資源簡介

第2課時　氣體的等溫變化
[學習任務]　任務1．知道氣體的等溫變化。
任務2．知道玻意耳定律內容、表達式及適用條件。
任務3．能運用玻意耳定律對有關問題進行分析、計算。
任務4．了解p-V圖像、p-圖像的物理意義。
[問題初探]　問題1．用什么方法可以使一個凹癟的乒乓球恢復原狀？
問題2．p-圖像的斜率的物理意義是什么？
問題3．使用玻意耳定律解決問題時，p、V一定要用國際單位制中的單位嗎？
[思維導圖]
　封閉氣體壓強的計算
[鏈接教材]　如圖甲所示，C、D液面水平且等高，液體密度為ρ，重力加速度大小為g，其他條件已標于圖上。在圖乙中，汽缸置于水平地面上，汽缸橫截面積為S，活塞質量為m，設大氣壓強為p0，重力加速度大小為g。
試求甲、乙中封閉氣體的壓強。
提示：題圖甲中同一水平液面C、D處壓強相同，可得p甲＝p0＋ρgh。
對題圖乙以活塞為研究對象，受力分析如圖所示，由平衡條件得mg＋p0S＝p乙S，則p乙＝p0＋。
1．容器靜止或勻速運動時封閉氣體壓強的計算
(1)取等壓面法
同種液體在同一深度向各個方向的壓強相等，在連通器中，靈活選取等壓面，利用同一液面壓強相等求解氣體壓強。如圖甲所示，同一液面C、D兩處壓強相等，故pA＝p0＋ph；如圖乙所示，M、N兩處壓強相等，從左側管看，有pB＝pA＋ph2，從右側管看，有pB＝p0＋ph1。
(2)受力平衡法
選與封閉氣體接觸的活塞、汽缸或液體為研究對象進行受力分析，由平衡條件列式求氣體壓強。
2．容器加速運動時封閉氣體壓強的計算
當容器加速運動時，通常選與氣體相關聯的液柱、汽缸或活塞為研究對象，并對其進行受力分析，然后由牛頓第二定律列方程，求出封閉氣體的壓強。
如圖所示，當豎直放置的玻璃管向上加速運動時，對液柱進行受力分析，由牛頓第二定律得pS－p0S－mg＝ma，則p＝p0＋。
【典例1】　(平衡狀態下液體封閉氣體壓強的計算)如圖所示，兩端開口的彎折的玻璃管豎直放置，三段豎直管內各有一段水銀柱，兩段空氣封閉在三段水銀柱之間，若左、右兩管內水銀柱長度分別為h1、h2，水銀柱均靜止，則中間管內水銀柱的長度為(　　)
A．h1－h2　　　　　　 B．h1＋h2
C． 　 D．
B　[設大氣壓強為p0，左邊空氣柱的壓強為p左＝p0－ρgh1，右邊空氣柱的壓強為p右＝p0＋ρgh2＝p左＋ρgh1＋ρgh2＝p左＋ρgh，則h＝h1＋h2，故B正確。]
【教用·備選例題】　(平衡狀態下固體封閉氣體壓強的計算)(多選)如圖所示，活塞質量為m，汽缸質量為M，兩者通過彈簧吊在天花板上，汽缸內封閉了一定質量的空氣，而活塞與汽缸間無摩擦，活塞面積為S，大氣壓強為p0，封閉氣體壓強為p，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)
A．內外空氣對汽缸的總作用力方向向上，大小為Mg
B．內外空氣對汽缸的總作用力方向向下，大小為mg
C．p＝p0－
D．p＝p0＋
AC　[規定豎直向下為正方向，以汽缸底為研究對象進行受力分析，由平衡條件得pS＋Mg＝p0S，則有pS－p0S＝－Mg，可得內外空氣對汽缸的總作用力方向向上，大小為Mg，故A正確，B錯誤；由pS＋Mg＝p0S可得p＝p0－，故C正確，D錯誤。]
【典例2】　(加速狀態下封閉氣體壓強的計算)如圖所示，在光滑水平面上，用恒力F推著活塞和汽缸一起做勻加速直線運動，活塞與汽缸相對靜止，已知活塞面積為S，大氣壓強為p0，活塞的質量為m，汽缸的質量為M。求封閉氣體的壓強。
[解析]　對活塞和汽缸整體由牛頓第二定律得
F＝(M＋m)a
對活塞由牛頓第二定律得
F＋p0S－pS＝ma
聯立解得p＝＋p0。
[答案]　＋p0
　玻意耳定律及其應用
[鏈接教材]　在“用傳感器探究氣體等溫變化的規律”的實驗中，如圖所示，研究對象是注射器中的空氣柱。氣體壓強傳感器通過塑料管與注射器相連。由注射器壁上的刻度可以讀出氣體的體積V；由壓強傳感器測得的壓強值p在計算機屏幕上可以實時顯示。這樣就可以獲得不同體積時氣體壓強的數值。由計算機作出氣體的p-V圖像。
