資源簡介

第八章 實數
8.3《實數及其簡單運算》
第1課時
本節課是人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊第八章 實數 8.3實數及其簡單運算，內容包括：第1課時無理數和實數的概念，實數與數軸上的點的一一對應關系.
本節課在數的開方的基礎上引進無理數的概念，并將數從有理數的范圍擴充到實數范圍，本章的內容在中學數學中占有重要地位，它不僅是后續學習二次根式、一元二次方程以及銳角三角函數等知識的基礎，也是高中數學學習函數、不等式等知識的基礎.學生在七年級上學期學習了有理數，在本章前兩節的學習過程中知道了許多正有理數的算數平方根都是無限不循環小數.本節先將有理數與有限小數和無限循環小數統一起來，再采用與有理數對照的方法引入無理數，揭示出有理數和無理數的聯系與區別，有助于學生理解實數定義，隨著無理數的引入，出現了實數概念，數的范圍由有理數擴充到實數，接著類比用數軸上的點表示有理數，指出實數與數軸上的點的一一對應的關系，實數的概念貫穿于中學數學學習的始終，學生對實數的認識是逐步加深的.
基于以上分析，本節課的教學重點是：理解無理數的概念，會判斷一個數是否為無理數，能把實數進行分類.
無理數是從現實世界中抽象出來的一種數，其嚴格的數學定義非常高深，再加上初中生對無理數幾乎沒有任何感性認識，甚至對無理數是否真正存在還有質疑，因此認識無理數就成了初中數學學習中的一個難點，為了突破這一難點，應從學生熟悉的有理數入手，通過與有理數對照的方法引入無理數的概念，進而揭示出有理數和無理數的聯系和區別.
基于以上分析，本節課的教學難點是：對無理數的認識，理解實數與數軸的關系，知道實數與數軸上的點具有一一對應的關系.
1.經歷無理數的探究過程，理解無理數的概念，會判斷一個數是否為無理數，能把實數進行分類；
2.理解實數與數軸的關系，知道實數與數軸上的點具有一一對應的關系；
3.體會“數形結合”的數學思想，通過了解數系擴充，體會數系擴充對人類發展的作用.
4.通過解決問題的過程，培養學生合作交流意識與探究精神.
重點：理解無理數的概念，會判斷一個數是否為無理數，能把實數進行分類.
難點: 對無理數的認識，理解實數與數軸的關系，知道實數與數軸上的點具有一一對應的關系.
復習回顧
問題1：我們在第一章學過有理數，請大家回憶有理數的定義及分類.
答：定義：整數和分數統稱為有理數.
分類：
將有理數按定義分類：
將有理數按性質分類：
填一填，回答問題.
答：
問題2：上表中所填的這些數都是有理數嗎？
答：，，，這些是有理數，，，不是有理數.
追問： ， ， 該怎么分類呢？
師生活動：教師提問，學生獨立思考并舉手回答.
探究新知
活動一：探究無理數的定義
問題3：把下列有理數寫成小數的形式，你發現了什么
，，， ， ，.
師生活動:學生在學案上把這些分數寫成小數的形式并觀察特征，完成后，師生共同評價.教師進一步引導，通過剛剛的探究整數和分數都能寫成有限小數或無限循環小數的形式，整數和分數統稱為什么數
分析：， ， ，
， ， .
提示：整數可以寫成小數點后為0的小數.
歸納：上面的有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式.
任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式.
設計意圖：讓學生從探究活動開始，體會有理數的本質特征是有限小數和無限循環小數的形式.
問題4：把，，各數寫成小數的形式，你有什么發現？
師生活動:如果學生回答起來有困難，教師進一步引導：這幾個數中哪個數的小數形式見過 并展示寫成小數形式的圖片，然后得出結論，這幾個數寫成小數的形式都是無限不循環小數.
答： 1.41421356237309504
3.1415926535897932384
結論：這些都是無限不循環小數，不能寫成兩個整數之比(分數)的數.
