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廣東省中山市共進聯盟2023-2024學年七年級下學期期中數學試題
1．（2024七下·中山期中）如圖，哪一個選項的右邊圖形可由左邊圖形平移得到（　?。?br/>A． B．
C． D．
2．（2024七下·中山期中）在平面直角坐標中，點在（　?。?br/>A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024七下·中山期中）在下列實數中，屬于無理數的是（　?。?br/>A．0 B． C． D．
4．（2024七下·中山期中）在平面直角坐標系中，將點向右平移5個單位得到的點的坐標為（　?。?br/>A． B． C． D．
5．（2024七下·中山期中）下列各數中立方根為的是（　?。?br/>A． B．1 C． D．
6．（2024七下·中山期中）如圖1所示為“釣魚神器”馬扎，圖2為抽象出的幾何模型，若，，，則（　?。?br/>A． B． C． D．
7．（2024七下·中山期中）如圖，下列條件中，能判定的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·中山期中）下列命題是真命題的是（　?。?br/>A．3 是9的平方根 B．相等的角是對頂角
C．9的平方根是3 D．同位角相等
9．（2024七下·中山期中）已知一個正數的兩個平方根分別是a＋3與3a－11，那么這個數是(　　)
A．4 B．±5 C．－5 D．25
10．（2024七下·中山期中）在平面直角坐標系中，軸，，若點，則點B的坐標是（　　）
A． B．或
C． D．或
11．（2024七下·中山期中）比較大小∶ 2　 　(填“>” “<”或“=” ) ．
12．（2024七下·中山期中）的平方根是 　 ?。?br/>13．（2024七下·中山期中）點C在x軸的下方，y軸的右側，距離x軸3個單位長度，距離y軸5個單位長度，則點C的坐標為　 ?。?br/>14．（2024七下·中山期中）如圖， 已知點A， B的坐標分別為， ，將沿x軸向右平移，使點B平移到點E，得到，若，則點C的坐標為　 ?。?br/>15．（2024七下·中山期中）在一次主題燈光秀展演中，有兩條筆直且平行的景觀道、上放置、兩盞激光燈（如圖所示），若光線按順時針方向以每秒4°的速度旋轉至便立即回轉，并不斷往返旋轉；光線按順時針方向每秒2°的速度旋轉至邊就停止旋轉，若光線先轉5秒，光線才開始轉動，當光線旋轉　 　秒時，．
16．（2024七下·中山期中）計算∶
17．（2024七下·中山期中）解方程∶
18．（2024七下·中山期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，則∠CON的度數．
19．（2024七下·中山期中）如圖是某市火車站及周圍的平面示意圖，已知超市的坐標是，市場的坐標是．
（1）根據題意，畫出相應的平面直角坐標系，并在圖中標出汽車站，花壇的位置；
（2）分別寫出體育場、火車站和文化宮的坐標．
20．（2024七下·中山期中）如圖，在四邊形中．點為延長線上一點，點為延長線上一點，連接，交于點，交于點，若，求證：．
證明：
∵（ ），
（已知）．
∴ = （等量代換）．
∴（ ）．
∴（ ）．
∵（已知），
∴（等量代換）．
∴（同旁內角互補，兩直線平行）．
∴（ ）．
21．（2024七下·中山期中）已知的立方根是，的算術平方根是，是的整數部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
22．（2024七下·中山期中）如圖，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°．
（1）求證：AF∥DE
（2）若AQ平分∠FAC，交BC于點Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度數．
23．（2024七下·中山期中）已知，， 點P在直線上， E為上一點， F為上一點．
（1）如圖①， 當點 P在線段上運動時，連接，求的值；
（2）如圖②， 當點 P在線段延長線上運動時，連接，求的值．
24．（2024七下·中山期中）在平面直角坐標系中，給出如下定義：點A到x軸、y軸距離的較小值稱為點A的“短距”，當點P的“短距”等于點Q的“短距”時，稱P，Q兩點為“等距點”．
（1）點的“短距”為______；
（2）若點的“短距”為3，求m的值；
（3）若，兩點為“等距點”，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】圖形的平移
【解析】【解答】解：由平移的概念得選項C是正確的．
故答案為：C．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面內，將一個圖形上的所有點都按照某個直線方向做相同距離的移動 ）逐項分析判斷即可.