思考：是不是只要作出p-V圖像為曲線，則p與V就一定成反比？
提示：不是。只有p-V圖像是雙曲線的一支時，才能說明兩者成反比。
1．內容：一定質量的某種氣體，在溫度不變的情況下，壓強p與體積V成反比。
2．公式：pV＝C(常量)或p1V1＝p2V2。
3．適用條件
(1)氣體質量不變、溫度不變。
(2)氣體溫度不太低、壓強不太大。
在一個恒溫池中，一串串氣泡由池底慢慢升到水面，有趣的是氣泡在上升過程中，體積逐漸變大，到水面時就會破裂。
問題1．上升過程中，氣泡內氣體的溫度發生改變嗎？
問題2．上升過程中，氣泡內氣體的壓強怎么改變？
問題3．氣泡在上升過程中體積為何會變大？
提示：1．因為在恒溫池中，所以氣泡內氣體的溫度保持不變。
2．變小。
3．由玻意耳定律pV＝C可知，壓強變小，氣體的體積增大。
1．玻意耳定律的表達式：pV＝C中的常量C不是一個普適恒量，它與氣體的種類、質量、溫度有關。對一定質量的氣體，溫度越高，該恒量C越大。
2．解題步驟
(1)確定研究對象，并判斷其是否滿足玻意耳定律成立的條件。
(2)確定始、末狀態及狀態參量(p1、V1、p2、V2)。
(3)根據玻意耳定律列方程，p1V1＝p2V2，代入數值求解(注意各狀態參量只要單位統一即可，沒必要轉化為國際單位)。
(4)有時要檢驗結果是否符合實際，對不符合實際的結果要舍去。
【典例3】　(玻意耳定律的應用)如圖所示，將粗細均勻且一端開口的玻璃管放置在水平桌面上，管內用長為h的水銀封閉著一段長度為l0的空氣柱。已知大氣壓強為p0，水銀密度為ρ，重力加速度為g，當把玻璃管開口朝上緩慢地豎立起來時，管內空氣柱的長度變為多少？
思路點撥：本題研究對象是玻璃管內的氣體。將玻璃管緩慢豎立，可認為管內氣體的溫度始終等于外界氣溫，為等溫變化過程。玻璃管水平放置時氣體狀態為初態，豎立后的氣體狀態為末態。
[解析]　用p1、V1和p2、V2分別表示玻璃管水平、豎直時管內氣體的壓強和體積。管內氣體的壓強p1＝p0，p2＝p0＋ρgh
設玻璃管的橫截面積為S，豎直時管內空氣柱的長度為l，根據玻意耳定律有
p1Sl0＝p2Sl
代入氣體的壓強p1和p2解得l＝l0。
[答案]　l0
【典例4】　(玻意耳定律的應用)氣體彈簧是車輛上常用的一種減震裝置，其簡化結構如圖所示。直立圓柱形密閉汽缸導熱良好，橫截面積為S的活塞通過連桿與車輪軸連接，初始時汽缸內密閉一段長度為L0、壓強為p1的氣體，汽缸與活塞間的摩擦忽略不計，車輛載重時相當于在汽缸頂部增加一個物體A，穩定時汽缸下降了L0，氣體溫度保持不變。
(1)求物體A的重力大小。
(2)如果大氣壓強為p0，為使汽缸升到原位置，現向汽缸內充入與汽缸內原氣體溫度相同的氣體，求充入的這些氣體在大氣壓強下的體積。
[解析]　(1)設汽缸下降L0后，氣體壓強為p2，
由玻意耳定律得p1SL0＝p2S·L0
解得p2＝4p1
穩定時，氣體對汽缸上表面的壓力增加量等于物體A的重力大小G，則G＝p2S－p1S
解得G＝3p1S。
(2)要使汽缸恢復到原位置，需向汽缸內充入壓強為p2、體積為V＝SL0的氣體，設這些氣體在大氣壓強下的體積為V2，由玻意耳定律得
p2·SL0＝p0V2
解得V2＝。
[答案]　(1)3p1S　(2)
　力、熱綜合問題的解題思路
(1)將題目分解為氣體狀態變化問題和力學問題兩部分。
(2)對氣體狀態變化問題應用玻意耳定律列方程。
(3)對力學問題應用力學規律和原理列方程。
(4)聯立方程求解。
【教用·備選例題】
【典例2】　(兩部分氣體關聯問題)如圖所示，兩端開口的U形管粗細均勻，左右兩管豎直，底部的直管水平，水銀柱長度如圖中標注所示。水平管內兩段空氣柱a、b的長度分別為10 cm、5 cm。在左管內緩慢注入一定量的水銀，穩定后右管的水銀面比原來高h＝10 cm。已知大氣壓強p0＝76 cmHg，求向左管注入的水銀柱長度。
[解析]　初狀態a、b兩部分空氣柱的壓強均為p1＝76 cmHg＋14 cmHg＝90 cmHg，
