資源簡介

8.3　實數及其簡單運算（第3課時）
1．能夠靈活應用本章知識解決實數中相關問題．
2．能夠借助數軸利用數形結合解決實數中相關問題．
靈活應用本節知識解決實數中相關問題．
能夠借助數軸利用數形結合解決實數中相關問題．
知識回顧
新知探究
一、探究學習
【重點】1．實數的分類．
（1）實數在分類時應將原數化簡，然后進行分類；
（2）有理數包括整數和分數；
（3）無限不循環小數是無理數．
2．實數的性質．
相反數、絕對值、倒數的運算及運算律同有理數一樣．
【師生活動】在知識回顧中，對有理數的相反數和絕對值定義進行了復習，教師在此可以引導學生仿照有理數的規定方法，對實數的相反數和絕對值進行猜測，完成填空，教師提問，并根據學生的答案進行總結：有理數關于相反數和絕對值的意義同樣適合于實數．
【問題】1．下列說法正確的是（　　）．
A．是有理數 B．是有理數
C．是無理數 D．是分數
【師生活動】教師引導學生對每個選項中的數進行分析：，雖然都含有分母，但分子π，是無理數，所以與也是無理數，所以選項A，B錯誤；＝10，10是有理數，所以選項C錯誤；＝，是分數，所以選項D正確．
【答案】D
【歸納】掌握無理數的概念是進行判斷的關鍵，要注意帶根號的數不一定都是無理數，含分母的數也不一定都是有理數．
【提醒】常見的三種無理數：
（1）經過化簡后，仍然含有π的數；
（2）含有根號，且開方開不盡的數；
（3）無限不循環小數．
【問題】2．在實數（每兩個9之間的0的個數依次增加1），中，無理數有____個，有理數有____個，負數有_____個．
【師生活動】教師給出分析方向：根據無理數是無限不循環小數，有理數是有限小數或無限循環小數以及小于零的數是負數得到答案．學生自己對所給出的幾個數字進行分析歸類：，－0.909 009 000 9…，是無理數，共3個；0，－3.14，是有理數，共3個；－3.14，－0.909 009 000 9…，是負數，共3個．
【答案】3　　3　　3
【歸納】掌握好實數的分類以及無理數、有理數包括的幾種類型，是解決此類題的關鍵．在分類時要明確分類標準，保證不重不漏．
【問題】3．若a，b互為相反數，c，d互為倒數，m的絕對值為2，求的值．
【師生活動】結合前面學過的知識，學生對該題進行分析：遇到兩數互為相反數，就要想到兩數之和為0；遇到兩數互為倒數，就要想到兩數之積為1；遇到絕對值是一個正數，就要想到原數可能有兩個．根據互為相反數、互為倒數和絕對值的意義，求出a＋b，cd及m的取值．
【答案】解：由a，b互為相反數，c，d互為倒數，m的絕對值是2，得
a＋b＝0，cd＝1，m＝±2．
所以＝0＋4－|1－|＝4－＋1＝5－．
【總結】（1）此類問題中a，b，c，d的值不確定，需要運用整體思想求a＋b，cd的值．
（2）在化簡|m|時，需要注意m的符號．
【設計意圖】設置這三道題目，主要讓學生熟練掌握實數的分類，及考查學生能否類似有理數的絕對值等概念對實數進行計算．
【重點】3．實數與數軸——數軸的三大作用．
（1）根據點在數軸上的位置判斷其所表示的實數的符號，在原點的左側為負數，在原點的右側為正數；
（2）根據點在數軸上的位置判斷其所表示的實數的絕對值的大小，離原點遠的絕對值大，離原點近的絕對值小；
（3）根據點在數軸上的位置比較其所表示的實數的大小，數軸上右邊的點表示的實數總大于左邊的點表示的實數．
【問題】4．如圖，M，N兩點在數軸上表示的數分別是m，n，則化簡式子|m＋n|－m的結果是__________．
【師生活動】學生獨立對數軸進行分析，得出如下結論：由數軸可知，m＜0，n＞0，|m|＜|n|，所以m＋n＞0，所以|m＋n|－m＝m＋n－m＝n．
【答案】n
【歸納】實數與數軸上的點是一一對應的，它體現了數形結合的思想．利用實數在數軸上所對應的點的位置可以判斷出實數或相關式子的值的正負，進而去掉絕對值符號或二次根號，使實數大小的比較更具有直觀性．