2．【答案】B
【知識點】點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：，，
在第二象限，
故答案為：B．
【分析】根據點坐標與象限的關系求解即可。
3．【答案】D
【知識點】無理數的概念；求算術平方根
【解析】【解答】解：A、0是整數，是有理數，不屬于無理數，不符合題意；
B、是分數，屬于有理數，不屬于無理數，不符合題意；
C、是整數，屬于有理數，不屬于無理數，不符合題意；
D、是無理數，符合題意.
故答案為：D．
【分析】根據無理數的定義"無限不循環小數是無理數"并結合各選項即可判斷求解.
4．【答案】C
【知識點】坐標與圖形變化﹣平移
【解析】【解答】解：∵點向右平移5個單位，
∴點平移后得到點的橫坐標為，
∴點向右平移5個單位得到的點的坐標為．
故答案為：C．
【分析】根據平移的性質先求出點平移后得到點的橫坐標為，再求點的坐標即可。
5．【答案】A
【知識點】求算術平方根；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A中，由的立方根為，故A符合題意；
B中，由1的立方根為1，故B符合題意；
C中，由的立方根為1，即的立方根為1，故C不符合題意；
D中，由的立方根為1，即的立方根為1，故D不符合題意；
故選：A．
【分析】本題考查了立方根的定義，如果一個數的立方等于a，那么這個數叫a的立方根，也稱為三次方根，據此逐項分析作答，即可求解.
6．【答案】B
【知識點】平行線的性質；三角形的外角性質；對頂角及其性質
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
故選：B．
【分析】本題考查了平行線的性質，以及三角形的外角的性質，由，得到，根據三角形的外角的性質，求得，結合，即可得到答案.
7．【答案】B
【知識點】平行線的判定
8．【答案】A
【知識點】對頂角及其性質；同位角的概念；真命題與假命題；開平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A中，3 是9的一個平方根，所以選項A是真命題，所以A符合題意；
B中，相等的角不一定是對頂角，所以選項B是假命題，所以B不符合題意；
C中，9的平方根是，所以選項C是假命題，所以C不符合題意；
D中，兩直線平行，同位角相等，所以選項D是假命題，所以D不符合題意．
故選：A．
【分析】本題考查命題真假的判斷，根據平方根的概念，對頂角的性質，以及平行線的性質，結合選項，逐項分析判斷，即可得到答案．
9．【答案】D
【知識點】平方根的概念與表示
【解析】【解答】解：∵一個數的平方根互為相反數，有a+3+3a-11=0，解得：a=2
故選：D
【分析】本題考查一個正數平方根的含義，根據一個數的平方根互為相反數，得到方程a+3+3a-11=0，求得a值，即可得到答案.
10．【答案】D
【知識點】點的坐標；沿著坐標軸方向平移的點的坐標特征
【解析】【解答】解：軸，點，
點B的縱坐標是，
，
當點B在點A的左側時，點B的橫坐標是，
當點B在點A的右側時，點B的橫坐標是，
點B的坐標是或．
故答案為：D
【分析】根據平面直角坐標系分類討論：當點B在點A的左側時，當點B在點A的右側時，進而即可求解。
11．【答案】
【知識點】無理數的大小比較
【解析】【解答】解：，
，.
故答案為：
【分析】本題考查了實數的大小比較，根據被開方數越大，其值越大，由2是4的算術平方根，結合，即可得到答案.
