資源簡介

第八章 實數
8.1平方根 第1課時
一、教學目標
1.了解平方根的概念，會用符號表示正數的平方根，并掌握平方根的性質;
2.了解開平方與平方互為逆運算，會求某些非負數的平方根;
3.通過學習平方根，建立初步的數感和符號感，發展抽象思維;
4.通過解決實際生活中的問題，讓學生體會數學與生活是緊密聯系的.
二、教學重難點
重點：平方根的概念及性質.
難點：求一個非負數的平方根.
三、教學過程設計
環節一 創設情境
【復習回顧】
填空：
(1) 32= ，(3)2= ；
(2) = ____， = ；
(3) 0.82 = ，(0.8)2 = .
反過來，如果已知一個數的平方，怎樣求這個數呢？
設計意圖：回顧舊知，引出本節課重點內容.
環節二 探究新知
【思考】
如果一個數的平方等于 9，這個數是多少？
預設答案：因為32=9，所以這個數可以是3；
又因為(-3)2=9，所以這個數也可以是-3；
除了3和-3外，任何一個數的平方都不等于9.
歸納：如果一個數的平方等于 9，那么這個數是3或-3.
【合作探究】
根據上面的研究過程填表：
解：
追問：如果我們把1、6、7分別叫做1,16,36的平方根，你能給出平方根的概念嗎？
一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2=a，那么這個數叫作 a 的平方根或二次方根.
例如，3 和-3是9的平方根，把3和-3合在一起簡記為±3 ，則±3是 9 的平方根.
注意：一個正數有兩個平方根，不要丟掉負的平方根.
設計意圖：學生在填空的過程中感受一個正數的平方根有兩個，進而對平方根有一定的感性認識，為歸納平方根的概念作鋪墊.在此基礎上，引導學生用文字語言得到平方根的概念，使學生的學習形成正遷移.
已知一個數，求它的平方的運算，叫作平方運算.
反之，已知一個數的平方，求這個數的運算叫什么？
求一個數a的平方根的運算，叫作開平方.平方與開平方互為逆運算.
環節三 應用新知
【典型例題】
例1 求下列各數的平方根：
(1) 64 ； (2) (3) 0.01
解：(1)∵ (8)2 = 64，
∴ 64的平方根是8
解：(2)∵
∴ 的平方根是
解：(3)∵(0.1)2 = 0.01，
∴ 0.01的平方根是0.1.
教師板書一道例題書寫過程，其余題目可由學生代表板書完成.
設計意圖：例1強化學生對平方根概念的認識，注意一個正數的平方根有兩個.
【做一做】
判斷下列說法是否正確，并說明理由.
(1)49的平方根是7；
(2)2是4的平方根；
(3)5是25的平方根；
(4)64的平方根是8；
(5)16的平方根是4.
答案：(1)×一個正數有兩個平方根
(2) √(3) √ (4) √
(5) ×負數沒有平方根
教師安排搶答環節邀請學生回答本題，鞏固學生對平方根概念的理解.
【思考】
正數的平方根有什么特點？0的平方根是多少？負數有平方根嗎？
歸納：
1.正數有兩個平方根，它們互為相反數.
2. 0的平方根還是0.
3.負數沒有平方根.
符號a≥0時有意義， a＜0時無意義，你知道為什么嗎？
根據平方根的概念或性質.
例如：±表示9的平方根，±=±3.
特別地，0的平方根記為.
設計意圖：通過討論，使學生對平方根有比較全面的認識，并體會分類思想.
例2 下列各數有平方根嗎？如果有，求它的平方根；如果沒有，說明理由.
(1) 0.36 ； (2) -5； (3)(-4) .
解：(1) 因為0.36是正數，
所以0.36有兩個平方根， ±=±0.6 .
(2)因為-5是負數，所以-5 沒有平方根;
(3)因為(-4)2=16是正數，所以(-4)2有兩個平方根,
± =± =±4.
環節四 課堂練習
教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
1. 判斷題.