因右管水銀面升高的高度10 cm<12 cm，故b空氣柱仍在水平直管內，
末狀態a、b兩部分空氣柱的壓強均為p2＝76 cmHg＋14 cmHg＋10 cmHg＝100 cmHg，
設末狀態a、b兩部分空氣柱的長度分別為La2、Lb2，
對a部分空氣柱，根據玻意耳定律得
p1La1S＝p2La2S，
對b部分空氣柱，根據玻意耳定律得
p1Lb1S＝p2Lb2S，
代入數據解得La2＝9 cm，Lb2＝4.5 cm，
左管所注入的水銀柱長度L＝2h＋(La1＋Lb1)－(La2＋Lb2)，
代入數據解得L＝21.5 cm。
[答案]　21.5 cm
　氣體等溫變化的圖像
氣體等溫變化的圖像，也叫等溫線
1．在p-V圖像中，一定質量的氣體的等溫線為雙曲線的一支，如圖甲所示。
2．在p-圖像中，一定質量的氣體的等溫線為過原點的一條傾斜直線，如圖乙所示。
[微提醒]　p-V圖像上各點的溫度相同，p-圖像不過原點的不是等溫線。
圖甲是一定質量的氣體在不同溫度的p-V圖線，圖乙是一定質量的氣體在不同溫度下的p-圖線。
問題1．圖甲中兩條等溫線表示的溫度T1和T2哪一個比較高？為什么？
問題2．圖乙中，T3和T4哪一個大？
提示：1．在兩條等溫線上取體積相同的兩個點(即兩個狀態)A和B，可以看出pA>pB，因此T2>T1。
2．同理，題圖乙中有T31．p-V圖像
(1)一定質量的某種氣體，其等溫線是雙曲線的一支，雙曲線上的每一個點均表示一定質量的氣體在該溫度下的一個狀態，而且同一條等溫線上每個點對應的p、V坐標的乘積都是相等的，如圖甲所示。
(2)玻意耳定律pV＝C(常量)，其中常量C不是一個普通常量，它隨氣體溫度的升高而增大，溫度越高，常量C越大，等溫線離坐標軸越遠。如圖乙所示，四條等溫線的溫度關系為T4>T3>T2>T1。
2．p-圖像
一定質量氣體的等溫變化過程，也可以用p-圖像來表示，如圖丙所示。等溫線是一條延長線通過原點的傾斜直線，由于氣體的體積不能無窮大，所以靠近原點附近處應用虛線表示，該直線的斜率k＝＝pV∝T，即斜率越大，氣體的溫度越高。
【典例5】　(p-V圖像)(多選)一定質量的某種理想氣體狀態變化的p-V圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．狀態A時氣體分子的內能比狀態B時小
B．氣體分子單位時間內對器壁單位面積上的碰撞次數狀態A時比狀態B時多
C．氣體由狀態A變化到狀態B的過程中溫度一直保持不變
D．氣體由狀態A變化到狀態B的過程中分子平均速率先增大后減小
BD　[由題圖可知pAVA＝pBVB，所以A、B兩個狀態的溫度相等，處于同一條等溫線上，分子平均速率相等，分子平均動能相等，又由于氣體為理想氣體，氣體的分子勢能可忽略不計，所以狀態A時氣體分子的內能等于狀態B時的分子內能，故A錯誤；從狀態A變化到狀態B的過程中，氣體的壓強減小，所以氣體分子單位時間內對器壁單位面積上的碰撞次數減小，故B正確；在p-V圖像上作出幾條等溫線，如圖所示，
由于離原點越遠的等溫線溫度越高，所以從狀態A到狀態B溫度先升高后降低，所以分子平均速率先增大后減小，故C錯誤，D正確。故選BD。]
【典例6】　(p-圖像)如圖所示，D→A→B→C表示一定質量的某種氣體狀態變化的一個過程，則下列說法正確的是(　　)
A．D→A是一個等容過程
B．A→B是一個等溫過程
C．A與B的狀態參量不同
D．B→C體積減小，壓強減小，溫度不變
C　[D→A是一個等溫過程，A錯誤；A、B兩狀態溫度不同，A→B的過程中不變，則體積V不變，此過程中氣體的壓強、溫度會發生變化，B錯誤，C正確；B→C是一個等溫過程，V增大，p減小，D錯誤。]
1．如圖所示，U形管封閉端內有一部分氣體被水銀封住，已知大氣壓強為p0，封閉部分氣體的壓強p(以汞柱為單位)為(　　)
A．p0＋h2
B．p0－h1
C．p0－(h1＋h2)
D．p0＋(h2－h1)
B　[選右邊液面為研究對象，右邊液面受到向下的大氣壓強p0，在相同高度的左邊液面受到液柱h1向下的壓強和液柱h1上面氣體向下的壓強p，根據連通器原理可知p＋h1＝p0，所以p＝p0－h1，B正確。]
