資源簡介

教學設計
題目 函數的單調性 第1課時
一、內容和內容解析 內容 函數的單調性與導數的正負之間的關系，根據導數的正負性判斷函數的單調性
內容解析 本節課內容是通過觀察高臺跳水與幾個常見具體函數的圖像及其導數圖像，歸納出函數單調性與導數正負關系的一般結論。通過例1歸納出利用導數判斷函數單調性的一般步驟。 通過探究高臺跳水實例及幾個常見具體函數圖像的升降與導數值正負之間關系，得出導數判斷單調性的結論，蘊含了數形結合思想。學生利用函數的導數的明確運算，判斷出函數的單調性又蘊含了算法思想。運用導數研究函數單調性培養和提升學生數學計算與數學建模素養。 本節課是在已經學習了導數的概念和運算，知道導數是關于瞬時變化率的數學表達，知道它定量地刻畫了函數局部變化的基礎上，研究導數與函數單調性，同時也為后續研究函數的極值、最值等提供了方法和路徑。 本節課通過高臺跳水這一現實生活問題以及一些常見具體函數，引導學生探索發現函數單調性與導數正負之間關系，并利用導數研究函數的單調性，提高學生會用數學眼光觀察現實世界，會用數學語言表達現實世界能力。 本節課的重點是建立函數單調性與導數正負之間的關系
二、學情分析 學生已經學習了導數的概念、導數的幾何意義，以及導數的運算法則，為通過觀察函數及其導函數圖像關系，進而歸納出函數單調性與導數正負關系的一般結論奠定了基礎．
三、目標和目標解析 目標 結合實例，借助幾何直觀發現函數單調性與導數的正負之間的關系，體會數形結合思想，發展直觀想象素養；能將函數單調性問題轉化為導數的運算和導數正負的判斷問題，體會算法思想，發展數學運算素養。
目標解析 1.學生通過給定的具體函數的圖像，能借助導數的幾何意義判斷出導數的正負與函數的單調性，并將二者關聯起來，提升學生數形結合思想及數學運算素養。 2.對于給定的函數，學生能利用導數求函數的單調區間；能根據導數的正負信息畫出簡單函數的大致圖像，提升學生的數形結合思想及數學運算素養。
教學重點 建立函數單調性與導數的正負之間的聯系
教學難點 1.理解導數的正負與函數的單調性的關系 2.理解導數在某個區間上存在零點，但是函數在這個區上仍然是單調遞增（或單調遞減）問題
四、教學方法分析 借助信息技術工具對函數圖像的升降與導數正負之間的關系進行直觀認識，進而幫助學生進行探索、認識與理解。本節課采用自主學習與探索發現相結合的方法。
五、教學過程設計 教師活動與任務設計 學生學習活動與任務解決 設計意圖或評價目標
環節一 引導語：在必修第一冊中，我們通過圖像直觀，利用不等式、方程等知識，研究了函數的單調性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性質.在本章前兩節中，我們學習了導數的概念和運算，知道導數是關于瞬時變化率的數學表達，它定量地刻畫了函數的局部變化.能否利用導數更加精確地研究函數的性質呢？本節我們就來討論這個問題. 我們先來研究前面學習過的高臺跳水問題. 任務1：創設情境、提出問題 下圖（1）是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化的函數的圖像，圖（2）是跳水運動員的速度隨時間變化的函數圖像.是函數的零點. 運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別？如何從數學上刻畫這種區別？ 教師：引導學生理解題意，觀察圖像，然后進行分析. 學生：觀察并思考 創設情境，引入課題。 通過觀察高臺跳水問題中高度函數及其導函數的圖像，使學生發現當函數在區間上可導時，函數在區間上的單調性與函數在上的導數的正負有關系.在這一過程中，提升學生的直觀想象素養.