12．【答案】±2
【知識點】平方根；算術平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案為：±2
【分析】根據平方根的定義，求數a的平方根，也就是求一個數x，使得x2=a，則x就是a的平方根，由此即可解決問題．
13．【答案】（5，﹣3）
【知識點】點的坐標
【解析】【解答】解：由C在x軸的下方，y軸的右側，得
C位于第四象限．
由距離x軸3個單位長度，距離y軸5個單位長度，則點C的坐標為（5，﹣3），
故答案為：（5，﹣3）．
【分析】根據點位于x軸下方，y軸右側，可得點位于第四象限，根據點到x軸的距離是縱坐標的絕對值，點到y軸的距離是點的橫坐標的絕對值，可得答案．
14．【答案】
【知識點】坐標與圖形變化﹣平移
【解析】【解答】解：，
，
，
，
即沿軸正方向平移2個單位長度得到，
，
點的坐標為．
故答案為：．
【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化平移，解題關鍵是掌握點的坐標的變化規律：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．根據得出，求出，則沿軸正方向平移2個單位長度得到，即可求解．
15．【答案】5或
【知識點】平行線的性質；一元一次方程的實際應用-幾何問題
【解析】【解答】解：由題意可得：最長旋轉時間為：（秒），
設射線的轉動時間為t，由題意得：，
當時，則可分：
①當射線旋轉至過程中時，則有時，如圖，
∵，，
∴ ，
即，
解得：；
②當射線旋轉至返回時，即，如圖，
∴，
∵，，
∴ ，
即，
解得：；
綜上所述：當射線PB旋轉的時間為秒或秒時，；
故答案為：秒或秒．
【分析】本題主要考查平行線的性質及一元一次方程的應用，設射線的轉動時間為t，根據題意，得到，當時，分當射線旋轉至和射線旋轉至返回，兩種情況討，由，，結合和，分別列出關于t方程，求得方程的解，即可得到答案。
16．【答案】解：原式
．
【知識點】化簡含絕對值有理數；求算術平方根；開立方（求立方根）
【解析】【分析】本題主要考查了實數運算，利用絕對值的性質，以及立方根的和和平方根的性質，結合有理數的加減運算法則，進行運算，即可得出答案．
17．【答案】解：
.
【知識點】直接開平方法解一元二次方程
【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程的應用，根據題意，兩邊開方，得到，分別求得兩個一元一次方程的解，即可得到答案.
18．【答案】解：∵OM平分∠AOC，且∠AOM=35°，
∴∠AOM=∠COM=35°．
∵ ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠COM=90°-35°=55°．
故答案為：55°.
【知識點】垂線的概念；角平分線的概念
【解析】【分析】本題主要考查了垂線定義以及角平分線的定義，由M平分∠AOC，求得AOM=∠COM=35°，再由ON⊥OM，結合∠CON=∠MON-∠COM，列出算式，即可求解.
19．【答案】（1）解：如圖所示：
（2）解：由平面直角坐標系知，
體育場的坐標為（-4，2），火車站的坐標為（-1，1），文化宮的坐標為（0，-2）．
【知識點】點的坐標；用坐標表示地理位置
【解析】【分析】（1）根據題意，利用超市和市場的坐標，得出原點的位置，建立平面直角坐標系，進而得出 汽車站和花壇的位置，得到答案；
（2）由（1）中的平面直角坐標系，結合坐標系中坐標的寫法，得出 體育場、火車站和文化宮的坐標 ，得到答案.
20．【答案】證明：∵（對頂角相等），
（已知），
∴（等量代換），
∴（同位角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，同旁內角互補），
∵（已知），
∴（等量代換），
∴（同旁內角互補，兩直線平行），
∴（兩直線平行，內錯角相等），
故答案為：對頂角相等；；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；；兩直線平行，內錯角相等．
【知識點】平行線的判定與性質
【解析】【分析】本題考查了平行線的性質與判定，根據同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行，反之亦成立，根據推理過程，結合對頂角的定義以及等量代換，即可得到答案.
21．【答案】（1）解：的立方根是，的算術平方根是，
，，
，，
，
，
；
（2）解：將，，，
代入得：，
的平方根是．
【知識點】無理數的估值；開平方（求平方根）；求算術平方根；立方根的概念與表示
【解析】【分析】（1）根據題意，利用立方根和算術平方根的意義，得到，，求得和的值，再由，結合無理數的估算方法，求得c的值，得到答案；
（2）將，，，代入代數式 ，計算求值，結合平方根的算法，即可得到答案.