2．(多選)如圖所示，p表示壓強，V表示體積，T為熱力學溫度，各圖中正確描述一定質量的氣體發生等溫變化的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
AB　[題中A圖中可以直接看出溫度不變；題中B圖說明p∝，即p·V＝常數，是等溫過程；題中C圖是雙曲線，但橫坐標不是體積V，不是等溫線；題中D圖的p-V圖線不是雙曲線，故也不是等溫線，故A、B正確。]
3．如圖所示是一種由汽缸、活塞柱、彈簧和上下支座構成的汽車氮氣減震裝置，汽缸內的氣體可視為理想氣體。該裝置未安裝到汽車上時，彈簧處于原長狀態。封閉氣體和活塞柱長度均為0.20 m，氣體壓強等于大氣壓強p0＝1.0×105 Pa。將四臺減震裝置安裝在汽車上，穩定時車重由四臺減震裝置支撐，且封閉氣體被壓縮了0.12 m。已知活塞柱橫截面積S＝1.0×10-2m2，彈簧的勁度系數k＝1.0×104 N/m。該裝置的質量、活塞柱與汽缸摩擦均可忽略不計，汽缸導熱性和氣密性良好，環境溫度不變，g＝10 m/s2求：
(1)壓縮后汽缸內氮氣的壓強；
(2)汽車的質量M。
[解析]　(1)當汽車裝上減震裝置后，設汽缸壓縮后的體積為V1，壓強為p1，由玻意耳定律可知
p0V0＝p1V1
解得
p1＝2.5×105Pa。
(2)設汽車對一個減震裝置的壓力為F，以減震裝置汽缸上表面為研究對象，受力分析可知
p0S＋F＝p1S＋kΔx
代入題中數據解得
F＝2 700 N
以汽車為研究對象
Mg＝4F
解得汽車的質量
M＝1 080 kg。
[答案]　(1)2.5×105 Pa　(2)1 080 kg
回歸本節知識，完成以下問題：
1．玻意耳定律成立的條件有哪兩條？
提示：①一定質量、溫度不變的氣體；
②氣體的壓強不太大，溫度不太低。
2．等溫變化p-V圖線和p-圖線的形狀分別如何？
提示：一條雙曲線；一條傾斜直線。
3．p-圖像的斜率的物理意義是什么？
提示：由pV＝C知p＝C·，故p-圖像的斜率為C。
4．使用玻意耳定律解決問題時，p、V一定要用國際單位制中的單位嗎？
提示：在使用p1V1＝p2V2或＝時，只要公式中的相同物理量統一單位即可。
課時分層作業(五)
?題組一　封閉氣體壓強的計算
1．在兩端開口豎直放置的U形管內，兩段水銀封閉著長度為L的空氣柱，a、b兩水銀面的高度差為h，現保持溫度不變，則(　　)
A．若再向左管注入些水銀，穩定后h變大
B．若再向左管注入些水銀，穩定后h不變
C．若兩管同時注入等量的水銀，穩定后h不變
D．若兩管同時注入等量的水銀，穩定后L不變
B　[管內封閉氣體的壓強p＝p0＋h＝p0＋h′，則h′＝h，即右側管上部分水銀柱長度等于a、b兩水銀面的高度差h，若再向左管注入些水銀，穩定后氣體的壓強不變，則h不變，選項A錯誤，B正確；若兩管同時注入等量的水銀，穩定后管內氣體的壓強變大，則h變大，氣體體積減小，則L減小，選項C、D錯誤。故選B。]
2．如圖所示，一橫截面積為S的圓柱形容器豎直放置，圓板A的上表面是水平的，下表面是傾斜的，且下表面與水平面的夾角為θ，圓板的質量為M，不計一切摩擦，大氣壓強為p0，重力加速度為g，則被圓板封閉在容器中的氣體的壓強p為 (　　)
A．p0＋ 　 B．p0＋
C．p0＋ 　 D．p0＋
D　[
以圓板為研究對象，對圓板受力分析，如圖所示，豎直方向受力平衡，則pS′cos θ＝p0S＋Mg，因為S′＝，所以p·cos θ＝p0S＋Mg，可得p＝p0＋。]
?題組二　玻意耳定律及其應用
3．水銀氣壓計中混入了一個氣泡，上升到水銀柱的上方，使水銀柱上方不再是真空。當實際大氣壓相當于760 mm高的水銀柱產生的壓強時，這個水銀氣壓計中水銀柱的高度只有742 mm，此時管中的水銀面到管頂的距離為80 mm。當這個氣壓計中水銀柱的高度為732 mm時，實際的大氣壓強相當于水銀柱的高度為(　　)
A．748 mm 　 B．756 mm
C．742 mm 　 D．758 mm
