資源簡介

第九章 平面直角坐標系
9.1用坐標描述平面內點的位置
9.1.1 平面直角坐標系的概念
一、教學目標
1.理解平面直角坐標系的相關概念.
2.掌握平面直角坐標系內點與坐標是一一對應的.
3.理解在平面直角坐標系中四個象限的點對應坐標的符號特征.
4.能運用點的坐標的符號特征解決問題，進一步體會數形結合思想的作用.
二、教學重難點
重點：理解并掌握象限內、坐標軸上點的坐標特點.
難點：理解建立平面直角坐標系的必要性，體會平面直角坐標系中點與坐標的一一對應關系.
三、教學用具
多媒體課件
教學過程設計
環節一 創設情境
【復習導入】
回顧已學內容，并回答問題.
提出問題1：什么是數軸？請你試著畫出一條數軸.
追問1：A，B兩點所表示的數分別是什么？
A點表示-4，B點表示2.
描一描：請你在數軸上上標出“-5”表示的點.
學生回答問題后，教師引導學生得出數軸上點的坐標的定義：數軸上的點可以用一個數表示，這個數叫做這個點的坐標，例如點A的坐標為–3 ，點B的坐標為4.反之，已知數軸上點的坐標，這個點的位置就確定了.
提出問題2：在數軸上已知點能說出它的坐標，由坐標能在數軸上找到對應點的位置，那么數軸上的點與坐標有怎樣的關系？
數軸上的點與坐標是“一一對應”的，也就是說，在數軸上每一個點都可以用一個坐標來表示，任何一個坐標都可以在數軸上找到唯一確定的點.
設計意圖：在復習數軸的同時引出這節課平面直角坐標系的內容，體會二者之間的聯系.
環節二 探究新知
【思考】
類似于利用數軸確定直線上點的位置，結合上節課學習的有序數對，回答問題.如圖，你能找到一種辦法來確定平面內點的位置嗎？
教師給予適當的引導，然后梳理解決這個問題的過程。例如：點A所在的平面內有一些方格線，利用上節課所學的有序數對，約定“列數在前，排數在后”，點A在“第3列第4排"，記為（3，4）.
教師引導學生通過利用兩條互相垂直的數軸來確定點的位置，進而得出平面直角坐標系的概念.
我們可以在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系（rectangular coordinate system）.水平的數軸稱為x軸（x-axis）或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸稱為y軸（y-axis）或縱軸，取向上方向為正方向；兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點.
設計意圖：利用學生學過的知識：有序數對、數軸的知識，以確定平面內點A的位置為目的，讓學生在解決具體問題的過程中自然而然地建立平面直角坐標系，并理解相關概念.
【思考】
1. 有了平面直角坐標系，如何表示圖中點的位置呢？
繼續以點A為例進行講解：引導學生發現表示點的方法：A分別向x和y軸作垂線，垂足在x軸上的坐標是3，垂足在y軸上的坐標是4，有序數對（3，4）叫做點A的坐標，其中3是橫坐標，4是縱坐標，記作A（3，4）.注意：在寫點的坐標時，必須橫坐標在前，縱坐標在后，中間用逗號“，”隔開.類似地可以確定其它三個點（B，C，D）的坐標，分別為B（–3，–4），C（0，2），D（0，–3）.
2. 繼續觀察坐標系及其給出的點的坐標，思考點 O 的坐標是什么？x 軸和 y 軸上的點的坐標有什么特點？
在教師的指導下，得到如下的結論：
①原點O的坐標是（0，0）；
②x軸上的點縱坐標為0，一般記為（x，0）;
③y軸上的點橫坐標為0，一般記為（0，y）.
設計意圖：給出平面直角坐標系的定義后，在教師的指導下讓學生表示出圖中每個點的坐標（一般點和特殊點），并探究出特殊點的坐標特點.這樣安排符合學生的認知規律，使學生更容易理解和掌握相關的知識.
3.觀察這個平面直角坐標系，學習其各部分的名稱和對應位置點的特點.
