資源簡介

第十章 概率
10.1隨機事件與概率
10.1.4概率的基本性質
1.通過類比函數性質的研究途徑，確定概率性質的研究思想和方法.
2.理解概率的基本性質，培養學生數學抽象的核心素養.
3.通過互斥事件的概率求解公式的推廣和對立事件概率的意義，體會劃歸轉化思想，提升數學運算核心素養.
重點：概率的基本性質及其應用．
難點：利用概率的基本性質解決實際問題．
（一）創設情境
說一說：類比對函數性質的研究，你認為可以從哪些角度研究概率的性質呢？
答：我們可以從概率的取值范圍；特殊事件的概率；事件有某些特殊關系時，它們的概率之間的關系等角度來研究概率的性質.
師生活動：教師展示帶領學生簡單回憶學習指數函數定義后對指數函數性質的研究，引導學生思考有哪些研究概率性質的角度.
設計意圖：教師帶領學生回憶學習指數函數定義后對指數函數性質的研究，從而引導學生進行研究路徑的確認，形成類比研究的基礎，培養學生的學習遷移能力和學習興趣，提升學生的思維能力.
（二）探究新知
任務1：確定概率的取值范圍.
對隨機事件發生可能性大小的度量（數值）稱為事件的概率.事件的概率用表示.
探究：結合概率的定義及隨機事件中的必然事件和不可能事件，你能得到概率有什么性質呢？
師生活動：小組內交流，并匯報展示.
提示：由概率的定義可知，任何事件的概率都是非負的；
在每次試驗中，必然事件一定發生，不可能事件一定不會發生.
答：性質1 對于任意的事件，都有.
性質2 必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即，.
設計意圖：在研究路徑的指導下，通過定義及特殊事件的概率研究，得到概率的性質1和性質2.
任務2：探究和事件的概率與事件，的概率之間的關系.
在“事件的關系和運算”中我們研究過事件的某些關系.具有這些關系的事件，它們的概率之間會有什么關系呢？
思考：設事件與事件互斥，和事件的概率與事件，的概率之間具有怎樣的關系呢？
例：一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，那么，則事件R和G有什么關系呢？那么，與，之間有什么關系呢？
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報
答：所有試驗結果如右圖所示，用數組（x1，x2）表示可能的結果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號．則試驗的樣本空間
.
事件“兩次都摸到紅球”，即x1=1或2，x2=1或2；
事件“兩次都摸到綠球”，即x1=3或4，x2=3或4.
則；；
.
所以，，，，
則 ，.
故.
分析：一般地，因為事件A與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點，所以，這等價于，
即，兩個互斥事件的和事件的概率等于這兩個事件概率之和.
所以我們有互斥事件的概率加法公式：
性質3 如果事件A與事件B互斥，那么.
拓展：互斥事件的概率加法公式可以推廣到多個事件的情況.如果事件A1，A2，···，Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪···∪Am發生的概率等于這m個事件分別發生的概率之和，即
P(A1∪A2∪···∪Am)=P(A1)+P(A2∪)+···+P(Am).
思考：若事件A與事件B互為對立，那它們的概率又有什么關系呢？
例：一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件“兩個球顏色相同”，“兩個球顏色不同”，那么，則事件M和N有什么關系呢？那么，與，之間有什么關系呢？
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報
答：所有試驗結果如右圖所示，用數組（x1，x2）表示可能的結果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號．則試驗的樣本空間
.
“兩個球顏色相同”，“兩個球顏色不同”，
則；
；
.
所以，，，，
則 ，，.
故.
分析：因為事件A與事件B互為對立事件，則事件A與B的交事件,所以事件A與事件B也為互斥事件，因此由性質3:如果事件A與事件B互斥，那么；又因為對立事件A與B的和事件，故1，所以有
由此我們得到對立事件的加法概率公式：
性質4 如果事件A與事件B互為對立事件，那么，.
設計意圖：以摸球試驗為例，得出和事件的概率與事件，的概率之間的關系，讓學生體會劃歸轉化思想，提升數學抽象思維的核心素養和數學運算核心素養.
任務3：確定概率的單調性.
思考2：若事件A與事件B存在包含關系，即，那它們的概率又有什么關系呢？
分析：在古典概型中，對于事件A與事件B，如果，那么，即，即).
一般地，對于事件A與事件B，如果，即事件A發生，則事件B一定發生，那么事件A的概率不超過事件B的概率.
于是我們有概率的單調性：
性質5 如果，那么).
拓展：由性質5可得，對于任意事件A，因為,所以有P,且結合性質2 =1，P可得
0≤P(A)≤1
設計意圖：以古典概型為例，得出概率的單調性，讓學生學會總結.
任務4：探究概率的加法公式
思考：隨機試驗中，任意兩個事件A和B，P(A∪B)和P(A)+P(B)也相等嗎？如果不相等，請說明原因，并思考如何計算P(A∪B).
例：一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件R1“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”.那么，事件R1和R2有什么關系呢？P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)之間有什么關系呢？
答：所有試驗結果如右圖所示，用數組（x1，x2）表示可能的結果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號．則試驗的樣本空間