歸納：無限不循環小數又叫做無理數.有理數和無理數統稱為實數.
常見的無理數的形式:
①開方開不盡的數的方根，如，等；
②π及化簡后含π的數，如π+1等；
③有規律但不循環的小數，如0.3030030003(相鄰兩個3之間依次多一個 0)
注意：像有理數一樣，無理數也有正負之分，例如，是正無理數，是負無理數.
我國古人對無理數已經有了很多認識.《九章算術》中用“面”來表示開平方開不盡的數.
《 九章算術》公元1世紀初成書，標志著中國古代數學體系的形成.全書采用問題集形式，共246問，列為九章.
劉徽在其著作《九章算術注》中，不僅記錄了包含無理數運算的問題，而且給出了用有限小數無限逼近無理數的算法“求微數法”.
活動二：探究無理數的分類
問題5：我們將有理數和無理數統稱為實數，仿照有理數的分類，據此你能給實數分類嗎？
師生活動:先回憶有理數按定義分類的方式，然后類比得出實數按定義分類的方式，先讓學生獨立完成，然后小組討論，接著讓學生類比有理數按正負分類的方式，獨立得出實數按正負分類的方式，最后在教師的引導下共同完成實數思維導圖.
答：按定義分：
按正負分：由于非0有理數和無理數都有正負之分，所以非0實數也有正負之分，于是實數也可以這樣分類:
活動三：探究實數與數軸上點的對應關系
問題6：有理數都可以用數軸上的點來表示，無理數是否也可以用數軸上的點來表示呢？同學們能在數軸上找到表示，π這樣的無理數的點嗎
以單位長度為直徑畫一個圓，它的周長等于π.從原點開始，將這個圓沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達點，點 對應的數是多少
師生活動:學生獨立思考，教師提示學生思考π在幾何圖形上的作用：π可以用于計算圓的周長和面積.
教師展示半徑為1的圓上的點滾動一周的運動路徑，順勢指出：因為半徑為1的圓的周長為π，所以數軸上點表示的數是無理數π.
從圖中可以看出，的長是這個圓的周長π，所以點 對應的數是π.這樣，數軸上的點就表示無理數π.
問題7：你能把和在數軸上表示出來嗎？
師生活動:學生獨立思考，因為之前學習是利用正方形邊長進行探究，學生容易聯想到邊長為1的正方形的對角線長就是.教師引導學生利用尺規作圖,自己在數軸上嘗試畫出和 的點.
如圖，把兩個邊長為1的小正方形通過剪、拼，得到一個大正方形，由大正方形的面積為2 可知其邊長為.
從而說明邊長為1的小正方形的對角線長為.
畫法：
以原點為底邊起點，畫邊長為單位長度的正方形，其對角線長即為；
以原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧；
與正半軸的交點就表示，與負半軸的交點就表示.
總結：實數與數軸上點的關系：
當數的范圍從有理數擴充到實數后，每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數.
活動四：探究實數的大小比較
問題8：不用計算器，與2比較哪個大 與3比較呢
師生活動：教師提出問題，學生獨立思考，教師引導，共同分析解決問題.
分析：與2可以分別看作是面積為5和4的正方形的邊長，容易說明：面積較大的正方形，它的邊長也較大，因此2.
同樣，因為5<9，所以，因此.
與有理數一樣，實數也可以比較大小：與規定有理數的大小一樣，對于數軸上的任意兩個點，右邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數大.
總結：在實數范圍內：正數大于零，負數小于零，正數大于負數.
應用新知
【經典例題】
例1 指出下列各數中的有理數與無理數:
3.14；；0；；；； ；；(相鄰的兩個3依次多一個0).
解：有理數：3.14；0； ； ； ； ；
無理數： ；； (相鄰的兩個3依次多一個0).
總結：①無理數都是無限小數，但無限小數不一定是無理數，例如，，是有理數.
②含有根號的數不一定是無理數，例如，(=3)是有理數.
例2 比較下列各組數的大小：
(1)，； (2)，； (3)，； (4)，.