22．【答案】解：（1）證明：∵BC∥GE，∴∠E＝∠1＝50°，
∵∠AFG＝∠1＝50°，
∴∠E＝∠AFG＝50°，
∴AF∥DE；
（2）解：∵∠1＝50°，∠Q＝15°，
∴∠AHD＝∠1＋∠Q＝65°，
∵AF∥DE，
∴∠FAQ＝∠AHD ＝65°，
∵AQ平分∠FAC，
∴∠CAQ＝∠FAQ＝65°，
∴∠ACQ＝180°﹣∠CAQ﹣∠Q＝100°．
【知識點】平行線的判定與性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質
【解析】【分析】（1）先根據BC∥EG，得出∠E＝∠1，再由∠AFG＝∠1，結合等量代換，得到E＝∠AFG，結合同位角相等，兩直線平行，即可證得AF∥DE；
（2）先根據三角形的外角性質，得到∠AHD＝∠1＋∠Q＝65°，再由AF∥DE，得到∠FAQ＝∠AHD ＝65°，利用AQ平分∠FAC，得到∠CAQ＝∠FAQ＝65°，結合∠ACQ＝180°﹣∠CAQ﹣∠Q，列出算式，即可得到答案.
23．【答案】（1）解：如圖所示，過點作，
，
，
，

（2）解：如圖所示，過點作，
，
，
，

【知識點】平行線的性質
【解析】【分析】（1）過點作，得到，根據兩直線平行，內錯角相等，同旁內角互補，得到，結合，列出算式，即可求解；
（2）過點作，得出，得到，，結合，即可求解.
24．【答案】（1）7
（2）解：∵點的“短距”為3，且，∴，解得或．
（3）解：點C到x軸的距離為，到y軸距離為2，點D到x軸的距離為，到y軸距離為4，
當時，，
則或，解得或（舍）．
當時，，
則或，解得或（舍）．
綜上，k的值為或．
【知識點】解含絕對值符號的一元一次方程；點的坐標
【解析】【解答】解：（1）點到x軸、y軸距離分別為和7，
根據定義得點的“短距”為7；
【分析】（1）根據題設中“短距”的新定義，結合點到x軸、y軸距離，即可求得點B到坐標軸的距離，得到答案；
（2）根據新題中“等距點”的新定義，結合點的“短距”為3，且，得到，求得m的值，即可求解；
（3）根據題設中的新定義，分別找到點C和點D到坐標軸的距離，分和，兩種情況，分別得出方程和，求得k的值，即可得到答案.
1 / 1廣東省中山市共進聯盟2023-2024學年七年級下學期期中數學試題
1．（2024七下·中山期中）如圖，哪一個選項的右邊圖形可由左邊圖形平移得到（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】圖形的平移
【解析】【解答】解：由平移的概念得選項C是正確的．
故答案為：C．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面內，將一個圖形上的所有點都按照某個直線方向做相同距離的移動 ）逐項分析判斷即可.
2．（2024七下·中山期中）在平面直角坐標中，點在（　?。?br/>A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知識點】點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：，，
在第二象限，
故答案為：B．
【分析】根據點坐標與象限的關系求解即可。
3．（2024七下·中山期中）在下列實數中，屬于無理數的是（　?。?br/>A．0 B． C． D．
【答案】D
【知識點】無理數的概念；求算術平方根
【解析】【解答】解：A、0是整數，是有理數，不屬于無理數，不符合題意；
B、是分數，屬于有理數，不屬于無理數，不符合題意；
C、是整數，屬于有理數，不屬于無理數，不符合題意；
D、是無理數，符合題意.
故答案為：D．
【分析】根據無理數的定義"無限不循環小數是無理數"并結合各選項即可判斷求解.
4．（2024七下·中山期中）在平面直角坐標系中，將點向右平移5個單位得到的點的坐標為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】坐標與圖形變化﹣平移
【解析】【解答】解：∵點向右平移5個單位，
∴點平移后得到點的橫坐標為，
∴點向右平移5個單位得到的點的坐標為．
故答案為：C．
【分析】根據平移的性質先求出點平移后得到點的橫坐標為，再求點的坐標即可。
5．（2024七下·中山期中）下列各數中立方根為的是（　?。?br/>A． B．1 C． D．
【答案】A
【知識點】求算術平方根；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A中，由的立方根為，故A符合題意；
B中，由1的立方根為1，故B符合題意；
C中，由的立方根為1，即的立方根為1，故C不符合題意；
D中，由的立方根為1，即的立方根為1，故D不符合題意；
故選：A．
【分析】本題考查了立方根的定義，如果一個數的立方等于a，那么這個數叫a的立方根，也稱為三次方根，據此逐項分析作答，即可求解.