前邊我們已經知道了，在直角坐標系里，這是x軸，這是y軸，這是原點.除了這些，坐標平面被兩條坐標軸分成了四部分，我們分別把它們稱為第一象限，用“Ⅰ”表示；第二象限，用“Ⅱ”表示；第三象限，用“Ⅲ”表示；第四象限，用“Ⅳ”表示.
提出問題：平面直角坐標系里的點有什么特點呢？
引導學生總結得到：原點的坐標是（0，0），x軸上的點的縱坐標都是0，而y軸上的點的橫坐標都是0.第一象限內的點的橫、縱坐標都是正數（由一點向x軸作垂線，垂足在x軸的正半軸上，因此橫坐標是正數，向y軸作垂線，垂足也是在y軸的正半軸上，因此縱坐標也是正數）；同理，可得第二象限內的點的橫坐標都是負數，縱坐標都是正數；第三象限內的點，橫、縱坐標都是負數；第四象限內的點，橫坐標都是正數，縱坐標都是負數.注意，坐標軸上的點不屬于任何象限.
在平面直角坐標系中描出下列各點：A(4，4)，B(–3，3)， C(–4，–2)，D(3.5，–2)，E(0，–3).
提出問題：平面上的點和坐標有什么關系呢？
總結：平面上的點和坐標是一一對應的.
設計意圖：首先讓學生在建好的平面直角坐標系內找到對應點的位置；然后進一步提出問題，可通過類比數軸上的點與坐標的關系，讓學生歸納平面上點與坐標的關系
環節三 應用新知
【典型例題】
教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
例1在平面直角坐標系中描出下列各點:
A(4，5)，B(–2，3)，C(–4，–1)，D(2.5，–2)，E(0，–4).
設計意圖：主要考察學生對平面直角坐標系的理解，能夠根據點的坐標描出相應點的坐標的能力，以及交流合作能力.
例2 點 M(a，b) 為平面直角坐標系中的點.
（1）當 a＞0，b＜0 時，點M位于第幾象限？
（2）當 ab＞0 時，點M位于第幾象限？
（3）當 a為任意實數，且b＜0 時，點M位于第幾象限？
解析：在平面直角坐標系內，點的坐標特點為：
原點的坐標為（0，0）；x軸上的點，縱坐標都是0；y軸上的點，橫坐標都是0；坐標軸上的點不屬于任何象限.而且每個象限內的點滿足：
答案：（1）第四象限；（2）a＞0，b＞0 時，點M在第一象限；a＜0，b＜0 時，點M在第三象限；（3）a＞0，b＜0 時，點 M 在第四象限；a＜0，b＜0 時，點 M 在第三象限；a=0，b＜0 時，點 M 在 y 軸的負半軸.
設計意圖：主要考察學生對平面直角坐標系中點的坐標特征的掌握情況.
環節四 鞏固新知
教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
1.寫出圖中點 A，B，C，D，E，F 的坐標.
答案：A(–2，–2)，B(–5，4)，C(5，–4)，D(0，–3)，E(2，5)，F(–4，0).
2.在圖中描出下列各點：
L(–5，–3)，M(4，0)，N(–6，2)，P(5，–3.5)，Q(0，5)，R(6，2).
答案：略.
3.（1）下列各點中，在第二象限的是（ ）
A.(2，3) B.(2，–3) C.( –2，–3) D.( –2，3)
（2）下列各點中，在 x 軸上的點是（ ）
A.(0，3) B.( –3，0) C.( –1，2) D.( –2，–3)
答案：（1）D；（2）B.
4.（1）若 |a| = 5，|b| = 4，且點 M(a，b) 在第二象限，則點 M 的坐標是 .
（2）已知坐標平面內點 A(a，b) 在第四象限，那么點 B(b，a)在第 象限，點 C(–a，–b)在第 象限.
答案：（1）（–5，4）；（2）二；二.
設計意圖：學生通過練習，可以更好地認識和掌握平面直角坐標系中點的表示和坐標系內點的特點，同時進一步提高學生分析問題和解決問題的能力.
環節五 課堂小結
思維導圖的形式呈現本節課的主要內容：
設計意圖：回顧知識點形成知識體系，養成回顧梳理知識的習慣.

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