解： (1)∵，∴.
(2)∵，∴.
(3)∵，∴，，∴.
(4)∵，，，∴ .
總結：常見無理數的近似值：；
師生活動：教師在黑板上展示例題，提示學生仔細審題，找出問題的突破點.學生思考并嘗試解答.教師講解完后，詢問學生是否理解每一步的操作，鼓勵學生提出疑問.
設計意圖：通過典型例題讓學生鞏固新知，培養學生邏輯思維能力，鍛煉學生的推理能力.
課堂練習
　　【教材練習】
1. 判斷題.
(1)無限小數都是無理數；
(2)無理數都是無限小數；
(3)用根號表示的數都是無理數；
(4)所有有理數都可以用數軸上的點表示，反過來，數軸上的所有點
都表示有理數；
(5)所有實數都可以用數軸上的點表示，反過來，數軸上的所有點都表示實數.
答： (1)× 無限小數包括無限循環小數和無限不循環小數. 無限循環小數是有理數.
(2)√
(3)× 例如：，是有理數.
(4)× 所有有理數都可以用數軸上的點表示，但數軸上的所有點都表示實數.
(5)√
2.在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根與立方根中，哪些是有理數 哪些是無理數
解：∵0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根分別是0，1，，，，，，，，，.
立方根分別是0，1， ， ， ， ， ， ， ， ， .
∴0，1，4，9的平方根是有理數；2，3，5，6，7，8，10的平方根是無理數.0，1，8的立方根是有理數；2，3，4，5，6，7，9，10的立方根是無理數.
3.把下列實數表示在數軸上，并比較它們的大小(用“<”連接): ，，，.
分析：根據數軸上的點表示的數，右邊的總比左邊的大可得答案.
解：下列實數表示在數軸上如圖所示：
大小：<<<
總結：①數軸上的任何一點表示的數不是有理數就是無理數；
②在數軸上表示無理數時，一般只能通過估算標出其近似位置，而不能標出其準確位置.
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對本節知識的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
【限時訓練】
1.下列實數中，無理數是( )
A. B. C.0.1010010001 D.
答：B
2.無理數在( )
A. 2和3之間 B.3和4之間 C.4和5之間 D.5和6之間
分析：∵，
∴.
故選B.
答：B
3.如圖，數軸上A，B兩點表示的數分別為和5.1，則A，B兩點之間表示整數的點共有( )
A.6個 B.5個 C.4個 D.3個
分析：∵，，
∴A，B兩點之間表示整數的點有2，3，4，5，共有4個.故選C.
答：C
4.如圖，在數軸上表示實數的點可能是( )
A.點P B.點Q C.點M D.點N
分析：∵，∴.
∴在數軸上表示實數 的點可能是點 M. 故選C.
答：C
5.已知a為 的整數部分，則 (填大于，小于或等于)
分析：∵49<57<64，∴，
∴a=7.
∴.
∵1<3<4，∴.
∴.
故答案為:大于.
答：大于
課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.無理數和實數的概念是什么？
3.按照定義和正負如何對實數進行分類？
4.實數與數軸的關系是什么？
本節課首先梳理有理數的相關知識，類比有理數的研究思路，明確實數的學習方法.然后將有理數與有限小數和無限循環小數統一起來，再采用與有理數對照的方法引出無理數，揭示出有理數和無理數的區別，有助于學生理解實數的定義.隨著無理數的引入，得到實數的概念，數的范圍從有理數擴充到實數，然后類比有理數的兩種分類方式在實數范圍內對所學的數進行分類.接著類比用數軸上的點表示有理數，借助單位長度為1的圓形和邊長是1個單位長度的正方形在數軸上找到表示π和、的點，并指出實數與數軸上的點的關系：一一對應關系.實數的概念貫穿于中學學習的始終，學生對實數的認識是逐步加深的.