(1)1的平方根是1;
(3)0.5是0.25的一個平方根;
(2)-1的平方根是-1;
(4)0的平方根是 0.
答案：（1）錯誤，一個正數有兩個平方根；
正確；（3）錯誤，負數沒有平方根；（4）正確.
2.求下列各數的平方根.
(1) ； (2) 6 ； (3)0.49.
解：(1)(±)2 =，它的平方根是±.
(2) 6 =36 ， (±6) =36，它的平方根是±6.
(3) (±0.7) =0.49，它的平方根是±0.7.
3.求下列各式中x 的值:
(1)x2=25; (2)9x2=4; (3)(x-1)2=1.
解：(1) x2=25, x=±5
(2) 9x2=4, x2=,x=±
(3)(x-1)2=1
x-1=±1
x=±1+1
x=2或x=0
環節五 歸納總結
以思維導圖的形式呈現：第八章 實數
8.1平方根
第2課時
一、教學目標
1.了解算術平方根的概念，會用根號表示正數的算術平方根，并了解算術平方根的非負性;
2.了解開方與乘方互為逆運算，會求某些非負數的算術平方根;
3.通過學習算術平方根，建立初步的數感和符號感，發展抽象思維;
4.通過解決實際生活中的問題，讓學生體會數學與生活是緊密聯系的
二、教學重難點
重點：算術平方根的概念.
難點：根據算術平方根的概念正確求出非負數的算術平方根.
三、教學過程設計
環節一 創設情境
【復習回顧】
學校要舉行美術作品比賽，小鷗想裁出一塊面積為25 dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？你能幫小鷗算一算嗎？
答：邊長應取5 dm.因為5 =25
完成表1：
你能從表1發現什么共同點嗎？
答：已知一個正數，求這個正數的平方，這是平方運算.
教師選擇某兩組代表回答，其中一組完成填空，另外一組嘗試總結共同點.
完成表2：
你能從表2發現什么共同點嗎？
答：已知一個正數的平方，求這個正數.
表1與表2中兩種運算有什么關系？
答：互為逆運算
教師選擇某三組代表回答，其中一組完成填空，另外兩組嘗試總結共同點及運算關系.
設計意圖：通過已知正方形面積求邊長問題，加強學生對這種運算的理解，為引出算術平方根作好鋪墊；通過已知正方形的面積，求邊長，引出兩種運算之間的互逆關系，讓學生體會到舊知與新知的聯系.
環節二 探究新知
【合作探究】
我們知道，正數a有兩個平方根，其中正的平方根叫作a的算術平方根.正數a的算術平方根用來表示.
規定：0的算術平方根是0.0的算術平方根也記為.
1.因為2 4，所以4的算術平方根是_____;
答案：2
2.下列說法正確的是______.
①5是25的算術平方根.
②0.01是0.1的算術平方根.
答案：①
算術平方根是它本身的數只有0和1.
教師給出算術平方根的概念，并可結合表2數據，進行舉例說明,并結合兩道練習題，鞏固概念的學習.
設計意圖：讓學生深入理解算術平方根的概念.
【思考】
怎么用符號來表示一個正數的算術平方根呢？
環節三 應用新知
【典型例題】
例 求下列各數的算術平方根：
(1)100; (2) (3)0.0001.
解:(1)∵10 100，
∴100的算術平方根是10，
即10
(2)∵() ，
∴的算術平方根是
即 =
(3)∵0.01 =0.0001，
∴0.0001的算術平方根是0.01，
即0.01
小結：被開方數越大，對應的算術平方根也越大，這個結論對所有的正數都成立.
教師可與學生共同完成一道例題的書寫過程，其余題目由學生搶答完成，由兩位學生代表到前面板書.
【歸納】
一個正數有幾個算術平方根？負數有算術平方根嗎？
①一個正數的算術平方根只有一個且一定為正數；
②負數沒有算術平方根，即當時，a一定表示一個非負數；
③算術平方根等于它本身的數只有0,1.
【歸納】
是什么數？其中a可以取任何數嗎？
算術平方根的雙重非負性.