環節二 任務2：歸納規則，內涵辨析 追問1：我們看到，函數的單調性與的正負有內在聯系.那么，我們能否由的正負來判斷函數的單調性呢？ 教師：歸納高臺跳水問題中函數的單調性與導函數正負的關系。 追問2：觀察下面一些函數的圖像，探討函數的單調性與導數的正負的關系. 教師：帶領學生逐個觀察函數圖像，分析函數的單調性與導函數的正負. 追問3：如果在某個區間上恒有那么函數有什么特性？ 教師：教師啟發學生思考的幾何意義。 思考與延伸：用導數研究函數單調性的理論依據是什么？（參見教師用書109頁） 學生：觀看 學生：分析函數的單調性與導數的政府關系的一般性結論.最終得出結論 學生：利用幾何意義得出結論： 如果在某個區間上恒有那么在這個區間上恒有（為常數）. 通過對常見函數的單調性與函數導數的正負之間關系進行觀察和猜想
小結：教師引導學生進行總結歸納 一般地，函數的單調性與導函數的正負之間具有如下的關系： 在某個區間上，如果那么函數在區間上單調遞增； 在某個區間上，如果那么函數在區間上單調遞減. 學生通過觀察、猜想進行歸納得出用導數的正負判斷函數單調性的一般性結論，并由此讓學生體會從特殊到一般的思想、數形結合的思想，發展學生的直觀想象素養
環節三 任務3：例題練習、鞏固理解 例1 ：（教科書第86頁例1） 利用導數判斷下列函數的單調性： 教師：展示解題過 練習1 利用導數求下列函數的單調區間： 教師：教師巡視指導，重點關注學生的規范性解答。 例2 （教科書第86頁例2）已知導函數的下列信息： 當時， 當或時， 當時， 試畫出函數圖象的大致形狀． 教師：教師展示解題過程 練習2 (教科書87頁練習3)函數的圖像如圖所示，試畫出函數圖像的大致形狀。 教師：教師引導學生進行思考 學生：觀看并思考 學生：學生嘗試按照規范性解題步驟自主完成。 學生：學生觀看并思考 學生：學生嘗試自主完成 教師通過例題解答向學生示范如何用導數判斷函數的單調性，發展數學運算素養. 讓學生通過練習熟悉用導數判斷函數單調性的步驟，鞏固基礎。 通過示范講解，讓學生學會如何利用導函數的正負畫函數的大致圖像，使學生體會數形結合思想，發展直觀想象素養. 讓學生學會如何利用函數圖像確定導函數的正負，進而畫導函數的大致圖像，使學生體會數形結合思想，發展直觀想象素養
課堂小結 任務4：小結提升，形成結構 教師：教師引導學生回顧本節知識： 函數的單調性與導函數的正負之間的關系： 利用導函數的正負畫函數圖像的大致形狀；以及如何利用函數圖像判斷導函數的正負，進而畫出導函數的大致圖像. 利用導函數的正負判斷函數的單調性的一般步驟： 學生：學生回顧本節課知識點歸納總結 （1）在某個區間上，如果那么函數在區間上單調遞增； （2）在某個區間上，如果那么函數在區間上單調遞減. 第1步，確定函數的定義域； 第2步，求出導數的零點； 第3步，用的零點將的定義域劃分為若干個區間，列表給出在各區間上的正負，由此得出函數在定義域內的單調性. 對本節課進行小結，復習提升
六、目標檢測與作業設計 1．如圖，已知汽車在筆直的公路上行駛． （1）如果表示時刻時汽車與起點的距離，請標出汽車速度等于0的點； （2）如果表示時刻時汽車的速度，那么（1）中標出點的意義是什么？ 函數的圖象如圖所示，試畫出函數圖象的大致形狀. 布置作業：教科書第97頁習題5.3第1、2題 學生嘗試5分鐘內自主完成目標檢測 考查學生對用導數刻畫函數單調性的認識，體會函數與導函數之間的聯系
七、板書設計 任務1 任務2 任務4 任務3 任務5
八、反思

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