本節課精心設計問題情景，積極引導，啟發學生進行概念剖析，讓學生從被動學習到主動探究，激發學生的學習熱情，培養學生自主學習數學的能力.通過獨立思考與小組討論相結合的方式解決新的實際問題，培養學生解決問題的思想和方法，提升數學素養.第八章 實數
8.3《實數及其簡單運算》
第2課時
本節課是人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊第八章 實數 8.3實數及其簡單運算，內容包括：第2課時 實數基本運算.
“實數的簡單運算”處于人教版初中數學知識體系的關鍵節點. 在這之前，學生已掌握有理數運算，而實數運算則是對其的拓展，為后續學習方程、函數等知識奠定基礎，是從有理數到實數領域的重要過渡內容，對構建完整數學運算體系意義重大.
該部分內容先回顧有理數運算法則與運算律，如加法交換律、結合律等，在此基礎上引入實數運算. 通過具體實例，讓學生理解有理數運算律在實數范圍內同樣適用，包括實數的加、減、乘、除、乘方運算，同時介紹了如何對含有根號的實數進行簡單運算，使學生掌握不同形式實數的運算方法.
學生已有有理數運算的知識儲備，熟悉整數、分數的四則運算以及乘方運算，對運算順序和運算律也有一定的認知.但對于無理數，學生剛剛接觸，僅了解其概念和簡單形式，對無理數參與運算的理解還不夠深入，需要在教學中通過實例逐步引導.
初中學生正處于從形象思維向抽象思維過渡的階段，他們對直觀、具體的例子接受度較高，但對于抽象的數學原理和概念理解起來有一定難度.在實數運算學習中，對于將有理數運算律推廣到實數范圍這一抽象過程，部分學生可能難以理解，需要借助大量實例和直觀演示幫助他們掌握.
1.了解實數的相反數和絕對值的意義，會求一個實數的相反數和絕對值．
2.認識實數范圍內的運算法則，會進行實數的四則運算與近似計算．
3.在教學過程中通過滲透類比轉化的思想，讓學生意識到知識之間的緊密聯系，體會數學的一致性.
4.通過師生共同探索，體驗獨立思考與合作交流的學習過程，激發學生探索數學的熱情和興趣.
重點：了解實數的相反數和絕對值的意義，會求一個實數的相反數和絕對值.
難點: 認識實數范圍內的運算法則，會進行實數的四則運算與近似計算.
復習回顧
問題1：請回憶有理數中相反數、絕對值、倒數的定義是什么
答：相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數.
絕對值：數軸上表示數a的點到原點的距離叫做數a的絕對值，用︱a︱表示.
倒數：如果兩個數的積是1，則這兩個數互為倒數.
追問：無理數也有相反數嗎？怎么表示？有絕對值嗎？怎么表示？有倒數嗎？怎么表示？
師生活動：教師提問，學生獨立思考并舉手回答.
探究新知
活動一：探究實數的性質
問題2：(1)你能解答下列問題嗎？
①的相反數是_____，－π 的相反數是_____，0 的相反數是____；
②＝____，|－π|＝____，|0|＝____．
(2)結合有理數相反數和絕對值的意義，你能說說實數關于相反數和絕對值的意義嗎？
師生活動:學生嘗試用有理數的性質和概念完成填空，選學生回答，教師予以鼓勵.
分析：
答：(1)；π；0 ②；π；0
總結：有理數關于相反數和絕對值的意義同樣適合于實數．
(2)相反數：數a的相反數是 -a，這里a表示任意一個實數.實數a與-a 表示的點到原點的距離相等.
絕對值：一個正實數的絕對值是它本身；
一個負實數的絕對值是它的相反數；
0的絕對值是0.
實數的相反數與絕對值的意義：
①實數 a 的相反數記作－a，兩個實數互為相反數是指這兩個實數的絕對值相等，但符號相反．
②若實數 a，b 互為相反數，則 a＋b＝0，反之亦成立．
③實數的絕對值是指實數在數軸上對應的點到原點的距離．
活動二：探究實數的運算
問題3：(1)有理數有哪些運算呢？學完實數后多了哪些運算
(2)有理數有哪些運算律呢？這些運算法則和運算律在實數范圍內也適用嗎
師生活動:學生獨立思考并提出猜想：有理數的運算法則及運算性質在實數范圍內同樣適用.