【問題】5．若將三個數表示在數軸上，則其中能被如圖所示的墨跡覆蓋的數是__________．
【師生活動】教師引導學生結合數軸，對實數的大小比較進行復習：可以看到覆蓋的數大致范圍在1和3之間，很明顯不在此范圍內，而即所以能被墨跡覆蓋的數是．
【答案】
【歸納】利用數軸比較實數大小的方法：
先由表示實數a的點在數軸上的位置判斷出a的取值范圍，再根據各數的特征或采用特殊值法比較出幾個數的大小．
【問題】6．如圖，在正方形ODBC中，OB＝，OA＝OB，則數軸上點A表示的數是__________．
【師生活動】學生以小組為單位，對圖形進行分析，得出結論如下：因為OA＝OB，所以OA＝OB＝．因為點A在數軸上原點的左邊，所以點A表示的數是－．
【答案】－
【設計意圖】這幾道題目主要考查實數和數軸結合的相關問題，鞏固學生對數形結合解決該類問題的掌握程度．
【重點】4．實數的運算．
有理數的運算法則和運算律同樣適用于實數，包括運算順序．實數有加、減、乘、除、乘方、開方等運算，混合運算的順序是先乘方、開方，再乘除，最后加減，同級運算按照從左到右的順序進行，有括號要先算括號里的．
【問題】7．已知表示實數a，b，c的點在數軸上的位置如圖．化簡：|a＋b|－|b＋c|＋|b－c|－|b|．
【師生活動】教師引導學生找到解決該類問題的關鍵點在于根據數軸判斷實數a，b，c的取值范圍及其絕對值的大小關系，然后據此判斷絕對值中的多項式的符號．由表示實數a，b，c的點在數軸上的位置可知，a＋b＜0，b＋c＞0，b－c＜0，b＜0，據此化簡即可．
【答案】解：根據表示實數a，b，c的點在數軸上的位置，得a＜b＜0＜c，且|a|＞|c|＞|b|，所以a＋b＜0，b＋c＞0，b－c＜0．
所以|a＋b|－|b＋c|＋|b－c|－|b|＝－(a＋b)－(b＋c)－(b－c)＋b＝－a－b－b－c－b＋c＋b＝－a－2b．
【提醒】如果絕對值符號里面是個多項式，那么去絕對值符號后一般要加上括號，否則在變號時容易出錯．
【問題】8．現有一面積為150 m2的正方形魚池，為了增加養魚量，如果把魚池的邊長增加6 m，那么擴建后魚池的面積為多少平方米(精確到0.1 m2)？
【師生活動】學生獨立分析題意，解決問題，教師巡視糾錯．
【答案】解：因為原正方形魚池的面積為150 m2，根據面積公式，它的邊長為≈12.25(m)．
由題意可得，擴建后的正方形魚池的邊長約為12.25＋6＝18.25(m)，所以擴建后魚池的面積約為18.252≈333.1(m2)．
答：擴建后魚池的面積約為333.1 m2．
【提醒】實際問題中的實數運算，可以利用計算器進行，當問題中要求近似值時，在計算過程中要注意對結果精確度的要求．
【問題】9．計算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）(精確到0.01)．
【師生活動】學生以小組為單位解決該題，并派出學生代表回答．
【答案】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【歸納】在進行實數的混合運算時，首先要觀察算式的特點，選擇合適的方法進行計算．注意運算順序和運算符號．
【設計意圖】對實數的運算進行鞏固，確保學生能夠熟練準確解決該類問題．
課堂小結
課后任務
完成教材第57頁習題8.3第1～5題．8.3　實數及其簡單運算（第2課時）
1．會求實數的相反數、絕對值．
2．類比有理數的運算法則，能夠進行簡單的實數運算．
會求實數的相反數、絕對值．
能夠進行簡單的實數運算．
知識回顧
【問題】有理數關于相反數和絕對值的定義是什么？
【師生活動】教師引導學生對學過的知識進行復習，學生通過回憶給出答案．
【答案】只有符號不同的兩個數，叫做互為相反數．
