資源簡介

2025年陜西省初中學業水平考試全真模擬（三）數學試題
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分）
1．我市某天的最高氣溫是，最低氣溫是零下，則當天的溫差是（ ）
A． B． C． D．
2．下列與杭州亞運會有關的圖案中，中心對稱圖形是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，直線，等邊的頂點在直線上，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
4．下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如圖，一次函數的圖象過兩點，則關于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
（第3題圖） （第5題圖） （第6題圖） （第7題圖）
6．如圖，在矩形中，、相交于點，平分交于點．若，則的度數為( )
A． B． C． D．
7．如圖，是的直徑，是的弦，于點E，連接．若，，則的半徑的長為（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．二次函數的圖象過點，若關于的一元二次方程為實數）在的范圍內有實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）
9．因式分解＝ ．
10．如圖，正六邊形與正方形有重合的中心O，若是正n邊形的一個中心角，則n的值為 ．
（第10題圖） （第12題圖） （第13題圖）
11．去年嫦娥六號探測器再次奔赴月球，將實現世界首次月球背面南極艾特肯盆地采樣返回，月球距離地球384000千米．其中384000用科學記數法表示為 ．
12．如圖，點是反比例函數的圖象上一點，軸于點，點與點關于軸對稱，連接，若的面積為，則的值為 ．
13．如圖，正方形的邊長為8，M、N為邊上的動點，以為斜邊作等腰（其中），點E在邊上，且，連接，則的周長最小值為 ．
三、解答題（共13小題，計81分）
14．（本題滿分5分）
計算：
15．（本題滿分5分）
解不等式組：
16．（本題滿分5分）
化簡：．
17．（本題滿分5分）
如圖，在中，點D為邊的中點，請用直尺和圓規在邊上求作一點E，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡）
18．（本題滿分5分）
如圖，，點在上，，且，求證：．