答：(1)有理數可以進行加、減、乘、除、乘方運算.
(2)學完實數后多了兩種運算：
正數和0還可以進行開平方運算；
任何一個實數還可以進行開立方運算.
(2)交換律：加法 a+b = b+a 乘法 ab =ba
結合律：加法 (a+b)+c = a+(b+c) 乘法 (ab)c =a(bc)
分配律：乘法 a(b+c) =ab+ac
總結：有理數的運算法則及運算律同樣適用于實數.
設計意圖:鍛煉學生歸納總結的能力，培養遷移思想.
實數之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數不為 0）、乘方運算，而且正數及 0 可以進行開平方運算，任意一個實數可以進行開立方運算．在進行實數的運算時，有理數的運算法則及運算律等同樣適用．
實數的混合運算順序:先乘方、開方、再乘除，最后加減，同級運算從左到右依次進行，有括號先算括號里面的．
①乘方、開方 ②乘除 ③加減
實數的平方根與立方根的性質：
每個正實數有且只有兩個平方根，它們互為相反數.0的平方根是0.
在實數范圍內，負實數沒有平方根.
在實數范圍內，每個實數有且只有一個立方根，而且與它本身的符號相同.
此外，前面所學的有關數、式、方程的性質、法則和解法，對于實數仍然成立.
　設計意圖:通過上面的探究，學生已經基本了解實數的運算與有理數范圍的一致，這里只作直敘.
活動三：探究用近似值進行實數運算
問題4：計算（結果保留小數點后兩位）：
； (2)·.
師生活動:學生獨立思考并完成計算，選兩名學生板書，教師巡視.
分析：在實數運算中，當遇到無理數并且需要求出計算結果的近似值時，一般先用近似有限小數(例如，比計算結果要求的精確度多取一位)去代替無理數，再進行計算，最后對計算結果四舍五入.
解：(1)；
(2)· .
在近似計算時，計算過程中有時也使用“去尾法”，即用近似有限小數去代替無理數時，直接舍去要保留數位的下一位數字，最后對計算結果四舍五入. 如.
應用新知
【教材例題】
例1 (1)分別寫出， 的相反數；
(2)指出，分別是什么數的相反數；
(3)求的絕對值；
(4)已知一個數的絕對值是，求這個數.
解：(1)因為，，
所以， 的相反數分別為，.
因為，，
所以，分別是，的相反數.
(3)因為，所以.
(4)因為，，所以絕對值為的數是或.
例2 計算
(1)； (2).
分析：(1)可以利用加法結合律，然后兩個數相結合.
(2)可以理解為3個和2個的和，利用分配律合并同類項.
解：(1)
（加法結合律）
(2)
（分配律）
師生活動：學生獨立完成，老師提問加以點評訂正，強調注意事項，規范過程.
設計意圖:考查學生對實數范圍內的相反數、倒數和絕對值及其運算的規律的掌握.
【經典例題】
例3 若 a，b 互為相反數，c，d 互為倒數，m 的絕對值為 2，求的值．
分析：遇到兩數互為相反數，就要想到兩數之和為0；遇到兩數互為倒數，就要想到兩數之積為 1；遇到絕對值是一個正數，就要想到原數可能有兩個．根據互為相反數、互為倒數和絕對值的意義，求出 a＋b，cd 及 m 的取值．
解：由 a，b 互為相反數，c，d 互為倒數，m 的絕對值是 2，得
a＋b＝0，cd＝1，m＝±2．
所以
.　　
