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6.4 余弦定理 教學設計

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6.4 余弦定理 教學設計

資源簡介

6. 4.3平面向量的應用----余弦定理
課題 6.4.3平面向量的應用—余弦定理 學科 數學 年級 高一
教材分析 本節內容是平面向量的應用,是在平面向量概念及其運算的基礎上展開的。前兩節學面向量在幾何證明和物理中的應用,繼續研究解三角形問題。本節課主要研究余弦定理及其應用。
教學目標 1.了解余弦定理的推導過程; 2.掌握余弦定理的幾種變形公式及應用; 3.能利用余弦定理求解三角形的邊、角等問題。
重點 用向量法推導余弦定理并應用余弦定理解三角形
難點 應用余弦定理解三角形
教學過程
教學環節 教師活動 學生活動 設計意圖
導入新課 舊知導入: 平面向量在解決數學和實際問題中有舉足輕重的作用,那么,接下來我們將借助向量的運算探索三角形邊長與角度的關系,把解直角三角形問題拓展到解任意三角形問題。 學生思考問題,引出本節新課內容。 設置問題情境,回顧舊知,激發學生學習興趣,并引出本節新課。
講授新課 知識探究(一) 余弦定理
思考1:我們知道,兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等。這說明,給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的。也就是說,三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來表示。那么,表示的公式是什么?
余弦定理:
三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即
利用余弦定理,我們可以從三角形已知的兩邊及其夾角直接求出第三邊。
思考3:余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系。應用余弦定理,我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題,怎么確定呢?
由余弦定理可得如下推論:
利用推論,可以由三角形的三邊直接計算出三角形的三個角。
思考4:勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關系,余弦定理則指出了三角形的三邊與其中的一個角之間的關系。你能說說這兩個定理之間的關系嗎?
【小試牛刀】 思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”) (1) 余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關系,因此,它適應于任何三角形.(  ) (2)余弦定理只適用于已知三邊和已知兩邊及其夾角的情況.( × ) (3) 在△ABC中,已知兩邊和其夾角時,△ABC不唯一.(  ) (4)已知△ABC中的三邊,可結合余弦定理判斷三角形的形狀.( √ ) (5)在△ABC中,若b2+c2>a2,則∠A為銳角.(  ) (6) 在△ABC中,若a2>b2+c2,則△ABC一定為鈍角三角形.(  ) 例1 在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a. 【跟蹤訓練】1 在△ABC中,a=2,c=+,B=45°,解這個三角形. 方法總結: (1)已知兩邊和兩邊夾角,直接應用余弦定理求出第三邊,然后根據邊角關系應用 (2)已知三角形的三邊求角時,可先利用余弦定理的推論求解出各角的大小. 【當堂達標】 1.在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc,則角A為(   ) A. B. C. D.或 2.在△ABC中,已知A=30°,且3a=b=12,則c的值為(   ) A.4 B.8 C.4或8 D.無解 3.在△ABC中,角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若a=2,B=,c=2,則b= . 【課堂小結】 1.適用范圍:余弦定理對任意的三角形都成立. 2. 主要功能:余弦定理的主要功能是實現三角形中邊角關系的互化,適用于解三角形. 【課后作業】 教材44頁,練習1,2 探究向量法推導余弦定理 會用自己的語言描述余弦定理的內容 公式變形, 得到推論 概念辨析 余弦定理的應用 鞏固基礎知識,發散學生思維,培養學生思維的嚴謹性和對數學的探索精神。 理解余弦定理 根據三變會求三個角,推導出余弦定理的推論 明確勾股定理和余弦動定理的關系 加深對余弦定理的理解

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