19．（本題滿分5分）
端午節即將來臨，小明和媽媽打算去超市買粽子，他們購買10個肉粽和5個素粽共用去70元，已知每個肉粽比素粽多1元，那么每個肉粽多少元
20．（本題滿分5分）
我國四大傳統節日分別是春節、清明、端午、中秋節．傳統節日是傳承優秀歷史文化的重要載體，既使得人們在節日中增長知識，受到教益，又有助于彰顯文化、弘揚美德、陶冶情操、弘揚傳統．因此，端午節前，實驗中學舉行“傳經典·樂端午”系列活動，李老師將活動設計的項目制成卡片（除正面不同外，其余均相同），如圖所示，現將這些卡片洗勻，背面朝上放置在桌面上．
(1)若小宇從中隨機抽取一張卡片，他抽到“D．放紙鳶”的概率是 ；
(2)若小雅從中隨機抽取一張卡片，記下活動項目后，放回，洗勻，然后小輝再隨機抽取一張卡片，記下活動項目．請利用畫樹狀圖或列表的方法，求他們兩人抽取的卡片上的活動項目相同的概率．
21．（本題滿分6分）
漢中龍頭山景區為給游客提供更好的游覽體驗，擬在如圖①景區內修建觀光索道．設計示意圖如圖②所示，
以山腳A為起點，沿途修建AB，CD兩段長度相等的觀光索道，最終到達山頂D處，中途設計了一段與AF
平行的觀光平臺BC．索道AB與AF的夾角為15°，CD與水平線夾角為45°，點B的垂直高度BE為130m，
DF⊥AF，垂足為點F．（圖中所有點都在同一平面內，點A，E，F在同一水平線上．）
（1）求索道AB的長（結果精確到1m）；
（2）求山頂點D到水平地面的距離DF的長（結果精確到1m）．
（參考數據：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，＝1.41）
22．（本題滿分7分）
“自古嶺北不植茶，唯有涇陽出磚茶”，茯茶鎮以涇陽茯茶文化為依托，打造茯茶文化產業園，形成茯茶文化、關中民俗文化、關中生活文化為一體的特色小鎮，該小鎮某茶具店老板計劃購進A，B兩種茶具共50套，下面是這兩種茶具的進價和售價．如果將這些茶具全部銷售完可獲得的總利潤為y元，設購買A種茶具x套．
A茶具 B茶具
進價/元 80 90
售價/元 120 150
(1)請你寫出y與x之間的函數關系式；
(2)如果該老板購買A種茶具用了1920元，那么售完這些茶具，他一共可以獲得的總利潤為多少元？
23．（本題滿分7分）
為了提高學生的動手能力，學校提倡學生在家積極參與家務勞動．為了解學生周末在家的家務勞動情況，學校隨機調查了部分同學某個周末的勞動時間，并用得到的數據繪制了如圖不完整的統計圖，根據圖中信息回答下列問題：
(1)將條形統計圖補充完整；
(2)抽查的學生勞動時間的中位數是 ，平均數是 ；
(3)假如該校有學生900人，請估算周末家務勞動時間不低于1.5小時的學生人數．
24．（本題滿分8分）
如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點C，∠BAC的平分線交⊙O于點D，DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AC＝6，DE＝4，求⊙O的半徑．
25．（本題滿分8分）
如圖是一塊鐵皮材料的示意圖，由拋物線和矩形構成．矩形的長是8，寬是2，拋物線的頂點P在的垂直平分線上，且到的距離為4．以中點O為原點，、分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．現要在該鐵皮材料中截取矩形，小華設計了兩種方案：
方案一：如圖1，矩形的面積記為，點A、D在拋物線上，點B、C在上，；
方案二：如圖2，矩形的面積記為，點、 在拋物線上，點、在上，．
請你根據以上信息，解答下列問題：
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)分別求出、，并比較、的大小．
26．（本題滿分10分）
（1）問題提出：如圖1，在半圓O中，直徑，C為上一點，連接，，則的最大面積為_________；
（2）問題探究：如圖2，在中，半徑，，M為上的一點，過點M作一直線，與的夾角成（即），與分別交于A，C兩點，求四邊形的最大面積；
（3）問題解決：如圖3，有一塊半圓形的板材，工人師傅需要將板材進行切割．根據要求需要在半徑上選取一點C，從點C沿著線段進行切割，與的夾角為（即），然后在半徑上選取一點D，從點D沿著線段進行切割，且與的夾角也為，即，同時，在切割的過程中始終保持所對的圓心角為，已知直徑的長為，記切割掉的圖形與圖形的面積之和為S，S是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C D A D B C
1．A
【分析】溫差等于最高溫度減去最低溫度，列式子計算即可．
【詳解】∵最高氣溫是，最低氣溫是零下，
∴這一天的溫差為：，
故選：A．
【點睛】本題考查了溫差，實質是有理數的減法，熟練掌握有理數減法法則，準確把減法轉化為加法是解題的關鍵．
2．D
【分析】根據中心對稱圖形的定義進行判斷，即可得出答案．把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．
【詳解】解：A，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
B. 不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
C. 不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
D.是中心對稱圖形，
故選：D
【點睛】本題考查中心對稱圖形的概念：在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
3．C
【分析】此題主要考查了平行線的性質，等邊三角形的性質，三角形的外角定理．設直線與交于點，與交于點，先由對頂角的性質得，再由等邊三角形的性質得，然后由三角形的外角定理可求出，最后再根據直線可得的度數．
【詳解】解：設直線與交于點，與交于點，如圖所示：
，
，
為等邊三角形，
，
為的一個外角，
，
直線，
．
故選：C．
4．D
【分析】根據積的乘方來判定A，根據同底數冪除法的運算法則來求解B，根據去括號法則來判定C，根據積的乘方的運算法則來判定D．
【詳解】解：A、，故原選項計算錯誤，此項不符合題意；
B、，故原選項計算錯誤，此項不符合題意；
C、，故原選項計算錯誤，此項不符合題意；
D、，故原選項計算正確，此項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了整式的運算，熟練掌握同底數冪除法的運算法則，去括號法則，積的乘方的運算法則，是解題的關鍵．
5．A
【分析】本題主要考查一次函數和一元一次不等式的知識點，解答本題的關鍵是進行數形結合，此題比較簡單．根據一次函數與一元一次不等式的關系即可直接得出答案．
【詳解】解：由一次函數的圖象經過兩點，
根據圖象可知：關于的不等式的解集是，
故選：A．
6．D
【分析】本題考查了矩形的性質、等邊三角形和等腰三角形的判定與性質、三角形的內角和定理等知識點，熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．根據矩形的性質及平分分別判定及為等邊三角形，然后求得，則可在中求得的度數．
【詳解】解：在矩形中，，，，
∵平分，
，
，
∴，
．
，
，又，
為等邊三角形，
，
∴，
∵，
∴，
．
故選：D．
7．B
【分析】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理等知識點，解題的關鍵是掌握垂徑定理和圓周角定理．連接，根據圓周角定理得到的度數，根據垂徑定理得到的長度，即可求出半徑的長度．
【詳解】解：連接，如圖所示：
∵，
∴，
∵是的直徑，，
∴，
∴，
∴，
故選B．
8．C
【分析】本題主要考查了二次函數與軸的交點及交點與一元二次方程的實數根的關系．依據題意，將代入解析式求得值，從而得出函數的解析式，將一元二次方程為實數）在的范圍內有實數根可以看作與函數有交點，再由時的臨界函數值及對稱軸處的函數值得出的取值范圍即可．