6．（2024七下·中山期中）如圖1所示為“釣魚神器”馬扎，圖2為抽象出的幾何模型，若，，，則（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】平行線的性質；三角形的外角性質；對頂角及其性質
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
故選：B．
【分析】本題考查了平行線的性質，以及三角形的外角的性質，由，得到，根據三角形的外角的性質，求得，結合，即可得到答案.
7．（2024七下·中山期中）如圖，下列條件中，能判定的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】平行線的判定
8．（2024七下·中山期中）下列命題是真命題的是（　?。?br/>A．3 是9的平方根 B．相等的角是對頂角
C．9的平方根是3 D．同位角相等
【答案】A
【知識點】對頂角及其性質；同位角的概念；真命題與假命題；開平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A中，3 是9的一個平方根，所以選項A是真命題，所以A符合題意；
B中，相等的角不一定是對頂角，所以選項B是假命題，所以B不符合題意；
C中，9的平方根是，所以選項C是假命題，所以C不符合題意；
D中，兩直線平行，同位角相等，所以選項D是假命題，所以D不符合題意．
故選：A．
【分析】本題考查命題真假的判斷，根據平方根的概念，對頂角的性質，以及平行線的性質，結合選項，逐項分析判斷，即可得到答案．
9．（2024七下·中山期中）已知一個正數的兩個平方根分別是a＋3與3a－11，那么這個數是(　　)
A．4 B．±5 C．－5 D．25
【答案】D
【知識點】平方根的概念與表示
【解析】【解答】解：∵一個數的平方根互為相反數，有a+3+3a-11=0，解得：a=2
故選：D
【分析】本題考查一個正數平方根的含義，根據一個數的平方根互為相反數，得到方程a+3+3a-11=0，求得a值，即可得到答案.
10．（2024七下·中山期中）在平面直角坐標系中，軸，，若點，則點B的坐標是（　?。?br/>A． B．或
C． D．或
【答案】D
【知識點】點的坐標；沿著坐標軸方向平移的點的坐標特征
【解析】【解答】解：軸，點，
點B的縱坐標是，
，
當點B在點A的左側時，點B的橫坐標是，
當點B在點A的右側時，點B的橫坐標是，
點B的坐標是或．
故答案為：D
【分析】根據平面直角坐標系分類討論：當點B在點A的左側時，當點B在點A的右側時，進而即可求解。
11．（2024七下·中山期中）比較大小∶ 2　 　(填“>” “<”或“=” ) ．
【答案】
【知識點】無理數的大小比較
【解析】【解答】解：，
，.
故答案為：
【分析】本題考查了實數的大小比較，根據被開方數越大，其值越大，由2是4的算術平方根，結合，即可得到答案.
