+2a)=a2-ab+b2+a2-2a+1=+(a-1)2≥0，當且僅當a=1且b=2時，取等號.
四、解答題(共28分)
9.(13分)(2024·岳陽聯(lián)考)已知指數(shù)函數(shù)y=在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象頂點的橫坐標為x0.
(1)求2x0+1的取值范圍；(6分)
(2)比較a3+b3與ab2+a2b的大小.(7分)
解　(1)∵y=在定義域R上單調(diào)遞減，
∴0<<1，
又∵二次函數(shù)y=ax2+bx頂點的橫坐標x0=-，∵0<<1，
∴-<-<0，即-∴-1<2x0<0，∴0<2x0+1<1，
∴2x0+1的取值范圍為(0，1).
(2)∵a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)，
又∵0<<1，∴a>b>0或a①當a>b>0時，a3+b3>a2b+ab2；
②當a10.(15分)證明下列不等式：
(1)已知a>b>c>d，求證：<；(7分)
(2)已知a>b>0，c.(8分)
證明　(1)∵a>b>c>d，∴a>b，-d>-c，
∴a-d>b-c>0，則<.
(2)∵a>b>0，c∴-c>-d>0，
∴a-c>b-d>0，b-a<0，c-d<0，
則-=
==>0，
∴>.
每小題5分，共10分
11.已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足b+c≤3a，則的取值范圍為(　　)
A.(1，+∞) B.(1，3)
C.(0，2) D.(0，3)
答案　C
解析　由已知及三角形三邊關(guān)系得
所以則
兩式相加得0<<4，
所以0<<2.
12.已知實數(shù)x，y滿足-2≤x+2y≤3，-2≤2x-y≤0，則3x-4y的取值范圍為　　　　　　.
答案　[-7，2]
解析　設(shè)3x-4y=m(x+2y)+n(2x-y)，m，n∈R，則
解得
所以3x-4y=-(x+2y)+2(2x-y)，
因為-2≤x+2y≤3，-2≤2x-y≤0，
所以-3≤-(x+2y)≤2，-4≤2(2x-y)≤0，
所以-7≤3x-4y≤2.

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