資源簡介

第九章 平面直角坐標系
9.2.2《用坐標表示平移》
本節課是人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊第九章 平面直角坐標系 9.2坐標方法的簡單應用，內容包括：第3課時，掌握圖形平移與坐標變化的關系，利用平移規律和點的坐標變化分析平面圖形進行了怎樣的平移.
本節課是在前面學面直角坐標系，在平面直角坐標系中，會確定一個點的坐標的基礎上，掌握圖形平移與坐標變化的關系；在坐標系中，探索并了解將一個多邊形依次沿坐標軸方向平移后所得的圖形與原來的圖形具有平移關系，體會圖形頂點坐標的變化.
在平移過程中，讓學生觀察分析，總結規律，深化對平移概念的理解，提升學生自主探究能力.基于以上分析，本節課是對平面直角坐標系的進一步拓展和應用，通過研究點在坐標系中的平移規律，讓學生從數的角度進一步認識平移變換，為后續學習函數圖像的平移等知識奠定基礎.
本節內容，是在學習了點(或圖形)平移及其性質，以及平面直角坐標系有關知識的基礎上，用坐標刻畫了平移變化，從數的角度進一步認識了平移變換，這是用代數方法研究幾何問題，是對平面直角坐標系的應用,學生在探索圖形平移變換的過程中初步建立空間觀念，感受數形結合思想.為后續學習利用平移變換，坐標變換探究幾何性質以及綜合運用幾種變換(旋轉、軸對稱，相似等)進行圖案設計打下了基礎，同時為今后學習研究函數的圖像和性質提供了方法和依據,教學重點是掌握坐標變化和圖形平移之間的關系,教學難點是能根據圖形上的點的坐標的某種變化看出這個圖形的平移方式.
1.掌握坐標變化與圖形平移的關系；
2.能根據圖形上的點的坐標的某種變化看出這個圖形進行了怎樣的平移；
3.能根據平移后(前)對應點的坐標，判斷出圖形平移后(前)大小、形狀和位置的關系；
4.在坐標系中,探索并了解將一個多邊形各點坐標依次進行數學運算,再將所得坐標依次連接后所得圖形與原來的圖形具有平移關系，體會數形結合和轉化的數學思想.
重點：掌握坐標變化與圖形平移的關系；
難點: 能根據圖形上的點的坐標的某種變化看出這個圖形進行了怎樣的平移；
復習回顧
問題1：用坐標表示平移有什么規律？
答：在平面直角坐標系中，將點（x，y）向右（或左）平移a個單位長度，可以得到對應點（x+a，y）或（x a，y） ；將點（x，y）向上（或下）平移b個單位長度，可以得到對應點（x，y +b） 或（x，y b）.
問題2：用點的平移規律將平面圖形進行平移有什么特點
答：一般地，將一個圖形依次沿兩個坐標軸方向平移所得到的圖形，可以通過將原來的圖形作一次平移得到.
追問：在平面直角坐標系，怎樣根據圖形上一個點A的坐標的變化確定該圖形的平移方式
師生活動：教師提問，學生舉手回答.
設計意圖：復習舊知，喚起學生已有的知識經驗，通過提問，激發學生的學習興趣和求知欲，為新知識的學習做好鋪墊.
探究新知
活動一：探究點的橫坐標的變化對圖形平移的影響
問題3：我們知道，對一個圖形進行平移，這個圖形上所有點的坐標都要發生相應的變化；反過來，從圖形上的點的坐標的某種變化，也可以看出對這個圖形進行了怎樣的平移．
如圖9.2-8，三角形ABC三個頂點的坐標分別是A(4,3)，B（3,1），C（1,2）.將三角形ABC三個頂點的橫坐標都減去6，縱坐標不變，分別得到點，，，依次連接，，各點，所得三角形與三角形ABC的大小、形狀和位置有什么關系？
師生活動:教師提出問題，學生獨立思考，直接作答填空.然后小組討論，選代表回答問題，教師補充總結學生的結論.
分析：如圖，容易發現，所得三角形與三角形ABC的大小、形狀完全相同，三角形可以看作將三角形ABC向左平移6個單位長度得到．
活動二：探究點的縱坐標的變化對圖形平移的影響
問題4：如圖9.2-8，三角形ABC三個頂點的坐標分別是A(4,3)，B（3,1），C（1,2）.將三角形ABC三個頂點的縱坐標都減去5，橫坐標不變，分別得到點，，，依次連接，，各點，所得三角形與三角形ABC的大小、形狀和位置有什么關系？
師生活動:教師提出問題，學生獨立思考，直接作答填空.然后小組討論，選代表回答問題，教師補充總結學生的結論.