總結：(1)此類問題中 a，b，c，d 的值不確定，需要運用整體思想求 a＋b，cd 的值．
(2)在化簡|m|時，需要注意 m 的符號．
例4 已知表示實數，， 的點在數軸上的位置如圖．化簡：．
分析：解決此類問題的首要任務是根據數軸判斷實數 a，b，c 的取值范圍及其絕對值的大小關系，然后據此判斷絕對值中的多項式的符號．由表示實數 a，b，c 的點在數軸上的位置可知，a＋b＜0，b＋c＞0，b－c＜0，b＜0，據此化簡即可．
解：根據表示實數 a，b，c 的點在數軸上的位置，得
a＜b＜0＜c，且|a|＞|c|＞|b|，所以 a＋b＜0，b＋c＞0，b－c＜0．
所以|a＋b|－|b＋c|＋|b－c|－|b|
＝－(a＋b)－(b＋c)－(b－c)＋b
＝－a－b－b－c－b＋c＋b＝－a－2b．
總結：如果絕對值符號里面是個多項式，那么去絕對值符號后一般要加上括號，否則在變號時容易出錯．
師生活動：教師在黑板上展示例題，提示學生仔細審題，找出問題的突破點.學生思考并嘗試解答.教師講解完后，詢問學生是否理解每一步的操作，鼓勵學生提出疑問.
設計意圖：通過典型例題讓學生鞏固新知，培養學生邏輯思維能力，鍛煉學生的推理能力.
課堂練習
【教材練習】
1.求下列各數的相反數與絕對值:
， ， ， ， ，0.
解：(1)因為，，所以的相反數是，絕對值是.
(2)因為，，所以的相反數是，絕對值是.
(3)因為，，所以的相反數是，絕對值是.
(4)因為，，所以的相反數是，絕對值是.
(5)因為，，所以的相反數是，絕對值是.
(6)的相反數是，絕對值是.
2.計算：
(1)； (2) .
分析：(1)直接合并同類二次根式即可.
(2)先去絕對值符號，再合并同類二次根式.
解：(1)
(2)
3.計算(結果保留小數點后兩位)：
(1)； (2) .
分析：(1)先用計算器求出和保留三位小數的近似值，再相加，最后將結果保留兩位小數；
(2)先用計算器求出和保留三位小數的近似值，再相減，最后將結果保留兩位小數.
解：(1)
(2)
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對本節知識的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
【限時訓練】
1. 下列各數中，互為相反數的是 (　　)
A.3與 B.2與 C.與 D.5與
答：C
2.的值是(　　)
A. B. C. D.
分析：∵，∴
∵，∴
∴原式. 故選C.
答：C
3.如圖，M，N 兩點在數軸上表示的數分別是 m，n，則化簡式子|m＋n|－m 的結果是________．
分析：由數軸可知，m＜0，n＞0，|m|＜|n|，所以 m＋n＞0，所以|m＋n|－m＝m＋n－m＝n．
答：n
4.計算：
(1)；
(2) .
解：(1)
(2)
課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.實數有相反數和絕對值嗎？怎么表示？
3. 實數進行運算的順序是什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
本課是是對平方根、算術平方根、立方根、無理數、實數等內容進行梳理整合，在此之前學生已學習了加、減、乘、除、乘方五種運算，學習了有理數的概念，具備了學習數的開方和學習無理數的基礎.與有理數一樣，也可以規定實數的相反數和絕對值. 教學時，先從復習有理數的相反數和絕對值入手，然后指出可以用類似的方式規定實數的相反數和絕對值，并通過例題、習題加以鞏固，以加深對它們的認識.
對于實數的運算，可強調兩點:一是有理數的運算律和運算性質在實數范圍內仍然成立；二是涉及無理數的近似計算，可以取近似值，轉化為有理數進行計算. 本節課需要讓學生多應用，多嘗試，充分發揮學生的主觀能動性.
本節課精心設計問題情景，積極引導，啟發學生進行概念剖析，讓學生從被動學習到主動探究，激發學生的學習熱情，培養學生自主學習數學的能力.通過獨立思考與小組討論相結合的方式解決新的實際問題，培養學生解決問題的思想和方法，提升數學素養.

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