A　[以管中封閉的氣體為研究對象，設玻璃管的橫截面積為S，初態p1＝ρg(760－742)×10-3m，V1＝0.08 m·S，末態p2＝ρg(h－0.732 m)，V2＝0.08 m·S＋(0.742－0.732)m·S＝0.09 m·S，根據玻意耳定律得p1V1＝p2V2，代入解得h＝748 mm，A正確。]
4．如圖所示，容積為2V的汽缸固定在水平地面上，汽缸壁及活塞導熱性能良好，活塞面積為S，厚度不計。汽缸兩側的單向閥門(氣體只進不出)均與打氣筒相連，開始活塞兩側封閉空氣的體積均為V，壓強均為p0。現用打氣筒向活塞左側打氣15次，向活塞右側打氣10次。已知打氣筒每次能打入壓強為p0、體積為V的空氣，外界溫度恒定，空氣視為理想氣體，不計活塞與汽缸間的摩擦。則穩定后汽缸內空氣的壓強為(　　)
A． 　 B．3p0
C． 　 D．4p0
C　[根據題意可知，設穩定后汽缸內空氣的壓強為p，左側氣體體積為V1，則右側氣體體積為2V－V1，由玻意耳定律，對左側氣體有p0＝pV1，
對右側氣體有p0＝p(2V－V1)，聯立解得p＝p0，故選C。]
5．如圖所示，一開口向下的直玻璃管，通過細繩懸掛固定，玻璃管下端浸沒在固定的水銀槽中，管內液面高于管外液面。現向水銀槽內加入水銀，則(　　)
A．管內氣體體積不變
B．細繩拉力不變
C．管內氣體壓強變大
D．管內外液面高度差變大
C　[向水銀槽內加入水銀，假設玻璃管內氣體壓強不變，根據pV＝C，則管內氣體體積不變，加入水銀后管內外水銀面高度差減小，而大氣壓強不變，管內水銀面將向上移動，假設不成立，同理可得出管內氣體壓強變小也不可能，所以管內氣體壓強一定變大，故C正確；管內氣體壓強p變大，根據pV＝C，則管內氣體體積變小，故A錯誤；對玻璃管受力分析，細繩拉力T＝(p0－p)S＋mg，管內氣體壓強p變大，則細繩拉力變小，故B錯誤；管內氣體壓強p變大，根據p＋ρgh＝p0，管內外液面高度差h變小，故D錯誤。故選C。]
?題組三　氣體等溫變化的圖像
6．如圖所示為一定質量的某種氣體的p-V圖像，A、B是雙曲線上的兩點，△OAC和△OBD的面積分別為S1和S2，則(　　)
A．S1B．S1＝S2
C．S1>S2
D．S1與S2的大小無法確定
B　[△OAC的面積為S1＝AC·OC＝pAVA；△OBD的面積為S2＝BD·OD＝pBVB，而A、B是等溫線上的兩點，根據玻意耳定律可得pAVA＝pBVB，故有S1＝S2，選項B正確，A、C、D錯誤。]
7．(多選)如圖所示，D→A→B→C表示一定質量的某種氣體狀態變化的過程，則下列說法正確的是(　　)
A．D→A是一個等溫過程
B．A→B是一個等溫過程
C．A與B的狀態參量不同
D．B→C體積增大，壓強減小，溫度不變
ACD　[D→A是一個等溫過程，A正確；A、B兩狀態溫度不同，A→B的過程中不變，則體積V不變，此過程中氣體的壓強、溫度會發生變化，B錯誤，C正確；B→C是一個等溫過程，V增大，p減小，D正確。]
8．如圖所示，一定質量的氣體，從狀態1變化到狀態2，其p-圖像為傾斜直線，氣體溫度變化是(　　)
A．逐漸升高
B．逐漸降低
C．可能不變
D．可能先升高后降低
B　[p-圖像上各點與原點連線的斜率與溫度成正比，由題圖可知，1→2過程圖像上各點與原點連線斜率逐漸減小，故氣體溫度逐漸降低，B正確，A、C、D錯誤。]
9．司機李師傅跑長途前有檢查汽車胎壓的習慣，某次他通過車內的胎壓監測發現左前輪的胎壓較小(2.0 bar)，如圖所示。李師傅馬上通過充氣機給輪胎充氣直到和其他輪胎胎壓相同，已知輪胎的容積為30 L，充氣機每分鐘可以將壓強為1 bar、體積為5 L的空氣充入輪胎，忽略充氣過程中輪胎溫度和體積的變化，則李師傅需要充氣的時間為(　　)
A．1 min 　 B．2 min
C．3 min 　 D．4 min
C　[氣體做等溫變化，則p1V1＝p2V2＋p3V3，代入p1＝2.5 bar，p2＝2.0 bar，p3＝1.0 bar，V1＝V2＝30 L，解得V3＝15 L，則充氣時間滿足＝，解得充氣時間為t＝3 min，故選C。]