一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|．
【設計意圖】通過對有理數相關定義的復習，引出實數中的相反數和絕對值概念的探究．
新知探究
一、探究學習
【問題】（1）的相反數是_____，－π的相反數是_____，0的相反數是____；
（2）||＝____，|－π|＝____，|0|＝____．
【師生活動】在知識回顧中，對有理數的相反數和絕對值定義進行了復習，教師在此可以引導學生仿照有理數的規定方法，對實數的相反數和絕對值進行猜測，完成填空，教師提問，并根據學生的答案進行總結：有理數關于相反數和絕對值的意義同樣適合于實數．
【答案】（1）－　　π　　0　　（2）　　π　　0
【新知】數a的相反數是－a．
一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．即設a表示一個實數，則
【歸納】實數的相反數與絕對值的意義：
（1）實數a的相反數記作－a，兩個實數互為相反數是指這兩個實數的絕對值相等，但符號相反．
（2）若實數a，b互為相反數，則a＋b＝0，反之亦成立．
（3）實數的絕對值是指實數在數軸上對應的點到原點的距離．
【設計意圖】通過解決問題，認識實數的相反數和絕對值，知道有理數關于相反數和絕對值的意義同樣適合于實數．
【問題】（1）分別寫出－，π－3.14的相反數；
（2）指出－，1－分別是什么數的相反數；
（3）求的絕對值；
（4）已知一個數的絕對值是，求這個數．
【師生活動】學生獨立寫出答案，教師巡視糾錯．
【答案】解：（1）因為－(－)＝，－(π－3.14)＝3.14－π，
所以－，π－3.14的相反數分別是，3.14－π．
（2）因為－()＝－，－(－1)＝1－，
所以－，1－分別是，－1的相反數．
（3）因為＝－＝－4，所以＝|－4|＝4．
（4）因為||＝，|－|＝，所以絕對值為的數是或－．
【設計意圖】設置此處問題，加深學生對實數的相反數和絕對值的認識．
【思考】你知道怎樣進行實數的運算嗎？
【師生活動】教師引導學生對有理數的運算法則進行復習回顧，對實數的運算進行總結歸納：實數之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數不為0）、乘方運算，而且正數及0可以進行開平方運算，任意一個實數可以進行開立方運算．在進行實數的運算時，有理數的運算法則及運算性質等同樣適用．
【追問】實數的運算順序是什么？
【答案】實數的運算順序：先算 乘方、開方 ，再算 乘、除 ，最后算 加、減 ．同級運算 從左到右 依次進行，有括號的要先算括號里面的．
【問題】計算下列各式的值：
（1）； （2）．
【師生活動】學生按照前面總結的實數運算順序，對題目進行解答，小組內交流糾錯．
【答案】解：（1）
（2）．
【設計意圖】通過具體例子說明，有理數的運算律和運算性質同樣適合于實數的運算．
【問題】計算（結果保留小數點后兩位）：
（1）； （2）．
【師生活動】教師引導學生進行思考，在實數運算中，當遇到無理數并且需要求出計算結果的近似值時，一般先用近似有限小數（例如，比計算結果要求的精確度多一位）去代替無理數，再進行計算，最后對計算結果“四舍五入”.
【答案】解：（1）
（2）．
【設計意圖】讓學生通過解答此題，知道在涉及無理數的近似計算問題時，可以通過取近似值，轉化為有理數來進行計算．
二、典例分析
【例題】計算：
（1）； （2）．
【答案】解：（1）原式＝＝．
（2）因為≈0.455－1.414＝－0.959，所以≈0.959．
所以≈－0.959≈1.047－0.959＝0.088≈0.09．
【歸納】在近似計算時，計算過程中有時也使用“去尾法”，即用近似有限小數去代替無理數時，直接舍去要保留數位的下一位數字，最后對計算結果“四舍五入”.