【詳解】解：由題意，將代入二次函數，
．
．
拋物線的解析式為．
一元二次方程有實數根可以看作與函數有交點．
方程在的范圍內有實數根，
又當時，；當時，；當時，，
．
．
故選：C．
9．
【分析】提公因式后運用平方差公式進行因式分解，即可求解．
【詳解】解：
．
故答案為：．
【點睛】本考查了因式分解的方法，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解．
10．
【分析】本題主要考查了切線的性質、弧長公式；由轉角為可得，由切線的性質可得，根據四邊形的內角和定理求出，然后根據弧長公式計算即可．
【詳解】解：∵轉角為，
∴，
∵過點，的兩條切線相交于點，
∴，
∴，
∴的長為，
故答案為：．
11．
【分析】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．
【詳解】解：384000用科學記數法表示為．
故答案為：．
12．
【分析】本題考查的是反比例函數的的幾何意義，平行線分線段成比例，如圖，連接，過作軸于，而軸于，證明，設，則，再利用面積列方程求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，過作軸于，而軸于，
∴，而，的面積為8，
∴，，
設，
∴，
∴
∴，
解得：，
故答案為：
13．/
【分析】連接，由正方形的性質及等腰直角三角形的性質，易證四點共線，由圓周角定理得到恒等于，從而得到點P在正方形對角線上運動，證明，得到，由，得到為定值，當點三點共線時，有最小值，即有最小值，則的周長有最小值為，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：連接，
四邊形是正方形，是等腰直角三角形，
，
，
四點共線，
恒等于，
點P在正方形對角線上運動，
，
，
，
，
為定值，
當點三點共線時，有最小值，即有最小值，則的周長有最小值為，
，
的周長的最小值為：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，四點共圓，三角形全等的判定與性質，勾股定理等知識點，正確作出輔助線，確定點P的運動軌跡是解題的關鍵．
14．
【分析】首先計算特殊角的三角函數值、乘方和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．
【詳解】解：2sin60°﹣（）3﹣|1|
＝2﹣（1）
1
＝．
【點睛】此題主要考查了實數的運算，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．
15．
【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式的基本步驟是解答本題的關鍵．
分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到，確定不等式組的解集．
【詳解】解：由，
解得；
由，
解得，
不等式組的解集是：．
16．
【分析】本題考查了分式的混合運算，掌握相關運算法則進行通分、約分是解題關鍵．
【詳解】解：原式
17．見解析
【分析】本題考查尺規作圖-作垂線，作的中點E，利用三角形的中線將該三角形的面積平分，可得到．
【詳解】解：如圖，點E即為所求作（答案不唯一）：
18．見解析
【分析】本題主要考查全等三角形的性質與判定．利用證明，即可證明．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及兩人抽取的卡片上的活動項目相同的結果數，再利用概率公式可得出答案．
【詳解】（1）解：由題意得，小宇從中隨機抽取一張卡片，他抽到“D．放紙鳶”的概率為．
故答案為：．
（2）畫樹狀圖如下：
共有16種等可能的結果，其中兩人抽取的卡片上的活動項目相同的結果有4種，
∴兩人抽取的卡片上的活動項目相同的概率為．
20．5元．
【分析】設每個肉粽元，則每個素粽元，利用總價單價數量，即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結論．本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
【詳解】解：設每個肉粽元，則每個素粽元，
依題意得：，
解得：．
答：每個肉粽5元．
21．燈柱的高度約為
【詳解】解：如圖，過點A作，垂足為F，過點B作，垂足為G，
由題意，得，，
∵，
∴．
在中，，
∴．
設，
∵，
∴．
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴燈柱的高度約為．
22．(1)
(2)他一共可以獲得的總利潤為2520元
【分析】本題主要考查一次函數的應用，找到等量關系是解題的關鍵．
（1）根據題意找出等量關系式即可得出答案；
（2）先求出購買茶具的數量，再代入（1）中的函數表達式即可得出答案．
【詳解】（1）解：由已知可得，
；
（2）解：購買茶具的數量（套），
（元），
答：他一共可以獲得的總利潤為2520元．
23．(1)見解析
(2)中位數小時，平均數小時
(3)人
【分析】此題考查條形統計圖、扇形統計圖的制作方法和特點、平均數、中位數的意義及求法，樣本估計總體是統計常用的方法．
（1）求出家務勞動小時的學生人數即可補全條形統計圖；
（2）根據中位數、平均數的意義和求法即可求解；
（3）用樣本中周末家務勞動時間不低于小時的占比，估計總體的占比，根據總人數求出周末家務勞動時間不低于小時的學生人數．
【詳解】（1）解：本次抽樣調查學的人數是（人），
做家務的時間是小時的學生有：（人），補全條形統計圖如圖所示：
（2）將家務勞動時間從小到大排列處在第、位的數都是小時，因此中位數是小時，
抽查的學生勞動時間的平均數是×（小時）；
（3）根據題意得：
（人），
答：周末家務勞動時間不低于小時的學生人數大約有人．
24．（1）見解析；（2）⊙O的半徑為5
【分析】（1）由題意連接OD，結合角平分線性質證明∠ODE=90°即可；
（2）根據題意作OP⊥AE，利用垂徑定理結合勾股定理進行分析即可得出答案.
【詳解】解：（1） 連接OD，
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠EAD=∠DAB
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ODA
∴∠EAD=∠ODA，
∴AE∥OD
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=90 ，
∴∠ODE=90
又∵OD是半徑（或D是半徑的外端點），
∴DE是⊙O的切線
（2）作OP⊥AE，由垂徑定理，
∴AP= AC=3
∠EPO=90 ，∠ODE=∠DEP=90 ，
∴四邊形EPOD是矩形，
∴OP=DE=4
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP2+OP2=OA2
∴OA=5，故⊙O的半徑為5．
【點睛】本題考查切線的判定和性質、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．
25．(1)
(2)，，
【分析】本題考查了二次函數的應用，二次函數解析式，實數的大小比較等知識．熟練掌握二次函數的應用，二次函數解析式，實數的大小比較是解題的關鍵．
（1）由題意知，，，，設拋物線的函數表達式為，將代入，得，可求，進而可得拋物線的函數表達式；
（2）由題意知軸，軸，如圖1，設分別交x軸于點G、H，由，可得點D的橫坐標為2，當時，，則，，根據，計算求解即可；如圖2，設、分別交x軸于點、，由，可得，當時，，可求，，則，，根據，計算求解即可，最后比較大小即可．
【詳解】（1）解：由題意知，，，，
設拋物線的函數表達式為，
將代入，得，
解得，
∴拋物線的函數表達式為；
（2）解：由題意知軸，軸，
如圖1，設分別交x軸于點G、H，