到目前為止，我們學習了表示非負數的式子有：
|a|≥0；a2≥ 0；當a≥ 0 時， ≥ 0.
對于總結已經學過非負數的式子，教師提問學生進行回答，通過幾位學生的回答獲得全部結論，既對知識的回顧，又能增強新舊知識的聯系，啟發學生思考.
設計意圖：鞏固對算術平方根概念的理解，通過問題形式，引發學生思考正數、0的算術平方根.結合算術平方根有意義的條件及運算結果，引出雙重非負性的特點.由于對非負性的考查，在各類試題中經常出現，最后總結目前為止能夠表示非負性的算式.
【合作探究】
能否用兩個面積為 1 dm2 的小正方形拼成一個面積為 2 dm2 的大正方形？
如圖，把兩個小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，就得到一個面積為 2 dm2 的大正方形.
你知道這個大正方形的邊長是多少嗎？
解：設大正方形的邊長為x dm，則
x2 = 2
由算術平方根的意義可知
x =
所以大正方形的邊長是 dm.
小正方形的對角線的長是多少呢？
x =
小正方形的對角線的長即為大正方形的邊長.
學生分組討論、拼圖過程中，教師巡視，了解各組探究情況，最后動態展示拼圖過程，由學生代表回答解題思路，教師進行板書示范.
最后教師可強調大正方形的面積不能表示成一個有理數的平方，因此它的邊長只能用算術平方根的符號，即表示.
有多大呢？
()2=2
無限不循環小數是指小數位數無限，且小數部分不循環的小數.
播放動畫過程中，教師可提問,對于(1)、(2)教師帶領學生進行完成，(3)、(4)學生獨立完成
(1)在哪兩個整數之間？
(2)精確到0.1時在哪兩個數之間？
(3)精確到0.01時在哪兩個數之間？
(4)精確到0.001時在哪兩個數之間？
最后，教師給出無限不循環小數的概念.
你能估算出的近似值嗎(精確到0.01)？
【做一做】
解：∵ 22=4，32=9，∴ 2<<3.
∵ 2.2 =4.84，2.3 =5.29，
∴ 2.2<<2.3.
∵ 2.23 =4. 9729，2.24 =5. 0176，
∴ 2.23 <<2.24.
∵ 2.2362 =4.999696，2.2372 =5.004169，
∴ 2.236<<2.237，
∴ ≈2.24.
歸納：對算術平方根進行估算時，通常利用與被開方數比較接近的兩個完全平方數的算術平方根來估計這個被開方數的算術平方根的大小.
設計意圖：通過探究活動,引出求的一種方法，并舉例說明什么是無限不循環小數，讓學生理解其概念.
環節四 課堂練習
1.的算術平方根是( C )
A.2 B.2 C. D.
2.求下列各式的值:
(1); (2)-; (3)±
解：（1）=6；
-=-0.8；
(3)±=±
2.判斷下列各式的正誤.
(1)7 ；(2) 7　　；(3)
(1)錯(2)錯(3)對
正確解法：
(1)
(2)
(3)
3.若 |m2| + =0，求m+n的值.
解: ∵ |m2|≥0，≥0，
且 |m2| + =0，
∴ |m2| =0， =0，
m=2，n= 2，
m+n=2+(2)=0.
設計意圖：學生通過練習，可以更好的理解算術平方根的概念及性質，進一步提高分析問題和解決問題的能力.
環節五 歸納總結
以思維導圖的形式呈現本節課所講解的內容.
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.第八章 實數
8.1平方根
第3課時
一、教學目標
1.會用計算器求一個數的算術平方根;理解算術平方根隨著被開方數擴大(或縮小)而變化的規律;
2.通過求一個數的算術平方根的近似值，初步了解開方開不盡的數的無限不循環性，理解用近似值表示無限不循環小數的實際意義;
3.能用夾逼法求一個數的算術平方根的值;
4.通過解決實際生活中的問題，讓學生體會數學與生活是緊密聯系的.