10．人們常常用充氣泵為魚缸內的水補充氧氣。如圖為充氣泵氣室的工作原理圖。設大氣壓強為p0，氣室內氣體的壓強為p，氣室通過閥門K1、K2與空氣導管相連接，溫度保持不變。則下列說法正確的是(　　)
A．向上拉橡皮膜時，p>p0，K1關閉，K2開通
B．向上拉橡皮膜時，pC．向下壓橡皮膜時，p>p0，K1關閉，K2開通
D．向下壓橡皮膜時，pC　[由題圖可知，當向上拉橡皮膜時，氣室內的氣體體積變大，而氣體溫度不變，由玻意耳定律pV＝C可知，氣體的壓強變小，小于外界大氣壓，即pp0，閥門K1關閉，K2開通，故C正確，D錯誤。]
11．騎行是一種健康自然的出行方式。一輛單車，一個背包即可出行，簡單又環保。某品牌自行車的氣壓避震裝置主要由活塞、汽缸組成，該自行車共有4個完全相同的避震器。為研究其減震效果可將其簡化成如圖所示結構，在與水平面成θ＝37°夾角的斜坡上運動員正勻速向上騎行，自行車車架和運動員總質量為M，通過支架連接活塞，汽缸底部固定安裝在車軸上，上坡時汽缸內氣體的體積為V1。(已知活塞橫截面積為S，質量不計，重力加速度為g，外界大氣壓強為p0，cos 37°≈0.8，活塞內氣體視為理想氣體且溫度不變，4個避震器可視為等高且與斜坡垂直，不計一切摩擦。)
(1)求上坡時汽缸內氣體的壓強p1。
(2)當自行車行駛至水平路面時，求此時避震器汽缸內的氣體體積V2。
[解析]　(1)對活塞受力分析可知
Mg cos 37°＋p0S＝p1S
解得
p1＝p0＋。
(2)當自行車行駛至水平路面時，對活塞分析可知
Mg＋p0S＝p2S
p2＝p0＋
根據玻意耳定律可得
p1V1＝p2V2
解得
V2＝V1。
[答案]　(1)p0＋　(2)V1
12．如圖甲所示，汽車剎車助力泵是一個直徑較大的真空腔體，簡化圖如圖乙所示，內部有一個中部裝有推桿的膜片(或活塞)，將腔體隔成兩部分，右側與大氣相通，左側通過真空管與發動機進氣管相連。設初始時左側腔體體積為V，腔內壓強為大氣壓強p0，膜片橫截面積為S，膜片回位彈簧勁度系數為k，初始時處于原長狀態，設制動總泵推桿左移x時剎車踏板到底，整個過程忽略溫度變化，腔內氣體視為理想氣體，忽略膜片移動過程中的摩擦阻力，則：
(1)發動機工作時吸入空氣，造成左側腔體真空，剎車踏板到底時，助力器推桿人力F至少多大？
(2)發動機未啟動時，真空管無法工作，左側腔體處于封閉狀態，此狀態下剎車踏板到底時，助力器推桿人力F′至少多大？
[解析]　(1)發動機工作時吸入空氣，造成左側腔體真空，則對活塞分析可知
kx＝p0S＋F
解得助力器推桿人力
F＝kx－p0S。
(2)對左側氣體，由玻意耳定律
p0V＝p1(V－xS)
對活塞分析
kx＋p1S＝p0S＋F′
解得
F′＝kx＋。
[答案]　(1)kx－p0S　(2)kx＋(共44張PPT)
第2課時　氣體的等溫變化
第二章　氣體、固體和液體
2．氣體的等溫變化
整體感知·自我新知初探
[思維導圖]
探究重構·關鍵能力達成
[鏈接教材]　如圖甲所示，C、D液面水平且等高，液體密度為ρ，重力加速度大小為g，其他條件已標于圖上。在圖乙中，汽缸置于水平地面上，汽缸橫截面積為S，活塞質量為m，
設大氣壓強為p0，重力加速度大小為g。
試求甲、乙中封閉氣體的壓強。
知識點一　封閉氣體壓強的計算
1．容器靜止或勻速運動時封閉氣體壓強的計算
(1)取等壓面法
同種液體在同一深度向各個方向的壓強相等，在連通器中，靈活選取等壓面，利用同一液面壓強相等求解氣體壓強。如圖甲所示，同一液面C、D兩處壓強相等，故pA＝p0＋ph；如
圖乙所示，M、N兩處壓強相等，從左側管看，
有pB＝pA＋ph2，從右側管看，有pB＝p0＋ph1。
√
B　[設大氣壓強為p0，左邊空氣柱的壓強為p左＝p0－ρgh1，右邊空氣柱的壓強為p右＝p0＋ρgh2＝p左＋ρgh1＋ρgh2＝p左＋ρgh，則h＝h1＋h2，故B正確。]
√
√