分析：如圖，三角形與三角形ABC的大小、形狀完全相同，它可以看作將三角形ABC向下平移5個單位長度得到．
追問：如果將三角形ABC三個頂點的縱坐標都減去5，橫坐標都減去6，分別得到點，，，依次連接，，各點，所得三角形與三角形ABC的大小、形狀和位置有什么關系
總結：一般地，在平面直角坐標系中，若把一個圖形各點橫坐標都加（或減去）一個正數a，相應的新圖形可以看作把原圖形向右（或左）平移a個單位長度得到；若是縱坐標，則可以看作把原圖形向上（或下）平移a個單位長度得到．
設計意圖：通過觀察，比較平移后圖形上某一點坐標發生的變化，分析出該圖形的平移方式.
應用新知
【教材例題】
例1 如圖9.2-10，將三角形ABC平移，得到三角形，其中任意一點P（ ， ）平移后的對應點為（ ， ）．寫出三角形ABC的一種沿坐標軸方向的平移方式，以及點，，的坐標．
師生活動:學生獨立完成解題過程，教師點評，規范格式.
解：由平移前后的對應點P和的坐標關系可知，將三角形ABC先向右平移5個單位長度，再向上平移3個單位長度，可以得到三角形．同時，還可以得到點A，B，C的對應點，，的坐標分別為（3，6），（1，2），（7，3）．
總結：根據圖形上的某一點的坐標的某種變化看出這個圖形進行了怎樣的平移，以此推斷圖形平移后其他點的坐標.
設計意圖：通過例題，更好的理解平移規律，進一步提高分析問題和解決問題的能力.
【經典例題】
例2 如圖，線段經過平移得到線段，其中點，的對應點分別為點，，這四個點都在格點上若線段上有一個點，則點在上的對應點的坐標為( )
A. B. C. D.
分析：由題圖可知線段向左平移個長度單位，向上平移個長度單位得到線段，由此可知線段上的點的對應點的坐標為．
答：A.
總結：注意運用某一點坐標的變化來反推圖形在坐標系中是如何平移的，以此推斷圖形上其他點的坐標.
例3 如圖，第一象限內有兩點，，將線段平移使點、分別落在兩條坐標軸上，則點平移后的對應點的坐標是_______．
解：設平移后點、的對應點分別是、，分兩種情況：
在軸上，在軸上，則橫坐標為，縱坐標為，
，，點平移后的對應點的坐標是；
在軸上，在軸上，則縱坐標為，橫坐標為，
，，點平移后的對應點的坐標是；
綜上可知，點平移后的對應點的坐標是或．
總結：圖形在坐標系中平移時，應注意結果的多樣性.
例4 如圖，平面直角坐標系中，已知點，，，是的邊上任意一點，經過平移后得到，點的對應點為．
直接寫出點的坐標
在圖中畫出
求的面積．
分析：本題考查了利用平移變換作圖，三角形的面積，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵．
根據點、的坐標確定出平移規律，再求出的坐標即可；
根據網格結構找出點、、平移后的對應點、、的位置，然后順次連接即可；
利用所在的矩形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，列式計算即可得解．
解：點的對應點為，
平移規律為向右個單位，向下個單位，
的對應點的坐標為；
根據網格結構找出點、、平移后的對應點、、的位置，然后順次連接即可，如圖所示.
的面積，
，
，
．
總結：求三角形面積時，采用割補法，創造該三角形所在長方形和周圍的直角三角形，然后用面積差得出答案.
例5 如圖，在平面直角坐標系中，三角形三個頂點的坐標分別為，，若三角形內任意一點，平移后的對應點為，將三角形作同樣的平移得到三角形，點，，的對應點分別為，，．
在圖中畫出平移后的三角形；
三角形的面積為 ；
若為軸上一動點，當三角形的面積是時，求出點的坐標．
分析：本題考查了作圖平移變換：確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離．根據點的對應點為，據此將各點的橫坐標減、縱坐標加可得；
本題考查坐標于圖形的性質，三角形的面積，掌握割補法是關鍵.