.
事件R1=“第一次摸到紅球”，即x1=1或2；
事件R2=“第二次摸到紅球”，即x2=1或2.
于是，R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；
R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}；
R1∪R2={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，
(3，2)，(4，2)}
R1R2={(1，2)，(2，1)}
故事件R1與事件R2既不對立也不互斥，是試驗中任意兩個事件.
n(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10，n(R1R2)=2，所以P(R1)=P(R2)=，P(R1∪R2)=，P(R1∪R2)=. 因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).這是因為(R1∪R2={(1，2)，(2，1)}≠，即事件R1，R2不是互斥的，容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)-P(R1R2).
一般地，我們有概率的加法公式：
性質6 設A，B是隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).
顯然，性質3是性質6的特殊情況.
分析：如果事件A與事件B互斥，則A∩B= ，由性質1知，P(Ω)=1，P( )=0.
因此有
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P( )
P(A∪B)=P(A)+P(B)-0
P(A∪B)=P(A)+P(B)
設計意圖：以同一摸球試驗為例，由淺入深，進一步探究概率的加法公式，培養學生思考能力，并提升學生的學習興趣．
（三）應用舉例
例1 甲、乙兩人下棋，已知甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則甲不輸的概率為 ．
提示：利用性質3進行求解.
解：因為乙獲勝的概率為，
且乙獲勝和甲不輸互為對立事件，
所以甲不輸的概率為．
故答案為：．
例2 已知三個事件，，兩兩互斥且，，，則 ， ．
提示：利用性質4和互斥事件的概率加法公式的推廣公式進行求解.
解：，
，，
又事件，，兩兩互斥，且，，
；
故答案為： ．
例3從不包含大小王牌的張撲克牌中隨機抽取一張，設事件“抽到紅心”，事件“抽到方片”，那么
“抽到紅花色”，求
“抽到黑花色”，求．
解：因為，且與不會同時發生，所以與是互斥事件，
根據互斥事件的概率加法公式，得
．
因為與互斥，又因為是必然事件，所以與互為對立事件，
因此．
【總結】運用互斥事件的概率加法公式解題的一般步驟：
確定各事件彼此互斥；
求各事件分別發生的概率，再求其和.
注意是公式使用的前提條件，不符合這點，是不能運用互斥事件的概率加法公式的.
例4 為了推廣一種新飲料，某飲料生產企業開展了有獎促銷活動：將罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置罐能夠中獎的飲料若從一箱中隨機抽出罐，能中獎的概率為多少
解法一：設事件“中獎”，事件“第一罐中獎”，事件“第二罐中獎”，那么事件“兩罐都中獎”，“第一罐中獎，第二罐不中獎”，“第一罐不中獎，第二罐中獎”，且
因為，，兩兩互斥，
所以根據互斥事件的概率加法公式，可得
我們借助樹形圖來求相應事件的樣本點數．
可以得到，樣本空間包含的樣本點個數為，且每個樣本點都是等可能的，
因為，，，
所以．
解法二：應用對立事件的概率公式進行解決.
事件的對立事件是“不中獎”，即“兩罐都不中獎”，由于“兩罐都不中獎”，而，所以．因此．
設計意圖：通過例題，熟悉概率的基本性質，并體會各公式應用的條件．
（四）課堂練習
1.已知事件與事件發生的概率分別為，，則下列命題：若為必然事件，則；若與互斥，則；若與互斥，則正確的個數為( )
A. B. C. D.
解：對于，由概率的性質知若為必然事件，則，所以是真命題；
對于，對立事件的概率的和為，所以的判斷不正確；
對于，滿足互斥事件的概率求和的方法，所以為真命題，
真命題有．
故選B．
2.已知隨機事件和互斥，且，，則( )
A. B. C. D.
解：隨機事件和互斥，且，，
，
．
故選：．
3.已知隨機事件和互斥，記事件為事件對立事件，且，，則( )
A. B. C. D.
解：根據題意，則，
又由事件和互斥，則，則，
則，
，
故選：.
4.玻璃盒里裝有紅球、黑球、白球、綠球共個，從中任取球，設事件為“取出個紅球”，事件為“取出個黑球”，事件為“取出個白球”，事件為“取出個綠球”已知，，，．
求“取出個球為紅球或黑球”的概率；
求“取出個球為紅球或黑球或白球”的概率．
解：，
或，
，
或．
5.國家射擊隊的某隊員射擊一次，命中環的概率如表所示：
命中環數 環 環 環 環
概率
求該射擊隊員射擊一次求：
射中環或環的概率；
至少命中環的概率；
命中不足環的概率．
解：記事件“射擊一次，命中環”為，則事件彼此互斥．
記“射擊一次，射中環或環”為事
那么當，之一發生時，事件發生，
由互斥事件的加法公式得：
；
設“射擊一次，至少命中環”的事件為，那么當，，之一發生時，事件發生．由互斥事件概率的加法公式得：
；
由于事件“射擊一次，命中不足環”是事件：“射擊一次，至少命中環”的對立事件：即表示事件“射擊一次，命中不足環”，
根據對立事件的概率公式得：
．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固概率的基本性質，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？

展開更多......

收起↑