12．（2024七下·中山期中）的平方根是 　 ?。?br/>【答案】±2
【知識點】平方根；算術平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案為：±2
【分析】根據平方根的定義，求數a的平方根，也就是求一個數x，使得x2=a，則x就是a的平方根，由此即可解決問題．
13．（2024七下·中山期中）點C在x軸的下方，y軸的右側，距離x軸3個單位長度，距離y軸5個單位長度，則點C的坐標為　 ?。?br/>【答案】（5，﹣3）
【知識點】點的坐標
【解析】【解答】解：由C在x軸的下方，y軸的右側，得
C位于第四象限．
由距離x軸3個單位長度，距離y軸5個單位長度，則點C的坐標為（5，﹣3），
故答案為：（5，﹣3）．
【分析】根據點位于x軸下方，y軸右側，可得點位于第四象限，根據點到x軸的距離是縱坐標的絕對值，點到y軸的距離是點的橫坐標的絕對值，可得答案．
14．（2024七下·中山期中）如圖， 已知點A， B的坐標分別為， ，將沿x軸向右平移，使點B平移到點E，得到，若，則點C的坐標為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】坐標與圖形變化﹣平移
【解析】【解答】解：，
，
，
，
即沿軸正方向平移2個單位長度得到，
，
點的坐標為．
故答案為：．
【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化平移，解題關鍵是掌握點的坐標的變化規律：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．根據得出，求出，則沿軸正方向平移2個單位長度得到，即可求解．
15．（2024七下·中山期中）在一次主題燈光秀展演中，有兩條筆直且平行的景觀道、上放置、兩盞激光燈（如圖所示），若光線按順時針方向以每秒4°的速度旋轉至便立即回轉，并不斷往返旋轉；光線按順時針方向每秒2°的速度旋轉至邊就停止旋轉，若光線先轉5秒，光線才開始轉動，當光線旋轉　 　秒時，．
【答案】5或
【知識點】平行線的性質；一元一次方程的實際應用-幾何問題
【解析】【解答】解：由題意可得：最長旋轉時間為：（秒），
設射線的轉動時間為t，由題意得：，
當時，則可分：
①當射線旋轉至過程中時，則有時，如圖，
∵，，
∴ ，
即，
解得：；
②當射線旋轉至返回時，即，如圖，
∴，
∵，，
∴ ，
即，
解得：；
綜上所述：當射線PB旋轉的時間為秒或秒時，；
故答案為：秒或秒．
【分析】本題主要考查平行線的性質及一元一次方程的應用，設射線的轉動時間為t，根據題意，得到，當時，分當射線旋轉至和射線旋轉至返回，兩種情況討，由，，結合和，分別列出關于t方程，求得方程的解，即可得到答案。
16．（2024七下·中山期中）計算∶
【答案】解：原式
．
【知識點】化簡含絕對值有理數；求算術平方根；開立方（求立方根）
【解析】【分析】本題主要考查了實數運算，利用絕對值的性質，以及立方根的和和平方根的性質，結合有理數的加減運算法則，進行運算，即可得出答案．
17．（2024七下·中山期中）解方程∶
【答案】解：
.
【知識點】直接開平方法解一元二次方程
【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程的應用，根據題意，兩邊開方，得到，分別求得兩個一元一次方程的解，即可得到答案.
18．（2024七下·中山期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，則∠CON的度數．
【答案】解：∵OM平分∠AOC，且∠AOM=35°，
∴∠AOM=∠COM=35°．
∵ ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠COM=90°-35°=55°．
故答案為：55°.
【知識點】垂線的概念；角平分線的概念
【解析】【分析】本題主要考查了垂線定義以及角平分線的定義，由M平分∠AOC，求得AOM=∠COM=35°，再由ON⊥OM，結合∠CON=∠MON-∠COM，列出算式，即可求解.
19．（2024七下·中山期中）如圖是某市火車站及周圍的平面示意圖，已知超市的坐標是，市場的坐標是．
（1）根據題意，畫出相應的平面直角坐標系，并在圖中標出汽車站，花壇的位置；
（2）分別寫出體育場、火車站和文化宮的坐標．
【答案】（1）解：如圖所示：
（2）解：由平面直角坐標系知，
體育場的坐標為（-4，2），火車站的坐標為（-1，1），文化宮的坐標為（0，-2）．
【知識點】點的坐標；用坐標表示地理位置
【解析】【分析】（1）根據題意，利用超市和市場的坐標，得出原點的位置，建立平面直角坐標系，進而得出 汽車站和花壇的位置，得到答案；
（2）由（1）中的平面直角坐標系，結合坐標系中坐標的寫法，得出 體育場、火車站和文化宮的坐標 ，得到答案.
20．（2024七下·中山期中）如圖，在四邊形中．點為延長線上一點，點為延長線上一點，連接，交于點，交于點，若，求證：．
證明：
∵（ ），
（已知）．
∴ = （等量代換）．
∴（ ）．
∴（ ）．
∵（已知），
∴（等量代換）．
∴（同旁內角互補，兩直線平行）．
∴（ ）．
【答案】證明：∵（對頂角相等），
（已知），
∴（等量代換），
∴（同位角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，同旁內角互補），
∵（已知），
∴（等量代換），
∴（同旁內角互補，兩直線平行），
∴（兩直線平行，內錯角相等），
故答案為：對頂角相等；；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；；兩直線平行，內錯角相等．
【知識點】平行線的判定與性質
【解析】【分析】本題考查了平行線的性質與判定，根據同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行，反之亦成立，根據推理過程，結合對頂角的定義以及等量代換，即可得到答案.