∵，
∴點D的橫坐標為2，
當時，，
∴，
∴，
∴；
如圖2，設、分別交x軸于點、，

∵，
∴，
當時，，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．（1）8 （2）54 （3）存在；
【分析】（1）過點C作于點G，的面積，求出的最大值，即得答案；
（2）過點A作于點H，過點C作于點N，將四邊形的面積通過計算轉化為，即可通過求的最大值來求解答案；
（3）作過E，C，O三點的圓弧，設該弧所在的圓心為M，取的中點為，與交于點，連接，以為斜邊構造直角三角形，使，設與交于點G，將S轉化為，再通過計算和的最大值，即可求的答案．
【詳解】解：（1）過點C作于點G，如圖，

則的面積，
C為上一點，
，
當時，的面積取得最大值，
直徑，
，
的最大面積為；
故答案為：8．
（2）過點A作于點H，過點C作于點N，如圖，

則，
，，
，
四邊形的面積
，
為中的弦，
當經過圓心時，取得最大值，即為圓的直徑，
的最大值為，
四邊形的最大面積．
（3）S存在最小值，最小值為．理由：
作過E，C，O三點的圓弧，設該弧所在的圓心為M，取的中點為，與交于點，連接，以為斜邊構造直角三角形，使，設與交于點G，如圖，
，
，
，
，
的中點為，
，，，
四邊形為矩形，
，
，
當點C與的中點重合時，滿足的面積最大，
為等腰直角三角形，，
，
，
，
的面積的最大值
的面積
，
同理可得：的面積的最大值為，
在切割的過程中始終保持所對的圓心角為，
，
當和的面積取得最大值時，切割掉的圖形與圖形的面積之和S取得最小值，
存在最小值，
則S的最小值
．
【點睛】本題考查了圓中有關面積的綜合題，垂徑定理，圓周角定理,矩形的判定與性質，勾股定理,扇形的面積計算等知識，將所求圖形面積作合理的轉化是解題的關鍵．

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