【典例2】　(加速狀態下封閉氣體壓強的計算)如圖所示，在光滑水平面上，用恒力F推著活塞和汽缸一起做勻加速直線運動，活塞與汽缸相對靜止，已知活塞面積為S，大氣壓強為p0，活塞的質量為m，汽缸的質量為M。求封閉氣體的壓強。
[鏈接教材]　在“用傳感器探究氣體等溫變化的規律”的實驗中，如圖所示，研究對象是注射器中的空氣柱。氣體壓強傳感器通過塑料管與注射器相連。由注射器壁上的刻度可以讀
出氣體的體積V；由壓強傳感器測得的壓強值p在
計算機屏幕上可以實時顯示。這樣就可以獲得不
同體積時氣體壓強的數值。由計算機作出氣體的
p-V圖像。
知識點二　玻意耳定律及其應用
思考：是不是只要作出p-V圖像為曲線，則p與V就一定成反比？
提示：不是。只有p-V圖像是雙曲線的一支時，才能說明兩者成反比。
1．內容：一定質量的某種氣體，在溫度不變的情況下，壓強p與體積V成____。
2．公式：_______(常量)或__________。
3．適用條件
(1)氣體質量不變、____不變。
(2)氣體溫度不太低、壓強不太大。
反比
pV＝C
p1V1＝p2V2
溫度
在一個恒溫池中，一串串氣泡由池底慢慢升到水面，有趣的是氣泡在上升過程中，體積逐漸變大，到水面時就會破裂。
問題1．上升過程中，氣泡內氣體的溫度發生改變嗎？
問題2．上升過程中，氣泡內氣體的壓強怎么改變？
問題3．氣泡在上升過程中體積為何會變大？
提示：1．因為在恒溫池中，所以氣泡內氣體的溫度保持不變。
2．變小。
3．由玻意耳定律pV＝C可知，壓強變小，氣體的體積增大。
1．玻意耳定律的表達式：pV＝C中的常量C不是一個普適恒量，它與氣體的種類、質量、溫度有關。對一定質量的氣體，溫度越高，該恒量C越大。
2．解題步驟
(1)確定研究對象，并判斷其是否滿足玻意耳定律成立的條件。
(2)確定始、末狀態及狀態參量(p1、V1、p2、V2)。
(3)根據玻意耳定律列方程，p1V1＝p2V2，代入數值求解(注意各狀態參量只要單位統一即可，沒必要轉化為國際單位)。
(4)有時要檢驗結果是否符合實際，對不符合實際的結果要舍去。
【典例3】　(玻意耳定律的應用)如圖所示，將粗細均勻且一端開口的玻璃管放置在水平桌面上，管內用長為h的水銀封閉著一段長度為l0的空氣柱。已知大氣壓強為p0，水銀密度為ρ，重力加速度為g，當把玻璃管開口朝上緩慢地豎立起來時，管內空氣柱的長度變為多少？
思路點撥：本題研究對象是玻璃管內的氣體。將玻璃管緩慢豎立，可認為管內氣體的溫度始終等于外界氣溫，為等溫變化過程。玻璃管水平放置時氣體狀態為初態，豎立后的氣體狀態為末態。
規律方法　力、熱綜合問題的解題思路
(1)將題目分解為氣體狀態變化問題和力學問題兩部分。
(2)對氣體狀態變化問題應用玻意耳定律列方程。
(3)對力學問題應用力學規律和原理列方程。
(4)聯立方程求解。
【教用·備選例題】
【典例2】　(兩部分氣體關聯問題)如圖所示，兩端開口的U形管粗細均勻，左右兩管豎直，底部的直管水平，水銀柱長度如圖中標注所示。水平管內兩段空氣柱a、b的長度分別為10 cm、5 cm。在左管內緩慢注入一定量的水銀，穩定后右管的水銀面比原來高h＝10 cm。已知大氣壓強p0＝76 cmHg，求向左管注入的水銀柱長度。
[解析]　初狀態a、b兩部分空氣柱的壓強均為p1＝76 cmHg＋14 cmHg＝90 cmHg，
因右管水銀面升高的高度10 cm<12 cm，故b空氣柱仍在水平直管內，末狀態a、b兩部分空氣柱的壓強均為p2＝76 cmHg＋14 cmHg＋10 cmHg
＝100 cmHg，
設末狀態a、b兩部分空氣柱的長度分別為La2、Lb2，
對a部分空氣柱，根據玻意耳定律得p1La1S＝p2La2S，
對b部分空氣柱，根據玻意耳定律得p1Lb1S＝p2Lb2S，
代入數據解得La2＝9 cm，Lb2＝4.5 cm，
左管所注入的水銀柱長度L＝2h＋(La1＋Lb1)－(La2＋Lb2)，
代入數據解得L＝21.5 cm。
[答案]　21.5 cm
知識點三　氣體等溫變化的圖像
雙曲線
一條傾斜直線
問題1．圖甲中兩條等溫線表示的溫度T1和T2哪一個比較高？為什么？