a＋c形式的運算，可按合并同類項的法則進行，把被開方數相同且開同次方的看成同類項，根號部分看作字母，根號前的數看作系數，這樣運算的依據是乘法分配律．
課堂小結
課后任務
完成教材第56頁練習第1~3題．8.3　實數及其簡單運算（第1課時）
1．了解實數的意義，并能將實數按要求進行準確的分類．
2．了解實數和數軸上的點一一對應，能用數軸上的點表示無理數，并能借助數軸比較實數的大小．
1．了解實數的意義，并能將實數按要求進行準確的分類．
2．了解實數和數軸上的點一一對應，能用數軸上的點表示無理數．
借助數軸比較實數的大小．
新課導入
把下列有理數寫成小數的形式，你發現了什么？
4，
【師生活動】學生舉例，教師引導，進一步加強學生的認識．
【答案】4＝4，，，，，．
上面的有理數都可以寫成有限小數或者無限循環小數的形式．
【設計意圖】讓學生從新課導入開始，體會有理數都可以寫成有限小數和無限循環小數的形式．
新知探究
一、探究學習
【新知】事實上，任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式．反過來，任何有限小數或無限循環小數也都是有理數．
　　【思考】所有的數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式嗎？
　　【師生活動】學生獨立思考，然后教師抽取學生代表發言．
　　【答案】不是．如：
　　＝1.414 213 56…
　　＝1.709 975 94…
　　π＝3.141 592 653 589 793 238 462…
　　1.010 010 001 000 01…（兩個1之間依次多一個0）
　　【新知】無限不循環小數又叫作無理數．
　　像有理數一樣，無理數也有正負之分．例如，是正無理數，－是負無理數．
　　常見的無理數的形式：
　　（1）開方開不盡的數的方根，如，等；
　　（2）π及化簡后含π的數，如π＋1等；
（3）具有特殊結構的數，如0.303 003 000 3…（相鄰兩個3之間依次多一個0）．
有理數和無理數統稱為實數．
　　【設計意圖】通過對問題的思考，引出無理數的相關概念，為下面實數分類的講解作鋪墊．
　　【問題】你能給實數分類嗎？
　　【師生活動】小組討論，然后教師抽取小組代表發言．
【答案】1．按照定義分類．
2．按照正負分類．
【設計意圖】通過學生互相討論和交流，可以加深對無理數和實數的理解，同時讓學生明確實數的分類可以有不同的方法，初步形成對實數整體性的認識．
【探究】與有理數可以用數軸上的點表示類似，無理數也可以用數軸上的點表示．數軸上表示正無理數a的點在數軸的正半軸上，與原點的距離是a個單位長度；表示負無理數－b（b＞0）的點在數軸的負半軸上，與原點的距離是b個單位長度．下面，我們以π，，－為例，看一看如何在數軸上表示無理數．
以單位長度為直徑畫一個圓，它的周長等于π．如圖，從原點開始，將這個圓沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點O到達點O′，點O′對應的數是多少
【師生活動】教師引導學生觀察、思考，進而歸納得出結論．
【答案】從圖中可以看出，OO′的長是這個圓的周長π，所以點O′對應的數是π．
這樣，數軸上的點O′就表示無理數π．
【問題】你能在數軸上表示出和嗎？
【師生活動】學生獨立思考后小組討論交流．
【答案】以單位長度為邊長畫一個正方形（如圖），以原點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，與正半軸的交點就表示，與負半軸的交點就表示．
【追問】試著說出以原點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，與數軸的交點即為所求的根據．
【答案】用兩個面積為1的小正方形剪拼成一個面積為2的大正方形，這個大正方形的邊長就是小正方形的對角線長，因此以原點為圓心，以小正方形的對角線長為半徑畫弧，與數軸的兩個交點分別表示數和．
【新知】當數的范圍從有理數擴充到實數后，每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數．因此，實數與數軸上的點是一一對應的.
　　與規定有理數的大小一樣，對于數軸上的任意兩個點，右邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數大．
【設計意圖】通過具體操作，讓學生知道無理數也可以在數軸上表示．
二、典例分析
【例1】指出下列各數中的有理數與無理數：
3.14，，0，，，，，，2.303 003 000 3…（相鄰的兩個3之間依次多一個0）．
【師生活動】學生思考、回答，教師點評．
【答案】解：有理數：3.14，0，，，，；
無理數：，，2.303 003 000 3…（相鄰的兩個3之間依次多一個0）．
【歸納】1．無理數都是無限小數，但無限小數不一定是無理數，例如，，是有理數．
2．含有根號的數不一定是無理數，例如，（）是有理數．
【設計意圖】通過例1，考查學生是否會對實數進行分類．
【例2】試在數軸上標出π，，的大致位置，并借助數軸比較它們的大小．
【師生活動】學生獨立思考，然后回答問題．
【答案】解：因為π≈3.14，≈－2.24，≈1.73，
所以可以近似地標出它們在數軸上的位置，如圖．
其中點A表示π，點B表示，點C表示，
所以＜＜π．
　　【歸納】用數軸上的點表示實數的注意事項：
　　1．數軸上的任何一點表示的數不是有理數就是無理數．
　　2．在數軸上表示無理數時，一般只能通過估算標出其近似位置，而不能標出其準確位置．
　　3．正實數大于0，負實數小于0，正實數大于一切負實數．
【設計意圖】通過例2，讓學生學會運用數軸比較實數的大小．
課堂小結
課后任務
完成教材第54頁練習第3題．

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