21．（2024七下·中山期中）已知的立方根是，的算術平方根是，是的整數部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：的立方根是，的算術平方根是，
，，
，，
，
，
；
（2）解：將，，，
代入得：，
的平方根是．
【知識點】無理數的估值；開平方（求平方根）；求算術平方根；立方根的概念與表示
【解析】【分析】（1）根據題意，利用立方根和算術平方根的意義，得到，，求得和的值，再由，結合無理數的估算方法，求得c的值，得到答案；
（2）將，，，代入代數式 ，計算求值，結合平方根的算法，即可得到答案.
22．（2024七下·中山期中）如圖，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°．
（1）求證：AF∥DE
（2）若AQ平分∠FAC，交BC于點Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度數．
【答案】解：（1）證明：∵BC∥GE，∴∠E＝∠1＝50°，
∵∠AFG＝∠1＝50°，
∴∠E＝∠AFG＝50°，
∴AF∥DE；
（2）解：∵∠1＝50°，∠Q＝15°，
∴∠AHD＝∠1＋∠Q＝65°，
∵AF∥DE，
∴∠FAQ＝∠AHD ＝65°，
∵AQ平分∠FAC，
∴∠CAQ＝∠FAQ＝65°，
∴∠ACQ＝180°﹣∠CAQ﹣∠Q＝100°．
【知識點】平行線的判定與性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質
【解析】【分析】（1）先根據BC∥EG，得出∠E＝∠1，再由∠AFG＝∠1，結合等量代換，得到E＝∠AFG，結合同位角相等，兩直線平行，即可證得AF∥DE；
（2）先根據三角形的外角性質，得到∠AHD＝∠1＋∠Q＝65°，再由AF∥DE，得到∠FAQ＝∠AHD ＝65°，利用AQ平分∠FAC，得到∠CAQ＝∠FAQ＝65°，結合∠ACQ＝180°﹣∠CAQ﹣∠Q，列出算式，即可得到答案.
23．（2024七下·中山期中）已知，， 點P在直線上， E為上一點， F為上一點．
（1）如圖①， 當點 P在線段上運動時，連接，求的值；
（2）如圖②， 當點 P在線段延長線上運動時，連接，求的值．
【答案】（1）解：如圖所示，過點作，
，
，
，

（2）解：如圖所示，過點作，
，
，
，

【知識點】平行線的性質
【解析】【分析】（1）過點作，得到，根據兩直線平行，內錯角相等，同旁內角互補，得到，結合，列出算式，即可求解；
（2）過點作，得出，得到，，結合，即可求解.
24．（2024七下·中山期中）在平面直角坐標系中，給出如下定義：點A到x軸、y軸距離的較小值稱為點A的“短距”，當點P的“短距”等于點Q的“短距”時，稱P，Q兩點為“等距點”．
（1）點的“短距”為______；
（2）若點的“短距”為3，求m的值；
（3）若，兩點為“等距點”，求k的值．
【答案】（1）7
（2）解：∵點的“短距”為3，且，∴，解得或．
（3）解：點C到x軸的距離為，到y軸距離為2，點D到x軸的距離為，到y軸距離為4，
當時，，
則或，解得或（舍）．
當時，，
則或，解得或（舍）．
綜上，k的值為或．
【知識點】解含絕對值符號的一元一次方程；點的坐標
【解析】【解答】解：（1）點到x軸、y軸距離分別為和7，
根據定義得點的“短距”為7；
【分析】（1）根據題設中“短距”的新定義，結合點到x軸、y軸距離，即可求得點B到坐標軸的距離，得到答案；
（2）根據新題中“等距點”的新定義，結合點的“短距”為3，且，得到，求得m的值，即可求解；
（3）根據題設中的新定義，分別找到點C和點D到坐標軸的距離，分和，兩種情況，分別得出方程和，求得k的值，即可得到答案.
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