二、教學重難點
重點：會用計算器求一個數的算術平方根.
難點：理解算術平方根隨著被開方數擴大(或縮小)而變化的規律.
三、教學過程設計
環節一 創設情境
求下列各式的值.
(1)的算術平方根=_______
(2)的算術平方根=_______
答案：(1)3 ，(2).
如果在所學過的有理數中找不到合適的數的平方等于所給的數，我們該如何表示所給數的算術平方根呢？本節我們就來討論這個問題.
設計意圖：回顧舊知，引出本節課重點內容，如何求一個算術平方根的近似值.
環節二 探究新知
【合作探究】
在估計有理數的算術平方根的過程中，為方便計算，可借助計算器求一個正有理數a 的算術平方根(或其近似值).
注意：計算器的型號不同，按鍵順序可能有所不同，要注意閱讀使用說明書.
【做一做】
用計算器求下列各式的值：
(1) ； (2) (精確到0.001).
解：(1)依次按鍵
，
顯示：56.
∴ =56.
依次按鍵
顯示：1.414213562.
∴ ≈1.414.
提示：計算器上顯示的1.414 213 562 是的近似值.
設計意圖：通過做一做，使學生掌握使用計算器求算術平方根的方法.
下面來解決本章引言中提出的問題.
由v2=2gR及v的實際意義，得v=，其g≈9.8(單位:m/s )，R≈6.4×106(單位:m).
用計算器求得
v≈=1.12×104.
因此，第二宇宙速度v約為1.12×104 m/s，即 11.2 km/s.
設計意圖：使用計算器求算術平方根，解決實際問題.
【合作探究】
用計算器計算下列算術平方根，你發現了什么規律？
解：
規律：
被開方數的小數點向右或向左移動2位,
算術平方根的小數點相應地向右或向左移1位.
設計意圖：通過計算器計算，教師引導，學生自主總結規律.
【做一做】
用計算器計算,并利用你發現的規律，求,,的近似值.你能根據的值說出是多少嗎？
解：
不能
設計意圖：應用上面的規律進行求解.
環節三 應用新知
【典型例題】
例 小麗想用一塊面積為400 cm2 的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為 300 cm2 的長方形紙片，使它的長寬之比為 3 : 2.她不知能否裁得出來，正在發愁.小明見了說：“別發愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片.”你同意小明的說法嗎？小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？
解：設長方形紙片的長為 3x cm ，寬為 2x cm，根據邊長與面積的關系得
3x 2x = 300，
6x2 = 300 ，
x2 = 50，
x = ，
因此長方形紙片的長為 3 cm .
∵50 > 49，∴ > 7.
由上可知 3 > 21，
則長方形紙片的長應該大于 21 cm.
∵ = 20，∴正方形紙片的邊長只有 20 cm.
這樣，長方形紙片的長將大于正方形紙片的邊長.
答：不能同意小明的說法. 小麗不能用這塊正方形紙片裁出符合要求的長方形紙片.
設計意圖：例題給出了一個實際問題背景，學生一般會認為一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片，通過學習可以糾正學生的認識.重點使學生掌握通過平方數比較有理數與無理數大小的一種方法.
環節四 課堂練習
1.用計算器求下列各式的值：
(1) ；(2) (精確到0.01).
解：(1)依次按鍵
顯示：85.
所以 = 85.
(2)依次按鍵
顯示：3.464101615.
所以 ≈3.46.
2.下列各數分別介于哪兩個相鄰的整數之間
(1) ; (2) .
解：(1)∵22<5<32，∴2< <3
(2)∵52<26<62，∴5< <6
3.估算 的值 ( B )
A.在1和2之間
B.在2和3之間
C.在3和4之間
D.在4和5之間
解：∵42<19<52，
∴4< <5
∴2< 2 <3
故選B.
設計意圖：學生通過練習，可以更好的理解如何用計算器求一個數的算術平方根，進一步提高分析問題和解決問題的能力.
環節五 歸納總結
以思維導圖的形式呈現本節課所講解的內容.

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