利用三角形的面積等于長方形的面積減去三個直角三角形的面積即可解答．
本題考查坐標與圖形的性質，三角形的面積．設點的縱坐標為，則
，求出的值即可得出結果．
解：(1)如圖，三角形A1B1C1即為所求作
(2)7
(3)設點Q的縱坐標為m，則，解得 m＝－1或m＝5．
∴點Q的坐標為（0，－1）或（0，5）
總結：求三角形面積時，創造該三角形所在長方形和周圍的直角三角形，用面積差得出答案，同時注意同高不等底三角形面積的求法規律,運用運動的數學思想做題.
師生活動：教師在黑板上展示例題，提示學生仔細審題，找出問題的突破點.學生思考并嘗試解答.教師講解完后，詢問學生是否理解每一步的操作，鼓勵學生提出疑問.
設計意圖：通過典型例題讓學生鞏固新知，培養學生邏輯思維能力，鍛煉學生的推理能力.
課堂練習
　　【教材練習】
1.如圖，將四邊形平移后，頂點C（2,3）的坐標變成了（2,0），這時點（2,7），（1,5），（3,5）的坐標分別變成了什么？畫出
四邊形平移后得到的圖形．
解： （2,7）,（1,5）,（3,5）的坐標分別變成了(2,4),(1,2),(3,2).畫出四邊形平移后得到的圖形如圖所示.
2.如圖，平行四邊形四個頂點的坐標分別是（2,2），（0,0），（4,0），（6,2）.將這四個頂點的橫坐標都減去3，同時縱坐標都加1，分別得到點， ， ， ．請在圖中畫出四邊形 ，它與平行四邊形有什么關系？
解：畫出四邊形 如圖所示,四邊形 是由平行四邊形先向左平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度得到的.
3.三角形的三個頂點的坐標分別為（-3，2），（1,1），（-1，-2）．若將三角形平移，使點平移到點（1,-2）處，寫出三角形沿坐標軸方向平移的一種方式，以及點和點的對應點的坐標．
解： 答案不唯一,如:三角形先向右平移4個單位長度,再向下平移4個單位長度.點的對應點的坐標為(5,-3)，點的對應點的坐標為(3,-6).
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對本節知識的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
【限時訓練】
1.如圖，在平面直角坐標系中，三角形的頂點，的坐標分別為（3,6）， （-3,3）．把三角形平移得到三角形，使點平移到點處，那么點平移后的對應點的坐標是 .
答：(11,-10)
2.如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的斜邊在軸上，，點在第一象限標記點的位置后，將沿軸正方向平移至的位置，使經過點，再標記點的位置，繼續平移至的位置，使經過點，此時點的坐標為______．
分析：過點作軸于點，由是等腰直角三角形，知，，繼而得是等腰直角三角形，據此可知，再根據題意可得答案．
答：
3.四盞燈籠的位置如圖已知，，，的坐標分別是，，，，平移軸右側的一盞燈籠，使得軸兩側的燈籠對稱，則平移的方法可以是( )
A. 將向左平移個單位 B. 將向左平移個單位
C. 將向左平移個單位 D. 將向左平移個單位
分析：注意關于軸對稱的點的坐標，橫坐標互為相反數，縱坐標不變．
，，，這四個點的縱坐標都是，
這四個點在一條直線上，這條直線平行于軸，
，，，關于軸對稱，只需要，對稱即可，
，，可以將點向左移動到，移動個單位，
或可以將向左移動到，移動個單位.
答： C.
4.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別是，，．
將以為旋轉中心旋轉，畫出旋轉后對應的；
將平移后得到，若點的對應點的坐標為，求的面積．
解：如圖，即為所求．
如圖，即為所求．
的面積．
5.如圖，已知，點，軸，垂足為，將線段平移至線段，點，其中點與點對應，點與點對應，、滿足．
填空：直接寫出、、三點的坐標____、____、____；
直接寫出三角形的面積____．
如圖，若點在線段上，證明：．
如圖，連，動點從點開始在軸上以每秒個單位的速度向左運動，同時點從點開始在軸上以每秒個單位的速度向下運動．若經過秒，三角形與三角形的面積相等，試求的值及點的坐標．
解：，；，；，．．
證明：如圖，連接．
的面積的面積的面積，
，．
當點在線段上，，解得．此時．
當點在的延長線上時，，解得，此時，
綜上所述，時，；時，．
課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.根據圖形上的某一點的坐標的某種變化判斷該圖形的平移方式的關鍵是什么？
3.平面直角坐標系中，點的平移規律是什么？
4.平面直角坐標系中，求三角形面積的做題技巧是什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.

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