問題2．圖乙中，T3和T4哪一個大？
提示：1．在兩條等溫線上取體積相同的兩個點(即兩個狀態)A和B，可以看出pA>pB，因此T2>T1。
2．同理，題圖乙中有T31．p-V圖像
(1)一定質量的某種氣體，其等溫線是雙曲線的一支，雙曲線上的每一個點均表示一定質量的氣體在該溫度下的一個狀態，而且同一條等溫線上每個點對應的p、V坐標的乘積都是相等的，如圖甲所示。
(2)玻意耳定律pV＝C(常量)，其中常量C不是一個普通常量，它隨氣體溫度的升高而增大，溫度越高，常量C
越大，等溫線離坐標軸越遠。如圖乙所示，
四條等溫線的溫度關系為T4>T3>T2>T1。
【典例5】　(p-V圖像)(多選)一定質量的某種理想氣體狀態變化的p-V圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．狀態A時氣體分子的內能比狀態B時小
B．氣體分子單位時間內對器壁單位面積上的碰
撞次數狀態A時比狀態B時多
C．氣體由狀態A變化到狀態B的過程中溫度一直保持不變
D．氣體由狀態A變化到狀態B的過程中分子平均速率先增大后減小
√
√
BD　[由題圖可知pAVA＝pBVB，所以A、B兩個狀態的溫度相等，處于同一條等溫線上，分子平均速率相等，分子平均動能相等，又由于氣體為理想氣體，氣體的分子勢能可忽略不計，所以狀態A時氣體分子的內能等于狀態B時的分子內能，故A錯誤；從狀態A變化到狀態B的過程中，氣體的壓強減小，所以氣體分子單位時間內對器壁單位面積上的碰撞次數減小，故B正確；在p-V圖像上作出幾條等溫線，如圖所示，由于離原點越遠的等溫線溫度
越高，所以從狀態A到狀態B溫度先升高后降低，
所以分子平均速率先增大后減小，故C錯誤，D正
確。故選BD。]
√
應用遷移·隨堂評估自測
1．如圖所示，U形管封閉端內有一部分氣體被水銀封住，已知大氣壓強為p0，封閉部分氣體的壓強p(以汞柱為單位)為(　　)
A．p0＋h2 B．p0－h1
C．p0－(h1＋h2) D．p0＋(h2－h1)
√
B　[選右邊液面為研究對象，右邊液面受到向下的大氣壓強p0，在相同高度的左邊液面受到液柱h1向下的壓強和液柱h1上面氣體向下的壓強p，根據連通器原理可知p＋h1＝p0，所以p＝p0－h1，B正確。]
2．(多選)如圖所示，p表示壓強，V表示體積，T為熱力學溫度，各圖中正確描述一定質量的氣體發生等溫變化的是(　　)
√
A　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
√
3．如圖所示是一種由汽缸、活塞柱、彈簧和上下支座構成的汽車氮氣減震裝置，汽缸內的氣體可視為理想氣體。該裝置未安裝到汽車上時，彈簧處于原長狀態。封閉氣體和活塞柱長度均為0.20 m，氣體壓強等于大氣壓強p0＝1.0×105 Pa。將四臺減震裝置安裝在汽車上，穩定時車重由四臺減震裝置支撐，且封閉氣體被壓縮了0.12 m。已知活塞柱橫截面積S＝1.0×10-2m2，彈簧的勁度系數k＝1.0×104 N/m。該裝置的質量、活塞柱與汽缸摩擦均可忽略不計，汽缸導熱性和氣密性良好，環境溫度不變，g＝10 m/s2求：
(1)壓縮后汽缸內氮氣的壓強；
(2)汽車的質量M。
[解析]　(1)當汽車裝上減震裝置后，設汽缸壓縮后的體積為V1，壓強為p1，由玻意耳定律可知
p0V0＝p1V1
解得
p1＝2.5×105Pa。
(2)設汽車對一個減震裝置的壓力為F，以減震裝置汽缸上表面為研究對象，受力分析可知
p0S＋F＝p1S＋kΔx
代入題中數據解得
F＝2 700 N
以汽車為研究對象
Mg＝4F
解得汽車的質量
M＝1 080 kg。
[答案]　(1)2.5×105 Pa　(2)1 080 kg
回歸本節知識，完成以下問題：
1．玻意耳定律成立的條件有哪兩條？
提示：①一定質量、溫度不變的氣體；
②氣體的壓強不太大，溫度不太低。
提示：一條雙曲線；一條傾斜直線。
4．使用玻意耳定律解決問題時，p、V一定要用國際單位制中的單位嗎？

展開更多......

收起↑